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质点运动的描述

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质点运动的描述

质点运动的描述

质点运动的描述质点运动是经典力学中的基本概念，它描述了一个物体在空间中运动的方式。

质点被定义为一个没有体积的点，它具有质量和位置。

在质点运动的描述中，我们通常关注的是质点的位置、速度和加速度，以及与时间的关系。

I. 位置的描述质点的位置可以用坐标来描述。

在二维情况下，我们可以用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示质点的位置。

在三维情况下，我们通常使用笛卡尔坐标系。

质点在空间中的位置可以用一个向量来表示，该向量以质点所处位置为终点，以参考点为起点。

II. 速度的描述质点的速度是指单位时间内质点位置的变化率。

在一维情况下，我们可以用标量表示质点的速度。

在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的速度。

质点的速度可以通过位置对时间的导数来计算，即速度等于位置关于时间的导数。

III. 加速度的描述质点的加速度是指单位时间内质点速度的变化率。

加速度表示了质点运动的变化情况。

在一维情况下，我们可以用标量表示质点的加速度。

在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的加速度。

质点的加速度可以通过速度对时间的导数来计算，即加速度等于速度关于时间的导数。

IV. 运动方程的描述运动方程是描述质点运动的基本方程。

对于匀速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt，其中x为质点的位置，x0为初始位置，v为速度，t为时间。

对于匀加速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt + 0.5at^2，其中a为加速度。

在二维或三维情况下，我们可以将位置、速度和加速度的每个分量分别表示，并分别应用相应的运动方程。

V. 质点运动的特殊情况在质点运动中，还存在一些特殊情况。

例如，匀速圆周运动中，质点沿着一个固定半径的圆周以恒定速度运动。

在这种情况下，质点的位置可以用极坐标来表示，并且质点的速度与加速度垂直于运动方向。

VI. 质点运动的描述与分析质点运动的描述和分析对于理解物体运动的基本规律和设计运动轨迹具有重要意义。

质点运动的描述(速度和加速度)

质点运动的描述(速度和加速度)

3
23
3
18 9 18
（4） vx 3m / s, vy (t 3)m / s t 3, v3 3i 6 j m / s
ay 1j m/ s2
t
3,
a
j
m/
s2
第一章 质点运动学
物理学
第五版
1-1 质点运动的描述
例1-3 质点以加速度a在x轴上运动，开始时速度
为v0，在x＝x0处的位置，求质点在任意时刻的速
日心系
o Y
X 地心系
第一章 质点运动学
5
物理学
第五版
3.坐标系
1-1 质点运动的描述
为了定量地确定物体的运动,须在参照系上选用一 个坐标系.
直角坐标系,极坐标系,自然坐标系,球面坐标系等.
直 角 坐 标 系
x
y
z
极 坐
r
标 系
自 然 坐 标
n
系
第一章 质点运动学
6
物理学
第五版
1-1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
18
物理学
第五版
三 加速度
反映速度大小和 方向随时间变化快慢 的物理量
1 平均加速度
a v t
a 与v 同方向
1-1 质点运动的描述
y vA
vB
AB
O
x
vA v
vB
第一章 质点运动学
19
物理学
第五版
1-1 质点运动的描述
2 (瞬时)加速度
a
lim
t0
v t
dv dt
d
2
r
dt2
1-1 质点运动的描述
质点运动学两类基本问题

第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率

大学物理 第一章 第一节 质点运动的描述

大学物理 第一章 第一节 质点运动的描述

素，使问题简化但又不失客观真实性的一抽象思维方法；
质点、刚体、线性弹簧振子、理想气体、点电荷及光滑平
面、细绳、无阻尼振动、绝热过程等。
• 3、思考题: 地球可否看作质点？为什么?
6
※ 确定质点位置的方法
• 1、参考系：描述物体运动时被选作参考的其他物体或 物体系，称为“参考系” 或“参照系” 。
• 2、确定质点相对于参考系位置的方法
x
7
※ 运动(学)方程
用以确定在选定的参考系中质
z
z( t )
·P( t )
点相对坐标系的位置随时间变化 的数学表达式：
x x(t) , y y(t) , z z(t) , r r (t) , s f (t)
r( t )
·^z
x( t )^x 0
^y
x
y( t ) y
例如：
自然法
坐标法
※ 位移
1、位矢： 2、位移：
3、位移的大小：
4、位移的方向： 12
※ 速度
径向速度
速率 speed
v v
（速度的大小）
v
2 x
v
2 y
v
2 z
横向速度
dr 思考题： dt
d r 与 dr
是速率吗？ dt dt
有何区别？
13
※ 加速度
加速度的分量
14
加速度的大小
15
质点运动学的基本问题
两
速度的大小a 。
17
解：
y
h
0
小船只沿x方向运动,
简化为一维问题, 可
l
用标量处理。
x
x
18
例题2 一物体作直线运动，初速度为零，初加速度为a0 , 出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加了a0 , 求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。

1-2 质点运动的描述-1

1-2 质点运动的描述-1

1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
3. 平均速率 ——质点在 △t 时间内所走过的路程△s与时间 △t 的比值.
Δs v = Δt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
4. 瞬时速率： ——速度 v 的大小称为速率.
Δr Δs ds = lim = v v = lim = Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt dt
ds v= et = v et dt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
六、加速度 1） 平均加速度 ——单位时间内的速度增量。
y
A
O
vA
B
vB
Δv a = Δt
a 与 Δv 同方向 .
2）（瞬时）加速度
x
vA
Δv dv a = lim = Δt →0 Δt dt
Δv
vB
1-2 质点运动的描述
从中消去参数 t 得轨道方程
F(x, y, z) = 0
z
z (t )
o
x
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例1. 已知质点的运动方程 r = 2ti + ( 2 − t 2 ) j ( SI ) 求：(1) 质点的轨迹。 (2) t = 0 及t = 2s 时，质点的位置矢量。
⎧ x = 2t 解：(1) 先写参数方程：⎨ y = 2 − t2 ⎩
dv a= = −10 j dt
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g
y : v y = 15 − 10t
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g

质点与刚体的运动规律

质点与刚体的运动规律

质点与刚体的运动规律运动是物质存在的基本属性之一，是所有物质都具有的普遍特征。

在物理学中，质点和刚体是两种常见的研究对象，它们分别具有不同的运动规律。

我们将分别探讨质点和刚体的运动规律，并比较它们之间的区别和联系。

一、质点的运动规律质点是指没有大小和形状的物体，质点的运动通常是指质点在空间中的位置随时间的变化过程。

在研究质点的运动规律时，我们通常关注质点的位移、速度和加速度等物理量。

1. 位移：质点的位移是指质点从出发点到达终点所经过的路径长度。

通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。

2. 速度：质点的速度是指质点在单位时间内所经过的位移。

速度的大小为每单位时间内的位移的大小，方向与位移方向相同。

速度的矢量表示为速度矢量，即速度大小和速度方向。

3. 加速度：质点的加速度是指质点的速度在单位时间内的变化率。

加速度的大小为每单位时间内的速度的变化量的大小，方向与速度变化的方向相同。

加速度的矢量表示为加速度矢量。

根据牛顿第二定律F=ma，质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比。

即a=F/m，其中a为加速度，F为合外力，m为质点的质量。

二、刚体的运动规律刚体是指形状不变的物体，刚体的运动通常是指刚体在空间中的位置和形态随时间的变化过程。

在研究刚体的运动规律时，我们通常关注刚体的位移、角位移、线速度、角速度和角加速度等物理量。

1. 位移：刚体的位移是指整个刚体在空间中的位置的变化。

通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。

2. 角位移：刚体的角位移是指刚体绕某个轴心转动的角度的变化。

通常用标量表示，常用弧度作为单位。

3. 线速度：刚体的线速度是指刚体上任意一点的速度大小。

线速度的大小为该点所在的切线上单位时间内的位移的大小，方向与该切线方向相同。

4. 角速度：刚体的角速度是指刚体绕某个轴心转动的角度在单位时间内的变化率。

角速度的大小为单位时间内角位移的大小，方向与转动方向相同。

根据刚体运动的特点，刚体上各点的线速度和角速度大小相等，方向相同。

质点的运动和位移

质点的运动和位移质点是物理学中的一个概念，指的是没有大小和形状，只有质量的物体。

质点的运动是物理学中一个重要的研究方向，本文将探讨质点的运动以及与之相关的位移概念。

一、质点的运动质点的运动可以分为直线运动和曲线运动两种情况。

1. 直线运动直线运动是质点运动最简单也是最基本的一种形式。

在直线运动中，质点的移动方向与速度方向保持一致。

如果速度的大小保持不变，则质点做匀速直线运动；而如果速度的大小随时间发生变化，则质点做变速直线运动。

2. 曲线运动曲线运动是质点沿曲线路径移动的情况。

在曲线运动中，质点的速度和加速度可能沿着曲线方向或垂直于曲线方向。

曲线运动可以进一步分为平面曲线运动和空间曲线运动两种情况，具体涉及到曲线的方程、曲率等数学概念。

二、质点的位移位移是用来描述质点运动过程中的位置变化的物理量。

位移可以分为位移的大小和位移的方向两个方面。

1. 位移的大小位移的大小是指质点在运动过程中实际位置与初始位置之间的间距。

位移可以用矢量来表示，即具有大小和方向的物理量。

2. 位移的方向位移的方向是指质点运动的路径方向。

在直线运动中，位移的方向与运动方向一致；在曲线运动中，位移方向则需要根据具体曲线路径来确定，通常可通过曲线的切线方向进行描述。

三、质点运动的特点质点的运动具有以下几个特点：1. 运动状态质点的运动状态可以包括静止、匀速运动、变速运动等。

2. 运动速度质点的运动速度可以描述质点在某一瞬时的位置变化快慢。

速度可以分为瞬时速度和平均速度两种。

瞬时速度是指质点在某一瞬时的瞬时位置变化率；平均速度是指质点在某一时间段内的位移与时间的比值。

3. 运动加速度质点的运动加速度可以描述质点在某一瞬时的速度变化快慢。

加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度两种。

瞬时加速度是指质点在某一瞬时的瞬时速度变化率；平均加速度是指质点在某一时间段内速度变化与时间的比值。

四、质点运动的描述方法为了更准确地描述质点的运动和位移，物理学中常常使用运动学和动力学的方法。

描述流体质点运动的两种方法

描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。

大学物理基础知识质点运动的描述与分析

大学物理基础知识质点运动的描述与分析质点运动是大学物理基础知识中的重要内容，它描述了物体在空间中的运动状态以及造成其运动的各种原因。

本文将从质点运动的基本概念、描述运动的方式以及运动分析等几个方面展开论述。

一、质点运动的基本概念在物理学中，质点被定义为一个非常小、不具有大小和形状的物体，仅具有质量。

质点具有位置、速度和加速度等运动状态。

质点运动可以按照时间发生的方式来描述，常见的有匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。

二、描述运动的方式为了准确地描述和分析物体的运动，需要引入一些物理量来描述质点的运动状态。

常见的运动描述物理量有位移、速度和加速度。

1. 位移位移是指物体从起点到终点的位置变化。

位移的大小和方向决定了两个时刻物体的位置差异。

位移可以用矢量来表示，即具有大小和方向。

当物体做直线运动时，位移的方向与物体运动方向保持一致。

位移的计算公式为Δx = x₂ - x₁。

2. 速度速度是指单位时间内位移的变化率。

速度表征了物体运动的快慢以及方向，是矢量量。

平均速度可以用位移与时间的比值来表示，即v =Δx / Δt。

而瞬时速度则是时间无限趋近于零时的速度，可以通过取限极的方式求得。

3. 加速度加速度是指单位时间内速度的变化率。

加速度描述了物体运动状态的改变情况，也是矢量量。

平均加速度可以用速度变化与时间的比值来表示，即a = Δv / Δt。

而瞬时加速度则是时间无限趋近于零时的加速度。

三、运动分析在质点运动的分析中，常常关注的问题有速度与位移之间的关系、加速度与速度之间的关系以及相互作用力对运动的影响等。

1. 速度与位移之间的关系在质点做匀速直线运动时，位移和速度之间的关系是简单的线性关系。

根据定义，平均速度等于位移与时间的比值。

而无论加速度大小，匀速直线运动时的瞬时速度保持不变。

因此，可以得出结论，在匀速直线运动中，速度与位移呈线性关系。

2. 加速度与速度之间的关系加速度描述了速度变化的快慢以及方向的改变。

质点运动的自然坐标描述


a R x s i it y i n j R z k c o t j s h 2 k
R 2 ct i o R s 2 st j in
§1-5 质点运动的自然坐标描述
v x 2 y 2 z 2R 2 ( h 24 π 2 ) 常量
切向加速度
at vt 0
§1-5 质点运动的自然坐标描述
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方 向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.
1. 弧长方程
在轨道上取一点 作原O点, 规定沿轨道的某一方向为弧
长的正方向, 质点位置可由原点 到质点间的一段O弧长 来
确定, 称为弧坐s标.
s
s s(t)
弧长方程和轨道方程一起与 质点的运动学方程等价.
ebeten
§1-5 质点运动的自然坐标描述
3. 速度和加速度表达式
速度 加速度
v a v sddetvte tt dsds tde d (etsttet)
dsd
d d e tt s1d d t ve tn e n s e n
§1-5 质点运动的自然坐标描述
切向加速度
法向加速度
a
set
s2
en
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道 的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述
中联有的系不物的同理基的a量本表与依达其据形他 是 式:,坐速 但标度 它系们中和的的加大物速小理度和量方在之向不间是同的惟的联一描系确述. 建定方立的法v这.中个
§1-5 质点运动的自然坐标描述
弧坐标为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.
§1-5 质点运动的自然坐标描述
2. 相关的微分几何知识
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r
(2) 位移与参照系位置的变化无关
(3) 分清 r 与Δr 的区别
O O ’
r
时刻 t ，质点位于P ，位矢为 r 1
建如图所示坐标，则
13
时刻 t +t ，质点位于 Q ，位矢为 r 2
r1 x1 i y 1 j z 1 k
r2 x 2 i y 2 j z 2 k
代入初始条件 代入初始条件得：
r 6t i 8t j 8k
2
23
例4某人身高h ，站在离地面H的塔吊桥下。 当塔吊以速度 vo 水平方向开走，灯从人头顶 掠过，人头顶在地面的影子移动速度为多大 ？
y H
h v0
t
x
O
x1
x
24
解
由相似三角形中的比例关系
H x1 x ( x 0 , x x) h x hx1 x H h hv 0 t H h
dx 2 dy 2 dz 2 ( ) ( ) ( ) dt dt dt
位移的极限方向.SWF
速度方向为 A 点的切线方向
16
三. 加速度
v 1. 平均加速度 a t
2. 瞬时加速度
v (t ) A
B
v (t t )
r (t )
r (t t )
v dv d 2 r a lim 2 t 0 t dt dt dv y dv z dv dv x a i j k dt dt dt dt
11
3. 自然坐标法 已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。
s s(t )
运动学方程：
参考物
•
O
s
s
•
r (t ) x(t )i y(t )j z(t )k x x ( t ), y y ( t ), z z ( t )
P
s s (t )
轨迹方程：从运动学方程中消去参数t得质点的轨迹
4
§1 质点运动的描述
力学：研究物体机械运动及其规律的学科。 机械运动：一个物体相对于另一个物体的空间位
置随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相对于 其另一部分的位置随时间而发生变化的运动。
1、质点 物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。
质点：具有一定质量而大小或形状可以忽略的理想物体。
y
P 1
r xi yj zk
r x y z
2 2 2
位移与路程与位氏大小的区别.swf
r
r2
P2
r1
r
3平均速度与平均速率的区别
z
O
x
Δr v t
Δs v t
19
说明
质点运动学两类基本问题
1已知运动方程求质点的速度和加速度； 2已知加速度和初始条件，求质点速度及其 运动方程．
y
v0
t
H
x1 x
h
x
O
25
hv 0 dx v dt H h
讨论: (1) v 与 t 无关，人影作匀速直线运动。 (2) H-h>0, v 与 v0方向相反。 (3) 当h≈H时，H - h≈0，v >> v0,v 有可能
超过光速。
求速度和运动方程
解: :
v t dv a 16 j dv =16dtj dv 16dt j v0 0 dt
代入初始条件
v 6i 16t j
r t dr v dr =(6i 16t j )dt dr (6i 16t j )dt r0 0 dt
1位移与路程的区别
y
s '
P 1 r
s
P2
(1) 两点间位移是唯一的．
( 2)
Δr s
r (t1 ) r (t 2 )
(3) 位移是矢量， 路程是标量．
z
O
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
18
注意区分
2 r , r ,r
方程．
§2 质点的位移、速度和加速度
一. 位移
12
r r (t t ) r (t )
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位 ) 的变化。 讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程
P
s
P’
r (t )
O
r
r (t t )
r S
r
r (t )
求导 积分
v(t )
求导 积分
a (t )
20
例1 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
地面上的人：平抛运动
坐地日行八万里，巡天遥 看一千河----《送瘟神》
孰是孰非？
——运动的描述是相对的
8
2）.什么是参考系 参考系：为描述物体运动而选用的标准物体或物体系。
坐标系：为了定量描述物体的位置与运动情况，在参 考系上建立的带有标尺的数学坐标，称坐标系。
参考系=参照物 + 坐标系 + 时钟
5
1)质点是理想模型 2)物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
3)不同于几何点
地—日平均间距： 地球半径：6375 km
1.53 10 km
8
6
物体平动时可视为质点。
物体上任一点的运动都可以代表物体的运动。
7
2、参考系和坐标系
1).为什么要选用参考系 例如： 匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观 察小球的运动状态。 车厢内的人： 竖直下落
二. 速度 ( 描述物体运动状态的物理量 )
1.平均速度
质点在 Δt 时间内的位移为 r ，则在Δt 时
间内的平均速度为
r v t
平均速度大小
r r r v t t t
平均速度方向为 r 的方向
15
2.瞬时速度
Δt 0 时，B点无限接近 A 点， 平均速度趋于质点 在 t 时刻的真实速度。
z
P ( x , y ,z )
r
表示。

O
r
β

z
r xi yj zk
r x2 y2 z2
质点
y
x
位矢的大小为：

y
参考物
x
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
x y z cos , cos , cos , cos 2 co s 2 cos 2 1 r r r
1
课程结构(56学时)
1、经典力学
2、热学 3、振动与波动 4、光学
答疑：第5—18周,每周三下午4:30—6:10
A351房间
期末考试（80%）
2
第 一 章
质点运动学
2
3
运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物体运动 状态发生变化时所遵循规律的学科。
a a a a
2 x 2 y 2 z
O
v (t )
v
dv x 2 dv y 2 dv z 2 ( ) ( ) ( ) dt dt dt
v (t t )
讨论 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
17
注意区分
x O
z P(x , y , z ) 1 1 1
r 1
r2
r
y
Q ( x2 , y2 , z2 )
时间 t 内质点的位移为
r r2 r1
r xi yj zk ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
14
2 d r d r dv (2) v 2 i 2t j a 2 2 j dt dt dt a2 2 j 当 t =2s 时 v 2 2 i 4 j
(3) x 2 t
y 2t
2
轨迹方程为： y 2 x 2 / 4
22
例3
v 0 6 i , r0 8 k 已知 a 16 j , t =0 时，
dr dr dt dt
21
例2
已知一质点运动方程 r 2 t i (2 t 2 ) j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
a (2) t =2s 时 v ，
(3) 轨迹方程
解 (1) 由运动方程得 r1 2 i j
r2 4 i 2 j
r r2 r1 (4 2 ) i ( 2 1 ) j 2 i 3 j
r dr v lim dt t 0 t
r (t )
A
v(t )
B
O
v(t t )
r x y z v i j k t t t t
dr d r dr 速度大小为 v dt dt dt
v v v v
2 x 2 y 2 z
常用的坐标系有:
直角坐标系(x , y , z),
球坐标系(R , , ),
z y
x O
柱坐标系(R , , z)，
极坐标系( , )。