多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题

多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫
做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形
的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线．
要点诠释：
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2
n n ．(2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把
n 边形分成(n-2)个三角形．
类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出
条对角线，分别用字母表示出来为
；（2）这些对角线把六边形分割成
个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.E
A B C F
D。

第06讲 正多边形和圆1. 了解正多边形和圆的有关概念；2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．知识点1 圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =. 知识点2 与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

知识点3正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

【题型1 正多边形与圆求角度】【典例1】（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【变式1-1】（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）A．10°B．12°C．20°D．22°【变式1-2】（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（）A．45°B．60°C．35°D．55°【变式1-3】（2023•新市区校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150°B．144°C．135°D．120°【题型2正多边形与圆求线段长度】【典例2】（2023•龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（）A．2a B．C．D．【变式2-1】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12【变式2-2】（2022秋•烟台期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．3C．D．【变式2-3】（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．【题型3正多边形与圆求半径】【典例3】（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A．B．C．1D．【变式3-1】（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．【变式3-2】（2023•宜春一模）若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是．【题型4正多边形与圆求面积】【典例4】（2022秋•呈贡区期末）正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2【变式4-1】（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A．4m2B．12m2C．24m2D．24m2【变式4-2】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）A．πB．2πC．D．【变式4-3】（2023•济源一模）如图，正六边形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（）A．B．C．D．1【题型5正多边形与圆求周长】【典例5】（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5B．6C．30D．36【变式5-1】（2023春•余姚市期中）一个边长为1的正多边形的每个外角的度数是36°，则这个正多边形的周长是（）A．1B．10C．5D．【变式5-2】（2022秋•北辰区校级期末）边心距为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．【变式5-3】（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长．【题型6正多边形与直角坐标系综合】【典例6】（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B 的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【变式6-1】（2023•洛龙区一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．）B．C．D．【变式6-2】（2022秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（）A．B．C．D．（2，4）1．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°2．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°3．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE ﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°4．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9B．10C．11D．12 5．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3）D．（2﹣2，2+）6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG为（）A．3B．C．D．31．（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．B．2C．2D．4 2．（2023•梁溪区二模）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（）A．14°B．40°C．30°D．15°3．（2023春•汉寿县期末）若一个正多边形的一个内角的度数为144°，则这个正多边形的边数为（）A．7B．8C．9D．10 4．（2023•崆峒区校级三模）平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术的宝贵实物资料，图①是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，呈六角六面四级阶状尖顶塔，图②是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象为正六边形，则a的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．72°5．（2023•玉林一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1B．2C．3D．4 6．（2023•夏津县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个7．（2023•咸宁模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF ⊥BC交⊙O于点F，则的长为（）A．πB．C．D．8．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME 的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．60°9．（2022秋•荔湾区校级期末）如图．点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O 是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°10．（2022•思明区校级二模）如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：8 11．（2022•桐梓县模拟）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．12．（2023春•高邑县期末）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为；（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为．（用含a的代数式表示）13．（2023•兴庆区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为．14．（2023•新城区校级二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是，则正六边形的边长为．15．（2023•镇江一模）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形△ABC，边长为3，若分别以顶点A、B、C为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖△ABC，则所作等圆的最小半径是．16．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有．。

2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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多边形和圆的初步1.认识多边形，知道球多边形的对角线数量。

2.认识圆弧和圆心角。

3.掌握探究多边形的边、顶点、对角线之间的关系。

教学建议：从生活中所见到过的多边形、结合三角形的定义引入多边形的概念。

知识点一：多边形1．定义：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形是多边形．2．分类：根据组成多边形的条数将其分为三角形、四边形、五边形、六边形……例1如图，下面图形是多边形的有____（填序号）．分析：根据多边形的定义及特征判断，①②⑤都有一部分曲线，不符合定义；⑥不是由线段首尾相连组成；⑦不是封闭图形．解：③④拓展一些常见的多边形：变式训练1.下列图形：①正方形；②三角形；③圆锥；④线段；⑤棱柱；⑥圆；⑦球；⑧长方形；⑨圆柱；⑩梯形．其中，是平面图形的有；是多边形的有____．（只填序号）答案：⑧④①②⑧④知识点二：多边形的分割1．三角形是特殊的多边形，其边数最少，也是生活中最常见的平面图形．2．利用三角形研究多边形最常用的方法是将多边形进行分割，从而把多边形的问题转化成三角形来处理．3．若多边形的边数为n（n≥3），从这个多边形的一个顶点出发，能把这个多边形分割成（n-2）个三角形．例2在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．请你先画一画、数一数，如果从四边形、五边形、六边形的一个顶点引对角线各有多少条？如果从每个顶点都引又各有对角线多少条？n 边形（n ,≥4，n 是整数）共有多少条对角线？分析：可以实际动手画一画，再数一数，然后从特殊到一般，找出多边形对角线的规律． 解：如下图所示：从一个顶点出发，四边形的一个顶点可引4 -3 =1（条）对角线；五边形的一个顶点可引5 -3 =2（条）对角线；六边形的一个顶点可引6-3 =3（条）对角线……∴n 边形的一个顶点可引（n -3）条对角线．如果从每个顶点都引对角线，四边形有4个顶点，每个顶点引4 -3 =1条，四个顶点共可引4条．但在此过程中，从顶点引过去，然后又从另一顶点引回来，故这四条对角线是两两重复的，结果实际上：四边形有224)34(=⨯-（条）对角线； 五边形有525)35(=⨯-（条）对角线；六边形有926)36(=⨯-（条）对角线；∴n 边形有2)3(nn ⨯-条对角线．如下图所示：拓展(1)从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，此时可将n 边形分割成（n -2）个三角形．(2)从多边形一边上的一点出发，连接各顶点，此时可将n 边形分割成（n -1）个三角形．(3)从多边形内部的一点出发，连接各顶点， 此时可将n 边形分割成n 个三角形，变式训练1．(1)若在n 边形内部任意取一点P ，将P 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 ________个三角形． (2)若点P 取在多边形的一条边上（不是顶点），将P 与n 边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成____个三角形．2．（黑龙江牡丹江）用大小相同的实心点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n 个图案中，共有实心点的个数为____答案：1.n n -1 2．292nn +提示：2)2)(1(2)1(3++++-n n n 292nn +=知识点三：弧和扇形1．圆：(1)静态定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆.(2)描述性定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．定点叫做圆心，定长叫做半径2．弧：圆上两点A 、B 之间的部分叫做圆弧，简称弧．记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”． 3．扇形：由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA 、08所组成的图形叫做扇形。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)1.掌握多边形和正多边形的定义；2.掌握多边形的角平分线的规律；3.掌握圆的相关计算问题.知识点01 多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02 多边形的对角线知识点03 圆（1）圆上任意两点 A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB̂，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；（2）圆的周长公式：r C π2=；圆的面积公式：2r S π=.题型01 多边形的概念与分类【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个题型02 多边形对角线的条数问题【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（ ） A ．2023B ．2024C ．2025D ．2026【变式1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将五边形分成n 个三角形，则n m 的值为( ) A ．9B ．8C ．6D ．5【变式2】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ） A ．()220n n -= B ．()240n n -=C ．()320n n -=D ．()340n n -=题型03 对角线分成三角形个数问题题型04 用七巧板拼图形【典例4】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为1dm 的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）2dm ．1315【变式2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是题型05平面镶嵌【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（）种图形．A．1B．2C．3D．4【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正八边形D ．正六边形【变式2】（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）A ．B ．C ．D ．题型06 圆的周长和面积问题【典例6】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）A ．22R πB ．24R πC ．2R πD ．不能确定【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O 沿数轴滚动一周（无滑动）到达点O '，则OO '= 分米．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线． A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是( ) A ．5B ．9C ．8D ．63．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）A ．①②④B ．①②C ．①④D ．②③4．（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）A ．28cmB ．24cmC ．22cmD ．21cm5．（2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）A ．54B ．44C ．35D ．27二、填空题6．（2023春·山东济南·六年级统考期末）若从n边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则n ．7．（2023秋·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末）从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成个三角形．8．（2023春·七年级课时练习）用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为．9．（2023春·山东泰安·六年级统考期中）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为．10．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么先到达B地三、解答题11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；……你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？，，，，12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA OB OC OD可以得到几个三角形？它与边数有何关系？，，，可以得到几个三角（2）如图②，点O在五边形ABCDE的边AB上（不与端点重合），连接OC OD OE形？它与边数有何关系？（3）如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？n ，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？（4）若是任意一个n（413．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；(1)观察下列图形并完成填空．如图①一个四边形有2条对角线；如图②一个五边形有5条对角线；如图③一个六边形有______条对角线；如图④一个七边形有______条对角线；(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．14．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有________对角线．。

多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．类型一、多边形及正多边形 1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.【总结升华】(1)n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个内角. (2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共(3)2n n -条对角线. E A B CF D(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形.举一反三：【变式】（2015春•郑州期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线条．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D． 542．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10．（2015春•张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（B）A．1 B． 2 C． 3 D． 419．（2015春•定陶县期末）下列说法正确的是（④）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故n 的所有可能的值是2，3，4，6，12．4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON 等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为： °°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】。

多边形与圆的初步认识一基础知识1多边形的概念；2正多边形的概念；3.凸n 边形的内角和公式及外角和定理；4.圆的概念；圆弧及弧长公式；弦的概念；圆心角与圆周角的概念；扇形及面积公式二典例分析1.（2011天津）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB =1，BC =CD =3，DE =2，求这个六边形的周长2.（1）在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为________cm（2）已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm 。

（3）如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为______3.已知：在四边形ABCD中，如果，求各角的度数． 4. 已知四边形的一个外角等于与它不相邻的三个内角之和的14，求这个外角的度数． 5. 已知：一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数.6.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.7.（中招展示）（1）（12广东湛江）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D 7（2）（12四川广安）如图7-1，四边形ABCD 中，若去掉一个60o 的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度．（3）（12德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．（4）（11山西）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ． 正七边形C ． 正八边形D ． 正九边形（5）（11四川眉山）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9（6）（11广安）若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________（7）（11湖北宜昌）如图7-7是圆锥的侧面展开图，其半径OA=3，圆心角∠AOB=l20°，则⌒AB 的 长为( ).A.π B.2π C.3π D.4π8（竞赛链接）（1） 在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的 边数是 ．（2）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．5（3）凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是（ ）A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7（4）一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A ．9条B ．8条C ．7条D ． 6条（5）已知148∠=，2∠的两边分别与1∠垂直，求2∠的大小 （6）①、②……是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……（1）图①中3条弧的弧长的和为______ 图②中4条弧的弧长的____（2）求图(n)中n 条弧的弧长的和（用n 表示）n （例1图） （7-1） （7-7）随堂练习1、用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形2、如图1，图中共有正方形（） A.12个 B.13个 C.15个 D.18个图1 图2 图3 图4 图53、如图2，图中三角形的个数为（）A.2 B.18 C.19 D. 204．如图3，已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到（）个扇形. A.4 B.5 C.6 D.85.我们熟悉的平面图形中的多边形有_____________等.它们是由一些_______同一条直线上的线段依次_______相连组成的_______图形.6．圆上两点之间的部分叫做_______，由一条_______和经过它的端点的两条_______所组成的图形叫做扇形. 7．如图4，用简单的平面图形画出三位携手同行的的小人物，请你仔细观察，图中共有三角形____个，圆_____个.8.如图5，你能数出_______个三角形，_______个四边形9. 平面内三条直线把平面分割成最少 ____ 块最多 ____ 块。

§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。

4.3多边形和圆的初步认识一、单选题1．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（）A．2B．4C．6D．82．过一个多边形的一个顶点可引2021条对角线，则这个多边形的边数为（）A．2018B．2019C．2023D．20243．某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形4．一个n边形从一个顶点可引3条对角线．则n为（）A．4B．5C．6D．75．只使用下列正多边形中的一种铺满地面，这种正多边形可以是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形6．只用同一种正多边形铺满地面，不可以选择（）A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形7．下列语句中，正确的是（）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．三点确定一个圆C．三角形的外心到三角形的三边距离相等D．长度相等的两条弧是等弧8．周长是18.84cm的圆，面积是（）平方厘米．A．50.24B．12.42C．25.12D．28.269．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（）A．8B．9C．10D．1110．用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（ ）A ．正三角形、正四边形B ．正三角形、正六边形C ．正四边形、正六边形D ．正四边形、正八边形二、填空题11．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是 ．12．小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的周长为 ．13．如图，将四边形ABCD 沿BD 、AC 剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA ＝4，OB ＝3，AB ＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．14．如图所示的圆可记作O ，图中半径有 条，分别是 ．15．若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条，则这个多边形的边数为 ． 16．七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线BD ；分别取BC CD 、中点E 、F ，联结EF ；过点A 作EF 垂线，分别交BD EF 、于G 、H 两点；分别取BG DG 、中点M 、N ，联结MH NF 、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形GHFN 的面积是 平方厘米．三、解答题17．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n 边形呢？18．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长．19．（1）如图，线段AE上有三个点B，C，D，图中共有条线段；（2）如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？（3）n边形共有条对角线．20．用15.7米长的铁条做直径是50厘米的圆形铁环，可以做多少个？21．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．22．例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中（其中（a）已填好）．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边？。

多边形和圆的初步认识【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出条对角线，分别用字母表示出来为；（2）这些对角线把六边形分割成个三角形.举一反三：【变式】从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个n边形分割成三角形个数是（）A．3个B．（n﹣1）个C．5个D．（n﹣2）个2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?EA BCFD举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A.6B.7C.8D.93．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .类型二、圆4．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【巩固练习】一、选择题1.下列几何图形中，平面图形的个数为（）个.①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形.A.4B.5C.3D.62．从n边形的一个顶点出发共有对角线() .A．(n-2)条B．(n-3)条C．(n-1)条D．(n-4)条3．如图，图中四边形有() .A．3个B．5个C．2个D．6个4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个5从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．96 如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27B．35C．40D．44二、填空题7．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为边形．8. 已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画_____个圆.9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．10.一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为cm．11.一个七边形的边数减少1，则它的对角线条数减少________，n边形的边数增加2，则对角线增加______．cm12.平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是 .三、解答题13.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．15. 如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）。

第03讲_多边形和圆的初步认识知识图谱多边形和圆的初步认识（北师版）知识精讲一．多边形1．多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，如三角形、四边形、五边形、六边形等．2．如下图，在多边形ABCDE 中，点A 、B 、C 、D 、E 是多边形的顶点，线段AB 、BC 、CD 、DE 、EA 是多边形的边；EAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDE ∠、DEA ∠是多边形的内角（简称多边形的角）；AC 、AD 都是连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3．正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图，分别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形．二．圆1．平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆； 2．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径；3．圆上任意两点AB 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”； 4．由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA 、OB 所组成的图形叫做扇形； 5．顶点在圆心的角叫做圆心角．三．扇形面积公式EDCBA BOA1．圆的周长公式：π2C D R π==2．扇形弧长公式：π180n Rl =（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）3．圆的面积公式：2πS R =4．扇形面积公式：2π360nS R =扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三点剖析一．考点：1．多边形及对角线；2．圆和扇形．二．重难点：n 边形的对角线：一个顶点有()3n -条对角线，共有()32n n -条对角线．三．易错点：圆的周长面积计算公式计算错误．多边形及对角线例题1、 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形． 【答案】 13【解析】 从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n -条对角线，（n 为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n 边形．代入公式，得310n -=，∴13n =．例题2、 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 【答案】 A【解析】 剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．例题3、 （1）若在n 边形内部任意取一点P ，将P 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成__________ 个三角形． （2）若点P 取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P 与n 边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成__________ 个三角形．【答案】 （1）n （2）1n -【解析】 根据题中条件，画出简单图形，找出规律．（1）多边形内一点，可与多边形顶点连接n 条线段，构造出n 个三角形；（2）若P 点取在一边上，则可以与其他顶点连接出2n -条线段，可以分n 边形为()1n -个三角形． 随练1、 从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 C【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引()3n -条对角线，把n 边形分为()2n -的三角形作答．设多边形有n 条边，则26n -=，解得8n =．故选C ． 随练2、 观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线； （2）根据规律七边形有_______条对角线，n 边形有___________条对角线．【答案】 （1）2；5；9（2）14；()32n n - 【解析】 （1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n 边形有()32n n -条对角线．圆和扇形例题1、 60°的圆心角所对的弧长为2πcm ，则此弧所在圆的半径为________． 【答案】 6cm【解析】 ∵l=180n rπ，∴r=180180260l n πππ⨯==6cm ． 例题2、 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ，则此扇形的面积是________cm 2． 【答案】 6π【解析】 设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴135180R π⨯=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为21354360π⨯=6π（cm 2）．例题3、 在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作BAC ，如图所示．若4AB =，2AC =，124S S π-=，则34S S -的值是__________．【答案】54π 【解析】 ∵4AB =，2AC =，∴132S S π+=，242S S π+=，∵124S S π-=，∴()()()()1324123432S S S S S S S S π+-+=-+-=∴3454S S π-=．随练1、 如图，O 的半径为1，分别以O 的直径AB 上的两个四等分点1O ，2O 为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A.πB.12πC.14π D.2πS 4S 3S 2S 1【答案】 B【解析】 将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解．随练2、 如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=__________度．【答案】 135【解析】 完整圆的周角是360︒，根据比例解出135α∠=︒．随练3、 一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________ cm ．【答案】 40【解析】 设弧所在圆的半径为r ，由题意得，135253180rππ=⨯⨯，解得40r cm =．故应填40．拓展1、 一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数_______． 【答案】 14【解析】 从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+=．2、 若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是__________． 【答案】 5，6，7【解析】 如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．3、 从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是_______． 【答案】 8【解析】 设多边形有n 条边， 则n ﹣2=6， 解得n=8．4、 从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的内角和是____度． 【答案】 1980【解析】 （13﹣2）•180=1980度，则这个多边形的内角和是1980度5、 如图，正方形ABCD 的边1AB =，BD 和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是_________βα【答案】12π- 【解析】 如图：正方形的面积1234S S S S =+++①；两个扇形的面积3122S S S =++②；②-①得：349036012112S S S S ππ⨯⨯-=-=-=-正方形扇形．6、 如图，扇形A 的圆心角的度数为__________．【答案】 144【解析】 根据题意，该扇形圆心角度数为：36040%144︒⨯=︒．7、 如下图中的五个半圆，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A.甲先到B 点B.乙先到B 点C.甲、乙同时到BD.无法确定 【答案】 C【解析】 ()1122331122AA A A A A A B AB ππ+++=⨯，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点．故选C ．8、 如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA ＝2cm ，∠AOB ＝120°．则图2的周长为________cm （结果保留π）．【答案】8π3【解析】 由图1得：AO OB AB +=的长的长的长 ∵半径OA ＝2cm ，∠AOB ＝120°则图2的周长为：240π28π1803⨯=． 9、 如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为________．432140%AA 3A 2A 1GFE D CBA【答案】 18【解析】 ∵正六边形ABCDEF 的边长为3， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ＝3， ∵BAF 的长＝3×6－3－3＝12， ∵扇形AFB （阴影部分）的面积1123182=⨯⨯=． 10、 如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝2，半圆绕点B 顺时针旋转40°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．【答案】49π 【解析】 ∵S 阴影＝S 扇形ABA′＋S 半圆－S 半圆 ＝S 扇形ABA′ 2452360π⨯=49=π．。

专题4.4 多边形和圆的初步认识【八大题型】【北师大版】【题型1 多边形的概念】 (1)【题型2 多边形对角线的条数问题】 (3)【题型3 多边形分成的三角形个数问题】 (5)【题型4 多边形的周长】 (7)【题型5 网格中多边形的面积】 (10)【题型6 圆的相关概念】 (13)【题型7 求扇形的圆心角】 (14)【题型8 圆的周长和面积问题】 (16)【知识点多边形及有关概念】1.多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．3.多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.【要点】①从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有n(n−3)条2对角线．【题型1多边形的概念】【例1】（2023上·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；B．四边形有2条对角线；C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；D．六边形的六个角都相等；【答案】D【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．【变式1-1】（2023上·山西·七年级统考阶段练习）下列平面图形中，属于八边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据八边形的定义判断即可；【详解】根据判断可得：A是六边形；B是四边形；C是八边形；D是圆；故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的判定，准确判断是解题的关键．【变式1-2】（2023上·江苏无锡·七年级统考期中）a个六边形、b个五边形共有条边．【答案】6a+5b【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算．【详解】解：∵a个六边形有6a条边，b个五边形有5b条边，∴a个六边形、b个五边形共有6a+5b条边，故答案为：6a+5b.【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边．【变式1-3】（2023上·七年级课时练习）下列说法中，正确的有（）①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；②三角形是边数最少的多边形；③n边形有n条边、n个顶点.A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据多边形的定义判断即可．【详解】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键．【题型2多边形对角线的条数问题】【例2】（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）在学校“文明学生”表彰会上，6名获奖者每两位都相互握手祝贺，则他们一共握了多少次手（）A．6B．8C．13D．15【答案】D【分析】本题主要考查了的是多边形对角线，这类握手问题相当于求多边形的对角线的条数与边数之和．根条对角线，求出六边形的对角线数量，再加上边数，即可得到答案．据n边形有n(n−3)2【详解】解：由题意可知，握手相当于求多边形的对角线的条数与边数之和，=9，∵六边形的对角线条数为6×(6−3)2∵六边形的边数为6，∴六边形的对角线的条数与边的条数之和为9+6=15，即6名获奖者每两位都相互握手祝贺，则他们一共握了15次手，故选：D．【变式2-1】（2023上·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为．【答案】4【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线可得答案．【详解】解：从七边形的一个顶点出发，可以引出(7−3)=4条对角线，故答案为：4．【点睛】本题考查多边形的对角线条数的公式，熟记从n边形的一个顶点出发，能引出(n−3)条对角线是解题的关键．【变式2-2】（2023上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画条对角线．【分析】设正多边形的边数为n（n≥3），边长为a，根据边长为整数的正多边形的周长17，求出n的值，根据过n多边形的一个顶点的对角线的条数为(n−3)，即可得解．【详解】解：设正多边形的边数为n（n≥3），边长为a，由题意，得：na=17，∴a=17，n∵a为整数，∴n=17；∴过该正多边形的一个顶点可以画：17−3=14条对角线；故答案为：14【点睛】本题考查多边形的对角线条数．熟练掌握从多边形的一个顶点出发，可以引(n−3)条对角线，是解题的关键．【变式2-3】（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是多边形的对角线，如图A1A3是四边形A1A2A3A4的对角线，请仔细观察下面的图形和表格，并确定二十三边形A1A2A3．．．．．A23共有条对角线．多边形的顶点数456…从一个顶点出发的对角线的条数123…多边形对角线的总条数259…【答案】230【分析】根据多边形对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，结合表格中的数据得出规律，即可求得答案．【详解】解：由题意可得：多边形的顶点数为4时，=2条，从一个顶点出发的对角线有4−3=1条，共有4×(4−3)2多边形的顶点数为5时，=5条，从一个顶点出发的对角线有5−3=2条，共有5×(5−3)2多边形的顶点数为6时，=9条，从一个顶点出发的对角线有6−3=3条，共有6×(6−3)2∴多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线有(n−3)条，共有n(n−3)条，2=230条对角线．∴二十三边形A1A2A3．．．．．A23共有23×(23−3)2故答案为：230．【点睛】本题考查对角线的条数，结合已知条件求得从n边形的任意一个顶点可作(n−3)条对角线是解题的关键．【题型3多边形分成的三角形个数问题】【例3】（2023上·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末）从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成个三角形．【答案】10【分析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成(n−2)三角形的规律作答；【详解】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成(n−2)个三角形，从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成12−2=10个三角形；故答案为：10【点睛】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．【变式3-1】（2023下·吉林长春·七年级统考期末）从n边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为2023个三角形，则n的值为（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】D【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n−2)个三角形，根据此关系式即可求边数．【详解】解：依题意有n−2=2023，解得：n=2025．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．【变式3-2】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n=．【答案】11【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得m,n的值，继而即可求解．【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，∴m+n=5+6=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为(n−3)是解题的关键．【变式3-3】（2023·七年级课时练习）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形.图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n 边形.【答案】见详解.【分析】图（一）中，（1）是作一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；（2）是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；（3）是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割．根据上述方法分别进行分割，可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个．根据这样的两个特殊图形，不难发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数．【详解】解：如图所示：结合两个特殊图形，可以发现：第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．【点睛】此题要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般．【题型4多边形的周长】【例4】（2023下·湖北孝感·七年级统考期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm【答案】B【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．【详解】由图形可得出：该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），故该主板的周长是96mm，故选：B ．【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．【变式4-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知正六边形的周长是30cm ，则这个多边形的边长等于 cm ．【答案】5【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果．【详解】解：∵一个正六边形的周长是30cm ，∴正六边形的边长=30÷6=5（cm ）；故答案为：5．【点睛】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六边形的边长相等是解题的关键．【变式4-2】（2023上·七年级课时练习）如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）A ．34cmB ．32cmC ．30cmD ．28cm【答案】C 【详解】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的23,正六边形的周长为90×3×23=180cm ，所以正六边形的边长是180÷6=30cm.故选C.【变式4-3】（2023下·浙江金华·七年级浦江县实验中学校联考期末）如图，将四边形ABCD 沿BD 、AC 剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA ＝4，OB ＝3，AB ＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．【答案】20，22，26，28【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；【详解】解：①如图周长=20；②如图周长=22；③如图周长=26；④如图周长=28；⑤如图周长=22；∴四边形的周长为：20，22，26，28；故答案为：20，22，26，28．【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．【题型5网格中多边形的面积】【例5】（2023下·湖北黄冈·七年级校联考期中）如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（）A．<2>和<3>B．<1>和<2>C．<2>和<4>D．<1>和<4>【答案】B【详解】试题分析：解：把图形中每一个方格的面积看作1，则图形（1）的面积是1.5×4=6，图形（2）的面积是1.5×4=6，图形（3）的面积是2×4=8，图形（4）中一个图案的面积比1.5大且比2小，所以（1）和（2）的面积相等．故选B．考点：认识平面图形点评：此题考查了平面图形的有关知识，培养学生的观察能力和图形的组合能力．【变式5-1】（2023·江苏·七年级假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为S1，图②中汉字的面积为S2，则S1−S2的值为（ ）A．1B．2C．3D．6【答案】D【分析】利用割补法分别求出S1和S2的面积，再作差即可．【详解】解：如图，S1＝5×7−12×2×4×2−12×1×1×2−12×（1+5）×4＝35−8−1−12＝14，S2＝4×9−12×4×4×2−12×（1+7）×3＝36−16−12＝8，∴S1−S2＝6．故选：D．【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．【变式5-2】（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD（填“＞”“＜”“＝”）A．S△ABC<S△ABD B．S△ABC>S△ABDC．S△ABC=S△ABD D．无法判断【答案】C【分析】利用网格分别计算△ABC的面积与△ABD的面积即可比较大小．【详解】解∶如图，∵SΔABD=S四边形GEBF−SΔAEB−SΔBFD−SΔADG=2×5−12AE⋅BE−12BF⋅DF−12DG⋅AG=10−12×2×2−12×5×1−12×1×3=10−2−52−32=4SΔABC=12AC⋅BH=12×4×2g=4∴SΔABC=SΔBCD，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，能利用割补法对不规则三角形进行转化求面积是解题的关键．【变式5-3】（2023·江西·校联考模拟预测）如图，在边长为1的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为S1,S2,S3,S4,下列说法正确的是（）A．S1=S2B．S2=S3C．S1+S2=S4D．S1+S3=S4【答案】B【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将S1、S2、S3、S4计算出来，再找到等量关系．【详解】观察图形可得S1=2.5,S2=3,S3=3,S4=6,∴S2=S3,S2+S3=6=S4，故选：B．【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．【题型6圆的相关概念】【例6】（2023上·七年级课时练习）下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以2cm长为半径C．以点O为圆心，10cm长为半径D．经过点A【答案】C【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确，故选：C．【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．【变式6-1】（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（）A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．【变式6-2】（2023上·七年级单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆心角的定义作答即可．【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．【变式6-3】（2023上·七年级课时练习）如图所示的圆可记作⊙O，图中半径有条，分别是．【答案】 3 OA，OB，OC【分析】根据圆的基本概念进行作答即可．【详解】解：由图可知，图中半径有3条，分别是OA，OB，OC．故答案为：3；OA，OB，OC．【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本性质相关内容是解题的关键．【题型7求扇形的圆心角】【例7】（2023上·辽宁铁岭·七年级统考期末）若将一个圆分成四个扇形，且它们的面积比为4∶3∶2∶1，则最小扇形的圆心角的度数是．【答案】36°【分析】因为扇形A，B，C，D的面积之比为4：2：1：3，结合扇形的面积公式可得对应扇形所占的圆心角之比也为4：2：1：3，设出未知数列方程求解即可．，【详解】解：∵扇形A，B，C，D的面积之比为4：2：1：3，且S扇形=nπr2360∴对应扇形所占的圆心角之比也为4：2：1：3，∴设四个圆心角的度数分别为4x ，2x ，x ，3x ，由题意得4x +2x +x +3x =360°，解得x =36°，∴最小扇形的圆心角的度数是36°，故答案为：36°【点睛】本题考查了求扇形统计图中圆心角的度数，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式7-1】（2023下·山东威海·六年级统考期中）如图，把一个圆分成三个扇形，其中面积最大的扇形的圆心角度数为 °；若圆的半径为2，则最大扇形的面积 ．（结果保留π的形式）【答案】 162 9π5【分析】利用圆心角的相关概念及扇形面积公式计算即可．【详解】解： 360°×45%=162°．S =nπr 2360=162°×π×22360=9π5或：S =45%πr 2=45%×π×22=9π5．故答案为：162；9π5【点睛】本题考查了圆心角的相关概念及扇形的面积公式，正确计算是解决本题的关键．【变式7-2】（2023·七年级单元测试）把一个圆分成若干个扇形，若其中一个扇形占整个圆的25，那么这个扇形的圆心角为（ ）A ．144°B ．288°C ．72°D ．36°【答案】A【分析】扇形占整个圆的25，即圆心角是360度的25，可求出答案．【详解】∵在一个扇形统计图中，有一个扇形占整个圆的25，∴这个扇形圆心角是：360°×25=144°．故选A．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°之比．【变式7-3】（2023下·山东青岛·六年级统考期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形．(1)求甲，乙，丙三个扇形的圆心角的度数；(2)若圆的半径为1cm，求扇形丁的面积．【答案】(1)甲，乙，丙三个扇形的圆心角的度数分别是90°,108°,72°(2)π4cm2【分析】（1）每个扇形的圆心角度数等于360°乘以各自所占圆的百分比，由此即可计算；（2）求出扇形丁的圆心角度数，即可求出扇形丁的面积．【详解】（1）解：扇形甲的圆心角度数=360°×25%=90°；扇形乙的圆心角度数=360°×30%=108°；扇形丙的圆心角度数=360°×20%=72°．（2）解：∵扇形丁的圆心角度数是360°−90°−108°−72°=90°，圆的半径是1cm，∴扇形丁的面积90°π×12360°=π4(cm2)．【点睛】本题考查圆心角，扇形面积的计算，关键是掌握扇形圆心角的度数等于360度乘以扇形所占圆的百分比；扇形面积的计算公式．【题型8圆的周长和面积问题】【例8】（2023上·黑龙江大庆·六年级大庆一中校考阶段练习）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是6dm，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（ ）dm．A．6πB．16πC．18πD．2π【答案】C【分析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，根据圆的周长公式C=πd即可解答．【详解】解：根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为18dm，所以另一个轮子的周长是18πdm．故选：C．【点睛】本题主要考查圆的周长公式，由大轮子转一圈、小轮子转3圈得到大轮的直径是小轮直径的3倍是解题的关键．【变式8-1】（2023上·重庆·七年级统考期末）如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，则阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】8π【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，然后根据圆环面积得到πR2−πr2=8，则S阴影=R2−r2=8．π【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，由题意得，πR2−πr2=8，∴S阴影=R2−r2=8，π．故答案为：8π【点睛】本题主要考查了圆的面积计算，正确理解题意是解题的关键．【变式8-2】（2023上·江苏南京·七年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么先到达B地【答案】猫和老鼠同时到达【分析】利用圆的周长公式即可求解．【详解】解：以AB 为直径的半圆的长是：12π⋅AB ；设四个小半圆的直径分别是a ，b ，c ，d ，则a +b +c +d =AB ，则老鼠行走的路径长是：12πa +12πb +12πc +12πd =12π(a +b +c +d)=12πAB ．故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，故答案为：猫和老鼠同时到达．【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．【变式8-3】（2023上·上海青浦·六年级校考期末）如图，阴影面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，小圆的半径是10，则大圆的半径是 ．【答案】15【分析】根据题意得阴影部分的面积：3.14×102×35=188.4，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得．【详解】解：∵阴影面积是小圆面积的35，小圆的半径是10，∴阴影部分的面积：3.14×102×35=188.4，∵阴影面积是大面积的415，∴大圆的面积：188.4÷415=706.5，则大圆半径的平方：706.5÷3.14=225，∴大圆的半径：15×15=225，故答案为：15．【点睛】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式．。