分部积分法

２００８年Ｉ２月　分部积分法探讨　２９９　分部积分法探讨　曹海勇　江霞平２　（１．南昌理２１２学院３３００１３；２．连云港市工贸高等职业技术学校　２２２０００）　■　摘要：分部积分法是积分学中一种重要的积分方法，通常用于解决两个不同类型函　数乘积的积分，其本质是乘积微分公式的逆运算，在使用过程中一般需要反复凑微分，凑　微分法是很多学生在学习过程中碰到的一个难点．本文通过对分部积分的本质进行分析，　总结出简单易懂的分部积分方法，可避免反复凑微分。　关键词：分部积分凑微分　１分部积分公式　ｒ　定理１若ｕ（ｘ）与ｖ（ｘ）可导，且不定积分ｌ　ｔ。　（ｘ）ｖ　Ｊ　ｒ　（ｘ）ｄｘ存在，则ｌ　ｕ（ｘ）ｖ　（ｘ）ｄｘ也存在，并有　Ｊ　ｒ　ｒ　Ｉ　ｕ（ｘ）ｖ　（ｘ）ｄｘ＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）一Ｉ　ｕ　（ｘ）ｖ（ｘ）ｄｘ　（１）　Ｊ　Ｊ　证明：由于［ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）］　：ｕ　（Ｘ）Ｖ（Ｘ）＋ｕ（Ｘ）ｖ　（ｘ）　或　ｕ（ｘ）ｖ　（ｘ）＝『Ｌｔ（ｘ）ｖ（ｘ）］　一ｕ　（ｘ）ｖ（ｘ）　对上式两边求不定积分就可得公式（１）　考虑到Ｖ　（ｘ）ａｘ：ｄｖ（Ｘ）、Ｉｌ　（Ｘ）ｄｘ＝ｄｕ（Ｘ），公式（１）　ｒ　ｒ　也可写成为：ｌ　ｕｄｖ：ＵＶ—Ｉ　ｖｄｕ　（２）　这就是分部积分式。　例１　求ｌ　ｘｃｏｓｘｄｘ　解令Ｉ１＝ｘ，ｄｖ：ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ，由分部积分公式　『ｘｃｏｓｘｄｘ＝．ｆ　ｘｄｓｉｎｘ　…ｉｎｘ一』ｓｉｎｘｄｘ　＝ｘｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋Ｃ　由此可见，使用分部积分法的关键在于确定被积　表达式中的ｕ以及凑出微分ｄｖ，使得公式（２）中的右端　容易求出。如果选择不当，可能会使所求不定积分更　加复杂。例如在例１中若取ｕ＝ＣＯＳＸ，ｖ＝ｘｄｘ＝ｄ－＝－Ｘ－，就　有』ｘｃｏｓｘｄｘ：』ｃｏｓｘｄ萼＝等ｃｏｓｘ＋』萼ｓｉｎｘｄｘ　这样，右端的不定积分显然比左端的更难求得。　２分部积分公式的使用方法　当被积表达式为两个不同类型函数乘积时．可以　按下面步骤使用分部积分公式：（１）确定ｕ：（２）把被积　表达式中的余下部分与ｄｘ凑成ｄｖ．　确定Ｉ１以及凑微分ｄｖ是使用分部积分公式的关键　步骤。　一般地，Ｕ的选择应按照反三角函数、对数函数、幂　函数、三角函数、指数函数的顺序，靠前的优先选为ｕ。　例２求下列积分：　（Ｉ）ｊ．　ｄｘ（２）』ｘ２ｓｉｎｘｄｘ　分析上面两个积分均为属于两个不同类型函数乘　积的积分。首先要确定ｕ，然后凑微分。　解（１）被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此　选Ｕ＝Ｘ２，ｅ　ｄｘ＝ｄｅ　＝ｄｖ．从而　Ｊ．ｘ２ｅ　＝』ｘ　ｄｅ　＝ｘ２ｅ　一ｚ　Ｊ．ｘｅ　ｄｘ＝ｘ２ｅｘ＿２　Ｊ．ｘｄｅｘ　＝ｘ２ｅ　一２（ｘｅ　一Ｉ　ｅｘｄｘ）　＝Ｘ２ｅｘ一２ｘｅ　＋２ｅ　＋Ｃ　（２）被积函数为幂函数与三角函数的乘积，因此选　ｕ＝Ｘ２，ｓｉｎｘｄｘ＝ｄ—ＣＯｓｘ＝ｄｖ．从而　（ｂ【＝ＪＩ　ｘＺｄ（…ｘ）　＝ｘ２（一ＣＯＳＸ）一Ｉ　２ｘｅｏｓｘｄｘ　＝ｘ　（一ＣＯＳＸ）＋２　ｌ　ｘｄｓｉｎｘ　＝ｘ　（一ＣＯＳＸ）＋２（ｘｓｉｎｘ—Ｉ　ｓｉｎｘｄｘ）　＝Ｘ　（一ＣＯＳＸ）一２ｘ（一ｓｉｎｘ）＋２ｅｏｓｘ＋Ｃ　通过上面例子我们发现，在使用分部积分公式过　程中可能要反复使用分部积分公式，从而要反复凑微　分，对此类积分有没有什么规律可循呢？　通过观察上面求积分的过程，我们发现其本质是　对幂函数Ｕ反复求导数、对另外一个函数反复求积分，　直至幂函数导数变成常数为止。　ｒ　分析题（１）的结果，Ｉ　ｘ　ｅ　ｄｘ＝Ｘ２ｅ　一２ｘｅ　＋２ｅｘ＋Ｃ。　可分解成下面形式：　：　塑　２　堂　：２　求原函数　求原函数　。　Ｖｌ＝ｅ　————————＇Ｖ，＝ｅ　最后结果可写成为ｔｌＶ—ｉ１　ｐｖｌ＋ｕ　ｖ２＋Ｃ。正负号交　替出现。　ｒ　分析题（２）结果，Ｉ　ｘ　ｓｉｎｘｄｘ：Ｘ２（一ｃ。ＳＸ）一２ｘ（一　ｓｉｎｘ）＋２ｅｏｓｘ＋Ｃ，发现题（１）有相同的结构：

多元函数积分的分部积分法

多元函数积分法是指应用一种数学技术来计算多元函数的定积分，这种技术叫做分部积分法。

分部积分法非常实用，它可以把复杂的多元函数简化成更容易积分的函数，这样可以把整个积分区域划分成许多分区，每个分区可以用不同的方法来实现复杂函数积分。

分部积分法积分过程可以分为三步来完成：1、将单元函数划分为多个不同的函数，以便分别积分。2、对每个函数分别进行积分计算，这里可以使用定积分表、查表法或者是简单的积分法来计算每一个函数的积分。3、在进行积分计算之后，对所有函数求和就可以得出整个积分值。

多元函数积分法，即分部积分法，不仅可以让多元函数的积分变得简单，而且可以把复杂的多元函数进行分部积分，从而达到分解复杂函数的目的。这种方法省去了大量的计算量，可以大大简化积分过程，可谓是积分领域中的一大进步。

分部积分法

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。

重点：分部积分法及其应用

难点：在分部积分法中，要恰当的选取u和v

教学方法：讲练法

0 回顾

上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

dxxxfdxxf)(')]([)(

)]([)]([xdxf

)(xu令

duuf)(

CxFCuF)]([)(

第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(tx，使得难求的积分易求

dtttfdxxftx)(')]([)()(令

CF(x)C])([)()]([tFtdtf

1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分xdxxcos

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。xxcos

③第二类换元积分法

解：不妨设 txtxarccoscos则

原方程dtttt211arccos更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u、 v为两个函数）

已知： '')'(uvvuvu 对上式两边积分得：dxuvvdxuuv''

移项得： vdxuuvdxuv''

重积分计算中的分部积分法

分部积分法是一种重要的数学方法，它可以用来计算复杂的函数的积分。它的基本思想是将一个复杂的函数分解成若干个简单的函数，然后分别计算每个函数的积分，最后将这些积分相加，得到原函数的积分。

分部积分法的基本原理是，将一个复杂的函数分解成若干个简单的函数，然后分别计算每个函数的积分，最后将这些积分相加，得到原函数的积分。例如，计算函数f(x)=x^2+2x+1的积分，可以将它分解成f1(x)=x^2和f2(x)=2x+1两个函数，然后分别计算f1(x)和f2(x)的积分，最后将这两个积分相加，得到原函数的积分。

分部积分法的优点是可以将一个复杂的函数分解成若干个简单的函数，这样可以大大减少计算量，提高计算效率。另外，分部积分法还可以用来计算多元函数的积分，这样可以更好地求解复杂的函数。

分部积分法的缺点是，由于分解的函数可能不是完全正确的，因此可能会导致计算结果的误差。另外，分部积分法也可能会导致计算量的增加，因为需要计算多个函数的积分。

总之，分部积分法是一种重要的数学方法，它可以用来计算复杂的函数的积分，具有计算效率高、可以计算多元函数积分等优点，但也存在一定的缺点，因此在使用时要根据实际情况进行选择。