具有尖峰解的三分支Camassa-Holm系统的一种弱解的局部弱适定性
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具有尖峰解的三分支Camassa-Holm系统的一种弱解的局部弱适定性
张媛媛;胡巧怡
【摘 要】研究一个带尖峰解的三分支Camassa-Holm系统一种弱解的局部弱适定性.利用流的技巧,在拉格朗日坐标系下,推得积分系统,通过证明它与原系统某一更弱的卷积形式等价来得到结论.
【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2019(058)001
【总页数】5页(P156-160)
【关键词】三分支Camassa-Holm系统;弱解;弱适定性;流
【作 者】张媛媛;胡巧怡
【作者单位】华南农业大学数学与信息学院, 广东广州510642;华南农业大学数学与信息学院, 广东广州510642
【正文语种】中 文
【中图分类】O175
本文研究以下Camassa-Holm (CH)系统的Cauchy问题：
(1) 其中，m=u-uxx,n=v-vxx,l=w-wxx。定义：
hi
(2)
h(h1,h2,h3), k(k1,k2,k3),
y(u,v,w),αu+v+w
(3)
由格林函数的性质*f，可得一卷积形式的Cauthy问题
(4)
问题(1)是由Qu和Fu推导的[1]。当初值时，Hu等[2]给出了解的适定性和爆破准则。当v≡w≡0时，它成为了描述浅水波单向传播现象的CH方程[3]
mt+2mux+umx=0(m=u-uxx,x∈R,t∈R+)
同时，CH方程还模拟了轴对称波的传播[4-5]。其初值在时的局部适定性也已被证得[6-10]；Constantin 等得到了它在中的整体强解[6-7,11]；Constantin 等[12-14]研究了其整体弱解；Linares[15]利用流的技巧建立了初值在H1(R)∩W1,∞(R)时，解的弱适定性。近几年，各种推广的CH方程的相关问题已被广泛研究[16-18]。
当w≡0时，问题(1)成为了一个双分支CH方程[19]
其中, m=u-uxx,n=v-vxx。其Cauchy问题的解在中的局部适定性及爆破准则已被解决[19-20]。本文将用文[15]中给出的方法，把问题(1)的弱适定性推广到初值属于(H1(R)∩W1,∞(R))3时的情况。为了方便起见，本文在表示实数上定义的函数空间时省去R。 1 积分系统的形式推导
取α=u+v+w的流φ:R→R，即
(5)
假设方程(5)有唯一解，对其两边关于s求导，可解得φs(s,t)>0,(s,t)∈R×R+。令
I(Id,Id,Id), γφ·I,
ψφ-1, A(s,t)α(φ(s,t),t)
(6)
现构造拉格朗日坐标系下的新向量场(Γ,M,N)：
(7)
(8)
根据式(4)-(8)，以及G′′*f=G*f-f (f∈L2)，可得
(A·I)(s,t)F1(Y)(s,t)
(9)
[-G*(H(Y)∘ψ)-G′*(K(Y)∘ψ)]·
(φ(s,t),t)
(-Q11-Q12)(Y)(s,t)F2(Y)(s,t) (10)
[-G′*(H(Y)∘ψ)-G*(K(Y)∘ψ)+
K(Y)∘ψ-yxαx](φ(s,t),t)
F3(Y)(s,t)
(11)
令F(F1,F2,F3)，则有积分系统
Y(s,t)=Y0(s)+F(Y(s,t′),t′)dt′
(12)
另外，再次利用G′′*f=G*f-f (f∈L2)，易得以下结论
∂sQ11(Y)=φS·Q21(Y),∂sQ12(Y)=
φS·[Q22(Y)-K(Y)],
∂sQ21(Y)=φS·[Q11(Y)-H(Y)],
∂sQ22(Y)=φS·Q12(Y)
(13)
此结论将在后文中被多次运用。
2 预备引理
定义1 对任意B>0和0
Ωb
Ωb,B
Ωi,B
定义2 取定义φφ+Id,ψφ-1。
由上述定义易知，对∀φi-Id∈H1∩W1,∞(i=1,2), φi∉L2∪L∞(i=1,2), 但φ1-φ2∈H1∪W1,∞。另外，由于ψx(x,t)=φs(ψ(x,t),t)-1，故
又因为所以φ和ψ是严格递增的微分同胚。
引理1 对上述φi，设则必有常数Cb,B>0，使得
证明 以下省去t。因为φi∘ψi=Id(i=1,2)，故
(ψ1-ψ2)(x)=
ψ2∘φ2(ψ1(x))-ψ2∘φ1(ψ1(x))≤
b-1φ2(ψ1(x))-φ1(ψ1(x))
证毕。
引理2 若φ∈C1(R+;L∞)，则ψt=-ψxφt∈L∞。
证明 任取t0∈R+，对∀(x,t)∈R×R+，利用φ∘ψ=Id，可得
-ψx(φ(s,t0),t)φt(s,t0)
证毕。 3 积分系统解的存在唯一性
命题1 设b,B>0为常数，若则必有Tb,B>0，使得积分系统(12)在中有唯一解。
证明 由Banach不动点定理，只需证是局部利普希兹连续的即可。设
Yi(·,t)则
和
其中fi,x表示fi关于变量x求导。上式最后一项显然能被控制。借助式(13)、(9)-(10)中Qij的定义及Young不等式，便有
(i,j=1,2)
由式(8)中H，K的定义、引理1，易得
综上所述，又因为故是局部利普希兹连续的。证毕。
4 系统等价
命题2 设若是系统(12)的解，则系统(4)必在X=C1((0,T];(L2)3)∩C((0,T];(H1∩L∞)3)∩C((0,T];(W1,∞)3)中有解；反之，若y0=(H1∩W1,∞)3，且y∈X是系统(4)的解，则当Y0取时,系统(12)在中有解。
证明 令yM∘ψ，下证y是系统(4)的解。由引理2知，ψt存在，故yt=Mt+Msψt。根据系统(12)中的第二个分量为了证得本命题的前半部分，只需证
yx(x,t)=N(ψ(x,t),t)
(14)
因为y(x,t)=M(ψ(x,t),t)，故yx(x,t)=Ms(ψ(x,t),t)·ψx(x,t)。若式(14)不成立，那么由ψx(x,t)=φx(ψ(x,t),t)-1可得，JMs-φs·N≠0。显然，Jt=Mst-φst·N-φs·Nt，由式(12) - (13)可得
Mst=(-Q11-Q12+K)(Y)·φs，φst=As，
于是Jt≡0，又因为J0=0，故J≡0。矛盾，式(14)得证。
下面证明以上构造的解y∈X。由(y,yx)=(M∘ψ,N∘ψ)易得y(·,t)∈(H1∩W1,∞)3。
又因为
(t1,t2∈(0,T])
对右边第一项做如下放缩，
对右边第二项，利用在L2中的稠密性，∃使得
由引理1和有
y∈C((0,T];(H1∩W1,∞)3)
根据系统(4)，显然有yt(·,t)∈(L2)3。利用系统(4)及Young不等式，有
借助h和k的定义，易得它们关于时间的连续性，又因为y∈C((0,T];(H1∩L∞)3)，所以
y∈C1((0,T];(L2)3)
现在开始本命题第二部分的证明。由于y∈L∞((0,T];(W1,∞)3)，故α(·,t)=(u+v+w)(·,t)是R上的利普希兹连续函数，从而
φ(s,t)=s+α(φ(s,t′),t′)dt′
(15)
在C1((0,T];W1,∞)上有唯一解，且解为一微分同胚。类似式(6)-(8)构造A、Γ、M、N、Y、H和K，下面证Y满足方程(12)。类似式(9) -(10)的推导，易得
和
因为(M,N)=(y∘φ,yx∘φ)，故从而由式(15)知，
则
由式(13)可得
Mst=∂sF2(Y)=∂s(-Q11-Q12)(Y)=
φs(-Q21-Q22+K)(Y)=φsF3(Y)+As·N
于是
故类似y∈X的证明可得，
Y
证毕。
由命题1知，系统(12)有局部唯一解，故由命题2中系统(4)的Cauchy问题与系统(12)的等价性可推得，系统(4)有局部唯一解。
以下命题说明了系统(12)的解弱连续依赖于初值，由于证明的思想与命题1中证明F在上局部利普希兹连续的类似，故不再赘述。
命题3 任给y0i∈(H1∩W1,∞)3(i=1,2), 存在Ti(i=1,2)，使得 yi∈C1((0,Ti];(L2)3)∩C((0,Ti];
(H1∩L∞)3)∩L∞((0,Ti];(W1,∞)3)(i=1,2)
满足方程(4)，且
其中T=min{T1,T2}。
参考文献：
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