第7讲 点差法1. 点差法适用范围 （1）中点弦（2）圆锥曲线有三点P 、A 、B 且A 、B 关于原点对称 2.点差法在中点弦中推导过程1122002211222222222222121222222122221221212212120AB0x x x y 1a b x y 1a b x x y y (2)0a b y y b x x a(y y )(y y )b (x x )(x x )a 2y k k 2x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩---=-⇔=---+⇔=--+⇔=设直线与圆锥曲线交于A 、B 两点，且A （x ,y )、B （,y )AB 的中点为M （,y )以焦点在x 轴的椭圆为例分析推导过程（1）代点：作差：222200AB AB AB 0M 2200y y 0b c a k k k e 1x x 0a a--===-=-=--3点差法在对称中的推导过程1122000M PBpA OB pA PB222pA OB pA PB222222pA OB pA PB222x x O M AB PA k k k k k k b e 1x a k k k k a1-y b e 1b e 1x a k k k k a 1y b e 1∴==⎧-=-⇔⎪⎪∴==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩设A （x ,y )、B （,y )PA 的中点为M （,y )、分别是、的中点根据中点弦的推导可得焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴4.点差法在圆锥曲线中的结论2220ABAB 0M 222222ABAB 0M 222AB 0AB 0AB 0AB b e 1x a y k k k x a1-y b e 1b e 1x a y k k k x a1y be 1pk y pk y x k px k p⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程技巧1 点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线1y kx =+与椭圆2214xy +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ） A．3BCD【答案】（1）C （2）D （3）B （4）B【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814k x x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1，所以24114k k -=+，解得12k =-.故选:C （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B （4）设()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，()()()()222121212222121212y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=---+， 结合12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，e === B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=， 所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mm x y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=， ∴1212121202x x y y y y m x x m+-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆()2210,0ax by a b +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则b a 的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：()22212101ax by a b x bx b y x⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，122b x x a b +=+. 设线段AB 中点为C ，则C bx a b=+. 将C b x a b =+代入1y x =-得到C a y a b=+.因为2OC aa ab k b b a b+===+，故b a =.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于AB 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ） A ．1 BCD．2【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π ∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =——① 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =B ．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】B【解析】令AB 的中点为M ，坐标为(1,1)-，则()011312AB MF k k --===-，1OM k =-因为A 、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x 轴，所以2112AB OM k k e ⋅=-=-则2e =故选：B 技巧2 点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E ：24x －22y ＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为（ ） A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A ．43B ．2 CD（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】（1）C （2）C （3）D （4）B【解析】（1）依题意，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有22112222142142x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得22124x x -＝222y y -，即1212y y x x --＝12×1212x x y y ++.又线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝（－1）×2＝－2， 所以1212y y x x --＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝11()42x --，即2x ＋8y ＋7＝0.故选：C ． （2）由题,双曲线E 中2ca =,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=.设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C（3）设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a =∴c e a ===:D. （4）∵k AB =015312++=1,∴直线AB 的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c 2=9. 设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b -=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y --= B ．2100x y +-= C ．20x y -= D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选C 2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是 A ．2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C±y ＝0D ．x＝0【答案】B【解析】设直线方程为y x m =+，联立22221x y a b y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()20b a x a mx a m a b ----=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以212122228,822a mx x y y m b a+==+=+=-，解得3m =-， 所以22268a b a-=-，所以2a b =，所以双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=，故选B. 3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =B ．4．（2020·全国高三专题练习）过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10. 所以|AB |＝故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-= 整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-= 可得2ce a==． 故选：A.技巧3 点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．230x y ++=（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点.若线段AB中点的纵坐标为p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】（1）A （2）C【解析】（1）设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选：A.（2）设直线方程为y x m =+，联立22y px y x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得206y y m p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=，因为线段AB中点的纵坐标为12y y +=2p =.故选：C. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） A．3B．3 C．3D．3【答案】B【解析】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-， 所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B.1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212728x y +=D ．221189x y +=【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：D ．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆2249144x y +=内有一点(3,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．23-B ．32-C ．49-D ．94-【答案】A【解析】设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ． 则221149144x y +=，222249144x y +=，两式相减得121212124()()9()()0x x x x y y y y +-++-=， 又126x x +=，124y y +=，1212y y k x x -=-，代入解得462943k =-⨯=-．故选：A ．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为()110k k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC (O 为坐标原点)的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】设A ()()1122,,,x y B x y ，()00,C x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，11002212,y y y k k x x x -==- A ()()1122,,,x y B x y ，代入椭圆方程2214y x +=得：222212121144y y x x +=+=，，两式相减可得：()()()()1212121204y y y y x x x x +--++=，化简可得：()()010*******y y y x x x -+=-，即：()()202011104y y y x x x -+=-，12104k k ⋅∴+= 124k k ∴⋅=-故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=， 两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-， 所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：C ．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（）A．222217525x y+=B．2217525x y+=C．2212575x y+=D．222212575x y+=【答案】C【解析】由已知得c＝2222150x ya a+=-，联立得222215032x ya ay x⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝()221250 10450aa--，由题意知x1＋x2＝1，即()221250 10450aa--＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为221 2575x y+=.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中，则mn的值是（）A．2B．3C．2D【答案】A【解析】由2211mx nyy x⎧+=⎨=-⎩得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2nm n+，所以y1＋y2＝2mm n+，所以线段MN 的中点为P (,)n mm n m n++，. 由题意知，k OP＝2，所以2m n =． 故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a ==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则e = D 9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．43B ．2 CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩.直线l :30x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e ==故选：D 10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A ，B 为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）上的两个不同点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若k AB •k OM 12=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +＝2M x ，12y y +＝2M y ，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=．∴ 2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即2212AB OMb k k a ⋅==，则双曲线的离心率为e ==D ． 11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==故选D ．12．（2020·全国高三专题练习）已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．12【答案】B【解析】由于R (2，1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).根据抛物线的定义|FA |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5，解得p =1，抛物线方程为y 2=2x .2222A AB By x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得22121B A B A A B y y x x y y -===-+⨯，即直线l 的斜率为1. 故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k =（ ）. A ．2 B ．1- C ．2- D ．1-或2【答案】A【解析】联立直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =， 消y 整理可得()224840k x k x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()()()22122484401482222k k x x k k ⎧⎡⎤∆=-+-⨯>⎣⎦⎪⎨++==⎪⎩， 解()1可得1k >-，解()2可得2k =或1k =-， 综上可知，2k =. 故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,1)【答案】A【解析】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=．∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-=即M 的横坐标是6 故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为24x y =，动点P 的坐标为()1,t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得2111212122224,()()4()4x y x x x x y y x y ⎧=∴+-=-⎨=⎩， 所以212112y y k x x -==-，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程 . 【答案】240x y +-=【解析】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y)1(2,M 为AB 的中点124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-，故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．故答案为：240x y +-=19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程 . 【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--， ∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.20．（2020·全国高三专题练习）直线m 与椭圆22x ＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________.【答案】12-【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，中点()00,P x y ，则满足221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，整理得12121212102y y y y x x x x -++⋅=-+，即012120102y y y x x x -+⋅=-，即12102k k +⋅=， 1212k k ∴=-.故答案为：12-.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a =====2212ca=.. 22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++=___________． 【答案】8-【解析】由椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>设2a m = ，则b m =∴ 椭圆的标准方程为：222214x y m m+=设112233112233(,),(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ， 故323213131212112233,,,,,222222x x y y x x y y x x y y s t s t s t ++++++====== ， 由,A B 在椭圆上，则2221144x y m += ，2222244x y m += 两式相减化简得：1212121214y y x x x x y y -+=-⋅-+ ，所以1212111212111,44y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+即：11114t k s =-⋅ 同理得：322233114,4t t k s k s =-⋅=-⋅，所以又因为312123,,,OD OE OM t t tk k k s s s === 3121231231114()8t t t k k k s s s ++=-⨯++=- 故答案为：8-23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________． 【答案】1【解析】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=， 则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的方程为______.【答案】22331164x y +=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，121y y +=，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，由①－②得22221212220x x y y a b--+=，即2221222212y y b x x a -=-- 所以()()2212122212122b x x y y b x x a y y a+-=-=--+， 又12121012122ABy y kx x --===---， 所以22212b a =，即224a b =，又2224c a b =-=，解得243b =，2163a =，所以椭圆方程为22331164x y +=．25．（2020·江苏）椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点b a 的值为________．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则222211221,1ax by ax by +=+=，即()2222221212122212,1by by ax ax by by ax ax --=--=-- ()()()()121212121b y y y y a x x x x -+∴=--+12121AB y y k x x -==--，12121212220OMy y y y k x x x x ++=+-==-+(1)12b a ∴⨯-⨯=-3b a ∴=26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b -+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线l 与双曲线2221y x -=交于,A B 两点，当,A B 两点的对称中心坐标为()1,1时，直线l 的方程为________. 【答案】210x y --=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122222121y x y x ⎧-=⎨-=⎩，相减得到()()()()1212121220y y y y x x x x +--+-=，即240k -=，2k =.故直线方程为：21y x =-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+. ∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=. ∵点A ，B 关于直线8y x =-对称∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：229．（2020·全国高三月考）过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】因为双曲线方程为222y x λ-= 则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y因为点P 恰为线段AB 的中点则12122,2x x y y +=+= 则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ 即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =- 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++= 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线22(0)y px p =>，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线20x y --=对称的相异两点A ，B ，则线段AB 的中点坐标为_________.【答案】()1,1- 【解析】焦点到准线的距离为1，∴1p =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ，21122222y px y px ⎧=∴⎨=⎩①②，①-②得：()2212122y y p x x -=-，即()1212122y y y y p x x -⋅+=-，即022AB k y p ⋅=故01y p =-=-，又因为()00,M x y 在直线20x y --=上，所以01x =，从而线段AB 的中点坐标为()1,1-.故答案为：()1,1-.。
