新人教版初二数学下册第十七章勾股定理知识点总结

庖丁巧解牛知识·巧学一、勾股定理的内容直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.也就是说：如果直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.二、勾股定理的证明证法1： 如图18-1-1所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？图18-1-1解：此图可以这样理解，有三个Rt △，其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2.还有一个直角梯形，其面积为21(a+b)(a+b). 由图形可知：21(a+b)(a+b)=21ab+21ab+21c 2.整理得(a+b)2=2ab+c 2，a 2+b 2+2ab=2ab+c 2，∴ a 2+b 2=c 2.由此得到勾股定理.这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法.学法一得 面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的.勾股定理的证明方法，达400余种.下面这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手.证法2：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c. 求证：a 2+b 2=c 2.思路分析：如图18-1-2左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等. 左边S=4×21ab+c 2， 右边S=（a+b ）2.左边和右边面积相等，即 4×21ab+c 2=（a+b ）2. 化简可证.图18-1-2学法一得 在勾股定理的探索过程中，计算正方形的面积是本节的一个难点.我们可以通过以下方法计算正方形的面积：（1）数格子.在正方形网格中，每个小方格的边长面积均为1（下同）.对于特殊位置的正方形，我们可以通过数格子的方法求出正方形的面积. （2）扩充法如图18-1-3，正方形ABCD 的四个顶点都是格点（即正方形网格中横、纵线的交点），过顶点A 、B 、C 、D 的四条横、纵线相交，得到一个新的正方形EFGH ，它的面积以及四个直角三角形△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 的面积可求，据此可以得出原正方形ABCD 的面积.图18-1-3S 正方形ABCD =S 正方形EFGH -S △ABE -S △BCF -S △CDG -S △DAH =52-21×2×3-21×2×3-21×2×3-21×2×3=25-12=13 这种方法的基本思路是把原正方形扩充为一个新的正方形，所以称为扩充法. （3）分解法如图18-1-3，正方形ABCD 可以分解为4个直角三角形△ABO 、△BCP 、△CDQ 、△DAR 和一个小正方形OPQR ，它们的面积都容易求出，那么正方形ABCD 的面积也易求. S 正方形ABCD =S 正方形OPQR +S △ABO +S △BCP +S △CDQ +S △DAR =12+21×2×3+21×2×3+21×2×3+21×2×3 =1+12=13.三、勾股定理的应用勾股定理的应用是本节的重点，也是本节的难点.（1）在直角三角形中，已知两边，根据勾股定理，可以直接求出第三边的长.如，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，∠A=30°，求AC.先画图18-1-4，乍一看，已知一边，无法用勾股定理，但由于∠A=30°，根据以前学过的定理，得BC=21AB=21×10=5，这样一来，就可以用勾股定理了.图18-1-4∵AB 2=AC 2+BC 2，∴AC 2=AB 2-AC 2=102-52=75. ∴AC=3575=.学法一得 利用勾股定理求直角三角形的边时，一定要分清所求的是直角边还是斜边，同时还要灵活应用直角三角形的其他知识.如30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线长等于斜边长的一半等知识. （2）求三角形的面积例如，求边长为a 的等边三角形的面积.图18-1-5如图18-1-5，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D. 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21a. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AD 2=AB 2-BD 2=a 2-(21a)2=43a 2, ∴AD=23a. ∴S △ABC =21a·24323a a =. 学法一得 求一般三角形的面积，必然要求三角形的高，通过作底边上的高，这样就出现了直角三角形，与勾股定理产生了联系. （3）证明几何图形之间的数量关系 如图18-1-6，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？ 分别用S 1、S 2、S 3表示三个半圆的面积.图18-1-6S 1=21π·(2AB )2=82AB π,S 2=21π·8)2(22BC BC π=,S 3=21π·8)2(22AC AC π=.∵∠C=90°，由勾股定理，得AB 2=BC 2+AC 2. ∴S 1=S 2+S 3.学法一得 探求几何图形之间的数量关系时，要分清斜边和直角边. （4）在数轴上作出表示无理数的点，下面仅举一个例子来说明作法，比如，在数轴上作出表示20的点. 作法1：设20是Rt △ABC 的斜边，两条直角边分别为a 、b ， 根据勾股定理得，a 2+b 2=(20)2,即a 2+b 2=20. 为方便作图，我们尽量取a 、b 为正整数. 若a=1，则b=19，不取； 若a=2，则b=4，可取； ……图18-1-7因此，以2、4为直角边的直角三角形，它的斜边长为20，然后可以在数轴上画出表示20的点.作法如下：在数轴上找到点A ，使OA=2，作直线垂直于OA ，以A 为圆心，以4为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以OB 长为半径作弧交数轴于点C ，则C 即为表示20的点（图18-1-7）作法2：设20是Rt △ABC 的直角边（a=20），根据勾股定理，得（20）2+b 2=c 2，即c 2- b 2=20,若c=5，则b=5，不取；若c=6，则b=4，可取；…… 因此，以6为斜边，4为直角边的直角三角形，它的另一条直角边为20. 作法如下：图18-1-8在数轴上找到点A ，使OA=4，作直线l 垂直于OA ，以原点O 为圆心，以6为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以AB 长为半径作弧交数轴于点C ，即为表示20的点（图18-1-8）. 联想发散 在数轴上作出表示无理数的点，可以有多种作法，可设为直角边，也可设为斜边，选取的数字要尽量简单. 典题·热题知识点 勾股定理的应用例1在Rt △ABC 中，∠C=90°. （1）已知a=b=5,求c. （2）已知a=1,c=2,求b. （3）已知c=17,b=8,求a.（4）已知a ∶b=1∶2,c=5,求a. （5）已知b=15，∠A=30°，求a ，c.思路分析：刚开始使用定理时，一定画好图形，并标好图形，理清边之间的关系.（1）已知两直角边，求斜边直接用勾股定理.（2）（3）已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变式.（4）（5）已知一边和两边比，求未知边.通过前三题明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边；通过后两题明确已知一边和两边之间的关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的转化思想.解：∵a 2+b 2=c 2,∴c=25552222=+=+b a ,同理可解得（2）（3）（4）（5）. 例2已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边.思路分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算，体会分类讨论的思想. 解：（1）当12是斜边时，设另一直角边是x ，由勾股定理可得x 2+52=122. 解得x=119；(2)当12是直角边时，设斜边是x ，由勾股定理可得,x 2=52+122.解得x=13. ∴第三边的长为119或13.误区警示 已知直角三角形的两边长，求第三边时一定要分清是直角边还是斜边.例3已知：如图18-1-8，等边△ABC 的边长是6 cm. （1）求等边△ABC 的高. (2)求S △ABC .思路分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法.欲求高AD ，可将其置身于Rt △ABD 或Rt △ACD 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BD=CD=21BC=3 cm ，则此题可解.图18-1-9解：如图18-1-9，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D ， 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21×6=3. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=62-(3)2=27， ∴AD=33，∴S △ABC =21×6×33=39. 例4一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160千米，然后向正北方向航行了120千米，这时它离出发点有多远？思路分析：先画出正确的方位图，再根据勾股定理进行计算.表示正东方向的直线和表示正北方向的直线互相垂直，得到直角三角形，这是应用勾股定理的前提条件.答案：如图18-1-10，在Rt △OAB 中，根据勾股定理，得OB 2=OA 2+AB 2=1602+1202=40 000.图18-1-10∴OB=200（千米）.答：它离出发点200千米.方法归纳 弄清方向、画出准确的图形是解答此题的关键.例5飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？思路分析：根据题意可以画出图18-1-11，其中A 点表示男孩头顶的位置，C 、B 两点表示两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，由勾股定理可以解决这个问题. 解：由勾股定理得图18-1-11BC 2=AB 2-AC 2=5 0002-4 0002=9 000 000, 所以BC=3 000.∵3 000米=3千米，20秒=1801360020 时. ∴飞机飞行的速度为18013=540（千米/时）. 答：飞机每小时飞行540千米.例6在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？思路分析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图18-1-12，设水深为x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得, (x+1)2=x 2+52，x 2+2x+1=x 2+25.图18-1-12解得x=12.则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.误区警示 在本题中，注意区分水池的深度和芦苇的长度. 例7如图18-1-13，在△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=8，BC=15，P 是△ABC 的内角平分线的交点，求点P 到AB 边的距离PD 的长.图18-1-13思路分析：因为点P 是△ABC 的内角平分线的交点，所以点P 到三边的距离都相等.过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则PD=PE=PF.根据面积关系求出PD 的长. 解：过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F. ∵过点P 是△ABC 的内角平分线的交点，∴PD=PE=PF.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC=2222158+=+BC AB =17.∵S △ABC =21AB·BC=21×8×15=60, 又S △ABC =S △PAB +S △PBC +S △PCA , 即21AB·PD+21BC·PE+21CA·PF=60, 21PD·（AB+BC+AC ）=60. ∴PD=3.方法归纳 利用面积法求高，是数学解题过程中常用的数学方法. 例8已知：如图18-1-14，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.图18-1-14思路分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会. 解：延长AD 、BC 交于E. ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=3448=. ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=3212=. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 方法归纳 不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差. 问题·探究 方案设计探究问题1 葛藤是自然界中一种聪明的植物,它自己腰杆不硬,为了享受更多的阳光雨露,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线,总是沿最短路线螺旋前进!难道植物也懂数学?通过阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗?如果树的周长为3 cm,绕一圈升高4 cm,则它爬行的路线是什么?探究过程：我们假设可以沿一条直线把树剖开，如图18-1-15所示，它爬行的路线是AB.图18-1-15探究结论：葛藤爬行的路线是AB,AB=2243 =5.思维发散探究问题2 对于直角三角形我们知道斜边的平方等于两直角边的平方和,那么对于锐角三角形的三边呢?图18.116探究过程：为了验证锐角三角形最大边的平方与其他两边平方和的关系,我们可以借鉴勾股定理的证明方法,先考虑放在网格中的特殊的三角形,建立如图18-1-16所示，并且知道c 是最大边,由图及勾股定理可以知道，a 2=22+22=8，b 2=12+22=5，而c 2=32=9，∴c 2＜a 2+b 2,这也就是说锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和.对于正方形网格中的格点三角形，可以由勾股定理直接探究得到结论.那么，对于一般的锐角△ABC ，你又如何进行呢?为了借助直角三角形,可以考虑把原三角形分成两个直角三角形,如图18-1-17.图18-1-17作△ABC 的高AD ，∵△ABC 是锐角三角形， ∴点D 一定在BC 上.由勾股定理，得AB 2=AD 2+BD 2＜AD 2+BD 2+DC 2＜AC 2+BD 2＜AC 2+BC 2， 即c 2＜a 2+b 2.对于钝角三角形，也有类似的结论.已知钝角三角形的三边分别为a 、b 、c ，最大边是c, 那么a 2+b 2＜c 2.探究结论：锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和；钝角三角形中,最大边的平方大于其他两条边的平方和. 方案设计探究问题3 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图18-1-18（1）所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，①求中间小正方形的面积. ②现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图18-1-18（2），请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形（要求：先在图18-1-18（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）.图18-1-18探究过程：①首先，设出直角三角形的两条边分别为a 、b （a>b ），中间小正方形的边长就是a-b ，则中间小正方形的面积是(a-b)2.依题意有：⎩⎨⎧=+=+)2(13)1(522b a b a ；①2-②，得ab=6，（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=1，∴a-b=1，故小正方形的面积为1. ②观察图18-1-18（1），它由四个直角三角形和一个小正方形组成，当a=2 cm,b=3 cm 时符合题意，此时直角三角形较短边长正好等于纸片的宽，两个直角三角形较长边长之和小于纸片的长，剩下部分面积正好等于1，按图18-1-19裁剪即可. 探究结论：（1）小正方形的面积为1.(2)按要求拼出的正方形如图18-1-19所示.图18-1-19。

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2。

2. 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+ b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

a. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法b. 若a2 b2 c2，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a , b ,c为三边的三角形是锐角三角形；c. 定理中a, b , c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ,2 2 2b, c满足a c b ,那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：2 2 2 2n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n 2n,2 n 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m n ,2mn,m n （m n, m , n为正整数）3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4. 直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：/ C=90°/ A+Z B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2 、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

人教版八年级数学下册勾股定理知识点
勾股定理的总结
勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²。

公式还可以变形为a²=c²-b²，b²=c²-a²。

勾股定理
的逆定理是如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满
足a²+b²=c²，那么三角形ABC是直角三角形。

在应用时，需
要注意已知的条件、满足的条件、得到的结论和不满足条件的情况。

勾股数是满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。

需要注意勾股数必须是正整数，不能是分数或小数，并且一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有（3，4，5）、(5，12，13)、(6，8，10)、(7，24，25)、(8，15，17)和(9，12，15)。

最短距离问题可以通过数形结合，将立体图形转化成平面图形构造直角三角形，并运用勾股定理来解决。

此时的运用依据是两点之间线段最短。

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勾股定理1。

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2。

勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2=c 2.，那么这个三角形是直角三角形。

a 。

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法b .若222a bc +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形;c 。

定理中a ,b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ，c 满足222a c b +=,那么以a ,b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ,c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ，n 为正整数）3。

第十七章勾股定理思维导图【勾股定理】如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

我国古代称直角三角形的较短的边为勾，较长的边为股，斜边为弦。

点拨(1)勾股定理只适用于直角三角形,解题时，只有在直角三角形中,才能利用它求第三边 (2)运用勾股定理时,应分清直角边和斜边。

a2+b2=c2中,a,b是直角边,c是斜边.若∠B=90°,则a、c是直角边,b为斜边,可得b2=a2+c2.另外a2+b2=c2还可变形为a2=c2-b2,b2=c2-a2。

典例(中考)若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足√a2-6a+9+|b-4|=0,则该直角三角形的斜边长为。

解析：∵a2-6a+9+|b-4|=0，∴a2-6a+9=0，b-4=0,解得a=3，b=4.∵直角三角形的两直角边长为a，b,∴该直角三角形的斜边长为a2+b2=32+42=5答案：5【勾股定理的证明】一般是通过剪拼，借助面积进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。

图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。

则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab·4+c2,所以(a+b)2=12ab·4+c2，整理得a2+b2=c2在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2.【勾股定理的应用】(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。

(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。

第十七章知识点总结第十七章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得bacbac cabcab cbaHG F EDCBAa bccbaE D CBA诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD ∴MD=222(3)3AD AD -=33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。

八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

勾股定理全章知识点归纳及典型题分类一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n为正整数） 二、典型题归类 类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

新人教版八年级下册勾股定理知识点勾股定理是初中数学中的重要知识点之一。

它指出了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

具体来说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²。

其中，勾指的是直角三角形较短的直角边，股指的是直角三角形较长的直角边，弦指的是斜边。

勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长a，b，c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

这意味着，我们可以通过勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

满足a²＋b²＝c²的三个正整数叫做勾股数。

需要注意的是，如果a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。

常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13等。

判断直角三角形还有其他方法。

例如，如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

经典直角三角形就是勾三、股四、弦五。

另外，有一个角为90°的三角形是直角三角形，有两个角互余的三角形也是直角三角形。

在直角三角形中，还有一些特殊的性质。

例如，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

勾股定理的作用非常广泛。

它可以用于已知直角三角形的两边求第三边，也可以用于已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

此外，勾股定理还可以用于证明线段平方关系的问题，以及作出长为n的线段。

第十七章 勾股定理单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一 勾股定理勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=变式：1）a ²=c ²- b ²2）b ²=c ²- a ²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC BA方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c += a b ccb a E DCB A知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数：1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°4．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 5．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．96．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等7．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 8．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 10．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 11．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 12．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 13．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 14．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b 15．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题16．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．19．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，=．已知旗杆此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM DMBD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是________秒．20．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．P m m-，当m=____时，点P在二、四象限的角平分线上．21．已知点(2,1)△的面积是22．如图，ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， AB＝5，CD＝2，则ABD______23．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．24．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）25．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．26．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．三、解答题27．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．28．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．29．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．30．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．。

勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题） 命题所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。

勾股定理知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。