2019届冀教版九年级数学下册习题课件：29.5 正多边形与圆 (共19张PPT)

由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的 图形叫做扇形 .顶点在圆心的角叫做圆心角
第11页，共19页。
我能行：以两个圆.两个三角形.两条线段为构
件，尽可能多地构思独特且具有意义的图形，并写上 一两句贴切.诙谐的解说词，如：
一把小雨伞
一个和尚
和尚打伞无法无天 奥运健儿再创辉煌
第12页，共19页。
点滴归纳，条理清晰
1.平面及平面的特征——平整性和无限延展性。
2.平面图形是由同一个平面内的点、线构成的图形。
3.多边形及多边形的特征——由一些不在同一条直
线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
4.圆上A、B两点之间的部分叫做弧，由一条弧和经
过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
5. 圆可以分割成若干个扇形。
第13页，共19页。
课堂小结
生活中存在着大量的图形，图 形直观是人们理解自然界和社会对 象的绝妙工具，我们要能“发现” 这些图形，并认识一些图形的性质。 本课我们认识的图形：（1）多边 形 （2）扇形
第14页，共19页。
谈一谈自己的感受！
1.经历从现实世界中抽象出平面图形的 过程，并能用美丽的图形打扮世界。
… n边形
顶点 3
4
5
6
8
n
边
345来自68n
内角
3
4
5
6
8
n
（1）n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
n个顶点、n条边、n个内角
第6页，共19页。
（2）过n边形的每一个顶点有几条对角线？
边数
4
5
对角
1
2
线数
… n边形
6
n

360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
特别注意：
(1)已知S扇形，l，n，R 四个量中的任意两个量，可
以求出另外两个量．
(2)在扇形面积公式S扇形＝
nπR2 360
中，n 表示1°的n
倍，360表示1°的360倍，n，360不带单位．
1 如图，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角 边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是( A )
（2）360°
2πR
（3）360
πR 180
n°
o
（4）n 倍
（5）l nπR
⌒
⌒
也可以用ABl 表示AB 的长.
180
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下
料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.
A
B
100°
R=900 mm
C
O
D
⌒
解：由弧长公式，得AB 的长
一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的
弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
（1）半径为R 的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ （3）1°圆心角所对的弧长是多少？
（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？ （5）n°圆心角所对的弧长是多少？ （1）C =2πR
易错警示：在弧长公式l＝nπR 中，n 表示1°的n 倍，180表
180
示1°的180倍，n，180不带单位．
1 在在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是( B )
A．π

·
D
90°
72°
60°
B
C
C
DБайду номын сангаас
B
C
第二十五页，共二十九页。
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上 截取六段相等的弧，依 次连结各等分点，则作 出正六边形.
先作出正六边形，则 可作正三角形，正十二边
形，正二十四边形………
第二十六页，共二十九页。
定理： 把圆分成n（n≥3）等份：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的 内接正多边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边 形。
第二十七页，共二十九页。
A
如图：
B
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等
分点，画出⊙O的内接和外切正五
边形
C
E
O D
第二十八页，共二十九页。
说说作正多边形的方法有哪些? 归纳
圆的半径内。切
7.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中角心，它的度数是
。
72°
D
E
C
.O
A
F
B
第十八页，共二十九页。
8.图中正六边形ABCDEF的中心角是 它的度数是 60°。
∠AOB，
9.你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
解答：正六边形的半径与边长数
量关系是相等
的
内切的圆半径。
.O
B
第十六页，共二十九页。
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的 。 中心

2．外接圆的圆心叫做正多边形的_中__心___，外接圆的半径叫做正 多边形的__半__径____，每一边所对的圆心角叫做正多边形的 _中__心__角___，中心到边的距离叫做正多边形的_边___心__距______．
3．(2019·河北石家庄桥西区模拟)正多边形的一边所对的中心角 与它的一个外角的关系是( A ) A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
(1)试求图①中∠MON 的度数；
【思路点拨】构造全等三角形(△OBM≌△OCN)， 将问题转化为求中心角；
解：连接 OB，OC，如图所示． ∵△ABC 是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴∠BOC＝120°. 又∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°. ∴∠OBM＝∠OCN＝30°. 又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN. ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
12．德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作 图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高 斯正十七边形作法的一部分：如图，已知 AB 是⊙O 的直径， 分别以 A，B 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧交于点 C，D 两点……若 AB 长为 2，则图中弧 CAD 的长为( ) A．13π B．23π C．43π D．83π
6．(2019·四川成都)如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，P 为D︵E 上的一点(点 P 不与点 D 重合)，则∠CPD 的度数为( B ) A．30° B．36° C．60° D．72°
7．(2019·河北唐山玉田模拟)如图，已知⊙O 的周长等于 6π cm，
则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是( )
A．9 4 3cm2 C．272 3cm2

角形的面积是( D )
A. 3
8
B. 3
4
C. 2
4
D. 2
8
（来自《典中点》）
知1－练
10 (中考·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( A ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
则这个正多边形的半径是( A )
A．2
B. 3
C．1
D. 1
2
易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.
谢谢
3 【中考·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所
对的圆心角最大的图形是( A )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
4 正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角
的关系为( B )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
（来自《典中点》）
知1－练
5 【中考·滨州】若正方形的外接圆半径为2，则其 内切圆半径为( A )
知2－讲
（来自《教材》）
作法：
知2－讲
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形. （来自《教材》）
总结
知1－讲
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦

“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于

22
利用勾股定理，可得边心 距
r 42 22 2 3.
F
E
亭子地基的面积
O
A
D
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ).
rR
22
BP
C
2.以下说法正确的是 C
A.每个内角都是120°的六边形一定是 正六边形.
B.正n边形的对称轴不一定有n条.
C.正n边形的每一个外角度数等于它的 中心角度数.
问题1、什么样的图形是正多边形?
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
问题2、你能否举出几个常见的正多边形?
问题3
正多边形除了是轴对称还可以是中心对称吗?若是, 需满足什么条件?其对称轴有几条, 对称中心是哪一点?
可以, 当正多边形的边数是偶数时是中心对称图形 对称轴有无数多条 它的中心就是对称中心。其对称中心是正多边形对应顶
你知道正多边形与圆的关系吗?
∵ AB＝BC＝CD＝DE＝EA
∴AB=BC=CD=DE=EF 又∵五边形每个内角都为圆周角, 对的弧都是等分的三段弧
并且每个圆周角所
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个 正多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 ． 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距．
点的连线交点
1． 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形, 因为四条边不都相等；
菱形不是正多边形, 因为菱形的四个角不都相等； 正方形是正多边形.因为四条边都相等, 四个角都相等．
正多边形和圆的关系十分密切, 只要把一个圆 分成相等的一些弧, 就可以作出这个圆的内接 正多边形, 这个圆就是这个正多边形的外接圆.

第二十九章 直线与圆的位置关系
小结与复习
要点梳理
一、点与圆的位置关系
①它的中心角等于 60 度 ； ② OC =BC (填＞、＜或＝）； ③△OBC是 等边 三角形； ④圆内接正六边形的面积是
F
E
A
O
D
BP C
⑤△圆内OB接C正面n积边的形面积6 公式倍:._S_正_多__边_形_=__12___周__长___边__心__距 ___.
典例精析
例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
讲授新课
一 正多边形的回顾
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正
多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边 形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
2 2F
E
利用勾股定理,可得边心距 r 42 22 2 3.
A
O
D
4m
r
亭子地基的面积
B MC
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径，得中心角；
①
B⌒C＋C⌒D＋D⌒E＝
⌒ BCE
＝3
⌒ BC
B
② A⌒B＋B⌒C＋C⌒D＝ A⌒CD ＝

正多边形有关的计算
【示范题2】如图所示，已知☉O的周长等于6πcm，求以它的半径为边长的 正六边形ABCDEF的面积．
正多边形有关的计算
【思路点拨】连接OD，OE，过点O作OH⊥DE于H，由周长公式，可求出 半径，OH为等边△DOE的高，由勾股定理求出OH，求出△DOE的面积，即 可得正六边形ABCDEF的面积．
(cm2)．
6 1 DE OH 6 1 3 3 3 27 3
2
22 2
正多边形有关的计算
【想一想】 正六边形的边长和半径有怎样的数量关系?为什么? 提示：相等，正六边形的中心角为60°，边和半径构成等边三角形．
4 90°90° 2 2 1 8 4
6 120°60° 2 2 3 12 6 3
抢答题:
1、O是正△ABC的中心, 它是△ABC的 外接
圆与圆内的切圆心。
A
2、OB叫正△ABC的,半径它是正
△ABC的 外接圆的半径。
3、OD叫作正△ABC的,边心它距 .O
是正△ABC的 径。
内圆切的半
B
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
22
利用勾股定理，可得边心 距
r 42 22 2 3.
F
E
亭子地基的面积
O
A
D
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ).
rR
22
BP
C
请同学们完成下表中有关正多边形的计算
正多边 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 形边数
3 60°120° 2 2 3 1 6 3 3 3
正多边形和圆
你知道正多边形和圆有什么关系吗?
给你一个圆, 怎样就能作出一个正多 边形?圆中依次出现几段相等的弧

外接圆的半径叫做正多边形的半径,每一边
所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心
到边的距离叫做正多边形的边心距.
最新冀教版初中数学精品资
3.拓展探究.
(1)在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形,和同桌
交流它们的中心、中心角、半径、边心距分别是什么? (2)分别求出所画正多边形的中心角和外角,完成下表:
,BD=Biblioteka 3 2r,BC=2BD=
3 r.
即这个正三角形的边长为 3 r,边心距
为r .
2
最新冀教版初中数学精品资
1.如图所示,正六边形ABCDEF内 接于☉O,则∠ADB的度数是( C )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
解析:连接OB,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOB=3600
(2)顺次连接AB,BC,CD,DA.
由作图过程可知,四个中心角都是90°, 所以AB=BC=CD=DA. 因为AC,BD都是直径, 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 即四边形ABCD为☉O的内最新接冀正教方版形初. 中数学精品资
试着做做
1.计算圆的内接正六边形的中心角度数,指出正六 边形的边长和外接圆半径之间的数量关系. 2.用尺规作圆的内接正六边形.(保留作图痕迹,不 要求写出作法)
解:等边三角形ABC的边长为a,∵点O为△ABC的内心,
a
∴OE⊥AB,AE=BE= ,∠EAO=30°,∴OA=2OE.设OE=x,则OA=2x,由
2
2 勾股定理,得(2x)2=x2+
a 2
2

DEFG的边长是= OE=
6,解a.则得正x=方 形63的 a面,∴积O是E1=