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解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形的应用例1：有一块三角形余料，三个角均为锐角，三边分别为a ，b ，c ，且满足a ＞b ＞c ，现要把它加工成正方形的半成品，使其四个顶点都在三角形边上，问两个顶点放在哪一边可使得正方形的面积最大？解：设ΔABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别为h a 、h b 、h c ，在各边上的正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ，ΔABC 的面积为S ，则由于ΔAPQ ∽ΔABC ， 可得a a a a h x h a x -=，整理得x a ＝aa a h a s h a ah +=+2 同理得xb ＝a h b s +2，xc ＝ah c s +2 用比差法比较x a ，x a 的大小，x a －x b ＝))(()]()[(222b a a a a a h b h a h h a b s h b s h a S ++-+-=+-+ ＝))(()1)(sin (2))(()]sin sin ()[(2b a b a h b h a c b a s h b h a c b c a a b s ++--=++-+- ∵ sin c －＜0，a ―b ＞0∴ x a －x b ＜0，同理，x a －x c ＜0，∴x a ＜x b ＜x c∴ 在最小边C 上的内接正方形的面积最大．例2．已知a ，b ，c ，为ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，当m>0时，关于x 的方程b(x 2＋m)＋c(x ―m)―2m ax ＝0，有两个相等的实数根，且sinC ·cosA ―cosC ·sinA ＝0，试判断ΔABC 的形状．解：(a ＋c)x 2―2m a x ＋m(b ―c)= 0∵ 关于x 的方程有两个相等的实数根∴ Δ＝B 2－4AC ＝(―2m a)2－4m(b ＋c)(b －c)＝4m(a 2―b 2＋c 2)＝0∵ m ＞0∴ a 2―b 2＋c 2＝0∴ b 2＝a 2＋c 2∴ ΔABC 为直角三角形，且∠＝90°，∴∠A 与∠C 互余，∴ cosA ＝sinC ，cosC ＝sinA ．∵ sinC •cos A －cosC•sin A ＝0＝sin 2C=sin 2A∴∠C ＝∠A ，∴a ＝CABC 为等腰直角三角形例3．ΔABCD 中，∠A ＝60°，最大边与最小边的长分别是方程3x 2―27x ＋32＝0的两实根，求ΔABC 的内切圆的面积．解：∵三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠A ＝60°，∠A 必须是最大边与最小边的夹角，设大边为c ，小为b ，由韦达定理b ＋c ＝9，bc ＝332． ∵S ΔABC ＝21b ·h ＝21b ·csin A ＝21×332×33823= 过点C 作CD ⊥AB 交AB 于∵∠ACD ＝30°，∴AD ＝21AC ＝21b CD ＝2322=-AD AC b BD ＝AB －AD ＝C －21b, BC 2＝CD 2＋DB 2＝222123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b C b ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c) 2－3bc ＝81－3×332＝49 ∴a ＝BC=7设ΔABC 的内切圆半径为r ，圆心为0,∴S ΔABC ＝S ΔO AB ＋S ΔO BC ＋S ΔO CA∴ r ＝339733822=+⨯=++∆c b a S ABC ∴三角形内切圆面积S ＝πr 2＝π31332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 例4．在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，CD ＝m ，AD ＝n ，AB ＝p ，以BC 为直径作圆分别交AB 和AD 于E 和H 、F ，（1）求tg ∠DCF ＋tg ∠DCH 的值．（2）求证：tg ∠DCF 和∠DCH 是方程mx 2－nx ＋p ＝0的两个根．解：（1）连接CE ，AE ＝DC ＝m ，连结CF ，EH ，则∠DFC ＝∠CEH ，而∠CEH ＝∠AHE ，∴∠DFC ＝∠AHE ，∴Rt ΔAEH ≌Rt ΔDCFDF ＝AH, AF ＝DH∵tg ∠DCF=m DF DC DF =, tg ∠DCH mDH DC DH = (1) ∵AH ·AF ＝AF ·AB∴tg ∠DCF ·tg ∠DCH ＝m p mmp m AB AE m AF AH m DH DF ==⋅=⋅=⋅2222 ∴mx 2－nx ＋p ＝0例5．已知矩形的长大于的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．解：∵矩形ABCD 的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，∴AD ＞4，AB ＜2，根据题意，可分为以下两种情况第一种情况如（一）图当tg ∠BAE ＝21时，设CE ＝x ，BE ＝m ， 则AB ＝DC ＝2m ，AD ＝m ＋x ，∵AB ＋AD ＝6，∴2m ＋m ＋x ＝6，m ＝36x - S 梯形＝21(AD ＋EC)·DC ＝21[(m ＋x)＋x] ·2m =m(m ＋2x)＝9535636-=+⋅-x x x 2＋38x ＋4 其中3＜x ＜6，第二种情况如图二当tg ∠DAE ＝21时，在矩形ABCD 中，AD//BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴tg ∠AEB ＝21，∴tg ∠AEB ＝21，设CE ＝x, AB ＝CD ＝n ，则BE ＝2n ，AD ＝2n ＋x ，∵矩形的周长为12，∴AB ＋AD ＝6 ∴n ＋2n ＋x ＝6，n ＝36x - S 梯形ABCD ＝21 (AD+EC)·DC ＝21[(2n+x)+x]·n ＝(n+x)·n ＝9236326-=-⋅+x x x 2＋32x ＋4 其中0＜x ＜6例6．已知A 是⊙o 上一点，以A 为圆心作圆交⊙o 于B ，C 两点，E 是弦BC 上一点，连结AE ，并延长交⊙o 于D ，连结BD, CD 设∠BDC ＝2α（1）求证：BD ·CD ＝AD ·ED（2）若ED ∶AD ＝43cos 2α，求作一个以AD BD 和ADCD 为根的一元二次方程， 并求出BD ∶CD 的值．证明：（1）连结AB ，AC ，则AB ＝AC∴AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝α又∴∠BAD ＝∠BCD ∴ΔABD ∽ΔCED∴BD ∶ED ＝AD ∶CD BD ·CD ＝AD ·ED（2）在等腰ΔABC 中，作AF ⊥BC 于F ，F 为BC 的中点，BC ＝BF ＋FG ＝2FC ， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝α，∴FC ＝AC ·cos αCOS ，BC ＝2AC ·cos α在ΔABE 和ΔADB 中，∵∠ABE ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠BAE ，∴ΔABE ∽ΔADB ∴BD ∶AD=BE ∶AB同理ΔAEC ∽ΔACD ，∴CD ∶AD ＝ED ∶AC由（1）BD ·CD ＝AD ·ED ∴432==⋅=⋅AD ED ADFD AD AD CD AD BD cos 2α ∴x 2―2cos ·x ＋43cos 2α=0 解得x 1＝21cos α, 当BD ＜CD 时， 31cos 23cos 21:21===ααx x AD CD AD BD 当BD ＞CD 时，321==x x CD BD练习：1、已知方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是直角三角形的两个锐角的余弦值．（1）求证：m 2＝2n ＋1；（2）若P(m ，n)是一次函数y ＝―21x ―83图象上一点，求点P 的坐标．2、已知在ΔABC 中，若AC 和BC 边的长是关于x 的方程x 2―(AB ＋4)x ＋4AB ＋8＝0的两根，且25BC ·sinA ＝9AB ，DB 为半圆的直径，0为圆心，AC 切半圆于E ，BC 交半圆于F ，（1）求ΔABC 三边的长．（2）求AD 的长．3、已知ΔABC 内接于⊙o ，弦AE 交BC 于D（1）求证：DEAD BE AC CE AB =⋅ （2）如果AE 是直径，那么DE AD 与tgB 和tgC 具有什么关系？并简要说明理由。
2010中考数学分类汇编一、选择题1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．32）m B．（32）mC．3m D．4m【答案】A2．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了A．5200m B．500m C．3500m D．1000m【答案】A3．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．5B．10米C．15米D．米【答案】A．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌A B C D，一球从点M（点M在长边C D上）出发沿虚线M N射向边B C，然后反弹到边A B上的P点. 如果M C n=，C M Nα∠=.那么P点与B点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈）【答案】82.03．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33º，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）【答案】0.13 4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中 距灯塔S 的最近距离是 海里（不作近似计算）。
ABD(第15题)【答案】365．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．三、解答题1．（2010安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。
（参考数据：7.13 ）【答案】2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．解：【答案】3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）45°39°D CE B【分析】（1）由于∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以AC ＝AB ＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE ＝AC ＝610米，在Rt △BDE 中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长，用AB 的长减去BE 的长度即可．【答案】（1）由题意，AC ＝AB ＝610（米）；（2）DE ＝AC ＝610（米），在Rt △BDE 中，tan ∠BDE ＝BE D E，故BE ＝DE tan39°．因为CD ＝AE ，所以CD ＝AB －DE ·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）答：大楼的高度CD 约为116米．【涉及知识点】解直角三角形 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)【答案】（1）如图，作AD ⊥BC 于点D (1)分Rt △ABD 中，AD =AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt △ACD 中，∵∠ACD =30°∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分 5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。
已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°.求树的高度AB 。
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【答案】6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．1.732≈）【答案】过C 作CD ⊥AB 于D 点， 由题意可知AB =50×20=1000m ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，AD =CD /tan30°，BC =CD /tan45°， ∵AD +BD = CD /tan30°+ CD /tan45°=1000， 解得CD=5001）m≈366m ．7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45º．若该楼高为26.65m ，小杨的眼睛离地面1.65m ，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）．AB C DE北（第23题）【答案】解：设AB 、CD 的延长线相交于点E∵∠CBE =45º CE ⊥AE ∴CE =BE ………………………（2分） ∵CE =26.65-1.65=25 ∴BE =25∴AE =AB +BE =30 ……………………………………………（4分） 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =30º ∴DE =AE ×tan30 º =30×33=10 3 …………………（7分）∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9分） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ……………………（10分） （注：不作答不扣分）8．（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o33711sin 37tan37s in 48tan48541010≈≈≈≈，，，）【答案】解：设CD = x ．在R t △ACD 中，tan 37AD C D︒=，则34AD x =，∴34AD x=.AB C DEA在Rt △BCD 中， tan48° = BD C D，则1110BD x =，∴1110BD x=. (4)分∵AD ＋BD = AB ， ∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6 9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45 降为30 ，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平地面上。
（1） 改善后滑滑板会加餐长多少米？（2） 若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。
（参考数据： 1.414=， 1.732=2.449=，以上结果均保留到小数点后两位）。
【答案】BCD3045第20题图10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．【答案】解：在Rt △AFG 中，tan AG AFG FG∠=∴tan AG FG AFG==∠……………（2分）在Rt △ACG 中，t a nAG AC G C G ∠=∴tan AG C G AC G==∠…………（4分）又 40C G FG -= 即40G -=∴AG =（7分）∴ 1.5AB =（米）答：这幢教学楼的高度AB为 1.5)米．（8分）11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位 于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市； （2）求这次台风影响B 市的时间.【答案】(1) 作BH ⊥PQ 于点H , 在Rt △BHP 中,由条件知, PB = 320, ∠BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,∴本次台风会影响B 市. ---4分(2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.由（1）得BH = 160, 由条件得BP 1=BP 2 = 200, ∴P 1P 2 = 222160200-=240, --- 4分∴台风影响的时间t =30240= 8(小时). --- 2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD ，如图（单位：米）．设路基高为h ，两侧的坡角分别为α和β，已知2=h ，︒=45α，21tan =β，10=CD ．（1）求路基底部AB 的宽；（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？【答案】1）作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，则2==CF DE ，在Rt △ADE 中，∵︒=45α，∴2==DE AE ．在Rt △CFB 中，∵21tan =β，∴21=BFCF ，∴42==CF BF ．在梯形ABCD 中，又∵EF ＝CD ＝10， ∴AB ＝AE ＋EF ＋FB ＝16（米）． …6分 （2）在梯形ABCD 中，∵AB ＝16，10=CD ，2=DE ，∴面积为262)1610(21)(21=⨯+=⨯+DE AB CD （平方米），∴修筑1000米路基，需要土石方：26000100026=⨯（立方米）． …4分13．（2010浙江绍兴）如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m .当气球 沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气 球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）.αβABCEDF（第21题）αβABCD （第21题）第20题图【答案】解:(1) 作CD ⊥AB ,C /E ⊥AB ,垂足分别为D ,E.∵ CD ＝BD ·tan 60°,CD ＝（100＋BD ）·tan 30°,∴（100＋BD ）·tan 30°＝BD ·tan 60°, ∴ BD ＝50, CD ＝503≈86.6 m ， ∴ 气球的高度约为86.6 m.(2) ∵ BD ＝50, AB ＝100, ∴ AD ＝150 ,又∵ AE ＝C /E ＝503, ∴ DE ＝150－503≈63.40， ∴ 气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?第20题图第21题图【答案】(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BCAB =25.44≈0.94，∴∠D ≈20°．（2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， 共需台阶28.9×100÷17=170级．15．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶P 处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为60º，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30º（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）第20题图A PO B图②【答案】由题意知∠PAO ＝60º，∠B ＝30º，在Rt △POA 中，tan P O P A O O A∠=，30tan 60O A︒=，OA ＝30÷Rt △POB 中，tan P O B A B=，30tan 30O A︒=，OA ＝303＝AB＝OB －OA＝16．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60和45．求路况显示牌BC 的高度．【答案】解：在Rt △ABD,AB ＝3m ，∠ADB ＝45°所以333tan tan 451A B A D A D B====∠．Rt△ACD中，AD＝3m，∠ADC ＝60°所以t a n3t603333ACA D AD C ==⨯==．所以路况显示牌BC的高度为()3m ．17．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？（2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin 60°≈0.866,cos60°=0.5,tan 60°≈1.732）【答案】解：（1）分别过A ，B 作地面的垂线，垂足分别为D ，E ．在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32mB(第19题在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高．（2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ． 18．（2010 山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB =40米，坡角∠BAD =600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？【答案】解：作BG ⊥AD 于G ，作EF ⊥AD 于F ， ∵Rt △ABG 中，∠BAD =600，AB =40， ∴ BG =AB ·sin600=203，AG = AB ·cos600=20 同理在Rt △AEF 中，∠EAD =450， ∴AF =EF =BG =203，∴BE =FG =AF -AG =20(13-)米.19．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度31∶=i ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？（将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号）D【答案】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ADC中，由3:1=i 得tan C =3331=∴∠C =30°∴AD =21AC =21×240=120(米)在Rt △ABD 中，∠B =45°∴AB ＝2AD ＝1202（米） 1202÷（240÷24）＝1202÷10＝122（米/分钟） 答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ．20．（2010江苏无锡）在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A相距的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．东l【答案】解：（1）由题意，得∠BAC =90°，∴BC ==∴轮船航行的速度为43=时．(2)能．……（4分）作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，设直线BC 交l 于F ，l东则BD =AB ·cos ∠BAD =20，CE =AC ·sin ∠CAE=，AE =AC ·cos ∠CAE =12．∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BDF =∠CEF =90°．又∠BFD =∠CFE ，∴△BDF ∽△CEF ， ∴,D F B D E FC E=∴32EF EF+=，∴EF =8．∴AF =AE +EF =20．∵AM ＜AF ＜AN ，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN 靠岸．21．（2010湖南邵阳，22，8分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10米（AB ＝10米），坡角为20°30`（∠BAC ＝20°30`）的斜坡通道改造成坡角为12°30`（∠BDC ＝12°30`）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处，求改造后的斜坡通道BD 的长。
