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量子物理基础参考答案一、选择题参考答案：1. (D)；2. (C)；3. (D)；4. (C)；5. (C)；6. (A)；7. (A)；8. (D)；9. (C)；10. (C)；11.( D)；12.( E)；13. (C)；14. (C)；15. (A)；16. (D)；17.( C)；18. (B)；19. (A)；20. (C)；21. (D)；22.( A)；23. (A)；24. (D)；25. (B)；26. (C)；27. (C)；28. (D)；29.( A)；30.(D)；二、填空题参考答案：1、J 261063.6-⨯，1341021.2--⋅⋅⨯s m kg2、>，>3、14105⨯，24、θφcos cos P c v hc hv +'=5、2sin 2sin 2212ϕϕ6、π，︒07、定态，（角动量）量子化，跃迁8、（1）4 , 1 （2）4 ,39、10 ,310、6.13 , 4.311、912、1:1, 1:413、122U em he14、m 101045.1-⨯, m 291063.6-⨯15、231033.1-⨯， 不能16、241063.6-⨯17、≥18、（1）粒子在t 时刻在()z y x ,,处出现的概率密度；（2）单值、有限、连续；（3）12*=ψ=ψψ⎰⎰⎰⎰dxdydz dV V19、不变20、a x n a π2sin 2， dx a x n a a π230sin 2⎰三、计算题参考答案：1、解： 由光电效应方程可得V 45.1=-=eW h U a ν m/s 1014.725max ⨯==meU a v 2、解： 氢原子从基态1=f n 激发到3=i n 的能级需要的能量为 eV 1.12Δ13=-=E E E对应于从3=i n 的激发态跃迁到基态1=f n 的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz 1092.2eV 1.12 :1315⨯===→=νE n n f iHz 1046.2eV 2.10 Hz1056.4eV 89.1 :12315221411⨯==⨯===→=→=ννE E n n n f i3、解： 经电场加速后，电子的动量为meU p 2=根据德布罗意关系，有m 1023.111-⨯==Ph λ 4、解： 一维无限深阱中概率密度函数（定态）为)2cos 1(1sin 2)(*)()(2ax n a a x n a x x x ππψψρ-=== 当12cos -=a x n π时，即 ,212,,.23,2212a nk n a n a a n k x +=+=时，发现粒子的概率最大．当∞→n 时，趋近于经典结果．。
习题十六16-1将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量人…便可求得T ・这是测量星球表而温度的方法之一.设测得：太阳的九=0・55“m ，北极星的九=°・35如，天狼星的=0.29“m ，试求这些星球的表血温度.解：将这些星球看成绝对黑休，则按维恩位移定律：= 2.897xW 3 m-K16-2用辐射高温计测得炉壁小孔的辎射出射度(总辐射本领)为22.8W ・cm3求炉内温度. 解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度M Z?(T) = 22.8 W-cm -2 =22.8x10“ W -m -2按斯特藩-玻尔兹曼定律：M B (T) = CT T 4(診 X ZZ K16-3从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量，今有波长为200() A 的光投射到铝表而•试 问：⑴由此发射出來的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电势差为多大?(3)铝的截止(红限) 波长有多大？ 解：(1)已知逸出功A = 4.2 eV、1 r据光电效应公式hv = — mv ； + A2则光电子授大动能：^kmax =^mV rn =llU~ A=^~~ A对太阳:对北极星:对天狼星:b2.897 x IO -3 心■「0.55 xl0~6b 2.897 x IO -3"0.35x10-6b 2.897x10」 加3_0.29x10"&3xlO 3 K= 1.0xl04 K(22.8x10丫1.67x10®= 5.3xlO 3K T 厂6.63X 10~34X 3X 1082000 xlO 10 = 3.23x10" j = 2.0 eV⑶红限频率Uo ，hu Q = A,又=—A)/?C _6.63X 10~34X 3X 108万一 4.2x1.60x10 ⑷=2.96 x 10 7 m = 0.296 /zm16-4在一定条件下，人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(/L = 5.0xl0*7m)产牛光的感觉.此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个这样的光子，则到 达眼睛的功率为多大？ 解：5个兰绿光子的能量E = nhv = n —A5x6.63x10心 x3xl0" _ 5.0X10-7 = 1.99xl0_,8 JF功率= — = 1.99x10-8 W t16-5设太阳照射到地球上光的强度为8 J ・s"・ m3如果平均波长为5000 A,则每秒钟落 到地面上In?的光子数量是多少?若人眼瞳孔直径为3mm,每秒钟进入人眼的光子数是多少? 解：一个光子能量 E = hu= —21秒钟落到1地面上的光子数为8 8/1 8x5x10"AZ =——= = --------------------------E he 6.63X 10_34X 3X 108 = 2.01x10" s _, -m -2每秒进入人眼的光子数为12一 4.2x1.6x10"⑵•••・・・遏止电势差3.23x10 19I"”= 2.0V・••截止波长N = n =2.01X10,9X3.14X32X10_6/44= 1.42x10】° s'116-6若一个光子的能量等于一个电子的静能，试求该光子的频率、波长、动量.解：电子的静止质量加。
第16章 量子力学基础19世纪末期，经典物理理论正处在一个既有辉煌过去，又面临新的挑战时代，经典物理在理解热辐射、光电效应、康普顿效应等问题上无能为力，从而促使人们逐步认识量子化的概念，以及微观粒子特有的本质，并在量子论的基础上发展成量子力学。
16.1 基本要求1 了解热辐射现象，理解普朗克的量子假设。
2 了解光电效应的实验规律，掌握爱因斯坦光电方程，理解康普顿效应。
3 了解玻尔的氢原子理论的基础，掌握玻尔理论的基本内容。
4 理解实物粒子的波粒二象性和测不准关系。
5 了解波函数及其统计解释。
16.2 内容提要1 黑体辐射辐射体发出的电磁辐射，能量按频率分布只由温度决定时，其电磁辐射称为黑体辐射。
2 谐振子量子化能量 ,3,2,1,==n nh E ν3 普朗克公式 12/32-=kT h e c h M νννπ 4 黑体辐射在单位时间内从单位面积上发出的总能量⎰∞==04T d M M σνν，式中2241067.5---⨯=K Wm σ称为斯特藩-玻尔兹曼常数5 光电效应光照射到金属（或其他材料）表面上发射电子的现象，称为光电效应。
光电效应方程A h mv -=νmax 221，式中A 为逸出功（功函数），红限频率hA =0ν 6 康普顿散射可以用光子和静止的自由电子间的“粒子性”万全弹性碰撞解释。
被散射的光的波长和入射光波长相比的增加量和散射角ϕ有关，即)cos 1(00ϕλλλ-=-=∆c m h ，式中nm cm h c 30104264.2-⨯==λ， 称为电子的康普顿波长。
7 粒子的波动性动量为mv P =的粒子的“德布罗意波长”为mvh P h ==λ 8 概率波和概率幅德布罗意波是概率波，它描述粒子在各处被发现的概率。
用波函数ψ描述微观粒子的状态，ψ叫做概率幅。
|ψ|²为概率密度。
9 不确定关系位移动量不确定关系 2/ ≥∆∆x p x能量时间不确定关系 2/ ≥H ∆t E10 定态薛定谔（一维）方程ψψψE U x m =+∂∂-2222 ，式中E 是粒子的能量，波函数ψ满足叠加原理 11 一维无限深方势阱中粒子能量量子化 .3.2.1,22222==n n ma E π 德布罗意波长量子化 na n 2=λ，类似于两端固定弦中驻波波长 12、谐振子 能量量子化 ,3,2,1,)21(=+=n h n E ν，最低能量νh E 210=，称为零点能。
1616 量子物理基础班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~6个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1．在下列关于光电效应的表述中，正确的是：A ．任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应；B ．若入射光的频率均大于一给定的金属的红限，则该金属分别受到不同频率的光照射时，释出的光电子的最大初动能也不同；C ．若入射光的频率均大于一给定的金属的红限，则该金属分别受到不同频率、强度相等的光照射时，单位时间释出的光电子数一定相等；D ．若入射光的频率均大于一给定的金属的红限，则当入射频率不变而强度增大一倍时，该金属的饱和光电流也增大一倍。
（B 、D ） [知识点] 光电效应概念。
[分析与解答] 只有大于金属的红限频率（即低于红限波长）的入射光照射到该金属表面才能产生光电效应。
由光电效应方程221v m A h +=ν知，不同频率的光具有不同的光子能量νh ，照射具有一定逸出功A 的同一金属，释出的光电子的最大初动能也一定不同。
强度相等而频率不同的光束具有不同的光子数目，光电效应发生时，一个电子吸收一个光子的全部能量而成为一个光电子，因此，单位时间释出的光电子数一定也不相等。
频率相同而强度增大一倍的光束，其具有的光子数目也增多一倍，光电效应发生时，释出的光电子数也会增多一倍，则饱和光电流也增大一倍。
2. 设用频率为1ν和2ν的两种单色光，先后照射同一种金属均能产生光电效应。
已知金属的红限频率为0ν，测得两次照射时的遏止电压01022U U =，则这两种单色光的频率的关系为：A ．012ννν-=；B ．012ννν+=；C ．0122ννν-=；D ． 0122ννν-=。
（C ）[知识点] 爱因斯坦光电效应方程。
[分析与解答] 逸出功0νh A =， 遏止电压20021v m U e = 由题意和爱因斯坦光电效应方程221v m A h +=ν，可得 0101U e h h +=νν 0202U e h h +=νν且 01022U U =联立以上三式可得 0122ννν-=3. 光子能量为0.5MeV 的x 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射，若反冲电子的能量为0.1MeV ，则散射光波长的改变量λ∆与入射光波长0λ的比值为：A ．0.20；B ．0.25；C ．0.30；D ．0.35。
（B ）[知识点] 康普顿效应。
[分析与解答] 入射光子能量00λhcE =，由能量守恒定律，散射光子能量为k E hchc -=λλ则散射光波长为 0045501011λλλλλ=-=-=-=..E E E hchc kk所以250450.=-=∆λλλλλ4. 光电效应和康普顿效应都包含电子与光子的相互作用，仅就光子和电子的相互作用而言，下列说法正确的是：A ．两种效应都属于光子和电子的弹性碰撞过程；B ．光电效应是由于金属电子吸收光子而形成光电子，康普顿效应是由于光子和自由电子弹性碰撞而形成散射光子和反冲电子；C ．康普顿效应同时遵从动量守恒和能量守恒定律，光电效应只遵从能量守恒定律；D ．两种效应都遵从动量守恒和能量守恒定律。
（B 、C ） [知识点] 光电效应和康普顿效应概念。
[分析与解答] 光电效应是光子与电子发生非弹性碰撞，电子吸收了光子的全部能量，克服逸出功，逸出金属表面，成为具有一定初动能的光电子，遵守能量守恒定律。
康普顿效应是能量较大的光子（x 光光子）与散射物质中的电子（视作自由电子）作弹性碰撞，遵守动量守恒定律与能量守恒定律；碰撞后，光子向某个方向散射，电子发生反冲，入射光子的能量必然要传给反冲电子一部分，使散射光子的能量减少，导致散射光的频率减少，波长变长。
5. 氢原子光谱的巴耳末系中，波长最小的谱线用1λ表示，波长最大的谱线用2λ表示，则这两个波长的比值21λλ/为：A ．95； B ．94； C ．97； D ．92。
（A ） [知识点] 波尔氢原子理论。
[分析与解答] 巴耳末系是氢原子中的电子从其它能级跃迁到2=n 的能级上形成的。
根据波尔氢原子理论，有eV 613221nn E E n .-==由跃迁理论分析知，从∞=n 能级跃迁到2=n 的能级时对应的频率最大、波长最短，即 212122E E E E ch-∞=-=∞m i nλ （1） 从3=n 能级跃迁到2=n 的能级时对应的频率最小、波长最长，即21212323E E E E ch-=-=maxλ （2） 将式(2)÷式(1)，则有95404911121=--==E E E maxminλλλλ6. 如图16-1所示，在电子波的单缝衍射实验中，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝，在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，则屏上电子衍射图样的中央明纹宽度d 为：图16-1A ．p ha2； B ．Rpha 2； C ．R a 22； D ．apRh 2。
（D ）[知识点] 电子的单缝衍射。
[分析与解答] 动量为p 的电子具有波动性，其波长为ph=λ 根据单缝衍射第一级暗纹公式，有λθ=0sin a 式中 Rd 2tan sin 00/==θθ 则中央明纹宽度 apRhaR R d 22sin 20===λθ7. 关于不确定关系h p x x ≥∆∆，正确的理解是：A ．粒子的动量不可能确定；B ．粒子的坐标不可能确定；C ．粒子的动量和坐标不可能同时确定；D ．不确定关系不仅适用于光子和电子，也适用于其它粒子。
（C 、D ）[知识点] 不确定关系的概念。
[分析与解答] 不确定关系是指微观粒子的动量与位置坐标不能同时精确确定，而其中任一个量（如动量）是可以精确确定的，但必须以牺牲另一个量（如位置坐标）的精确度为代价。
8. 微观粒子满足不确定关系是由于：A ．测量仪器精度不够；B ．粒子具有波粒二象性；C ．粒子线度太小；D ．粒子质量太小。
（B ）[知识点] 不确定关系的概念。
[分析与解答] 微观粒子满足不确定关系是微观粒子具有波粒二象性的固有属性，是一个客观规律，并不是测量仪器不精确或主观能力上的问题。
9. 设粒子运动的波函数图线分别如图16-2 (A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是： （A ） [知识点] 波函数的意义，不确定关系。
[分析与解答] 由不确定关系h p x x ≥∆∆，可知x ∆大，x p ∆则小，反之亦然。
而由题意和波(A)(B)(C)(D)x x x x图16-2函数图线意义可知，(A) 中粒子在x 方向的运动范围最大，即(A) 中的x ∆最大，所以x p ∆最小，确定粒子动量的精确度最高。
10. 氢原子基态（n = 1）的能量为-13.6eV ，现以21.1eV 的电子轰击使其激发到某激发态，则激发态对应的主量子数为：A ．2； B. 3； C. 4； D. 5。
（B ）[知识点] 主量子数的概念，跃迁理论。
[分析与解答] 根据波尔氢原子理论，能级的能量为eV 613221n n E E n .-== 由跃迁理论和题意有 eV 11261361321...=-=-nE E n 则主量子数为 3112613613=-=...n11. 氢原子被激发至第3激发态（n = 4），则当它跃迁到最低能态时，可能发出的光谱线条数和其中的可见光谱线数分别为：（A ）A ．6，2；B ．6，3；C ．3，2；D ．3，3。
（A ） [知识点] 氢原子的光谱、跃迁理论。
[分析与解答] 由图16.3可知，在题设条件下，将辐射6种不同频率的光子。
能级的能量为eV 613221nn E E n .-== 根据跃迁理论kn n k knE E E hc∆=-=λ得knkn E hc∆=λ 由上式计算可知，只有42λ和32λ在可见光区，即nm 54871061)213.6()413.6(1031063619228344242...=⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯⨯⨯=∆=--E hc λnm 16581061)213.6()313.6(1031063619228343232...=⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯⨯⨯=∆=--E hc λ12. 依据固体能带理论，下列表述中不正确的是： A ．绝缘体的禁带比半导体宽；B ．对导体而言，价带一般都未被电子填满；C ．p 型半导体存在靠近满带的受主能级，其载流子是带正电的空穴；D ．n 型半导体存在靠近导带的施主能级，其载流子是电子；E ．本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，而杂质半导体（n 型，p 型）只有一种载流子参与导电，所以本征半导体导电性能比杂质半导体要好；F ．n 型半导体的导电性能优于p 型半导体，因为n 型半导体是负电子导电，p 型半导体是正离子导电。
（B 、E 、F ） [知识点] 固体能带结构。
[分析与解答] 导体的能带结构有三种形式：有禁带，但价带未被电子填满；价带虽被电子填满，但满带与相邻的空带相连或部分重叠；价带未被电子填满，且价带又与相邻的空带重叠。
虽然本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，但与杂质半导体相比其载流子浓度要低得多，因此，本征半导体导电性能比杂质半导体要差的多。
n 型半导体和p 型半导体的导电性取决于其掺杂杂质浓度的多少，与其导电载流子的电性无关。
二、填空题1．由斯特藩-玻耳兹曼定律和维恩定律可知，对黑体加热后，测得总辐出度增大为原来的16倍，则黑体的温度为原来的 2 倍，它的最大单辐出度所对应的波长为原来的 0.5 倍。
[知识点] 斯特藩-玻耳兹曼定律，维恩位移定律。
[分析与解答] 由斯特藩-玻耳兹曼定律4T M σ=和题设016M M ='，则得02T T ='。
又由维恩位移定律b T m =λ，可得021m mλλ='。
2. 根据爱因斯坦的光子理论，波长为λ 的光子，其能量为=E λhc；动量为=pλh；质量为=mchλ 。
[知识点] 光子的基本知识。
[分析与解答] 光子的能量λνhch E ==，光子的动量λhc E p ==，光子的质量ch c E m λ==2。
3. 在康普顿效应中，散射光中波长的偏移∆λ 仅与 散射角 有关，而与 散射物质和入射光波长 无关 。
当散射角2π=θ时，散射波长与入射波长的改变量∆λ = m 1043212-⨯.。
[知识点] 康普顿效应概念和计算。
[分析与解答] 在康普顿效应中，波长的偏移2sin 220θλc m h =∆ 其中，θ 为散射叫，h 为普朗克常数，m 0为电子的静止能量，c 为真空中的光速，可见波长的偏移仅与散射角θ 有关，而与入射光波长和散射物质无关。
