2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（一）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,m n R ∈，集合{2,lg }A m =，{},2nB m =，若{1}A B ⋂=，则m n +=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D 【解析】集合{}2,lg A m =，{},2nB m =，若{}1A B ⋂=.所以lg 1m =，解得10m =. 所以21n =，解得0n =. 所以10m n +=. 故选D. 2.已知复数3412iZ i-=- ，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】341121255i z i z i -==+-Q 在复平面内对应的点Z 坐标为112(,)55在第一象限，故选A. 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如图所示，由图知该几何体的俯视图为D ，故选D.5.若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A. 9B.203C.103D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()10514,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，.作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点B 时，z 取得最小值，min 105202333z =+⨯=， 故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A. 12 B. 36C. 72D. 108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．7.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A. 8.执行如图的程序框图，则输出的n =( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m ，n 的值，当5m =，4n =时满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4，从而得解.【详解】模拟程序的运行，可得：1m =，1n = 执行循环体，不满足条件m n >，3m =，2n =不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件m n >， 2m =，3n = 不满足条件9m n +=，执行循环体，不满足条件m n >，5m =，4n = 满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4. 故选：A .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题.9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( ) A. 3 B.3C. 2D.2【答案】C 【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A (a ,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若30MNA ∠=︒,可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：sin 302bb =o， 可得：222b a b =+,即222223,3,2c b a c a a e a=-=∴==. 10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.26B.210C.3 D.310【答案】B 【解析】试题分析：以C 为原点，CA 为x 轴，在平面ABC 中过作AC 的垂线为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6， E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE=B 1E ，C 1F=13CC 1， ∴A 1（4，0，6），E （2，233），F （0，0，4），A （4，0，0），1A E u u u r =（-2，23-3），AF u u u r=（-4，0，4）， 设异面直线A 1E 与AF 所成角所成角为θ，则11·2cos 10425A E AF A E AF θ===⨯u u u r u u u ru u u r ．∴异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210考点：异面直线及其所成的角11.若曲线()ln (1)f x x a x =-+存在与直线210x y -+=垂直的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1(,)2-+∞ B. 1[,)2+∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C 【解析】函数()()ln 1f x x a x =-+，0x >，则()11f x a x'=--，若函数()f x 存在与直线210x y -+=垂直的切线，可得1 12a x --=-有大于0的解，则1 10a x=->，解得1a >，则实数a 的取值范围是()1,+∞，故选C.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数()()ln 1f x x a x =-+的导函数，结合与直线210x y -+=垂直的切线斜率为2-，可得112a x--=-有大于0的解，分离参数，求出实数a 的取值范围.12.已知ABC V 是腰长为4的等腰直角三角形，AB AC =，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为( ) A. 4- B. 43-C. 0D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】如图建立坐标系，设(,)P x y ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论.【详解】如图建立坐标系，(0,2)A ，(2,0)B -，2,0)C ，设(,)P x y ， 则(,22)PA x y =-u u u r ，2(2,2)PB PC PO x y +==--u u u r u u u r u u u r，∴2222()242222(2)44PA PB PC x y x y ⋅+=-+=+-≥-u u u v u u u v u u u v，∴最小值为4-， 故选：A .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【衡水金卷】河北省衡水中学2020届高考模拟押题卷（一）理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Si28Fe56第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞中某些物质的叙述，错误的是A．组成纤维素、淀粉、糖原的单体是相同的B．RNA可以在细胞核或某些细胞器中合成C．抗体的形成与分泌需要ATP直接提供能量D．激素和神经递质的合成是在核糖体上进行的2．甲乙两种物质在胰岛B细胞内、外的浓度情况如图所示，下列相关叙述正确的是A．甲可以是Na+，胰岛B细胞兴奋时Na+内流会导致细胞内Na+浓度高于细胞外B．甲可以是氧气，其进入细胞后可以在细胞质基质或线粒体参与相关反应C．乙可以是DNA，其运出细胞后可将遗传信息传递给其他细胞D．乙可以是胰岛素，其运出细胞时不需要载体的协助3．如图表示生物体内遗传信息的传递和表达过程，下列叙述不正确的是A．上述过程均需要模板、酶、能量和原料，并且均遵循碱基互补配对原则B．在神经细胞和甲状腺细胞中均能进行2过程，并且形成的RNA也相同C．过程3中涉及到5种碱基和8种核苷酸D．RNA发生改变，通过5过程形成的蛋白质不一定发生改变4．下列关于植物激素、植物生长调节剂的叙述中，不合理的是A．植物激素不直接参与细胞代谢，只传递调节代谢的信息B．用一定浓度的赤霉素处理种子可以促进其萌发C．给去掉尖端的胚芽鞘放置含生长素的琼脂块后仍能生长，说明生长素可促进生长D．生长素和细胞分裂素在促进植株生长方面存在协同关系5．下图是某家族甲病(A-a)和乙病(B-b)的遗传系谱图。

2020年河北省衡水中学高考（理科）数学考前密卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2} 2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b 4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．47．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．448．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣459．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．19810．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C 的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}解：A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．故选：C．2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数解：A．不成立，例如取z1＝i；B．不成立，|z2|＝2，则z2＝2（cosθ+i sinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1＝i，z2＝﹣i；D．设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2＝（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）＝ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i＝2ac，因此是实数，正确．故选：D．3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b解：在同一坐标系中分别作出函数y＝，y＝及y＝log2x的图象如图：由图可知，1＜b＜a．故选：B．4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．解：现有4名高三学生进行去四个地方的总共有：4×4×4×4＝44种情况；再四个地方选出一个地方空出C41种情况；将剩下的三个地方进行四人选择，将四人中捆绑两人有C42种情况进行排列在三个位置有：A33种；则恰有一个地方未被选中的可能有：C41C42A33种；由古典概型的定义知：则恰有一个地方未被选中的概率为：＝故选：A．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到解：由题意可得：，由2sinφ＝，得sinφ＝，由0＜φ＜π，得φ＝或φ＝；又点在最高点的左侧，∴φ＝．由五点作图的第三点知，，即ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．由f（）＝2sin（）＝2，可知直线是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；由周期公式可得T＝，故B正确；当x∈，2x+∈（），可知f（x）在区间上单调递增，故C正确；∵f（x）＝2sin（2x+）＝2sin2（x+），∴f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到，故D错误．故选：D．6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．4解：设的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，∴sinθ＝，∴＝2×2×＝2．故选：B．7．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．44解：令x＝1，可得（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为（1+a）•26＝256，∴a＝3，则（1+）（1+x）6的展开式中x3的系数为+3＝38，故选：C．8．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣45解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值，由于S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝3+7+11+15＝36．故选：A．9．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．198解：由a n+1+a n＝2n+3，得a n+1﹣（n+1）﹣1＝﹣（a n﹣n﹣1），∴{a n﹣n﹣1}为等比数列，∴，∴，，∴S13＝a1+（a2+a3）+…+（a12+a13）＝a1+2×（2+4+…+12）+3×6＝a1+102，①m为奇数时，a1﹣2+m+1＝a1+102，m＝103；②m为偶数时，﹣（a1﹣2）+m+1＝a1+102，m＝2a1+99，∵a1∈Z，m＝2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解．综上所述，m＝103，故选：B．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|＝4a，解得|PF1|＝．∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝，由勾股定理可得：2c＝|F1F2|＝＝，则e＝．故选：C．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．解：因为△ABC和△PBC为等边三角形，V＝h，而S一定，所以高最大值时，所以当面△PBC⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，设两个外接圆的圆心分别为G，F，如图所示，过G，F分别作两个面的垂线，交于O，连接OP，OA，则OA＝OP为外接球的半径R，△OAG中，OA2＝OG2+AG2，而由题意OG＝EF＝＝，AG＝＝，所以OA2＝（）2+（）2＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：A．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当f′（x）＜0时，函数单调递减，当f′（x）＞0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f′（x）的图象，虚线为f（x）的图象，由可得，0＜x＜1，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．解：由题意得该产品能销售的概率为（1﹣）（1﹣）＝，X的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一篇产品中可以销售的件数，ξ～B（4，），∴P（ξ＝k）＝，∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2）＝＝，P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝，P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝＝，∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）＝＝．故答案为：．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为π．解：已知＝sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x＝sin2019x+cos2019x＝2sin （2019x+），函数的最大值为A＝2，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）为最小值，f（x2）为最大值，∴|x1﹣x2|的最小值为•＝，∴A|x1﹣x2|＝2|x1﹣x2|的最小值为π，故答案为：π．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是①②③④⑤．（写出所有真命题的序号）解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A＝AF，B'B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中点C，则CM＝，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k．依题意可知X＝，1+所以X的分布列为：X1+P q k1﹣q k（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）（1﹣q k）＝﹣q k+1．所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时960人需要化验的总次数为662次，k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时960人需要化验的总次数为580次，k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时960人需要化验的次数总为570次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验960次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少960﹣570＝390次．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz．设AB＝1，AD＝a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），B1（1，0，2a），，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，又BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面BCC1B1；（2）解：设平面BCD的法向量＝（x0，y0，z0），则，又，故，取x0＝1，得．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，∴|cos＜＞|＝，解得，∴．由（1）知平面BCB1的法向量，∴cos＜＞＝＝．∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得e＝＝，（S）max＝＝1，即bc＝1，又c2＝a2﹣b2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）假设存在N（n，0）满足条件，由|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，可得AF2为∠ANB的角平分线，所以k AN+k BN＝0，由题意直线AB的斜率存在且不为0，由（1）可得右焦点F2（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆的方程联立：，整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，k AN+k BN＝+＝＝＝0，所以2my1y2﹣（n+1）（y1+y2）＝＝0，即2mn＝0，因为m≠0，所以n＝0，即存在N（0，0）满足条件．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，a＞0时，由f′（x）＝0得x＝ln，x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln）上递减；x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ln，+∞）上递增．（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，令g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，令g′（x）＝0，可得a＝，令h（x）＝，h′（x）＝，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）的值域是（2，+∞），当a≤2时，g′（x）＝0没有实根，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，当a＞2时，g′（x）＝0有唯一实根x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，综上，a的取值范围是a≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．解：（1）因为，，两式相减，有4x2﹣2y2＝4，所以C的直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上述方程可得：直线l的直角坐标方程为2x﹣y+m＝0．（2）联立l与C的方程，有，消y，得2x2+4mx+m2+2＝0，因为l与C相切，所以有△＝16m2﹣4×2（m2+2）＝8m2﹣16＝0，解得：．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2＝．∵f（x）＞7，∴或，∴或，∴不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a≥|（x﹣b）﹣（x+c）|+a＝|b+c|+a＝b+c+a，∴f（x）min＝b+c+a＝2，∴＝≥，∴≥。

2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。

启用前★绝密2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试（一）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=（）中元素的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或22.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=，则M ，N 大小关系是（ ）A ． M ＞NB ． M =NC ．M ＜ND ． 不能确定4.设向量)25sin ,25(cos=a ，)20cos ,20(sin=b ，若t 是实数，且b t a u+=，则u的最小值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．22D ．125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ). A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是[0，＋∞)，则)(x g 的值域是 ( ). A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ). A.S =S +n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10nx8.函数)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 的图象关于4x π=对称，则3()4y f x π=-是（ ） A ．图象关于点），（0π对称的函数 B ．图象关于点302π（，）对称的函数C ．图象关于点），（02π对称的函数 D ．图象关于点），（04π对称的函数9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A. 21-B.()2421π-C.()2421π+D.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n ∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ） A ．B ．n 2nC ．（2n ）nD ．11.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (1,3]B.1111ln 2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．12 B ．22 C. 32 D ． 24二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 14． 210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为 ．15. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ．16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，2ABC=3π∠，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。

2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则U A B =I ð （ ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．(1,2)B ．(1,2)C．(2,)+∞D ．(2,)+∞5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ） A ．15B ．25C ．325D ．4256．已知向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ） A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13]B ．[4,13]C ．13]D ．13]10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==,012123164n nn n n n a C a C a C a C +++++=L ，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为 （ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．16011．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP = .14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L .15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为 .16．在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，若ABC △的面积不小于63BECF的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n T ,121(1)n n a T n +=+≥，11a =； 等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r ，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r .（1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x 轴的交点为S ,过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长,交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.21．（12分）已知函数()m x f x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π.（1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1U B x x =≤ð，所以{|01}U A B x x =<I ≤ð． 2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<5．【答案】C 【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140C C C C C C C C C C P A P AB C C C +====， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 6．【答案】D【解析】21()(2cos )sin 2f x x x x ωωω=⋅=+ab 211cos 22x x ωω=+1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<；3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ； 10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM u u u u r在向量AP u u u r 的射影为AP u u u r ， 所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =,联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈. 10．【答案】D 【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以01200112212313333(13)464,3n n n n n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C n +++++=++++=+==∴=L L ，所以61(1)(2)x x x --，其中61(2)x x -展开式的第r +1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C xx---+=-=-⋅⋅⋅,令621r -=-，得72r =（舍去），令3r =可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=．11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 12．【答案】B 【解析】当0x >时，ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，又(0,)x e ∈时，()0f x '＞，∴()f x 在(0,)e 上单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0f x '＜，∴()f x 在(,)e +∞上单调递减，(0,1),()0x f x '∈＞()(1)0f x f ＜＜.(1,),'()0,()(1)0x e f x f x f ∈>>=;(,),'()0,()0x e f x f x ∈+∞<>，所以()f x 的值域为1(,)e -∞，设y kx =与ln xy x=相切时的切点为00(,)x y ，所以切线方程为0002200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，代入(0,0)，得0x e =， 故切线的斜率为12e，所以()f x 与y kx =的图象如下：根据题意，120k e k ⎧<⎪⎨⎪>⎩，故102k e <<，所以实数k 的取值范围为1(0,)2e .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=. 14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++L .15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=，即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】91【解析】根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-， 所以2524cos 1514024cos 4024cos BEA CFA A----又若ABC △的面积不少于6， 所以1311sin 12sin 3,sin cos [,]222ABC S AB AC A A A A =⋅=∴∈-△≥ 当cos A 取最大时，BE CF 9117．【解析】（1）111121(1)21(2),2(2),3(2)n n n n n n n n n a T n a T n a a a n a a n +-++=+∴=+∴-=∴=Q ≥≥≥≥， 又11a =，2213,3a a a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=（3分） 设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=Q 3n b n ∴=.（6分） （2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++（9分）所以前n 项和11111(1)()()22311n nA n n n =-+-++-=++L .（12分） 18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分） 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）由题意，随机变量X的取值分别为2,3,4,5.（6分）22261(2)15AP XA===,112242362(3)15C C AP XA===，12342434464(4)15C C A AP XA+===,1248(5)115151515P X==---=，（10分）∴随机变量X的分布列为：X 2 3 4 5P115215415815（11分）∴随机变量X的期望为：12486423451515151515EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分）19．【解析】（1）连接DB与EC交于点N，:1:2DC EB=，则:2:1EN CN=Q2,:2:1EM MF EM MF=∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF，（2分）又MN⊂平面BDM，CF⊄平面BDM，∴//CF平面BDM.（4分）（2）证明：由EA EB EF+=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE为平行四边形，所以6AF BE==，3EAFπ∠=，所以222cos333EF AE AF AE AFπ=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF=+∴⊥，（6分）又,,DE EB DE EA EB EA E⊥⊥=I，所以DE⊥平面AFBE，所以DE EF⊥，又EA ED E=I，EF∴⊥平面ADE ADE.（8分）以点E为原点，EA为x轴，EF为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M-，所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM=-=-u u u r u u u u r，（9分）设平面BMD的一个法向量为(,,)x y z=n，所以(,,)(3,33,1)03330,(,,)(3,3,0)0330BD x y z x y zBM x y z x y⎧⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅-==⎪⎪⎩⎩u u u ru u u u rnn令y=n ，（10分）又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)=m ，（10分）所以cos ,⋅<>==⋅n m n m n m 又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分）又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分） 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+， 联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.（7分） 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+， 所以222222111434x x y y xy x ky -⎧=+⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90ky ky y y y y ++++-=， 220022222222222999,27(34)1827(3)(34)1834y y y y k y ky ky k y k y y ---=∴==++++++++12221199273621(34)181827()3y k y k k k y y y --===-+++++--.（10分）所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -，所以22'P F PF =.（12分） 21．【解析】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=，又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=.（2分）（1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a （5分） （2）因为2(1)1()xx t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0h x '≤，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-；（7分） ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-，（8分） ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减， 在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增， 所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*.（10分） 令1()t t p t e +=,(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()tt p t e +=在(0,1)t ∈上单调递减，故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞U .（12分）22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分）曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分） （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-8分） 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=（10分） 23．【解析】 （1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--U .（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分） 又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）。

2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟（一）理数试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数51i i-+（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 3i B. 6iC. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】解：复数()()()()515111i i i i i i ---==-++-2+3i ．复数51i i-+（i 是虚数单位）的虚部是3． 故选C ．【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．2.已知集合{}21M x x =<，{}2|log ,2N y y x x ==>，则下列结论正确的是（ ）A. M N N =IB. ()R C M N ⋂=∅C. M N U =ID. ()R C M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】分别对集合M 和集合N 进行化简，然后对选项分别研究，得到正确答案. 【详解】集合M 中：21x <，解得11x -<<，集合N 中：2log y x =是单调递增函数2x >，所以1y > 即{}11M x x =-<<，{}1N y y => A 选项中，M N N ⋂=∅≠，所以错误；B 选项中，{}1R C N y y =≤，所以{}11R M C N x x ⋂=-<<≠∅，所以错误； C 选项中，M N U ⋂=∅≠，所以错误D 选项中，{}11M x x =-<<，{}1R C N y y =≤，所以()R C M N ⊆正确. 故选D 项.【点睛】本题考查集合的交集运算，集合与集合之间的关系，属于简单题. 3.在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则13S =（ ） A. 13 B. 14C. 15D. 16【答案】A 【解析】 【分析】因为数列是{}n a 是等差数列，所以可将351024a a a ++=用首项和公差表示为14a 24d 4+=，即1a 6d 1+=，然后用首项和公差表示13S ，即()13111312S 13a d 13a 6d 2⨯=+=+，进而整体代入便可得结果．【详解】解：因为数列是{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d所以351024a a a ++=可转化为14a 24d 4+=，即1a 6d 1+=所以()13111312S 13a d 13a 6d 132⨯=+=+= 故选A【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量(,,)1a d n 来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用．4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．5.在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A. 240-B. 60-C. 60D. 240【答案】D 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项，整理后令x 的指数为0，得到项数，然后计算出常数项，得到答案.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()6212316622rrr r rr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭其常数项为，令1230r -=得4r = 即()44562240T C =-= 故选D 项.【点睛】本题考查二项展开式的通项，求二项展开式中的常数项，属于简单题. 6.函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】()f x 是奇函数，故排除B ，D ；因为01a <<，所以令x =2，则()20f <，故排除A ，故答案为C.点睛：点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7.已知10sin 10α=，0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A.433- B.43+3C.433- D.334- 【答案】A 【解析】分析：根据同角三角函数关系由10sin α=310cos α=，于是可得sin2,cos 2αϕ，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．详解：∵10sin 10α=，0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2310cos 1sin αα=-=， ∴103103sin22sin cos 25ααα==⨯⨯=， 22104cos 212sin 12()5ϕα=-=-⨯=． ∴313413433cos 2cos 2sin 262525πααα-⎛⎫+=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C 【解析】由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积1441221122V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，应选答案C ． 9.已知0a b >>，b x a be =+，a y b ae =+，b z b ae =+，则（ ） A. x z y << B. z x y << C. z y x <<D. y z x <<【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵bax a be y b ae =+=+，，b z b ae =+， ∴()a by z a e e-=-又0e 1a b >>，＞，∴a b e e ＞ ∴y z ＞()()()()x 1b b z b a a b e a b e -=-+-=--，又01b a b e ，＞>> ∴x z ＞ 综上：x z y << 故选A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,,F F O 为它的中心，P 为双曲线右支上的一点，12PF F ∆的内切圆圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于A 点，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率为e ，则（ ） A. OB OA = B. OB e OA =C. OA e OB =D. ||OB 与||OA 关系不确定 【答案】A 【解析】F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），内切圆与x 轴的切点是点A ∵|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，及圆的切线长定理知， |AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设内切圆的圆心横坐标为x ， 则|（x+c ）﹣（c ﹣x ）|=2a ∴x=a； |OA|=a ，在△PCF 2中，由题意得，F 2B⊥PI 于B ，延长交F 1F 2于点C ，利用△PCB≌△PF 2B ，可知PC=PF 2， ∴在三角形F 1CF 2中，有：OB=12CF 1=12（PF 1﹣PC ）=12（PF 1﹣PF 2）=12×2a=a．∴|OB|=|OA|． 故选A ．点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论．一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周长，余弦定理，定义的应用，面积公式等． 11.已知函数()sin(2)3f x x π=-，若方程1()3f x =在(0,)π的解为1212,()x x x x <，则12sin()x x -=（ ）A. 22-B. 3-C. 12-D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得125212x x π+=，进而可得()121sin ?cos 23x x x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，明确1x 的范围得到结果.【详解】因为0x π<<，所以52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为12,x x 是1sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两根，结合图像可知125212x x π+=，所以2156x x π=-， 所以()12115sin sin 2cos 263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为122156x x x x π<=-，，所以15012x π<<， 所以12,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以122cos 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()1222sin 3x x -=-. 故选A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的对称性及取值范围，属于中档题.12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】分析：过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面，求出球的半径，以及垂直于OE 的截面半径，从而可得结果. 详解：显然过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面， 设三棱锥的外接球半径为R ，()2233R R +-=，解得2R =，截面面积最大为4π，如图，1OH =，2222cos30EH BH BE BH BE =+-⋅⋅o11332342=+-1367444=-=， 222711144OE EH OH ∴=+=+=， ∴垂直于OE 的截面半径r 满足2221152444r OE =-=-=， 254S r ππ∴==，即截面最小面积为54π，截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A.点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质2221R r OO=+.第II卷二、填空题:本小题共4小题，每小题共5分13.若整数,x y满足不等式组022020xx yx y≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则yzx=的最小值为_______.【答案】12【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点()2,1处，目标函数取得最小值为12.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意,x y为整数，属于基础题.14.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________. 【答案】23【解析】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为22339n C C =⋅=，左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙 、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数6m =，∴经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：6293m p n ===，故答案为23. 15.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =,则m 的最小值为 ．【答案】2 【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则PN m PA= ，设PA 的倾斜角为α，则sinα=m，当m 取得最小值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1）， 即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1， ∴m的最小值为2．故答案点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．16.已知函数()ln f x x a x =+，若()()()12121212111,,1,2x x x x f x f x x x ⎛⎫∀∈≠->- ⎪⎝⎭,则正数a 的取值范围是_______．【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】a ＞0，f （x ）=x+alnx ，()f 1ax x='+>, ∴f（x ）在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不妨设12x x < 则()()120f x f x -<，12110x x -> ()12121,,12x x x x ⎛⎫∀∈≠ ⎪⎝⎭，()()121211f x f x x x ->-，即()()211211f x f x x x ->-，∴()()212111f x f x x x +>+，即()()1g x f x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ∴()21g 10a x x x -'=+≥,即1a x x ≥-，又13x 2x -≤ 故3a 2≥三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，35a =，10100S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(5)n n b n a =+，记数列n b 的前n 项和n T ，求使得n T m <恒成立时m 的最小正整数.【答案】(1) 21n a n =- (2)1 【解析】 【分析】（1）先设设等差数列{}n a 的公差为d ，由35a =，10100S =列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出n b ，再由裂项相消法求数列的前n 项和即可.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为35a =，10100S =，所以11251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）可知()()22524n n b n a n n ==++ ()1111222n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12n n T b b b =+++=L111111[1232435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1111]112n n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭()()13232212n n n ⎡⎤+=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦, ∴34n T <，∴34m ≥，∴m 的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前n 项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18.如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当2AB =,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，则,SO AB AB AD ⊥⊥，AB ⊥平面SAD ，AB SD ⊥，结合勾股定理可得SA SD ⊥，则SD ⊥平面SAB ，平面SAB ⊥平面SCD .（Ⅱ）由几何关系，以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面SCD 的法向量()2,0,1m =-v ，平面SBC 的法向量()2,1n =v.计算可得平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 试题解析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥利用勾股定理得22422SA SB AB =-=-=2SD =在SAD ∆中，2,2,AD SA SD SA SD ===∴⊥SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD（Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC =Q ，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ，得OE ∥AB ，连结,3SE SE ∴=， 其中1OE =，1OA OD ==，2312OS =-=由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1,2OE OS =∴=Q ，()()()0,1,0,1,1,2,2,0,0DC SC BC ∴==--=-u u u v u u u v u u u v，设()111,,m x y z =v是平面SCD 的法向量，则有00m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即1111020y x y z =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 令11z =得()2,0,1m =-v设()222,,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则有00n BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222020x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =得()2,1n =v.则1,333m ncosm n m n v vv v v v ⋅===⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 19.已知点)3,0F是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点,点13,2M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】 【分析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,x x x x +，在由12OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围，得到答案．【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，所以点M142=. 所以2a =.又因为c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意. 故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=. 所以()12221228,4141,41km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩而()()()()212211212221212128222141OA OBkx m x kx m x m x x y y km k k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--，由12OA OB k k +=-，可得241m k =+. 所以14k ≥-，又因为()2216410k m -+>，所以2440k k ->. 综上，()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式by c x =⋅（,b c 为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸()x mm 384858687888质量()y g16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比yx0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望； （Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：（ⅰ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；（ⅱ）已知优等品的收益z （单位：千元）与,x y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？（精确到0.1）附：对于样本(,)i i v u (1,2,,)i n =L ，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()n niii ii i nni i i i v v u u v unvub v v v nv∧====---==--∑∑∑∑，a u bv ∧∧=-， 2.7182e ≈.【答案】（1）见解析（2）12y ex =，x=72.3 【解析】 【分析】()1由题意，首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可 ()2 ()i 结合题中所给的数据计算回归方程即可()ii 结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果【详解】（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内，即()0.302,0.388y x ∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=()0333361020C C P C ξ===， ()1233369120C C P C ξ===， ()2133369220C C P C ξ===， ()3033361320C C P C ξ=== ξ的分布列为()199130123202020202E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= （2）解：对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =， （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i i n i i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷====-÷-∑∑- 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭，得ln 1ˆˆa c ==，故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为12y ex = （ⅱ）由（ⅰ）可知，12ˆy e x =⋅，则.ˆ2032zx =由优等品质量与尺寸的比()12,7,97ˆ9y ex e e xx⎛⎫==⇒⎪⎝⎭，即()49,81x ∈令()7,9t =，()2220.3220.320.32ˆ0.32e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭当()8.57,90.32et ==≈∈时，ˆz 取最大值 - 即优等品的尺寸72.3x ≈（mm ），收益ˆz 的预报值最大.【点睛】本题考查了线性回归方程的实际运用，依据已知条件计算出随机变量ξ的分布列和期望；通过公式计算求得线性回归方程，本题为常考题型，注意解题方法．21.已知函数()()ln x e f x a x x x=+-，a R ∈.（Ⅰ）当a e =-时，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若()f x 有两个零点，求参数a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）0； （Ⅱ）a e <-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，再求导，判别导函数的正负可得原函数的单调性，可求得最小值；（Ⅱ）对a 进行分类讨论，分别利用其导函数的应用，判别其单调性，求其最值，可得参数a 的范围.【详解】（Ⅰ）()(ln )xe f x a x x x=+-,定义域(0,)+∞ ()22(1)(1)(1)()x x x e ax e x x f x a x x x '-+--=+= 当a e =-时, ()2(1)()x x e exf x x '--=,由于x e ex > 在(0,)+∞恒成立故()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增.故 min ()(1)0f x f a e ==+=（Ⅱ）()2(1)()x x e axf x x '-+=当a e =-时, ()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,()f x 只有一个零点当a e >-时,ax ex >- ,故0x x e ax e ex +>-≥ 在(0,)+∞恒成立,故()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,故当a e >-时, ()f x 没有零点.当a e <-时,令 0xe ax +=,得2(1),(),()x x x e e x e a x x x x x ϕϕ-'=-==, ()x ϕ在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增. min ()(1)x e ϕϕ==,()x ϕ在(0,)+∞有两个零点，1212,,01x x x x <<<()f x 在1(0,)x 单调递减,在1(,1)x 单调递增,在2(1,)x 单调递减,在2(,)x +∞单调递增，(1)0f a e =+< ,又0,(),,(),x f x x f x →→+∞→+∞→+∞此时()f x 有两个零点，综上()f x 有两个零点,则a e <-【点睛】本题考查了导函数的应用，掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==， 所以MN =12. 试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ== 所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯=o 考点：坐标系与参数方程.【此处有视频，请去附件查看】选修4-5：不等式选讲23.已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x ∈R ，不等式()1)4f x x π=+'恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【解析】【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()1)4f x x π=+'化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()1)4f x x π=+'恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当0a <时，232a a -≥-，解得25a ≤，即0a <；综上所述，a 的取值范围是(],2-∞【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2}答案 B解析 因为集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，所以P ∩Q ＝{0,1}．2．已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z －＝2(z －为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．1＋i 或1－iD ．－1＋i 或－1－i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，z ＋z －＝2a ， 所以⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2a ＝2，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝±1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.3．若a>1，则“a x>a y”是“log a x>log a y”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a>1，得a x>a y等价为x>y，log a x>log a y等价为x>y>0，故“a x>a y”是“log a x>log a y”的必要不充分条件．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析因为a＝log52<log55＝1 2，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，0．51<c＝0.50.2<0.50，即12<c<1，所以a<c<b.5．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由题可得S＝3，i＝2→S＝7，i＝3→S＝15，i＝4→S＝31，i＝5→S＝63，i＝6，此时结束循环，输出i＝6.6．已知{a n}，{b n}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝9，b7＝21，则由{a n}，{b n}公共项组成新数列{c n}，则c10＝()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析 (直接法)由题意，根据等差数列的通项公式得，数列{a n }的首项为3，公差为1，a n ＝n ＋2，数列{b n }的首项为3，公差为3，b n ＝3n ，则易知两个数列的公共项组成的新数列{c n }即为数列{b n }，由此c 10＝b 10＝30，故选C.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12答案 C解析 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m <2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝( )A ．1B ．22C ．6－24D ．6＋24 答案 D解析 由43S ＝(a ＋b )2－c 2，得43×12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴23ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即3sin C －cos C ＝1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，∵0<C <π， ∴－π6<C －π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24.9．关于函数f (x )＝x －sin x ，下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数 答案 D解析 f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (0)＝0，可得x ＝0是f (x )的唯一零点，故C 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9答案 D解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1＋a2，x <0，e x －1＋a 2x 2－(a ＋1)x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋2e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋2eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋1e答案 B解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1， f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0. 由此画出函数f (x )的大致图象如图所示．令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧f (t )＝e －a＋a 2，f (t )＝e t －1＋a 2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a2， 解得2＜a ＜2e ＋2.12．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为( )A ．[2－3，1]B ．[1，7]C ．[7， 7＋23]D ．[1,7＋23]答案 B解析 如图，过点B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形BMNC为直角梯形．在平面BMNC内，过C作CE⊥BM交BM于点E.又BM＝AB·sin∠BAM＝2sin π3＝3，AM＝2cosπ3＝1，CN＝AC·sin∠CAN＝3sin π6＝32，AN＝3cosπ6＝32，所以BE＝BM－CN＝32，故BC2＝MN2＋34.又AN－AM≤MN≤AM＋AN，即12＝AN－AM≤MN≤AM＋AN＝52，所以1≤BC2≤7，即1≤BC≤7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a＝(1，λ)，b＝(3,1)，c＝(1,2)，若向量2a－b与c共线，则向量a在向量c方向上的投影为________．答案0解析向量2a－b＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，∴向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝a·c|c|＝1－2×125＝0.14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ab sin C＝3(b2＋c2－a2)，若a＝13，c＝3，则△ABC的面积为________．答案3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ， 即a sin Cc ＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A,所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM→＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO→≥4＋t 2－4＋t 2. 令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min＝2. 16．已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎨⎧f (1)<0，m >0或⎩⎨⎧m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎨⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解， 所以⎩⎨⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得－1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 18．(本小题满分12分)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.解(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE⊂平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.19．(本小题满分12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y－＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝1100i＝15n i(y i－y－)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝5 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，c ＝1.又因为|DF 1|＝52，AF 2⊥x 轴，所以|DF 2|＝|DF 1|2－|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32， 因此2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2.由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)解法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1,4)．又F 1(－1,0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝2x ＋2，(x －1)2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0， 解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125，因此B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125.又F 2(1,0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝34(x －1)，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1.将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. 解法二：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1.如图，连接EF 1.因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，所以|EF 1|＝|EB |，从而∠BF 1E ＝∠B .因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ，所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，x 24＋y 23＝1，得y ＝±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x e x ＋ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝1，求f (x )的最大值．解 (1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1x －(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x ＋1)e x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)e x －1x ，则g ′(x )＝(x ＋2)e x ＋1x 2>0， 所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1，所以a ≤2e －1.(2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x ＋x (x >0)．则f ′(x )＝1x －(x ＋1)e x ＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x ， 令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1x 2－e x <0，所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，m (1)<0，所以存在x 0>0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，m (x )>0，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )<0，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x 0＋x 0，因为e x 0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0， 所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，所以f (x )max ＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ，所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线．(2)设点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)，直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t化为一般方程为y ＝12x ＋2，代入曲线C 的直角坐标方程，得x 2－4x －16＝0，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－16，所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1－x 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·42－4×(－16)＝10. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以x ≤－4；②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以x >2.综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |， 所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。