高中数学 2.2.1对数与对数的运算精讲精析 新人教A版必修1

§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的概念对数的概念：一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .知识点二 对数与指数的关系思考 求log a 1(a >0，且a ≠1)的值．答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．1．若3x＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e .( × )类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 D 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x1－x 1＋x的定义域． 考点 对数的概念题点 对数的概念 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 类型二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 327＝a ；(4)反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A ．log 2a ＝bB ．log 2b ＝aC ．log b a ＝2D ．log b 2＝a考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式答案 C解析 log b a ＝2，故选C.(2)将3－2＝19，⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164化为对数式．考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164可化为(3)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ； (4)－lne 2＝x ；(5)log (2－1)13＋22＝x . 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)(2)因为x 6＝8，所以(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2.(5)因为所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.∴x ＝16.(3)∴x ＝3.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C 3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与＝3D ．log 77＝1与71＝7考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 C4．已知log x 16＝2，则x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 45．设10lg x ＝100，则x ＝________.考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 C解析 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．2．已知log 3a ＝2，则a 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 D解析 把log 3a ＝2化为指数式，有a ＝32＝9.3．ln e 等于( )A ．0B.12C ．1D ．2考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B解析 设ln e ＝x ，则e x ＝e ＝e ，∴x ＝12.4．方程2＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 A解析 ∵2＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确的是( )A ．①③B．②④C．①②D．③④考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e .6.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54的值为( )A ．6B.72C ．0D.37考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log4＝2－2＝0.7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.8．log(3－22)等于( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2. 设log(3－22)＝t ，则(2＋1)t ＝3－2 2＝(2＋1)－2，∴t ＝－2.二、填空题9．log81＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 8解析 设log81＝t ，则(3)t ＝81,3＝34，t2＝4，t ＝8.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x ＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴x ＝(23)＝18＝122＝24.11．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7，∴3a －b ＝3a3b ＝107.三、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2＝582.②因为log x 3＝－13，所以x ＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a3. ③由6a3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3a .13．求2＋3的值．考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用解 2＋3＝22×2＋＝4×3＋99＝12＋1＝13.四、探究与拓展14．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (log 22)＝ 2.15．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 919解析 由x ＝log 23，得2x ＝3，∴2－x ＝12x ＝13，∴23x ＝(2x )3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.。

课题：2.2.1 对数与对数的运算精讲部分学习目标展示（1）理解对数的概念、常用对数及自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化； （2）掌握对数的运算法则，会进行对数运算；（3）对数的换底公式； 衔接性知识1. 已知23221x x -+=，求实数x 的值解：由已知，得2320x x -+=，所以1x =或2x = 2. 如果23x =，那么实数x 的值是多少呢？例1.用log a x ，log a y ，log a z 表示： (1)log a (xy 2)； (2)log a (x y )； (3)log a3x yz 2. 解：(1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y ；(2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y ；(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13(log a x －log a (yz 2))＝13(log a x －log a y －2log a z )． 例2．计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++； （3）22lg 2lg 4lg50lg 50+⋅+解：（1）方法一：原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--=5lg 212lg 21+=21)5lg 2(lg 21=+. 方法二：原式=57lg 4lg 724lg+-=475724lg ⨯⨯=21)52lg(=⨯. （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2=2lg10 + (lg5 + lg2)2= 2 + (lg10)2= 2 + 1 = 3.（3）原式＝(lg2)2＋2lg2(1＋lg5)＋(1＋lg5)2＝(lg2＋1＋lg5)2＝22＝4. 【小结】易犯lg52= (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例3．（1）已知lg2 = m ，lg3 = n ，用m 、n 表示lg 45；（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.解：（1）1190lg 45lg222==1[lg 9lg10lg 2]2=+- 1[2lg 31lg 2]2=+-111(21)222n m n m =+-=+-（2）log a 1113412log log log a a a a x y=+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=（3）由已知得：532532lglg lg lg lg c b a c b a x =-+=，∴532c b a x =.例4．已知log 189 = a ，18b= 5，求log 3645. 解：方法一：∵log 189 = a ，18b= 5，∴log 185 = b ， 于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯===2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118. 方法二：∵log 189 = a ，18b= 5，∴lg9 = a lg18，lg5 = b lg8， ∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===a b a a b a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg . 精练部分A 类试题（普通班用）1．下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c ②(log a 3)2＝log a 32③log a (bc )＝(log a b )·(log a c ) ④log a x 2＝2log a x A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A 2. 计算：(1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 (3)lg 23－lg9＋1(4)13log 168＋2log 16 3 (5)log 6112－2log 63＋13log 627 . [解析](1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1(3)lg 23－lg9＋1＝lg 23－2lg3＋1＝(1－lg3)2＝1－lg3＝lg 103(4)13log 168＋2log 163＝log 162＋log 163＝log 166＝－1 (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 6112－log 69＋log 63＝log 6(112×19×3)＝log 6136＝－2.3. (1)已知log a 2＝m ，log a3＝n ，求a 2m ＋n 的值；(2)已知10a ＝2,10b ＝3，求1002a －b 的值解：(1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝4×3＝12.(2) ∵10a ＝2,10b ＝3，∴lg2＝a ，lg3＝b . 则1002a －b＝1002lg2－lg3＝100lg 43＝(102)lg43＝(10lg 43)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝1694. 计算：（1）log 34·log 48·log 8m =log 416，求m 的值. （2）log 89·log 2732. （3）（log 25+log 4125）·5log 2log 33.解：（1）原方程等价于3lg 4lg ×4lg 8lg ×8lg lg m=2，即log 3m =2，∴m =9. （2）解法一：原式=8lg 9lg ·27lg 32lg =2g 313g 21·3g 312g 51=910. 解法二：原式=8log 9log 22·27log 32log 22=33log 22·3log 352=910.（3）解：原式=（log 25+log 255）·5log 22log 33=21log 2255·log 52=21log 2525·log 52=45log 25·log 52=455. 若25a＝53b＝102c，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a＝53b＝102c＝k ，则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. B 类试题（3+3+4）（尖子班用） 1. 下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c ②(log a 3)2＝log a 32③log a (bc )＝(log a b )·(log a c ) ④log a x 2＝2log a x A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A2. 已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 [答案] A[解析] 由log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3. 如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1、x 2，那么x 1·x 2的值为( )A ．lg2·lg3B ．lg2＋lg3C ．－6D.16[答案] D[解析] 由题意知lg x 1和lg x 2是一元二次方程u 2＋(lg2＋lg3)u ＋lg2·lg3＝0的两根 ∴lg x 1＋lg x 2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x 1x 2)＝lg 16，∴x 1x 2＝16.4. log 6[log 4(log 381)]＝________. [答案] 0[解析] log 6[log 4(log 381)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0 5. 已知lg3＝0.4771，lg x ＝－3.5229，则x ＝________. [答案] 0.0003[解析] ∵lg x ＝－3.5229＝－4＋0.4771 ＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x ＝0.0003. 6. 设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ，∴1－lg2lg2＝32ab ，∴lg2＝22＋3ab .7. 计算：(1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 (3)lg 23－lg9＋1(4)13log 168＋2log 16 3 (5)log 6112－2log 63＋13log 627 . [解析] (1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1(3)lg 23－lg9＋1＝lg 23－2lg3＋1＝(1－lg3)2＝1－lg3＝lg 103(4)13log 168＋2log 163＝log 162＋log 163＝log 166＝－1 (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 6112－log 69＋log 63＝log 6(112×19×3)＝log 6136＝－2.8.(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值；(2)已知10a ＝2,10b ＝3，求1002a －b 的值解：(1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝4×3＝12. (2) ∵10a ＝2,10b ＝3，∴lg2＝a ，lg3＝b . 则1002a －b＝1002lg2－lg3＝100lg 43＝(102)lg43＝(10lg 43)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝1699. 已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．[解析] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0x －y >0x >0y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy即⎩⎪⎨⎪⎧x >y y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y y >0(x －2y )(x ＋y )＝0∴x －2y ＝0，因此xy＝2.10. 若25a＝53b＝102c，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a＝53b＝102c＝k ，则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c.。