甘肃省兰州一中2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

兰州一中2015-2016-2学期期末考试试题高二数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线．2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是A .12 B . 13 C .23D . 1 3.在等比数列{}n a 中,675=a a ，5102=+a a ,则1018a a 等于 A . 23-或32- B . 32 C .23 D . 32或234.直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是A .(4,5)-B .(3,4)-C .(3,4)-或 (1,2)-D .(4,5)-或 (0,1)5.设m n 、是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若αγ⊥，βγ⊥，则α∥β 其中正确命题的序号是 A .①和② B .②和③ C .③和④ D .①和④6. 函数21sin 2sin ()2y x x x R =+∈的值域是 A .［-21,23］ B .［-23,21］C .［2122,2122++-］ D .［2122,2122---］ 7.如图，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则AA . CE CB AD AB ⋅=⋅ B . CE CB AD DB ⋅=⋅C . 2AD AB CD ⋅= D . 2CE EB CD ⋅=8.在ABC ∆中,5,7,8AB BC AC ===,则BC AB ⋅的值为A . 79B . 352-C . 5D . 5-9.在极坐标系中，点11(2,)6P π到直线sin()16πρθ-=的距离等于 A . 1 B . 2 C . 3D . 110.若不等式0log )1(2≤--x x a 在)2,1(∈x 内恒成立，则a 的取值范围是A .121<<a B .121<≤a C .21≤<a D .21<<a兰州一中2015-2016-2学期期末考试高二数学（文科）答题卡一、 选择题（每小题4分，共40分）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11.在极坐标系中，若过点(3,0)A 且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则AB =________． 12.已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．13.若2245x y +=，则x y +的最小值为________，最小值点为________．14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分)设不等式|2x －1|＜1的解集为M ． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．16.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的普通方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB ．17.(本小题满分12分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．18.(本小题满分12分)已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,)(23x x x x x x f .(1) 求函数)(x f 的单调递减区间；(2) 若不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立，求c 的取值范围.兰州一中2015-2016-2学期期末考试高二数学（文科）参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题：（每小题4分，共16分）11. 51;(2,)22--- 14. 5三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分10分) 解：（1）由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}． ………………………5分 （2）由（1）和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b ． ………………………10分16.(本小题满分10分)解：（1）设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)，其普通方程为22(4)16x y +-=． ………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. ……10分17.(本小题满分12分) 解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. ………………………4分 （2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. ……………12分18.(本小题满分12分)解:（1）由于⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,)(23x x x x x x f ，当1≤x 时，x x x f 23)(2'-=，令0)('<x f ,可得320<<x . 当1>x 时, )(x f 单调递增.所以函数)(x f 的单调递减区间为)32,0(. …………………….4分（2）设⎩⎨⎧>-≤--=-=1,ln 1,)()(23x x x x x x x x x f x g ,当1≤x 时, 123)(2'--=x x x g , 令0)('>x g ,可得31-<x 或1>x ,即31-<x 令0)('<x g ,可得131<<-x . 所以)31,(--∞为函数)(x g 的单调递增区间, )1,31(-为函数)(x g 的单调递减区间.当1>x 时, 011)('<-=xx g ,可得),1(+∞为函数)(x g 的单调递减区间. 所以函数)(x g 的单调递增区间为)31,(--∞,单调递减区间为),31(+∞-.所以函数2753191271)31()(max =+--=-=g x g ,要使不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立,即c x g ≤)(对一切R x ∈恒成立, 所以275≥c . …………………….12分。

甘肃省兰州第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=， 所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．101dx x⎰B ．1p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ） A .( 0,1) B .(23，1) C .( 12，1) D .( 13, 1) 7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．BC .D .8. 平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）Ａ．3a Ｂ．4a Ｃ．3a Ｄ．4a 9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）A ． １B .C . ２D .12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是 （ ）A . (- ∞, -3)B . (- ∞,12)∪(3,+∞)C .(12，3) D . ( 13,12) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是 ． 三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x -3 .（1）求抛物线C 在点A （0，－3）和点B (3，0)处的切线的交点坐标； （2）求抛物线C 与它在点A 和点B 处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()xf x x=. （1）求函数f (x )的单调区间；（2）已知a 、b ∈R,a >b >e , (其中e 是自然对数的底数), 求证:b a >a b .19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x -'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减.当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增. ∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减.∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ a bb a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞， 递减区间为. （ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立 a 的取值范围是 ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。

2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A．越小B．越大C．可能大也可能小D．以上都不对2．（4分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960B．0.864C．0.720D．0.5763．（4分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%）A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%4．（4分）在极坐标系中，曲线关于（）A．直线θ＝对称B．直线θ＝对称C．点对称D．极点对称5．（4分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y ＝0对称，则实数k+m＝（）A．﹣1B．1C．0D．26．（4分）设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N ＝56，则展开式中常数项为（）A．5B．15C．10D．207．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．68．（4分）函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y 轴对称，则a的最小值为（）A．πB．C．D．9．（4分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．2110．（4分）两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）πB．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）已知随机变量2ξ+η＝8，若ξ～B（10，0.4），则E（η）＝，D（η）．12．（4分）（选做题）在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点则AB＝．13．（4分）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是．14．（4分）若（1﹣2x）2016＝a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+＝．15．（4分）只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有个．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）附：K2＝n＝a+b+c+d17．（10分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？18．（10分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i ＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝i ，＝w i ．（1）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．19．（10分）已知函数f（x）＝x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k为整数时，k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：用系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，而用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，由此可知相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．故选：A．2．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）＝0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）＝1﹣0.2×0.2＝0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864；故选：B．3．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）＝95.44%，所以P（3＜ξ＜6）＝（95.44%﹣68.26%）＝13.59%．故选：B．4．【解答】解：曲线，可得＝2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，它的普通方程为：x2+y2＝2y﹣2．圆的圆心坐标（，1），经过圆的圆心与原点的直线的倾斜角为：，在极坐标系中，曲线关于直线θ＝对称．故选：B．5．【解答】解：由题意，可得∵直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，∴直线x+2y＝0是线段MN的中垂线，得k•（﹣）＝﹣1，解之得k＝2，所以圆方程为x2+y2+2x+my﹣4＝0，圆心坐标为，将代入x+2y＝0，解得m＝﹣1，得k+m＝1．故选：B．6．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为M＝4n，二项式系数和为N＝2n，由M﹣N＝56，得n＝3，∴其展开式的通项为令3﹣＝0得r＝2代入通项解得常数项为15．故选：B．7．【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•＝+，即有0＝+，解得m＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1＝+＝0，解得m＝5．故选：C．8．【解答】解：函数＝＝﹣，沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y＝，∵图象关于y轴对称，∴∴sin2x cos2a＝0∴2a＝kπ（k∈Z）∵a＞0∴a的最小值为．故选：D．9．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴＝（﹣1，﹣4），＝（﹣1，t﹣4），∴＝﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）＝17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2＝4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4＝13，当且仅当4t＝即t＝时取等号，∴的最大值为13，故选：A．10．【解答】解：∵AO1＝R1，C1O2＝R2，O1O2＝R1+R2，∴（+1）（R1+R2）＝，R1+R2＝，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2＝2π（R1+R2）2＝3（2﹣）π．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．【解答】解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ＝10×0.4＝4，Dξ＝10×0.4×0.6＝2.4，∵2ξ+η＝8，∴Eη＝E（8﹣2ξ）＝8﹣8＝0，Dη＝D（8﹣2ξ）＝4×2.4＝9.6，故答案为：0；9.6．12．【解答】解：对于曲线C1：ρ＝2cosθ，两边都乘以ρ得：ρ2＝2ρcosθ，∵ρ2＝x2+y2，且ρcosθ＝x∴曲线C的普通方程是x2+y2﹣2x＝0，表示以（1，0）为圆心、半径为1的圆；对于曲线C2：，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，∴曲线C2的普通方程为y＝x，即x﹣y＝0因此点（1，0）到直线x﹣y＝0的距离为：d＝＝设AB长为m，则有（m）2+d2＝r2，即m2+＝1，解之得m＝（舍负）故答案为：13．【解答】解：设事件A表示开关第一次闭合后出现红灯闪烁，B表示开关第二次闭合后出现红灯闪烁，则P（A）＝，P（AB）＝，∴在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是：P（B|A）＝＝＝．故答案为：．14．【解答】解：在（1﹣2x）2016＝a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R）中，令x＝0，可得a0＝1，令x＝，可得a0++++…+＝0，故，+++…+＝﹣1，故答案为：﹣1．15．【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．故答案为：18三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．【解答】解：（1）完成下面的2×2列联表如下…（3分）≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（6分）（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B（3，），P（x＝i）＝（i＝0，1，2，3）…（8分）从而分布列为．…（10分）E（x）＝np＝，D（x）＝np（1﹣p）＝…（12分）17．【解答】解：（1）依题意，p1＝P（40＜X＜80）＝＝0.2，p2＝P（80≤X≤120）＝＝0.7，p3＝P（X＞120）＝＝0.1．由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝（1﹣p3）4+（1﹣p3）3p3＝0.94+4×0.93×0.1＝0.9477．…（5分）（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝1000，E （Y）＝1000×1＝1000．…（7分）②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝1000﹣160＝840，因此P（Y＝840）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝1000×2＝2 000，因此P（Y＝2 000）＝P（X≥80）＝p2+p3＝0.8．由此得Y的分布列如下：所以，E（Y）＝840×0.2+2 000×0.8＝1768．…（9分）③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝1000﹣320＝680，因此P（Y＝680）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝1000×2﹣160＝1840，因此P（Y＝1840）＝P（80≤X≤120）＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝1000×3＝3 000，因此P（Y＝3 000）＝P（X＞120）＝p3＝0.1．由此得Y的分布列如下：所以，E（Y）＝680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1＝1724．…（11分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）18．【解答】解：（1）由散点图可以判断，y＝c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．由于d＝＝68，c＝﹣d＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68w，因此y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68．（3）①由（2）知，当x＝49时，年销量y的预报值y＝100.6+68•＝576.6，年利润z的预报值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32．②根据（2）的结果知，年利润z的预报值z＝0.2（100.6+68）﹣x＝﹣x+13.6+20.12．所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．19．【解答】解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）＝a+lnx+1，∵函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，∴f′（e）＝3，∴a+lne+1＝3，∴a＝1（4分）（Ⅱ）k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，∴k＜对任意x＞1恒成立，由（1）知，f（x）＝x+xlnx，令g（x）＝＝，则g′（x）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）＝＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）＝＝在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（x0）＝x0．因为x0＞3，所以x＞1时，k＜3恒成立故整数k的最大值是3．…（12分）。

甘肃省兰州一中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．1122z z 2,34.z m i z i m =+=-复数若为实数，则实数的值为 (D ) A ． 83B ．32C ．83-D ．32-2．由 “正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧 面三角形 ( C )A ．内任一点B ．某高线上的点C ．中心D ．外的某点3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)=0，那么x =x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )=x 3在x =0处的导数值f ′(0)=0，所以，x =0是函数f (x )=x 3的极值点．以上推理中( A ) A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确4．如图是函数'()y f x =的图象，则下列说法正确的是(A ) A ．函数()y f x =在15,x x 处有极大值，在37,x x 处有极小值 B ．函数()y f x =在15,x x 处有极小值，在37,x x 处有极大值 C ．函数()y f x =在26,x x 处有极大值，在48,x x 处有极小值 D ．函数()y f x =在26,x x 处有极小值，在48,x x 处有极大值5．函数32()(1)48(3)f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x (A) A ．有极大值和极小值 B ．有极大值无极小值 C ．无极大值有极小值D ．无极大值无极小值6．设x ，y ，z 都是正实数， xz c ,z y b ,y x a 111+=+=+=，则a ，b ，c 三个数 ( C ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 7．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( B ) A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种8．四条曲线(直线) y =sin x ；y =cos x ；x = -4π； x =4π所围成的区域的面积是( A ) AB ．C ．0D9．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为( B )10．函数f (x )=x sin x +cos x +x 2，则不等式f (ln x )<f (1) 的解集为(C ) A ．(0，e )B ．(1，e )C ．(1e，e ) D ．(0，1e)∪(1，e ) 第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．11．⎰=⎩⎨⎧≤<-≤≤=20221210dx )x (f x x x x )x (f 则设65 12．=-+≥∈++++++=)k (f )k (f ),n *,N n (nn n n )n (f 122121111则若Λkk k 1221121-+++ 13．将4名学生分配到3个学习小组，每个小组至少有1学生，则不同的分配方案共有___36________种(用数字作答)． 14．=+==<<+n n n a ,a a ,θcos a ,πθ猜想已知设222011122-n θcos高二数学(理科)答案一、选择题(每小题4分，共40分)第Ⅱ卷31()443f x x x ∴=-+. （II ）由（I ）得，2'()4f x x =-，令'()0f x =，得2x =，或2x =-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (,2)-∞- 2- (2,2)-+ 2(2,)+∞ '()f x + 0 - 0 +()f x ↗ 283↘ 43- ↗（III ）由（II ）得，max ()(2)3f x f ∴=-=， min 4()(2)3f x f ∴==-. 函数31()443f x x x =-+的图像大致如右： 答案 D C A A A C B A B C若方程()f x k =有3个解，需使直线y k =与函数31()443f x x x =-+的图像有3个交点，由图像可知：42833k -<<.18．（１０分）在数列{}n a 中，11a =，当n ≥2时，1,,2n n n a s s -成等比数列， (1)求234,,a a a 并归纳出n a 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得结论.解:(1))s a (a )a s ()s (a s k s )(k s )s ()k )(k (s k k k k k k k k k k k k 2121012103212112322112111212-+=+⇒-=>-=<--=⇒----=++++++ΘΘ或舍由（１）（２）知命题对一切正整数成立． 19．（１２分）已知ln ()xf x x=. (1)求()f x 的单调性，并求出()f x 的最大值；(2)求证：1()1f x x ≤-； (3)比较222(2)(3)()f f f n ++L 与(21)(1)2(1n n n +-+）的大小，并证明你的结论. 解：（I ）21ln '()xf x x-=，令'()0f x >，得x e <，令'()0f x <得x e >，…2分 又()f x 的定义域为（0，+∞），()f x ∴在(0,)e 上递增，在(,)e +∞递减，从而max 1()()f x f e e==. ………4分2123221135241523322212≥⎪⎩⎪⎨⎧---==-=-=-=-⋅=n )n )(n (n naa ,a ,a )n s (n a nS 时当成立即公式成立时假设公式成立时当证明11232223222+=---=∈≥=-==k n )k )(k (a ,,)N k ,k (k n .,a n :k {}12121111212211-=≥+=-+=+=+=∴-=∴++n b n ,))((,k n )k (k b b )(b b ,bn n k k k k 均有对于所以知由结论成立时即当舍各项为正又Θ[][]时命题成立111231221212221121221)21111212112+=∴-+-+-=+--=⇒--+=+-+-∴++++++k n )k ()k ()k )(k (a a k a a a k a k (k k k k k k（II ）要证1()1f x x ≤-即证ln 11x x x≤-， 0x >Q ，∴只需证：ln 10x x -+≤.令()ln 1g x x x =-+，则11'()1x g x xx-=-=，令'()0g x >，得01x <<, '()0g x <得1x >(0x <舍去) . ………6分 ∴()g x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，()(1)0,ln 10g x g x x ∴≤=∴-+≤成立，即1()1f x x≤-成立. …8分（III ）由（2）知，1()1f x x ≤-，从而221()1,f n n ≤-222222222111111(2)(3)()111(1)()2323f f f n n n n∴++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅+-=--++⋅⋅⋅+10分 又211(1)n n n >+，222111(2)(3)()(1)()2334(1)f f f n n n n ∴++⋅⋅⋅+<--++⋅⋅⋅+⨯⨯+111111(1)()23341n n n =---+-+⋅⋅⋅+-+(21)(1)2(1)n n n +-=+， 即222(21)(1)(2)(3)()2(1)n n f f f n n +-++⋅⋅⋅+<+. (12)分。

甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：共10题1．下面几种推理过程是演绎推理的是A.某校高二年级有10个班,1班62人,2班61人,3班62人,由此推测各班人数都超过60人B.根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质C.平行四边形对角线互相平分,矩形是平行四边形,所以矩形的对角线互相平分D.在数列中,,计算由此归纳出的通项公式【答案】C【解析】本题主要考查简单的演绎推理,易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念.A中是从特殊到一般的推理,属于归纳推理,是合情推理;B中,由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质,是由特殊到一般的推理,为类比推理,属于合情推理;C为三段论,是从一般到特殊的推理,是演绎推理;D为不完全归纳推理,属于合情推理.故选C.2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】本题考查反证法的应用.反证法的第一步是否定结论，而原题结论为三角形的内角中至少有一个不大于60度，即是三角形中有至少有一个角小于等于60度，其否定为三角形中没有一个角小于等于60度，即假设三个内角都大于60度.,【备注】对于反证法来说,反证假设是解题的关键,因此,考查一个实际问题的反证假设经常在小题中进行考查.3．函数在点处的切线平行于直线y=4x-4,则点的坐标为A.(1,0)B.(-1,-4)C.(1,0)或(-1,-4)D.(1, 4)【答案】B【解析】本题主要考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程.曲线在某点处的导数,就是过该点的切线的斜率.由f(x)设),则3,由曲线在点处的切线平行于直线y=4x-4,得到切线的斜率为4,所以3,解得.当即为切线,舍去)则点的坐标为(1,0).故选B.4．由曲线和直线所围成的图形的面积是A. B.18 C. D.【答案】D【解析】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的能力.由解得曲线和直线的交点坐标为:(1,),(4,2),选择为积分变量,由曲线和直线所围成的图形的面积S.故选D.5．设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i,则＋i·等于A.-2B.-2iC.2D.2i【答案】C【解析】本题主要考查复数代数形式的乘除运算.z＝1＋i,＋i·.故选C.6．已知三角形的三边分别为,内切圆的半径为,则三角形的面积为;四面体的四个面的面积分别为,内切球的半径为,类比三角形的面积可得四面体的体积为A. B.。

兰州一中2015-2016-2学期期末考试试题高二数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线．2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是 A .12 B . 13 C .23D . 13.在等比数列{}n a 中,675=a a ，5102=+a a ,则1018a a 等于 A . 23-或32- B . 32 C .23 D . 32或234.直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是A .(4,5)-B .(3,4)-C .(3,4)-或 (1,2)-D .(4,5)-或(0,1) 5.设m n 、是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若αγ⊥，βγ⊥，则α∥β 其中正确命题的序号是 A .①和② B .②和③C .③和④D .①和④6. 函数21sin 2sin ()2y x x x R =+∈的值域是 A .［-21,23］ B .［-23,21］C .［2122,2122++-］ D .［2122,2122---］ 7.如图，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则AA . CE CB AD AB ⋅=⋅ B . CE CB AD DB ⋅=⋅C . 2AD AB CD ⋅= D . 2CE EB CD ⋅=8.在ABC ∆中,5,7,8AB BC AC ===,则⋅的值为 A . 79 B . 352- C . 5 D . 5-9.在极坐标系中，点11(2,)6P π到直线sin()16πρθ-=的距离等于 A . 1 B . 2 C . 3D . 110.若不等式0log )1(2≤--x x a 在)2,1(∈x 内恒成立，则a 的取值范围是A .121<<a B .121<≤a C .21≤<a D .21<<a兰州一中2015-2016-2学期期末考试高二数学（文科）答题卡一、 选择题（每小题4分，共40分）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11.在极坐标系中，若过点(3,0)A 且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则AB =________．12.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．13.若2245x y +=，则x y +的最小值为________，最小值点为________．14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分)设不等式|2x －1|＜1的解集为M ． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．16.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的普通方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB ．17.(本小题满分12分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．18.(本小题满分12分)已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,)(23x x x x x x f .(1) 求函数)(x f 的单调递减区间；(2) 若不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立，求c 的取值范围.兰州一中2015-2016-2学期期末考试高二数学（文科）参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题：（每小题4分，共16分）11. 13. 51;(2,)22--- 14. 5三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分10分)解：（1）由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}． ………………………5分（2）由（1）和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b ． ………………………10分16.(本小题满分10分)解：（1）设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)，其普通方程为22(4)16x y +-=． ………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3 与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. ……10分17.(本小题满分12分)解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. ………………………4分（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255. ……………12分18.(本小题满分12分)解:（1）由于⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,)(23x x x x x x f ，当1≤x 时，x x x f 23)(2'-=，令0)('<x f ,可得320<<x . 当1>x 时, )(x f 单调递增.所以函数)(x f 的单调递减区间为)32,0(. …………………….4分（2）设⎩⎨⎧>-≤--=-=1,ln 1,)()(23x x x x x x x x x f x g ,当1≤x 时, 123)(2'--=x x x g , 令0)('>x g ,可得31-<x 或1>x ,即31-<x 令0)('<x g ,可得131<<-x . 所以)31,(--∞为函数)(x g 的单调递增区间, )1,31(-为函数)(x g 的单调递减区间.当1>x 时, 011)('<-=xx g ,可得),1(+∞为函数)(x g 的单调递减区间. 所以函数)(x g 的单调递增区间为)31,(--∞,单调递减区间为),31(+∞-.所以函数2753191271)31()(max =+--=-=g x g ,要使不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立,即c x g ≤)(对一切R x ∈恒成立,所以275c . …………………….12分。

2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．）1．（3分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（0，1]D．[0，1）2．（3分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．453．（3分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．5．（3分）等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，则当S n取最大值时，n的值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．不存在6．（3分）已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．ab2＞a2b D．＜7．（3分）下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是8．（3分）在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．（3分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．10．（3分）已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为（）A．B．πC．2πD．11．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=n﹣1 B．a n=n C．a n=n+1 D．a n=n2二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．）13．（4分）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=．14．（4分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为．15．（4分）已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，且，则=．16．（4分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=．三、解答题（本大题共5小题，共48分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，（a∈R）．18．（8分）（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．19．（10分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（10分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年甘肃省兰州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．）1．（3分）不等式≥﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：不等式≥﹣1化为：，即：，解得x∈（﹣∞，0]∪（1，+∞）．故选：A．2．（3分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选：B．3．（3分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．B．C． D．【解答】解：因为sinC=2sinB，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以A=．故选：A．5．（3分）等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，则当S n取最大值时，n的值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．不存在【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，S3=S10，∴S10﹣S3=a4+a5+…+a10=7a7=0，即a7=0∴等差数列{a n}中前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴当S n取最大值时，n的值为6或7故选：C．6．（3分）已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．ab2＞a2b D．＜【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为，故选：D．7．（3分）下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是【解答】解：A、当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2，故A不对；B、∵=≥2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故B不对；C、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，∴，故C正确；D、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，则，故D不对；故选：C．8．（3分）在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：（2RsinB）2sin2C+（2RsinC）2sin2B=8R2sinBsinCcosBcosC，即sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，∴cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都为三角形的内角，∴B+C=90°，则△ABC为直角三角形．故选：C．9．（3分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选：B．10．（3分）已知O为直角坐标系原点，P，Q坐标均满足不等式组，则使cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为（）A．B．πC．2πD．【解答】解：作出满足不等式组，因为余弦函数在[0，π]上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A（1，7）重合，Q与B（4，3）重合时，∠POQ最大．此时k OB=，k0A=7．由tan∠POQ==1∴∠POQ=故选：D．11．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选：C．12．（3分）已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=n﹣1 B．a n=n C．a n=n+1 D．a n=n2【解答】解：F（x）=f（x+）﹣1在R上为奇函数故F（﹣x）=﹣F（x），代入得：f（﹣x）+f（+x）=2，（x∈R）当x=0时，f（）=1．令t=﹣x，则+x=1﹣t，上式即为：f（t）+f（1﹣t）=2．当n为偶数时：a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）==n+1．当n为奇数时：a n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]=2×=n+1．综上所述，a n=n+1．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．）13．（4分）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=﹣10．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，∴a＜0且，解得，∴a+b=﹣12+2=﹣10故答案为：﹣1014．（4分）如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣5．【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣y画出图形：点A（﹣1，0），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1）z在点B处有最小值：z=2×（﹣2）﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．（4分）已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n，T n，且，则=．【解答】解：令n=9，得到=，又S9==9a5，T9==9b5，∴===．故答案为：16．（4分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=﹣．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案为﹣三、解答题（本大题共5小题，共48分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，（a∈R）．【解答】解：∵关于x的不等式x2+x﹣a（a﹣1）＞0，∴（x+a）（x+1﹣a）＞0，当﹣a＞a﹣1，即时，x＜a﹣1或x＞﹣a，当a﹣1＞﹣a，即a＞时，x＜﹣a或x＞a﹣1，当a﹣1=﹣a，即时，x，∴当时，原不等式的解集为：{x|x＜a﹣1或x＞﹣a}，当a＞时，原不等式的解集为：{x|x＜﹣a或x＞a﹣1}，当时，原不等式的解集为：{x|x，x∈R}．18．（8分）（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴xy≤（）2=∴+==≥4．（2）∵4x2+y2+xy=1，∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，∴xy≤．∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，∴﹣≤2x+y≤．∴2x+y的最大值是．19．（10分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．20．（10分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a 2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣221．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵b n﹣b n==+1==2，∴数列{b n}是公差为2的等差数列，又=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴c n c n+2==，∴数列{C n C n+2}的前n项和为Tn=…+=2＜3．要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．。

甘肃省兰州第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试（理）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间100分钟．一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.） 1．已知复数z 满足()·i 11i z -=+，则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A. 1 B. i - C. i D. -12．函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()'y f x =的图象可能是（ ）．3．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（ ）A ．120个B ．100个C ．300个D ．600个4．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23 5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是 ( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π 6．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子. 已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 7．现有8名青年，其中5名能胜任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜任这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．60种B ．54种C ．30种D ．42种 8．已知函数()21cos 2f x x t x =-．若其导函数()'f x 在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ）A. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．已知(),0,a b e ∈，且a b <，则下列式子中正确的是（ ）A ．ln ln a b b a <B ．ln ln a b b a >C ．ln ln a a b b >D ．ln ln a a b b < 10．已知函数3()=3f x x x -，则函数()[]()1h x f f x =-的零点个数是（ ） A.3 B. 5 C. 7 D .9二．填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．） 11．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为 .12．观察下列不等式：31512,12234,122334,122334451222⋅<⋅+⋅<⋅+⋅+⋅<⋅+⋅+⋅+⋅<，…照此规律，第n 个不等式为__________．13.复数z 满足条件∣z+i ∣+∣z-i ∣=2，则∣z +i -1∣的最大值为______14．已知函数()x f x xe c =+，若方程f (x )=0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题6分）已知复数1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数a ，b 的值.16．（本小题8分）已知函数()ln x m f x x e +=-在x =1处有极值，求m 的值及f (x )的单调区间．17. （本小题10分） 已知33332111131()1,(),N .23422f n g n n n n*=+++++=-∈ （I ）当n =1，2，3时，试比较f (n )与g (n )的大小；（II ）猜想f (n )与g (n )的大小关系，并用数学归纳法给出证明.18．（本小题10分） 已知函数()1xaf x x e =++. （I ）若函数f (x )在点(1, f (1))的切线平行于y =2x +3，求a 的值. （II ）求函数f (x )的极值.19．（本小题10分）已知函数2()ln ,()2f x x x g x x ax ==-+- （I ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（II ）若函数()y f x =与()y g x =的图象恰有一个公共点，求实数a 的值.参考答案1.【答案】A【解析】由题设可知()()11112i i i z i i +--+===--，则z i =，即该复数的虚部为1，应选答案A 2.【答案】D【解析】由函数图象可知函数在()(),0,0,-∞+∞上均为减函数，所以函数的导数值()'0f x <，因此D 正确3.【答案】B【解析】数字0,1,2, 3,4,5可组成1555A A 个没有重复数字的六位数，百位数字小于十位数字与十位数字小于百位数字的六位数的个数相等，故共有155533=100A A A 个，选B. 4.【答案】D【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23，故选D.5.【答案】A【解析】曲线y =cos x （0≤x ≤2π）与直线y =1所围成的图形面积即为x 轴上方矩形的面积， 即1×2π=2π，故选A ． 6.【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人.故选C. 7.【答案】D【解析】设能胜任两种工作的那个人为A ，情况分为三类：①不选派A 的方法数C 43C 32=12；②A 被选为英语翻译工作的方法数C 42C 32=18； ③A 被选为电脑软件设计工作的方法数 C 43C 31=12，故不同的选法种数为42，故选D ． 8.【答案】C【解析】()'sin f x x t x =+令()()'sin g x f x x t x ==+，则()'1cos g x t x =+，即1cos 0t x +≥恒成立，只需10{10t t -≥+≥，解得11t -≤≤，故选C ．评注:本题考查的是用导数研函数的单调性问题.由题可知函数()21cos 2f x x t x =-的导函数()'f x 在R 上单调递增，可记()()'sin g x f x x t x ==+在R 上单调递增，则在R 上恒成立，关键是看成关于cos x 的一次函数，则只需满足10{10t t -≥+≥即可，解得11t -≤≤.9.【答案】B 【解析】设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=，在(0,)e 上()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()f a f b <，即ln ln ,ln ln a bb a a b a b<<；设()ln ,g x x x =则()1ln g x x '=+，当1(0,)x e∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当1(,)x e e∈时，()0,()g x g x '>单调递增，∴C,D 均不正确 10.【答案】D【解析】()()()2'=33=311f x x x x --+，可知函数令()f x 的极值点为11x x =-=或，即()()(1)2(1)2f x f f x f ==-=-=极小极大，，因此方程()=1f x 有三个不同的实数根. 又由于()()221,221,f f -=-<=>可知三个实根,,a b c 分别位于区间()()()2,1,1,1,1,2---内，对于函数()[]()1h x f f x =-来说，其零点个数就是方程()=,()=,()=f x a f x b f x c 根的个数.分析知，以上每个方程都有3个不同的实根，故函数()[]()1h x f f x =-的零点个数是9个.选D. 11.【答案】e 【解析】121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.12.【答案】()()212233412n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅+< 【解析】由归纳推理可得，第n 个不等式为()()212233412n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅+<． 13.【答案】5【解析】此时∣z+i ∣+∣z-i ∣=2表示两点()()0,1,0,1-线段上的点，则∣z +i -1∣是指线段上的点到点（1，-1）的距离，数形结合可得∣z +i -1∣的最大值为5. 14.【答案】（0，1/e ） 15.解析：因为1z i =+，所以()()()()()()()()22221+1+2=2111+1+1i a i b a b a i z az b a a b i i z z i i i +++++++==+-+=--+-+ 根据复数相等的定义，得()2=1112a a a b b +⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩. 16.解析：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x m f x e x+'=-， 由题意可得1(1)10mf e+'=-=，解得：1m =-，从而11()x f x e x-'=-， 显然()f x '在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f '=，所以当(0,1)x ∈时，()0,f x '> ()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减. 故()f x 的单调增区间是(0,1)，()f x 的单调减区间是(1,)+∞ 17.解析：（I ）当n =1时，(1)=1,(1)1(1)=(1)f g f g =，；当n =2时，911(2)=,(2)(2)(2)88f g f g =<，；当n =3时，251312(3)=,(3)(3)(3)216216f g f g =<，； （II ）由第（I ）问，猜想：()()f n g n ≤，以下用数学归纳法给出证明： ①当n =1，2，3时，不等式显然成立.②假设当()3,N n k k k *=≥∈时，不等式成立，即33332111131123422k k+++++<- ， 则当1n k =+时，()()3321311(1)()2211f k f k k k k +=+<-+++， 下面证明：()()32231131222121k k k -+<-++即证：. ()()3221112121k k k ->++即可.事实上：()()()()23222221113131022*******k k k kk k k k k ⎡⎤+----=-=<⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦， 从而()231(1)=(1)221f k g k k +<-++.即当1n k =+时，命题成立. 由①②可知，对一切N n *∈，都有()()f n g n ≤ 18.解析:（I ）由()1x af x x e=++， 得()'1x a f x e=-. 由函数()f x 在点()()1,1f 的切线平行于23y x =+，得()'12f =，解得a e =-. （II ）()'1xa f x e =-. ①当0a ≤时， ()'0f x >， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 无极值.②当0a >时，令()'0f x =，得xe a =， ln x a =.所以(),ln x a ∈-∞， ()'0f x >； ()ln ,x a ∈+∞， ()'0f x <；()f x ∴在(),ln a -∞上单调递减；在()ln ,a +∞上单调递增.()f x 在ln x a =取得极小值，极小值为()ln ln 2f a a =+，无极大值.19.解析：（I ）令()ln 10f x x '=+=，得1x e=①当10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e上单调递减，在1(,2)t e +上单调递增， 此时函数()f x 在区间[,2]t t +上的最小值为11()f ee=-②当1t e≥时，函数()f x 在区间[,2]t t +上单调递增，此时函数()f x 在区间[,2]t t +上的最小值为()ln f t t t =（II ）由题意得， 2()()ln 20f x g x x x x ax -=+-+=在(0,)+∞上有且只有一个根， 即2ln a x x x =++在(0,)+∞上有且只有一个根. 令2()ln h x x x x=++，则2222122(2)(1)()1x x x x h x x x x x +-+-'=+-==，易知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)3h x h ==， 由题意可知，若使()y f x =与()y g x =的图象恰有一个公共点，则min ()3a h x ==。

兰州一中2015-2016-2学期高二年级期中考试试题数 学(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题， 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人；B.根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质；C .平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分；D .在数列}{n a 中，*1121,,2nn na a a n a +==∈N +，计算23,,a a 由此归纳出}{n a 的通项公式. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A .假设三内角都不大于60度；B .假设三内角都大于60度；C .假设三内角至多有一个大于60度；D .假设三内角至多有两个大于60度. 3.函数2-+=3x x y 在点0P 处的切线平行于直线y =4x- 4, 则0P 点的坐标为（ ） A .（1, 0） B .（-1, -4） C .（1, 0）或（-1, -4） D . (1, 4) 4.由曲线x y =2和直线2-=x y 所围成的图形的面积是（ ）A .211 B . 18 C . 623 D .295.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i6.已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R ,类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）A . R s s s s V )(214321+++=B . R s s s s V )(314321+++= C . R s s s s V )(414321+++=D . R s s s s V )(4321+++= 7. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)无极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2或m ＞4B ．4≤2≥m m 或C ．24m ≤≤D ．2＜m ＜48. 若函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(′x f ，且函数)(′)-1(=x f x y 的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）A . 函数)(x f 有极大值(2)f -，无极小值；B . 函数)(x f 有极小值()1f ，无极大值；C . 函数)(x f 有极大值(2)f -和极小值)1(f ；D . 函数)(x f 有极大值)1(f 和极小值(2)f -.9. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!10. 对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：证明：(Ⅰ)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(Ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时， ＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，由（Ⅰ），（Ⅱ）可知，结论成立．则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．12．已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，则a 的取值范围是_____________. 13. 已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．14.2________________________.dx =⎰15. 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则4位回文数有________个；2n ＋1(n ∈*N )位回文数有________个．兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（理科）答题卡一、选择题（请将答案填入下列表格中，每小题3分，共30分.）二、填空题（请将答案填在横线上,每小题4分，共20分.）11.______________________;12.__________________;13._________________; 14._____________________; 15.______________、_______________________.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．17.（本小题满分10分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．18.（本小题满分10分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =8+803-12800013x x (0< x ≤ 120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？19.（本小题满分10分）已知函数ln ()xf x x=． (1)设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；(2)设()() ()g x f x kx k R =-∈，若函数()g x 在区间21[,e ]e上有两个零点,求k 的取值范围.20.（本小题满分10分）设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝'()xf x ，x ≥0，其中'()f x 是f (x )的导函数．(1)令1()g x ＝g (x )，1()(())n n g x g g x +=，n ∈N *，求()n g x 的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（理科）参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题：（每小题4分，共20分） 11. 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋2; 12. (－∞，22];13. 3; 14.π+38; 15. 90; 9×10n 三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分10分)(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1. ………………5分(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. ………………10分 17.(本小题满分10分)解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)即y ＝13x －32 ……………….4分 (2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过坐标点(0,0)， ∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． ………….10分 18.(本小题满分10分)解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。

2015-2016学年甘肃省兰州市兰州新区舟曲中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上）1．（5分）在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i+1]上的近似值（）A．只能是左端点的函数值f（x i）B．只能是右端点的函数值f（x i+1）C．可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i+1]）D．以上答案均正确2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．（5分）已知z1＝m2﹣3m+m2i，z2＝4+（5m+6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1﹣z2＝0，则m的值为（）A．4B．﹣1C．6D．04．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式（）A．1+＜2B．1++＜3C．1+++＜3D．1++＜25．（5分）从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120B．240C．360D．726．（5分）把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（）A．135B．﹣135C．D．7．（5分）设f（x）为可导函数，且满足＝﹣1，则曲线y＝f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2B．﹣1C．D．﹣28．（5分）AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n﹣1个点为顶点的三角形的个数是（）A．B．C．D．9．（5分）设（﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2的值为（）A．0B．2C．﹣1D．110．（5分）给出以下命题：（1）若，则f（x）＞0；（2）；（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．011．（5分）已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）12．（5分）若函数f（x）＝ax3+ax2﹣a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A．＜a＜1B．a＜1或a＞C．a＞﹣或a＜﹣1D．1＜a＜二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）从1，3，5，7，9中任取三个数字，从0，2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有个？14．（5分）设函数f（x）＝n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）＝x+2，则f（x）＝．16．（5分）下列四个命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c＝3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|＝1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sin x④定积分dx＝．三.解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）求定积分∫1﹣2|x2﹣2|dx的值；（2）若复数z1＝a+2i（a∈R），z2＝3﹣4i，且为纯虚数，求|z1|18．（12分）观察以下5个等式：﹣1＝﹣1﹣1+3＝2﹣1+3﹣5＝﹣3﹣1+3﹣5+7＝4﹣1+3﹣5+7﹣9＝﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）19．（12分）设0≤x≤a，求函数f（x）＝3x4﹣8x3﹣6x2+24x的最大值和最小值．20．（12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：①能组成多少个没有重复数字的七位数？②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？21．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含a﹣1的项的二项式系数．22．（12分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．2015-2016学年甘肃省兰州市兰州新区舟曲中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上）1．（5分）在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i+1]上的近似值（）A．只能是左端点的函数值f（x i）B．只能是右端点的函数值f（x i+1）C．可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i+1]）D．以上答案均正确【解答】解：由题意可知：对于函数y＝f（x）在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x i，x i+1]上的近似值，可以是该区间内的任一函数值f（ξi）（ξi∈[x i，x i+1]）故选：C．2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＝x0附近的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．3．（5分）已知z1＝m2﹣3m+m2i，z2＝4+（5m+6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1﹣z2＝0，则m的值为（）A．4B．﹣1C．6D．0【解答】解：由题意可得z1 ＝z2 ，即m2﹣3m+m2i＝4+（5m+6）i，根据两个复数相等的充要条件可得，解得m＝﹣1，故选B．4．（5分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式（）A．1+＜2B．1++＜3C．1+++＜3D．1++＜2【解答】解：当n＝2时，左侧＝1++，右侧＝2，左侧＜右侧．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式1+＜2，故选：D．5．（5分）从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120B．240C．360D．72【解答】解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有×2×2＝24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24＝120种；故选：A．6．（5分）把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（）A．135B．﹣135C．D．【解答】解：由题意第8项的系数为C107×＝120×3i＝故选：D．7．（5分）设f（x）为可导函数，且满足＝﹣1，则曲线y＝f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【解答】解：∵，∴∴∴f′（1）＝﹣2即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，故选：D．8．（5分）AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n﹣1个点为顶点的三角形的个数是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，分两种情况，①若取出的2个点在直线CD上，是组合问题，即有C m﹣11∁n2种情况，②若取出的2个点在直线AB上，也是组合问题；即其情况数目为C n﹣11Cm﹣12；综合可得，有C m﹣11∁n2+Cn﹣11Cm﹣12个；故选：D．9．（5分）设（﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2的值为（）A．0B．2C．﹣1D．1【解答】解：设f（x）＝则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝（a0+a1+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣…﹣a9+a10）＝f（1）f（﹣1）＝（）10（）10＝1．故选：D．10．（5分）给出以下命题：（1）若，则f（x）＞0；（2）；（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．0【解答】解：（1）由∫b a f（x）dx＝F（b）﹣F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）错误．（2）∫02π|sin x|dx＝∫0π|sin x|dx+∫π2π|sin x|dx＝∫0πsin xdx+∫π2π（﹣sin x）dx＝（﹣cos x）|0π+cos x|π2π＝1﹣（﹣1）+1﹣（﹣1）＝4．（2）正确．（3）∫0a f（x）dx＝F（a）﹣F（0），∫T a+T f（x）dx＝F（a+T）﹣F（T）＝F（a）﹣F（0），则；（3）正确．正确命题的个数为2，故选：B．11．（5分）已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选：B．12．（5分）若函数f（x）＝ax3+ax2﹣a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A．＜a＜1B．a＜1或a＞C．a＞﹣或a＜﹣1D．1＜a＜【解答】解：f′（x）＝ax2+ax＝ax（x+1）；x∈（﹣∞，﹣1）时f′（x）的符号，与x∈（﹣1，0）时的f′（x）符号相反；x∈（﹣1，0）时的f′（x）符号与x∈（0，+∞）时f′（x）符号相反；∴f（﹣1）＝1﹣，与f（0）＝1﹣a是极值；∴，解得1＜a＜；∴实数a的取值范围是．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）从1，3，5，7，9中任取三个数字，从0，2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有11040个？【解答】解：前五个数中取三个，后五个数中取二个，有顺序排好，共有：C53C52A55个．∵选取的五个数中有可能有0，∴要减去零放开头的，∵零放开头的共有：C53C41A44个，所以，组成没有重复数字的五位数的个数＝C53C52A55﹣C53C41A44＝11040（个）．故答案为：11040．14．（5分）设函数f（x）＝n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．【解答】解：f′（x）＝2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1＝n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）＝﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]＝0得x＝0，或x＝1，或x＝f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：∴f（x）在[0，1]上的最大值为故答案为：15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）＝x+2，则f（x）＝x ﹣1．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且，∴设f（x）＝x+b则b＝2∫01（x+b）dx＝2（x2+bx）|01＝2（+b）解得：b＝﹣1∴f（x）＝x﹣1故答案为：x﹣116．（5分）下列四个命题中正确的有①②③④（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c＝3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|＝1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sin x④定积分dx＝．【解答】解：①若实数a，b，c满足a+b+c＝3，则用反证法，假设a，b，c都小于1，则a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一个不小于1，故①正确；②若z为复数，且|z|＝1，则由|z﹣i|≤|z|+|﹣i|＝2，可得|z﹣i|的最大值等于2，故②正确；③任意x∈（0，+∞），根据（x﹣sin x）的导数为1﹣cos x≥0，可得（x﹣sin x）在R上为增函数，再根据当x＝0时，（x﹣sin x）＝0，可得任意x∈（0，+∞），都有x﹣sin x＞0，故③正确．④定积分dx表示圆y＝（0＜x）的面积，则为，故④正确．故答案为：①②③④三.解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（1）求定积分∫1﹣2|x2﹣2|dx的值；（2）若复数z1＝a+2i（a∈R），z2＝3﹣4i，且为纯虚数，求|z1|1|x2﹣2|dx＝+【解答】解：（1）∫﹣2＝+＝故定积分是（2）＝＝＝∵这个复数是一个纯虚数，∴3a﹣8＝0，∴a＝∴|z1|＝＝故复数的模长是18．（12分）观察以下5个等式：﹣1＝﹣1﹣1+3＝2﹣1+3﹣5＝﹣3﹣1+3﹣5+7＝4﹣1+3﹣5+7﹣9＝﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）【解答】解：（1）由已知中：﹣1＝﹣1﹣1+3＝2﹣1+3﹣5＝﹣3﹣1+3﹣5+7＝4﹣1+3﹣5+7﹣9＝﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11＝6 …（2分）第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n…（4分）（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n①当n＝1时，由已知得原式成立；…（5分）②假设当n＝k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）＝（﹣1）k k…（6分）那么，当n＝k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）＝（﹣1）k+1（k+1）故n＝k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n成立．19．（12分）设0≤x≤a，求函数f（x）＝3x4﹣8x3﹣6x2+24x的最大值和最小值．【解答】解：∵f（x）＝3x4﹣8x3﹣6x2+24x，∴f′（x）＝12x3﹣24x2﹣12x+24＝12（x+1）（x﹣1）（x﹣2）∴f（x）在[0，1]，[2，+∞）上是增函数，在[1，2]上是减函数；①当0＜a≤1时，f min（x）＝f（0）＝0；f max（x）＝f（a）＝3a4﹣8a3﹣6a2+24a；②当1＜a≤2时，f（0）＝0，f（2）＝8，f（1）＝13；f min（x）＝0；f max（x）＝f（1）＝13；3x4﹣8x3﹣6x2+24x﹣13＝3（x﹣1）2（x+）（x﹣）；③当2＜a≤时，f min（x）＝0；f max（x）＝f（1）＝13；④当a＞时，f min（x）＝f（0）＝0；f max（x）＝f（a）＝3a4﹣8a3﹣6a2+24a．20．（12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：①能组成多少个没有重复数字的七位数？②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【解答】解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C43种情况；第二步在5个奇数中取4个，可C54有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100800个；②上述七位数中，将3个偶数排在一起，有A33种情况，故三个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14400种情况；③上述七位数中，3个偶数排在一起有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，共有C43C54A33A44A22＝5760个．④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C54A44C43A53＝28800个．21．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含a﹣1的项的二项式系数．【解答】解：设的展开式的通项为＝．…（3分）若它为常数项，则，∴r＝2，代入上式∴T3＝27．即常数项是27，从而可得中n＝7，…（7分）同理，由二项展开式的通项公式知，含a﹣1的项是第4项，其二项式系数是35．…（12分）22．（12分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．【解答】解：（1）∵函数∴，由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0）（2），当x＝1时，y'＝得切线的斜率为，所以k＝；所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣ln2+＝×（x﹣1），即x﹣4y+4ln2﹣3＝0．故切线方程为x﹣4y+4ln2﹣3＝0（3）所证不等式等价为而，设t＝x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，由此F（t）min＝F（1）＝0，所以F（t）≥F（1）＝0即，记代入得：得证．。