第一章_解三角形_单元测试2(人教A版必修5)

必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。

第3课时 三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.答案：B2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：面积S ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13，所以a sin A＝1332＝2393.答案：A3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( )A ．8B ．16C ．18D ．32解析：在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65， 即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，②又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41. 因为平行四边形的周长为18， 所以AB ＋AD ＝9，又AB 2＋AD 2＝41， 所以AB ＝4，AD ＝5或AB ＝5，AD ＝4.所以cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22·AB ·AD ＝35，所以sin A ＝45，故平行四边形的面积为12×AB ×AD ×sin A ×2＝16.答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( )A. 3B ．－ 3C ．－2 3D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin Ccos C ＝－12＝－2 3.答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15C ．2D ．3解析：因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0， 所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.答案：A 二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 答案：637．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a －b ＝4，所以a ＞b ， 又因为a ＋c ＝2b ，所以b ＋4＋c ＝2b ， 所以b ＝4＋c ，所以a ＞b ＞c . 所以最大角为A ，所以A ＝120°，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2＝－b (b －4)， 即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b ＝－b 2＋4b ， 所以b ＝10，所以a ＝14，c ＝6. 故周长为30. 答案：308．在△ABC 中，A ＝π6，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________．解析：设∠BCD ＝θ，因为S △BCD ＝4＝12·CD ·CB ·sin θ，所以sin θ＝255，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±55.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ，从而BD ＝42或BD ＝4.当BD ＝42时，由BD sin θ＝CDsin B得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010，又由AC sin B ＝BCsin A得AC ＝BC sin Bsin A＝22，当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或AC ＝2 2. 答案：4或2 2 三、解答题9.在△ABC 中，∠B ＝π4，AB ＝42，点D 在BC 上，且CD ＝3，cos ∠ADC ＝55.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)因为∠ADC ＋∠ADB ＝π， 且cos ∠ADC ＝55， 所以cos ∠ADB ＝－55， 所以sin ∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝255， 由∠B ＋∠ADB ＋∠BAD ＝π得， sin ∠BAD ＝sin(∠B ＋∠ADB )＝sin ∠B cos ∠ADB ＋cos ∠B sin ∠ADB ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋22×255＝1010. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，所以BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝42×1010255＝2，由正弦定理得AD sin ∠B ＝ABsin ∠ADB，所以AD ＝42×22255＝25，在△ADC 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ＝20＋9－2×25×3×55＝17， 所以AC ＝17.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足b sin A ＋b cos A ＝c . (1)求B ；(2)若角A 的平分线与BC 相交于D 点，AD ＝AC ，BD ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意，利用正弦定理可得sin B sin A ＋sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， 整理可得sin B ＝cos B ，所以B ＝π4.(2)由AD ＝AC ，可知∠ACD ＝∠ADC . 设∠BAD ＝∠DAC ＝α，∠ACD ＝∠ADC ＝β，则⎩⎪⎨⎪⎧45°＋2α＋β＝180°，α＋2β＝180°， 所以α＝30°，β＝75°，△ABD 中，由正弦定理可得AB sin 105°＝AD sin 45°＝2sin 30°，所以AB ＝6＋2，AD ＝22，所以AC ＝22， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ·sin 2α＝3＋ 3.B 级 能力提升1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2解析：设另两边长为8x ，5x ， 则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12， 解得x ＝2.所以两边长是16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则角C 的值为________．解析：由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin Csin B ，即sin （A ＋B ）sin B cos A ＝2sin Csin B，所以cos A ＝12，A ∈(0，π)，A ＝π3，sin A ＝32，由asin A ＝c sin C 得sin C ＝22，又c <a ，C <A ，所以C ＝π4. 答案：π43．已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．解：构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件．因为x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2，所以x ＝2sin A ，y ＝2sin B ， 所以x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝23sin(A ＋30°) 因为0°<A <120°，所以当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.。

人教版数学必修5知识点总结第一章解三角形—面积公式一、面积公式1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（）A. 10B. 10√3C. 20D. 20√32.已知△ABC的面积为√3，且∠C=30∘，BC=2√3，则AB等于（）A. 1B. √3C. 2D. 2√33.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3√2，b=2√3，cosC=13，则△ABC的面积为（）A. 3√3B. 2√3C. 4√3D. √34.△ABC中，a.b.c分别为∠A.∠B.∠C的对边，如果a.b.c成等差数列，∠B=30∘，△ABC的面积为32，那么b等于（）A. 1+√32B. 1+√3 C. 2+√32D. 2+√35.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（）A. 12B. 14C. 1D. 26.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2√2，cosA=34，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（）A. √7B. √74C. 165D. 857.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b−√3c=2acosC，sinC=√32，则△ABC的面积为（）A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√32二、面积公式与余弦定理8.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120∘，△ABC的面积S=15√34，则c=（）A. 5B. 6C. √39D. 79.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是（）A. √3B. 9√32C. 3√32D. 3√310.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=√3，则S△ABC=（）A. √2B. √3C. √32D. 211.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3，则AC的长为（）A. 3B. √13C. √21D. √5712.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3√3，则BC的长是______．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60∘,b=4,S△ABC=4√3，则a=______ ．14.已知△ABC的面积为4√33，AC=3，B=60∘，则△ABC的周长为______ ．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积S=a2+b2−c24√3，则角C=______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA+√3cosA=0，a=2√7，b=2(Ⅰ)求c；(Ⅱ)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．17.△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=√32AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若b+c=5，a=√7，求△ABC的面积的大小．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A2=2√55，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3．(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6，求a的值．三、正余弦定理，面积公式综合19.在△ABC中，A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则csinC=（）A. 8√381B. 2√393C. 26√33D. 2√720.在△ABC中，a=1，B=45∘，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. 5√22B. 5C. 5√2D. 6√221.在△ABC中，A=30∘，AB=2，且△ABC的面积为√3，则△ABC外接圆的半径为（）A. 2√33B. 4√33C. 2D. 422.a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B−sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A. 12B. 1C. 2D. 423.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinBsinCsinA =3√72，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．24.设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinC=4sinA，(ca+cb)(sinA−sinB)=sinC(2√7−c2)，则△ABC的面积为______ ．25.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=√2sinC,cosC=13，△ABC的面积为4，则c=______．26.如图，在平面四边形ABCD中，△ACD的面积为√3，AB=2，BC=√3−1，∠ABC=120∘，∠BCD=135∘，则AD=______．27.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2．3sinA(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．28.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．29.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π，tan∠ADC=−2，求：4(1)CD的长；(2)△BCD的面积．30. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2b −c)cosA −acosC =0(1)求角A ．(2)若边长a =√3，且△ABC 的面积是3√34，求边长b 及c ．31. 如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4．(Ⅰ) 求∠ACP ；(Ⅱ) 若△APB 的面积是3√32，求sin∠BAP ．32. 如图，在△ABC 中，B =π4，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设∠BAD =α，sinα=√55． (Ⅰ)求sinC ； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =28，求AC 的长．33.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为accosB，BC的中点为D．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)若c=2，asinA=5csinC，求AD的长．34.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=(2a+c)sinA+(2c+a)sinC．(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若b=√3，A=π，求△ABC的面积．435.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c=√3asinC−ccosA．(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为√3，求b、c．36.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=3．5(1)若b=4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．37.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1)求角A的大小；(2)若a=2,B=π，求△ABC的面积．3c.38.在△ABC中，角A，B，C所对的边分別为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=13(1)若c=1，sinC=1，求△ABC的面积S；3(2)若D是AC的中点，且cosB=2√5，BD=√26，求△ABC的最短边的边长．539.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=√3bcosC，a2−c2=2b2(Ⅰ)求C的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积为21√3，求b的值．40.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC=b+c．(1)求A；(2)若a=√7，△ABC的面积为3√3，求b与c的值．241.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+ccosA=−2bcosA．(1)求角A的值；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．42.设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．(1)求角A的大小；(2)若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．43.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60∘，CD=2．(Ⅰ)若AD=BD=3，求△ABC的面积；(Ⅱ)若AD=2，BD=4，求sinB的值．44.设钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=(2b−√3c)sinB+(2c−√3b)sinC．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，b=2√3，求△ABC的面积．45.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，c=2，求△ABC的面积．46.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60∘，AB=2√7，BD=4．(1)求▵ABD的面积．(2)若∠BAC=120∘，求AC的长．47.在▵ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA−ccosB=(c−a)cosB．(1)求角B的值；(2)若▵ABC的面积为3√3，b=√13，求a+c的值．48.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A=2sin2B，c=2b．(1)求cosB；(2)若△ABC的面积为√7，求△ABC的周长．人教版数学必修5知识点总结（教师版）第一章 解三角形—面积公式一、 面积公式1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =7，b =5，c =8，则△ABC 的面积S 等于( B ) A. 10 B. 10√3 C. 20 D. 20√3 2. 已知△ABC 的面积为√3，且∠C =30∘，BC =2√3，则AB 等于( C )A. 1B. √3C. 2D. 2√33. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =3√2，b =2√3，cosC =13，则△ABC 的面积为( C ) A. 3√3B. 2√3C. 4√3D. √34. △ABC 中，a.b.c 分别为∠A.∠B.∠C 的对边，如果a.b.c 成等差数列，∠B =30∘，△ABC 的面积为32，那么b 等于( B )A. 1+√32B. 1+√3C. 2+√32D. 2+√35. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A =sinA ，bc =2，则△ABC 的面积为( A )A. 12B. 14C. 1D. 26. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，cosA =34，sinB =2sinC ，则△ABC 的面积是( A )A. √7B. √74C. 165 D. 85【解析】∵a =2√2，cosA =34，sinB =2sinC ，可得：b =2c.sinA =√1−cos 2A =√74， ∴由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得：8=4c 2+c 2−3c 2，解得c =2，b =4． ∴S △ABC =12bcsinA =12×2×4×√74=√7．故选A ．7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =1，2b −√3c =2acosC ，sinC =√32，则△ABC 的面积为( C )A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√32【解析】∵2b −√3c =2acosC ，∴由正弦定理可得2sinB −√3sinC =2sinAcosC ，∴2sin(A +C)−√3sinC =2sinAcosC ，∴2cosAsinC =√3sinC ， ∴cosA =√32∴A =30∘，∵sinC =√32，∴C =60∘或120∘A =30∘，C =60∘，B =90∘，a =1，∴△ABC 的面积为12×1×2×√32=√32，A =30∘，C =120∘，B =30∘，a =1，∴△ABC 的面积为12×1×1×√32=√34，故选：C ．二、面积公式与余弦定理8.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120∘，△ABC的面积S=15√34，则c=( D )A. 5B. 6C. √39D. 79.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是( C )A. √3B. 9√32C. 3√32D. 3√310.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=√3，则S△ABC=( C )A. √2B. √3C. √32D. 2【解析】∵A、B、C依次成等差数列，∴B=60∘∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，得：c=2∴由三角形面积公式得：S△ABC=12acsinB=√32，故选C．11.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3，则AC的长为( B )A. 3B. √13C. √21D. √57【解析】解：∵BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3=12BC⋅AB⋅sinB=12×AB×1×√32，∴AB=4，∴AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=√16+1−2×4×1×12=√13．故选：B．12.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3√3，则BC的长是______．【答案】√1313.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60∘,b=4,S△ABC=4√3，则a=______ ．【答案】4【解析】解1：∵A=60∘,b=4,S△ABC=4√3=12bcsinA=12×4×c×√32，∴解得c=4，由b=c=4，且A=60∘有∆ABC是等边三角形，故a=4解2：a=√b2+c2−2bccosA=√42+42−2×4×4×12=4．故答案为：4．14.已知△ABC的面积为4√33，AC=3，B=60∘，则△ABC的周长为______ ．【答案】8【解析】由三角形面积公式可知12acsin60∘=4√33，ac=163，由余弦定理可知：b2=a2+c2−2ac⋅cos60，即9=a2+c2−ac，可得：a2+c2=433，推出(a+c)2=25，则：a+c=5，所以周长：a+c+b=5+3=8．故答案为：8．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积S=2224√3，则角C=______．【答案】616. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinA +√3cosA =0，a =2√7，b =2(Ⅰ)求c ；(Ⅱ)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【解析】(Ⅰ)∵sinA +√3cosA =0，∴tanA =−√3， ∵0<A <π，∴A =2π3，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即28=4+c 2−2×2c ×(−12)，即c 2+2c −24=0， 解得c =−6(舍去)或c =4，故c =4． (Ⅱ)∵c 2=b 2+a 2−2abcosC ，∴16=28+4−2×2√7×2×cosC ，∴cosC =2√7，∴CD =ACcosC =22√7=√7∴CD =12BC ，∵S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√32=2√3，∴S △ABD =12S △ABC =√3．17. △ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是，a 、b 、c ，△ABC 的面积S =√32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)若b +c =5，a =√7，求△ABC 的面积的大小．【解析】(Ⅰ)∵S =√32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32bccosA ， 又∵S =12bcsinA ，可得：tanA =√3，∴由A ∈(0,π)，可得：A =π3 (Ⅱ)∵由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得：7=b 2+c 2−bc ，∴可得：(b +c)2−3bc =7，∴由b +c =5，可得：bc =6，∴△ABC 的面积S =12bcsinA =3√3218. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2=2√55，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3． (1)求△ABC 的面积；(2)若b +c =6，求a 的值． 【解析】(1)因为cos A2=2√55，所以cosA =2cos 2A 2−1=35，sinA =45．又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3得bccosA =3，所以bc =5因此S △ABC =12bcsinA =2． (2)由(1)知，bc =5，又b +c =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−165bc =20，所以a =2√5．三、 正余弦定理，面积公式综合19. 在△ABC 中，A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则csinC =( B )A. 8√381B. 2√393C. 26√33D. 2√7【解析】△ABC 中，A =60∘，b =1，S ∆ABC =√3，∴12bcsinA =12×1×c ×sin60∘=√3， 解得c =4；∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =12+42−2×1×4×cos60∘=13，∴a =√13； ∴c sinC=a sinA=√13√32=2√393．故选B ．20. 在△ABC 中，a =1，B =45∘，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A. 5√22B. 5C. 5√2D. 6√221. 在△ABC 中，A =30∘，AB =2，且△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( C )A. 2√33B. 4√33C. 2D. 4【解析】在△ABC 中，由A =30∘，c =AB =2，得到S △ABC =12bcsinA =12b ×2×12=√3， 解得b =2√3，根据余弦定理得：a 2=12+4−2×2√3×2×√32=4，解得a =2，根据正弦定理得：asinA =2R(R 为外接圆半径)，则R =22×12=2．故选C ．22. a ，b ，c 是非直角△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且sin 2A +sin 2B −sin 2C =absinAsinBsin2C ，则△ABC的面积为( A )A. 12B. 1C. 2D. 4【解析】∵sin 2A +sin 2B −sin 2C =absinAsinBsin2C ，∴由正弦定理可得：a 2+b 2−c 2=2a 2b 2sinCcosC ，∴2abcosC =12absinC ⋅4abcosC ， ∵cosC ≠0，∴S △ABC =12absinC =2abcosC4abcosC =12．故选：A ．23. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinBsinC sinA =3√72，b =4a ，a +c =5，则△ABC 的面积为______．【答案】3√74【解析】由正弦定理及sinBsinC sinA =3√72，得bsinC a =3√72， 又B =4α，∴sinC = 3√78，∵△ABC 为锐角三角形，∴cosC = 18，∴cosC ==a 2+b 2−c 22ab =a 2+(4a)2−(5−a)22a×4a，18解得A =1，B =4，c =4，∴S △ABC = 12absinC = 12×1×4×3√78= 3√74。

数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的 周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的 度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA ·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5.4．依据下列状况，推断三角形解的状况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的外形为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A 解析 由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c， 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( ) A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝asin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155 D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0.∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a ＝cos Bb ，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D 解析∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C ＝2R ，由合分比定理知BCsin A ＝AB ＋BC ＋AC sin A ＋sin B ＋sin C， 即332＝x 32＋sin B ＋sin C. ∴23⎣⎡⎦⎤32＋sin B ＋sin (A ＋B )＝x ，即x ＝3＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋23⎝⎛⎭⎫32sin B ＋32cos B＝3＋6⎝⎛⎭⎫32 sin B ＋12cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)2<0a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发觉一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃跑，我艇马上以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 依据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)， 故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试推断△ABC 的外形．解 (1)由已知，依据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B . ∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形． 方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°， 则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°) ＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。

第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[答案] B[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10， cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3； 当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④ [答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A ．725B ．－725C ．±725D ．2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B－1＝725.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 [答案] B[解析] ∵AB →·AC →＝20， ∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC →|＝7.9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎨⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎨⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°， 设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°， 由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)． 在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h [答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝________.[答案] 85或－85[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2. ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45.又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85.14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C ＝________.[答案] 60°[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ． ∴a ＋b ＝2C ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°.15．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形 [解析]∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c，∴cos A ＝bc.由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·新课标Ⅱ文，17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝12－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝(12×1×2＋12×3×2)sin60° ＝2 3.18．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．[解析] (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km. 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵BC12×60＝5， ∴在BC 上需要5min ，CD 上需要5min.∴最长需要5min 检查员开始收不到信号，并至少持续5min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.21．(本题满分12分)如图，已知半圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆O 上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．[解析] (1)设∠POB ＝θ，且0°≤θ≤180°.在△OPC 中，OP ＝1，OC ＝2，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，∴S OPDC ＝S △OPC ＋S △PDC ＝12OP ·OC ·sin θ＋34PC 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534，即y ＝sin θ－3cos θ＋543.(2)由(1)得y ＝sin θ－3cos θ＋543＝2sin(θ－60°)＋534.∵0°≤θ≤180°，－60°≤θ－60°≤120°，∴当sin(θ－60°)＝1，即θ－60°＝90°，也即θ＝150°时，S OPDC 有最大值，且为2＋534，故当∠POC ＝150°时，四边形OPDC 的面积最大，最大值为2＋534.22．(本题满分14分)如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile /h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 设行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处． 当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°， 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120° ＝(21－9t )2＋(6t )2－2×(21－9t )·6t ·(－12)＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189. ∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t >73时，BC ＝9t －21，则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ×cos60°＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321n mile ，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.高中数学-打印版精校版。

第一章第课时一、选择题(每小题分，共分)．在△中，若＝，＝，＝，则△的面积等于( )．．．．解析：由余弦定理可得＝＝，∴＝°，∴△＝＝.答案：．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝( )．．．．解析：由三角形的面积公式＝·＝，易求得＝，由余弦定理得＝，再由三角形的面积公式＝·＝，即可得出＝.答案：．若△的面积＝(＋－)，则＝( )．．．．解析：由＝＝(＋－)∴＝＝.∴＝.答案：．在△中，内角，，的对边分别是，，.若－＝，＝，则＝( ) ．°．°．°．°解析：由＝可得＝，由余弦定理得＝＝＝，所以＝°，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在△中，已知＝，＝，△＝，则等于．解析：由＝得×××＝，∴＝.又∵∈(，π)，∴＝或.答案：或．在△中，若＝，∠＝°，∠＝°，则等于．解析：∠＝°－°－°＝°，由正弦定理得＝，∴＝＝＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．在△中，角，，的对边分别为，，，＝，＝°，＝.()求的值；()求△的面积．解析：()∵角，，为三角形内角，且＝°，＝.∴＝°－，＝.∴＝(°－)＝＋＝.()由()知，＝，＝.又∵＝°，＝，∴由正弦定理，得＝＝，∴△＝＝×××＝.．已知，，分别为△三个内角，，的对边，＋－－＝.()求；()若＝，△的面积为，求，.解析：()由正弦定理得：＋－－＝⇒＋＝＋⇒＋＝(＋)＋⇒－＝⇒(－°)＝⇒－°＝°⇒＝°.()＝＝⇒＝，＝＋－⇒＋＝.解得：＝＝.☆☆☆.(分)在三角形中，，，分别是角，，对边的长，且满足＝－. ()求角的值；()若＝，＋＝，求，的值．。