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微积分的基础概念——极限微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和量的增加方式。
而在微积分的学习中，极限是一个非常基础且重要的概念。
本文将对极限的定义、性质和计算方法进行详细介绍。
1. 极限的定义在微积分中，如果一个函数f(x)在x趋近于某个值a时，函数的取值越来越接近某个确定的常数L，那么我们称L是f(x)在x趋近于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L 或者f(x)→L (x→a)这里的a可以是实数，也可以是正无穷或负无穷。
2. 极限的性质(1) 唯一性：一个函数在某一点处的极限只有一个。
(2) 有界性：如果一个函数在某一点的极限存在，则该函数在该点的附近存在一个有界区间，使得函数的取值在这个区间内有界。
(3) 保号性：若一个函数在某一点的极限存在且大于0，在该点附近存在一个区间，使得该函数在该区间内大于0。
3. 极限的计算方法(1) 代入法：对于一些简单的函数，我们只需要将x的值代入函数中进行计算即可。
计算lim(x→2) (2x + 1) = 2*2 + 1 = 5。
(2) 四则运算法则：对于多个函数进行四则运算时，我们可以分别计算每一个函数的极限，然后根据定义进行计算。
计算lim(x→2) (x^2 + 2x - 1) = lim(x→2) (x^2) + lim(x→2) (2x) - lim(x→2) (1) = 2^2 + 2*2 - 1 = 7。
(3) 复合函数法则：对于复合函数，我们可以通过先进行函数的展开和化简，再根据极限的定义进行计算。
计算lim(x→0) (sin(2x) / x) = lim(x→0) (2sin(x)cos(x) / x) = lim(x→0) (2sin(x)cos(x)) / lim(x→0) (x) = 2*0 / 0 = 0 (这里使用了sin(x) / x 的极限为1的性质)。
(4) 倒代换法：当函数的极限形式存在0/0、∞/∞等情况时，我们可以通过倒代换的方法将其转化为乘法或者除法的形式，再进行计算。
微积分的基础概念——极限微积分是数学中重要的分支之一，它的基础概念之一就是极限。
极限是微积分中非常重要的概念，它在理论推导和实际计算中都扮演着重要的角色。
本文将深入探讨极限的基础概念，包括定义、性质、计算以及在微积分中的应用等方面。
一、极限的基本概念极限是研究一个函数在某一点附近的变化规律的概念。
它主要用来描述函数在某一点附近的取值情况。
具体来说，对于一个函数f(x)，当自变量x趋于某一特定的数a时，如果函数值f(x)可以无限接近于一个常数L，那么就说函数f(x)在x趋于a时的极限值为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这里a是一个实数，L也是一个实数。
从这个定义可以看出，极限可以更加严格地描述函数在某一点附近的取值情况，从而帮助我们理解函数的局部特性，包括函数的连续性、导数和积分等。
二、极限的性质极限有一些基本的性质，这些性质是我们在计算和应用极限时需要用到的。
这些性质包括加法性、乘法性、复合性、夹逼性等。
1. 加法性：如果lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，那么lim(x→a)(f(x)+g(x))=A+B。
这些性质对于我们在计算极限时起到了非常重要的作用，它们有助于我们简化极限的计算过程，使得复杂的极限问题变得更加容易处理。
三、极限的计算在实际计算中，我们常常遇到各种各样的极限问题，包括多项式函数的极限、三角函数的极限、指数函数和对数函数的极限等。
针对不同类型的函数，我们需要采用不同的方法来计算极限。
1. 多项式函数的极限：对于形如f(x)=a_n*x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1*x+a_0的多项式函数，在x趋于无穷大时，其极限值为lim(x→∞)f(x)=a_n*x^n。
这是因为随着x的增大，n次幂项对于整个函数值的贡献将会越来越大。
2. 三角函数的极限：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，在x趋于0时，它们的极限值分别为lim(x→0)sin(x)=0和lim(x→0)cos(x)=1。
微积分的基础概念——极限微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化的规律和量的积累。
微积分的基础概念之一就是极限。
极限是微积分中最基础的概念之一，它是描述函数在某一点附近的变化趋势和取值情况的重要工具。
下面我们来详细介绍一下极限的基础概念。
我们需要了解一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在数学中，常用自变量表示输入的变量，用因变量表示输出的变量。
函数通常用f(x)或者y来表示。
在微积分中，我们通常研究的是实数集上的函数，也就是定义域和值域都是实数集的函数。
接下来，我们来介绍一下极限的定义。
在微积分中，当我们讨论一个函数f(x)在某一点x=a处的极限时，实际上是在讨论当自变量x趋近于a时，函数f(x)的取值趋近于的一个值。
数学上对于函数f(x)在x=a处的极限的定义是这样的：若对于任意一个给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
这里的L表示极限的值。
简单来说，当我们说函数f(x)在x=a处的极限为L时，就是说当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
这里需要特别注意，当我们讨论极限时，我们并不关心函数在点x=a处的实际取值，而是关心的是当x趋近于a时，函数的取值情况。
接下来，我们来看一些常见的极限性质。
首先是极限存在的唯一性。
如果一个函数在某一点处的极限存在，则极限值唯一。
其次是函数的和、差、积的极限性质。
如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，则它们的和、差、积的极限分别为L+M、L-M、L*M。
对于商函数来说，如果g(a)不等于0，且函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，则商函数f(x)/g(x)在x=a处的极限为L/M。
我们还需要注意复合函数的极限性质。
如果函数f(x)在x=a处的极限为L，函数g(x)在x=L处的极限为M，则复合函数g(f(x))在x=a处的极限为M。
微积分的基础概念——极限【摘要】微积分是数学中重要的分支之一，极限是微积分的基础概念之一。
本文围绕极限展开讨论，包括了极限的定义和性质。
首先介绍了极限的含义，即某个函数在接近某一点时的趋势或者取值。
然后详细讨论了极限的性质，包括有界性、保号性、夹逼性等。
接着介绍了极限的计算方法，以及无穷小和无穷大的概念。
讨论了极限在微积分中的应用，如在求导和积分中的重要性。
通过这些内容的介绍，可以更好地理解极限这一概念在微积分中的地位和作用，从而为深入学习微积分奠定基础。
极限是微积分的基础，对于理解数学中的变化和趋势具有重要意义。
【关键词】引言、微积分、极限、性质、计算方法、无穷小、无穷大、应用、基础。
1. 引言1.1 微积分的基础概念——极限微积分是研究变化和无限的数学分支，其中极限是微积分中最基础和最重要的概念之一。
极限的概念是微积分的基石，它涉及到数列和函数在某一点或无穷远处的趋近性质，是描述数学问题中趋近于某一值的过程的方法和工具。
极限的概念最早起源于17世纪，但直到19世纪才得到了严谨的定义和系统的发展。
极限的思想在微积分的发展中起着至关重要的作用，它解决了一系列无法用代数方法解决的问题，为微积分的发展奠定了坚实的基础。
在微积分中，极限不仅仅是一个数学概念，更是一种思维方式和工具，可以用来描述和处理各种变化和趋近性质。
通过研究极限，我们可以更深入地理解函数的性质和变化规律，解决各种数学问题，以及在科学和工程领域中应用微积分的方法和技巧。
本文将系统地介绍极限的基本概念、性质、计算方法、无穷小与无穷大以及极限的应用，帮助读者更全面地理解和掌握微积分中极限的重要概念和方法。
极限是微积分的基础，对于深入学习微积分和相关领域的数学知识都具有至关重要的意义。
2. 正文2.1 什么是极限极限是微积分中的一个重要概念，它在描述函数在某一点的趋势或变化时起到了关键作用。
在数学上，极限可以被理解为一个数列或者函数在趋向某个特定值时的极限值。
微积分的基础概念——极限
极限是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的“趋近”行为的，是微积分中的基础之一。
在学习微积分的过程中，理解和掌握极限的概念是非常重要的，因为它是其他微积分理论和方法的基础和前提。
极限的概念最早起源于17世纪，由数学家Isaac Newton和Gottfried Leibniz提出，是微积分学的基础。
在现代数学中，极限的概念也被广泛应用于分析、实变函数、数学物理等领域。
要理解极限，首先需要了解函数在某一点附近的变化情况。
当自变量x在某一点a附近取值时，函数f(x)的取值是否趋近于某个确定的值L，这就是极限的概念。
数学上，用符号lim(x→a)f(x)=L来表示函数f(x)在x趋近于a的时候，趋近于L。
在极限的定义中，有两个重要的概念：趋近和确定值。
趋近指的是当x在a的附近取值时，函数f(x)的取值越来越接近某个确定的值L。
确定值指的是当x在a的附近取值时，函数f(x)的取值不会超过一个确定的范围ε，这个范围可以是任意小的正数。
极限有许多重要的性质和定理，这些性质和定理不仅是理解和计算极限的重要工具，也是推导微积分中各种重要公式和定理的基础。
其中最重要的性质有：唯一性、局部有界性、局部保号性、局部保序性、强极限等。
在计算极限的过程中，有许多重要的方法和技巧。
例如利用极限的性质和定理、代数运算、洛必达法则、泰勒公式等。
极限的计算方法主要有两种：一是通过函数的定义式直接计算极限；二是通过一些特殊的方法和性质计算极限。
在实际应用中，极限的计算方法需要结合具体的例子和问题来灵活运用。
微积分的基础概念——极限极限是微积分的重要基础概念之一，它用来描述某一数列或函数在无穷趋近某一点时的行为。
极限的概念在微积分中起到了关键作用，可以帮助我们解决许多与变化和趋近有关的问题。
我们来看一下数列的极限。
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
假设我们有一个数列{an}，它可以表示为a1，a2，a3，...，an，...。
当n趋近于无穷大时，我们可以通过观察数列中的数的行为来求得数列的极限。
具体来说，如果对于任意一个正实数ε（ε>0），存在一个正整数N，使得当n>N时，数列中的任意一项an都满足|an - a| < ε，其中a是数列的极限，则我们称这个数a是数列的极限，记作lim（n→∞）an = a。
举个例子，我们考虑数列{1/n}，这个数列的极限是0。
当n趋近于无穷大时，数列中的每一项都越来越接近0，并且可以任意的靠近0，因此0是这个数列的极限。
在微积分中，我们还常常讨论函数的极限。
函数的极限是指当自变量趋近于某一点时，函数的值的趋近情况。
具体来说，如果对于任意一个正实数ε（ε>0），存在一个正实数δ（δ>0），使得当自变量x与某一点a的距离|x-a| < δ时，函数f(x)与某一数L的距离|f(x)-L| < ε，则我们称L是函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim（x→a）f(x) = L。
举个例子，我们考虑函数f(x) = x^2，当x趋近于2时，我们希望求得函数f(x)的极限。
我们可以通过直接代入x=2的方式求解，发现f(2) = 4。
而无论我们选择多么小的ε，总是可以找到一个足够小的δ，使得当x与2的距离|x-2| < δ时，函数f(x)与4的距离|f(x)-4| < ε。
我们可以得到lim（x→2）f(x) = 4。
需要注意的是，数列和函数的极限并不总是存在。
如果数列或函数在趋近某一点时没有定义或没有有限的极限，我们就称其为无界的或发散的。
微积分的基础概念——极限微积分是数学的一个分支，研究函数、极限、导数、积分和无穷级数等概念及其相互关系。
极限是微积分中的一个重要概念，它在描述函数在某一点的变化趋势以及无穷大的概念时有着重要的作用。
在微积分中，函数的极限表示当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于何处或者趋于何值。
本文将介绍微积分中的基础概念——极限。
一、极限的定义在微积分中，极限的概念是非常重要的。
极限可以理解为一个变量（通常是自变量）在特定条件下趋于的一个确定的值，其通常用符号lim表示。
具体来说，对于函数f(x)，当x的取值趋于某一特定值a时，如果f(x)的取值趋于一个确定的值L，则称L是当x趋于a时f(x)的极限，记作：lim（x→a）f(x) = Llim表示极限的符号，x→a表示x趋于a，f(x)表示函数f在自变量x上的取值，L表示函数f(x)在x趋于a时的极限值。
对于定义极限的概念，还可以用“ε-δ”语言来进行描述。
这是一种严格而精确的定义，它直观地表示了x趋于a时f(x)的极限值。
具体来说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
这种定义的理解需要对数学的严密性有一定的认识，不过在实际的计算和推导中使用的并不多。
二、极限存在与不存在在计算极限的过程中，有两种情况，一种是极限存在，另一种是极限不存在。
当x趋于某一特定的值a时，如果函数f(x)的取值趋于一个确定的值L，那么称函数f(x)在x趋于a时有极限，记作lim（x→a）f(x) = L。
这种情况下，称函数f(x)在x趋于a时是收敛的。
在计算极限时，通常会通过一些基本的极限性质，如四则运算极限、复合函数极限、指数、对数函数的极限等进行计算。
这些性质有助于简化极限的计算过程。
在一些特定的情况下，也可以用洛必达法则等方法来计算一些复杂的极限。
极限有一些基本的性质，这些性质对于计算和理解极限都是非常重要的。
数学高三必修知识点：微积分基础微积分是现代数学、物理、工程、经济学、生物学等学科的基础，其重要性不言而喻。
在高中数学学习中，微积分是一个非常重要的部分，高三学生必须掌握的知识点。
本文将详细介绍微积分的基础知识，包括极限、导数、积分等内容。
一、极限1.1 极限的定义极限是微积分的基石，主要研究函数当自变量趋近于某一值时函数值的趋近情况。
形式上，设函数f(x)在点a附近有定义，如果当x趋近于a时，f(x)趋近于一个确定的值L，那么就称f(x)在点a处极限为L，记作：[ _{x a} f(x) = L ]1.2 极限的基本性质（1）极限具有保号性，即如果( _{x a} f(x) = L )，那么当x趋近于a时，f(x)与L同号。
（2）极限具有叠加性，即如果( {x a} f(x) = L )，( {x a} g(x) = M )，那么( _{x a} [f(x) + g(x)] = L + M )。
（3）极限具有连续性，即如果( _{x a} f(x) = L )，且f(x)在a处连续，那么f(a) = L。
1.3 极限的计算方法（1）直接计算法：直接根据极限的定义计算极限。
（2）因式分解法：将函数f(x)进行因式分解，然后分别计算每个因式的极限。
（3）有理化方法：将分母有理化，使极限计算更简单。
（4）泰勒展开法：利用函数的泰勒展开式计算极限。
二、导数2.1 导数的定义导数是描述函数在某一点处变化率的概念。
设函数f(x)在点a附近有定义，如果存在一个实数M，当x趋近于a时，有：[ _{h 0} = M ]那么就称f(x)在点a处的导数为M，记作：[ f’(a) = M ]2.2 导数的计算方法（1）基本导数公式：对常见函数求导。
（2）导数的四则运算法则：求复合函数的导数。
（3）链式法则：求多个函数复合的导数。
（4）高阶导数：求函数的n阶导数。
（5）隐函数求导：求隐函数的导数。
（6）参数方程求导：求参数方程的导数。
第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
证明: 因为对于任意给定的ε >0, 存在N =[ log |q |ε +1], 当n >N 时, 有 | qn -1-0|=|q |n -1<ε ,所以0lim 1=-∞→n n q .收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性) 数列{x n }不能收敛于两个不同的极限. 证明: 假设同时有a x n n =∞→lim 及b x n n =∞→lim , 且a <b .按极限的定义, 对于2a b -=ε>0, 存在充分大的正整数N ,使当n >N 时, 同时有|x n -a |<2a b -=ε 及|x n -b |<2a b -=ε,因此同时有2a b x n +<及2a b x n +>,这是不可能的. 所以只能有a =b .数列的有界性: 对于数列{x n }，如果存在着正数M ，使得对一切x n 都满足 不等式|x n |≤M ,则称数列{x n }是有界的; 如果这样的正数M 不存在，就说数列 {x n }是无界的定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{x n }收敛, 那么数列{x n }一定有界.证明: 设数列{x n }收敛, 且收敛于a , 根据数列极限的定义, 对于ε =1, 存在正整数N , 使对于n >N 时的一切x n , 不等式 |x n -a |<ε =1都成立. 于是当n >N 时,|x n |=|(x n -a )+a | ≤| x n -a |+|a |<1+|a |. 取M =max{|x 1|, |x 2|, ⋅ ⋅ ⋅, |x N |, 1+| a |}, 那么数列{x n }中的 一切x n 都满足不等式|x n |≤ M .这就证明了数列{x n }是有界的.定理3收敛数列的保号性) 如果数列{x n }收敛于a , 且a >0(或a <0), 那么存在正整数N , 当n >N 时, 有x n >0(或x n <0).证 就a >0的情形证明. 由数列极限的定义, 对02>=aε, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有2||a a x n <-,从而022>=->a a a x n .推论 如果数列{x n }从某项起有x n ≥0(或x n ≤0), 且数列{x n }收敛于a , 那么a ≥0(或a ≤0). 证明 就x n ≥0情形证明. 设数列{x n }从N 1项起, 即当n >N 1时有x n ≥0. 现在用反证法证明, 或a <0, 则由定理3知, ∃N 2∈N +, 当n > N 2时, 有x n <0. 取N =max{ N 1, N 2 }, 当n >N 时, 按假定有x n ≥0, 按定理3有x n <0, 这引起矛盾. 所以必有a ≥0.子数列: 在数列{x n }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列{x n }的子数列.例如, 数列{x n }: 1, -1, 1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)n +1⋅ ⋅ ⋅的一子数列为{x 2n }: -1, -1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)2n +1⋅ ⋅ ⋅.定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{x n }收敛于a , 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a .证明: 设数列}{kn x 是数列{x n }的任一子数列.因为数列{x n }收敛于a , 所以∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε . 取K =N , 则当k >K 时, n k ≥k >K =N . 于是|kn x -a |<ε .这就证明了a x k n k =∞→lim .讨论:1. 对于某一正数ε 0, 如果存在正整数N , 使得当n >N 时, 有|x n -a |<ε 0. 是否有x n →a (n →∞).2. 如果数列{x n }收敛, 那么数列{x n }一定有界. 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?3. 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1, -1, 1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)N +1, ⋅ ⋅ ⋅是发散的？§2.2 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势: x 无限接近x 0 : x →x 0,x 从x 0的左侧(即小于x 0)无限接近x 0 : x →x 0-, x 从x 0的右侧(即大于x 0)无限接近x 0 : x →x 0+, x 的绝对值|x |无限增大: x →∞, x 小于零且绝对值|x |无限增大: x →-∞, x 大于零且绝对值|x |无限增大: x →+∞. 1．自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义:如果当x 无限接近于x 0 , 函数f (x )的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x 0 时, f (x )以A 为极限. 记作limx x →f (x )=A 或f (x )→A (当x →0x ).分析: 在x →x 0的过程中, f (x )无限接近于A 就是|f (x )-A |能任意小, 或者说, 在x 与x 0接近到一定程度(比如|x -x 0|<δ, δ为某一正数)时, |f (x )-A |可以小于任意给定的(小的)正数ε , 即|f (x )-A |<ε . 反之, 对于任意给定的正数ε , 如果x 与x 0接近到一定程度(比如|x -x 0|<δ, δ为某一正数)就有|f (x )-A |<ε , 则能保证当x →x 0时, f (x )无限接近于A .定义1 设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ, 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时, 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当x →x 0时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ时, |f (x )-A |<ε .函数极限的几何意义: 例1. 证明c c x x =→0lim .证明: 这里|f (x )-A |=|c -c |=0,因为∀ε>0, 可任取δ>0 , 当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |=|c -c |=0<ε , 所以c c x x =→0lim .例2. 证明00lim x x x x =→.分析: |f (x )-A |=|x -x 0|. 因此∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要|x -x 0|<ε .证明: 因为∀ε >0, ∃δ =ε , 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |=|x -x 0|<ε , 所以00lim x x x x =→.例3. 证明1)12(lim 1=-→x x .分析: |f (x )-A |=|(2x -1)-1|=2|x -1|. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要2|1|ε<-x .证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε /22εδ=, 当0<|x -1|<δ 时, 有|f (x )-A |=|(2x -1)-1|=2|x -1|<ε ,所以1)12(lim 1=-→x x .例4. 证明211lim21=--→x x x .分析: 注意函数在x =1是没有定义的, 但这与函数在该点是否有极限并无关系. 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要|x -1|<ε .证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -1|<δ 时, 有| f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|<ε ,所以211lim21=--→x x x .单侧极限:若当x →x 0-时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f (0x -)=A ;若当x →x 0+ 时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f (0x +)=A .讨论:1.左右极限的ε --δ定义如何叙述?2. 当x →x 0时函数f (x )的左右极限与当x →x 0时函数f (x )的极限之间的关系怎样?提示: 左极限的ε --δ 定义：A x f x x =-→)(lim 0⇔∀ε >0, ∃δ >0, ∀x : x 0-δ<x <x 0, 有|f (x )-A |<ε .A x f x x =+→)(lim 0⇔∀ε >0, ∃δ >0, ∀x : x 0<x <x 0+δ , 有|f (x )-A |<ε .Ax f x x =→)(lim 0⇔A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.例5 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01000 1)(x x x x x x f 当x →0时的极限不存在.这是因为,1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠.2．自变量趋于无穷大时函数的极限设f (x )当|x |大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε , 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x |>X 时, 对应的函数数值f (x )都满足不等式|f (x )-A |<ε,则常数A 叫做函数f (x )当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f (x )→A (x →∞).A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论: A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .极限A x f x =∞→)(lim 的定义的几何意义例6. 证明01lim=∞→xx .分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .证明: 因为∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有ε<=-=-||1|01||)(|x xA x f ,所以01lim=∞→xx .直线y =0 是函数xy 1=的水平渐近线.一般地, 如果c x f x =∞→)(lim , 则直线y =c 称为函数y =f (x )的图形的水平渐近线.二、函数极限的性质 定理1(函数极限的唯一性)如果极限)(lim 0x f x x →存在, 那么这极限唯一.定理2(函数极限的局部有界性)如果f (x )→A (x →x 0), 那么存在常数M >0和δ, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 有|f (x )|≤M . 证明 因为f (x )→A (x →x 0), 所以对于ε =1, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-A |<ε =1,于是|f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就证明了在x 0的去心邻域{x | 0<|x -x 0|<δ }内, f (x )是有界的. 定理3(函数极限的局部保号性)如果f (x )→A (x →x 0), 而且A >0(或A <0), 那么存在常数δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有f (x )>0(或f (x )<0).证明: 就A >0的情形证明. 因为A x f x x =→)(lim 0, 所以对于2A =ε, ∃δ >0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有2|)(|A A x f =<-ε⇒)(2x f A A <-⇒2)(A x f >>0.定理3'如果f (x )→A (x →x 0)(A ≠0), 那么存在点x 0的某一去心邻域, 在该邻域内, 有||21|)(|A x f >.推论 如果在x 0的某一去心邻域内f (x )≥0(或f (x )≤0), 而且f (x )→A (x →x 0), 那么A ≥0(或A ≤0).证明: 设f (x )≥0. 假设上述论断不成立, 即设A <0, 那么由定理1就有x 0的某一去心邻域, 在该邻域内 f (x )<0, 这与f (x )≥0的假定矛盾. 所以A ≥0. 定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当x →x 0时f (x )的极限存在, {x n }为f (x )的定义域内任一收敛于x 0的数列, 且满足x n ≠x 0(n ∈N +), 那么相应的函数值数列{f (x n )}必收敛, 且)(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=.证明 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε >0, ∃δ >0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε . 又因为x n →x 0(n →∞), 故对δ >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -x 0|<δ . 由假设, x n ≠x 0(n ∈N +). 故当n >N 时, 0<|x n -x 0|<δ , 从而|f (x n )-A |<ε . 即)(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=§2.3．无穷小与无穷大 一、无穷小如果函数f (x )当x →x 0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{x n }称为n →∞时的无穷小. 例如, 因为01lim=∞→xx , 所以函数x1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim=+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x 0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零. 无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0(或x →∞)中, 函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x )=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设A x f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .令α=f (x )-A , 则α是x →x 0时的无穷小, 且f (x )=A +α .这就证明了f (x )等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f (x )=A +α , 其中A 是常数, α是x →x 0时的无穷小, 于是 |f (x )-A |=|α|.因α是x →x 0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有|α|<ε 或|f (x )-A |<ε这就证明了A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限. 简要证明: 令α=f (x )-A , 则|f (x )-A |=|α|.如果∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有f (x )-A |<ε , 就有|α|<ε ;反之如果∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有|α|<ε , 就有f (x )-A |<ε .这就证明了如果A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限, 则α是x →x 0时的无穷小; 如果α是x →x 0时的无穷小, 则A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形.例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim3=∞→x x , 所以2121lim33=+∞→x x x .二、无穷大如果当x →x 0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示:∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ >0, 当0<|x -0x |<δ 时, 有|f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x .例2 证明∞=-→11lim1x x . 证 因为∀M >0, ∃M1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有M x >-|11|,所以∞=-→11lim1x x .提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要Mx 1|1|<-.铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线.定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.三、无穷小的比较观察两个无穷小比值的极限:03lim20=→x x x , ∞=→203lim x x x , 1sin lim 0=→xx x . 两个无穷小比值的极限的各种不同情况, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x →0的过程中, x 2→0比3x →0“快些”, 反过来3x →0比x 2→0“慢些”, 而sin x →0与x →0“快慢相仿”.下面, 我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时, 来说明两个无穷小之间的比较.定义: 设α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小. 如果0lim =αβ, 就说β是比α高阶的无穷小, 记为β=o (α). 如果∞=αβlim , 就说β 是比α 低阶的无穷小. 如果0lim ≠=c αβ, 就说β 与α 是同阶无穷小. 如果0lim ≠=c kαβ, k >0, 就说β是关于α的k 阶无穷小. 如果1lim=αβ, 就说β与α是等价无穷小, 记为α~β . 下面举一些例子: 例1. 因为03lim20=→xx x , 所以当x →0时, 3x 2是比x 高阶的无穷小, 即3x 2=o (x )( x →0).例2. 因为∞=∞→211lim n n n , 所以当n →∞时,n1是比21n低阶的无穷小.例3. 因为639lim23=--→x x x , 所以当x →3时, x 2-9与x -3是同阶无穷小.例4. 因为21cos 1lim 2=-→xx x , 所以当x →0时, 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小. 例5. 因为1sin lim 0=→xx x , 所以当x →0时, sin x 与x 是等价无穷小, 即sin x ~ x (x →0).关于等价无穷小的有关定理:定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o (α).证明 必要性 设α ~ β, 则01lim )1lim(lim=-=-=-αβαβααβ, 因此 β-α=o (α),即 β=α+o (α).充分性 设β=α+o (α), 则 1])(1lim[)(lim lim =+=+=ααααααβo o , 因此α~β.简要证明: 这是因为, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1lim lim αβααβ1lim -=αβ, 0lim=-ααβ当且仅当1lim =αβ, β-α=o (α)当且仅当α~β, β=α+o (α)当且仅当α~β.例6. 因为当x →0时sin x ~x , tan x ~x , 1-cos x ~221x , 所以当x →0时, 有sin x =x +o (x ), tan x =x +o (x ), 1-cos x =)(2122x o x +.定理2设α~α ', β~β ', 且αβ''lim 存在, 则αβαβ''=lim lim .证明: αααβββαβ'⋅''⋅'=limlimαβαααβββ''='⋅''⋅'=limlimlimlim.定理2表明, 求两个无穷小之比的极限时, 分子及分母都可用等价无穷小来代替. 因此,如果用来代替的无穷小选取得适当, 则可使计算简化. 例7. 求xx x 5sin 2tan lim 0→.解: 当x →0时, tan 2x ~ 2x , sin 5x ~ 5x , 所以xx x 5sin 2tan lim 0→5252lim 0==→x x x .例8. 求xx xx 3sin lim 3+→. 解: 当x →0时sin x ~x , 无穷小x 3+3x 与它本身显然是等价的, 所以3131lim3lim3sin lim202030=+=+=+→→→x x x xx x x x x .§2.4 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小.例如, 当x →0时, x 与sin x 都是无穷小, x +sin x 也是无穷小.简要证明: 设α及β是当x →x 0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0及δ2>0, 使当0<|x -x 0|<δ1 时, 有|α|<ε ; 当0<|x -x 0|<δ2 时, 有|β|<ε .取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, 有|α+β|≤|α|+|β|<2ε . 这说明α+β 也是无穷小.证明: 考虑两个无穷小的和.设α及β 是当x →x 0时的两个无穷小, 而γ =α +β . 任意给定的ε >0. 因为α 是当x →x 0时的无穷小, 对于2ε>0存在着δ1>0, 当0<|x -x 0|<δ1时, 不等式|α|<2ε成立. 因为β 是当x →x 0时的无穷小, 对于2ε>0存在着δ2>0, 当0<|x -x 0|<δ2时, 不等式|β|<2ε成立. 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时,|α|<2ε及|β|<2ε同时成立, 从而|γ|=|α+β|≤|α|+|β|<2ε+2ε=ε . 这就证时了γ 也是当x →x 0时的无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.简要证明: 设函数u 在x 0的某一去心邻域{x |0<|x -x 0|<δ1}内有界, 即∃M >0, 使当0<|x -x 0|<δ1时, 有|u |≤M . 又设α 是当x →x 0时的无穷小, 即∀ε >0. 存在δ2 >0, 使当0<|x -x 0|<δ 2时, 有|α|<ε .取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有|u ⋅α|< M ε .这说明u ⋅α 也是无穷小.例如, 当x →∞时, x1是无穷小, arctan x 是有界函数, 所以x1arctan x 也是无穷小.推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 如果lim f (x )=A , lim g (x )=B , 那么 (1) lim [f (x )±g (x )] = lim f (x ) ±lim g (x ) =A ± B ; (2) lim f (x )⋅g (x ) = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) =A ⋅B ; (3)BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x )=A , lim g (x )=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x )=A +α,g (x )=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x ) ±g (x )=(A + α) ± (B + β) = (A ± B ) + (α ± β),即f (x ) ± g (x )可表示为常数(A ± B )与无穷小(α ± β)之和. 因此lim [f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B .推论1 如果lim f (x )存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x )]=c lim f (x ). 推论2 如果lim f (x )存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x )]n =[lim f (x )]n .定理4 设有数列{x n }和{y n }. 如果A x n n =∞→lim , B y n n =∞→lim ,那么(1)B A y x n n n ±=±∞→)(lim ;(2)B A y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;(3)当0≠n y (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且B ≠0时, BA y x nn n =∞→lim. 定理5 如果ϕ(x )≥φ(x ), 而lim ϕ(x )=a , lim ψ(x )=b , 那么a ≥b . 例1. 求)12(lim1-→x x .解: 11121lim 21lim 2lim )12(lim1111=-⋅=-=-=-→→→→x x x x x x x .讨论: 若n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110 )(, 则?)(lim 0=→x P x x提示: n x x n x x n x x n x x x x a x a x a x a x P 0lim )(lim )(lim )(lim )(lim 1110→-→-→→→++⋅⋅⋅++=n x x x x n n x x n x x a x a x a x a 0lim lim )(lim )(lim 1110→→--→→++⋅⋅⋅++=) )lim ()lim (1100n n x x n x x a x a x a +⋅⋅⋅++=-→→=a 0x 0n +a 1x 0n -1+⋅ ⋅ ⋅+a n =P (x 0).若n n n a x a x a x P +⋅⋅⋅++=- )(110, 则)()(lim 00x P x P x x =→.例2. 求351lim232+--→x x x x .解: )35(lim )1(lim 351lim 223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x 3lim lim 5lim1lim lim 2222232→→→→→+--=x x x x x x x x 325)lim (1)lim (2232+⋅--=→→x x x x 3731021223-=+--=.提问: 如下写法是否正确？35lim 1lim 351lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x 3731021223-=+--=. )35(lim )1(lim 351lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x 37)3102(lim )12(lim 2232-=+--=→→x x .例3. 求93lim23--→x x x . 解:31lim )3)(3(3lim 93lim 3 32 3+=+--=--→→→x x x x x x x x x 61)3(lim 1lim33=+=→→x x x .例4. 求4532lim21+--→x x x x .解: 031241513245lim221=-⋅+⋅-=-+-→x x x x , 根据无穷大与无穷小的关系得4532lim21+--→x x x x =∞.提问: 如下写法是否正确？ ∞=-=+--=+--→→→01)45(lim )32(lim 4532lim21 121x x x x x x x x x .讨论:有理函数的极限?)()(lim=→x Q x P x x 提示:当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(limx Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去.例5. 求357243lim 2323-+++∞→x x x x x .解: 先用x 3去除分子及分母, 然后取极限:73357243lim 357243lim332323=-+++=-+++∞→∞→x xx x x x x x x x . 例6. 求52123lim232+---∞→x x x x x .解: 先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限:020512123lim 52123lim332232==+---=+---∞→∞→x x x x x x x x x x x . 例7. 求12352lim223--+-∞→x x x x x .解: 因为052123lim 232=+---∞→x x x x x , 所以∞=--+-∞→12352lim 223x x x x x .讨论:有理函数的极限?lim110110=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mm m n n n x b x b x b a x a x a提示:⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n ba mn b x b x b a x a x a m m m n n n x 0 lim 0110110.例8. 求xxx sin lim∞→.解: 当x →∞时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为x xxx sin 1sin ⋅=, 是无穷小与有界函数的乘积,所以 0sin lim =∞→xx x .定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义, 若0)(lim 0u x g x x =→, A u f u u =→)(lim 0, 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义. 若g (x )→u 0(x →x 0), f (u )→A (u →u 0), 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.简要证明 设在{x |0<|x -x 0|<δ0}内g (x )≠u 0.要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f [g (x )]-A |<ε .因为f (u )→A (u →u 0), 所以∀ε >0, ∃η>0, 当0<|u -u 0|<η时, 有|f (u )-A |<ε . 又g (x )→u 0(x →x 0), 所以对上述η>0, ∃δ1>0, 当0<|x -x 0|<δ1时, 有|g (x )-u 0|<η. 取δ=min{δ0, δ1}, 则当0<|x -x 0|<δ时, 0<|g (x )-u 0|<η, 从而 |f [g (x )]-A |=|f (u )-A |<ε .注:把定理中0)(lim 0u x g x x =→换成∞=→)(lim 0x g x x 或∞=∞→)(lim x g x ,而把A u f u u =→)(lim 0换成A u f u =∞→)(lim 可类似结果.把定理中g (x )→u 0(x →x 0)换成g (x )→∞(x →x 0)或g (x )→∞(x →∞), 而把f (u )→A (u →u 0)换成f (u )→A (u →∞)可类似结果. 例如 例9 求39lim 23--→x x x .解 392--=x x y 是由u y =与392--=x x u 复合而成的.因为639lim23=--→x x x , 所以6lim39lim623==--→→u x x u x .§1. 7极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim=→xxx . 证明 首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为S ∆AOB <S扇形AOB<S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即 sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或 1s i n c o s <<xxx .注意此不等式当-2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<xx x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim=x x αα.这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim0==→uuu .1sin lim0=→xxx , 1)()(sin lim=x x αα(α(x )→0). 例1. 求x xx tan lim0→.解: xxx tan lim→xxx x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim00=⋅=→→xx x x x .例2. 求20cos 1limx xx -→.解: 2cos 1lim xxx -→=2222)2(2sin lim212sin2limxx x x x x →→=2112122s i n lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n)11(lim +∞→存在.设n n nx )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有 nn n n n n n n n n n n n n n n nn nx 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=, )111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n n n n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nn n =+∞→)11(lim .我们还可以证明e xx x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数.在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有ex x =+)(1)](1lim[αα.这是因为,令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e uu u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim[αα(α(x )→0). 例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是 x x x)11(lim -∞→t t t-∞→+=)11(lim ett t 1)11(1lim=+=∞→. 或 )1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x xx11])11(lim [---∞→=-+=e xx x .§1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续. 注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0l i m 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数xx f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有 ∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当∆x →0时, ∆y 是无穷小与有界函数的乘积, 所以0lim 0=∆→∆y x . 这就证明了函数y =sin x在区间(-∞, +∞)内任意一点x 都是连续的． 4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y .第二章 极限21 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点. 如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x , )(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠, 所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象,我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的类型:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
