人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆

24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级上学期数学人教版基础题夯实知识点1正多边形的有关概念1.下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正七边形2.下列说法：①矩形是正多边形；②菱形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.12知识点2 正多边形的有关计算4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD 的度数为 .5.⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是 .6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为 .7.半径为 R 的圆内接正十二边形的面积为( )A.R 24B.12R2 C.3R² D.6R²8.分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.(直接写出结果)边长边心距周长面积圆内接正三角形圆内接正方形圆内接正六边形中档题运用̂上,Q是DF̂的中点,则∠CPQ的度数为 .9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AB10.如图,点P₁∼P₁是⊙O 的八等分点.若△P₁P₁P₁,四边形P₁P₁P₁P₁的周长分别为a,b,比较a,b的大小 .11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 .12.如图,⊙O 的半径为R,六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形,四边形 EFGH 是正方形.(1)求∠OGF 的度数;(2)求正六边形与正方形的面积比.综合题探究13.如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O，阅读以下作图过程，并解答下列问题，作法如图2.步骤如下:①作直径AF;②以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与⊙O 交于点 M,N;③连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN 是正三角形吗? 请说明理由；(3)从点 A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值.。

24.3 正多边形和圆知识点1 .相等,也相等的多边形叫做正多边形 .2 .把一个圆分成几等份,连接各点所得到的多边形是 ,它的中央角等于3 .一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中央,外接圆的叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中央角,中央到正 多边形的一边的 叫做正多边形的边心距. 4 .正n 边形的半径为 R,边心距为r,边长为a, (1)中央角的度数为：. (2)每个内角的度数为：. (3)每个外角的度数为： . (4)周长为： ,面积为： .5 .正n 边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它的对称轴有 条,并且还是中央对 称图形；当边数为奇数时,它只是.(填“轴对称图形〞或“中央对称图形〞) 一、选择题1 .以下说法正确的选项是 A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形 6,那么其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()2. (2021以津)正六边形的边心距与边长之比为3.(2021山东滨州 )假设正方形的边长为A. 6, 3亚B. 3行,3C. 6, 3D. 6• 3匹4 .如下图,正六边形ABCDEF内接于.O, 那么/ADB的度数是( ).A. 60°B. 45C. 30D. 22. 55 .半径相等的圆的内接正三角形,正方形,正六边形的边长的比为〔〕A.1： .2 : 3B. 3: 2:1C.3:2:1D.1:2:36 .圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,那么/APB的度数是〔〕.A. 36°B, 60° C. 72° D, 108°7 . 〔2021?自贡〕如图,点O是正六边形的对称中央,如果用一副三角板的角,借助点0〔使该角的顶点落在点O处〕,把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是〔〕A.4B.5C.6D. 78 .如图,△ PQ幅..的内接正三角形,四边形ABC皿OO的内接正方形,BC// QR那么/A0Q的度数是〔〕A.60 °B.65 °C.72 °D.75、填空题9 .一个正n边形的边长为a,面积为S,那么它的边心距为.10 .正多边形的一个中央角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.11 .假设正六边形的面积是24j3cm2,那么这个正六边形的边长是.12 .正六边形的边心距为B那么它的周长是.13 .点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形的中央,那么/ MON=.14 .边长为a的正三角形的边心距、半径〔外接圆的半径〕和高之比为15 .要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,那么选用的圆形铁片的直径最小要_________ cm.16 .假设正多边形的边心距与边长的比为1:2,那么这个正多边形的边数是17 .一个正三角形和一个正六边形的周长相等,那么它们的面积比为18 .〔2021超州〕如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,那么正八边形的面积为_______ cm2.三、解做题19 .比拟正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点正五边形正六边形例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等^它们的一个不同点：正五边形不是中央对称图形,正六边形是中央对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：〔1〕_________________________________________________________________ （2）. 不同点：〔1〕_________________________________________________________________________(2) ___________________________________________________________________21 .如图,O O 的半径为 短,..的内接一个正多边形,边心距为 1,求它的中央角、边长、面积.22 ..O 和.O 上的一点 A.(1)作.O 的内接正方形 ABCDF 口内接正六边形 AEFCGH(2)在(1)题的作图中,如果点 E 在弧AD 上,求证：DE 是..内接正十二边形的一边.20.,如图,正六边形 距「6、面积S 6.ABCDEF 的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R 、边心第21题第22题23 .如图1、图2、图3、…、图n, M N分别是.0的内接正三角形ABC正方形ABCD正五边形ABCDE…、正n边形ABCDE•的边AR BC上的点,且BM=CN连结OM ON.圉1 图2 囹斗3图式(1)求图1中/ MON勺度数；(2)图2中/ MON勺度数是 ,图3中/ MON勺度数是(3)试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).知识点 1 .各边各角2 .正多边形正多边形每一边所对的圆心角3 .圆心半径圆心角 距离 5.n 轴对称图形 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B解：根据圆内接正多边形的性质可知, 只要把此正六边形再化为正多边形即可,以30的倍数就可以解决问题. 360+30=12; 360+60=6; 360+90=4; 360+120=3; 360+180=2.因此n 的所有可能的值共五种情况, 应选B. 8.D 二、填空题9. 2S 10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15.4 v2 16.na18.40 三、解做题19.相同点：〔1〕每个内角都相等〔或每个外角都相等或对角线都相等〕；〔2〕都是轴对称图形〔或都有外接圆和内切圆〕^不同点：〔1〕正五边形的每个内角是 108° ,正六边形的每个内角是120°〔2〕正五边形的对称轴是 5条,正六边形的对称轴是 6条.参考答案4.360(2)(『2)|18°n360 nar⑷皿⑸方即让周角除四 17.2:3解：连接OA,OB.过点O作OG AB于G.** AOB =60 , OA OB* AOB是等边三角形OA OB 6 即R=6O OA OB ,OG AB1 1AG -AB -63 2 2在Rt AOG 中,r6 OG JOA 2~AG 2相~3T3 点S6 1- 6 6 3 /3 54 . 3R 6 cm,「6 3 .. 3cm , S6 54 .3 cm 2.21.解：连结OB•・在•△AOC^, AC=J OA2 OC2^/T7=1AC=OC / AOCh OAC=45• .OA=OB OCL AB• .AB=2AC=2 /AOB=2 OAC=2< 45° =90°,这个内接正多边形是正方形「•面积为22=4••・中央角为90.,边长为2,面积为4.22. (1)作法：①作直径AC;②作直径BDL AC;③依次连结A、B、C D四点,四边形ABCD^为.0的内接正方形；于E、H、F、G;④分别以A、C为圆心,以OA长为半径作弧,交.0⑤顺次连结A、E、F、C G H各点.六边形AEFCG即为.0的内接正六边形(2)证实：连结OE DE.•. /AOD= 360- = 90° , /AOE= 360-= 60° ,・ ./DOB Z AOD- /AO2 90° -60 ° =30・•・DE为.0的内接正十二边形的一边 .23. (1)方法一：连结OB OC.・•・正4ABC内接于.O,・・./OBM =OCN= 30° , ZBOC=120 .X / BM=CN OB=OC・.△OB阵AOCN( SAS . ・./ BOM= /CON.・./ MON=BOC=120 .方法二：连结OA OB. ・•・正^ABC内接于.O, .•.AB=AC /OAM =OBN=30 , ZAOB=120 .又「BM= CN.•.AM=BN.X/OA=OB,・.△AO阵△BON SAS . ・./AOM = BON.・./MON =AOB=120 .(2)90 ° 72 °(3) / MON=360-.。

24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

（3）正多边形是对称图形。

当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（4）与正多边形有关的概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。

正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。

例题1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化例题2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3.正n边形是对称图形，它的对称轴有条。

例题4.正n边形的每个内角是，每个中心角是。

例题5.如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的边长、周长、面积．知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心；2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角；3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距；注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式例题 6.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O ，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A ～H ），过点E 作⊙O 的切线与AG 的延长线交于点M ，连接EG ．（1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为 ．（2）求AG 的长．（3）求ME 的长．2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a r R例题7.如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数．例题8.正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积．例题9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．课堂同步练习1.一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则∠ABF的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°2．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2．则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．πD．2π4．如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，若EF＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等6．如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（）A．B．C．D．17．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为.8．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）9．如图，已知正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC的度数为°．10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是．12．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的每一个外角的度数．13．如图，正六边形ABCDEF的半径为5．（1）求对角线AC的长；（2）求这个正六边形的周长与面积．14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．（1）求∠CAD的度数．（2）已知AB＝2，求DF的长．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为；（2）△AMN周长的最小值是．。

24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1．正十边形的每一个外角的度数都等于（）A．135°B．45°C．36°D．144°2．如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，⊙BCD=110°，则⊙AEB的度数为()A．70°B．35°C．40°D．20°3．如图，连接正五边形的两条对角线，得到的图形（）A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2⊙O的半径为（）A．2B6C．2D．265．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60°C．半径为R的圆内接正方形的边长等于2RD．只有正方形的外角和等于360°7．正多边形的一个外角等于40°．则这个多边形的边数为（）A．6B．9C．10D．128．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若⊙B＝70°，则⊙CAD的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°9．下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形10．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二、填空题11．如图，正五边形ABCDE中，将半径OA绕点O逆时针旋转90︒得OF，连接OC，OF，CF，则∠的度数为．F12．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是cm.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点．15．⊙ ABC中，⊙ ACB=120°，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足⊙ ADB=60°，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为．三、解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，求⊙BCD的度数.17．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若⊙E+⊙F=α，求⊙A 的度数（用含α的式子表示）；（2）若⊙E+⊙F=60°，求⊙A 的度数．18．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，AB 是⊙O 的直径，AD⊙l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若⊙DAC=30°，求⊙BAC 的大小； （2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若⊙DAE=18°，求⊙BAF 的大小． 19．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？20．如图所示，四边形ABCD 内接于O AC ，为O 的直径，ADB CDB ∠=∠.（1）试判断ABC 的形状，并给出证明.（2）若21AB AD =，，求CD 的长度.21．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB=2，P 是ED 的中点，连结AP ．求AP 的长．22．如图，已知三角形ΔABC 中，AB=AC ，D 是ΔABC 的外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD至E。