计量学-ARMA模型的自相关函数(1)

计量学-ARMA模型的自相关函数简介自相关函数是计量学中用于分析时间序列数据的一种重要工具。

在时间序列分析中，自相关函数（Autocorrelation Function，简称ACF）用于衡量时间序列数据在不同时间点之间的相关性。

ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），是描述时间序列数据的一种有效方法。

自相关函数的定义自相关函数衡量的是时间序列数据在不同滞后阶数下的相关性。

它通过计算不同滞后阶数的样本自相关系数来反映时间序列数据之间的关联程度。

自相关函数的计算公式如下：ACF(k) = (Cov(X_t, X_{t-k})) / (Var(X_t))其中，k表示滞后阶数，X_t表示时间t的观测值，Cov表示协方差，Var表示方差。

ARMA模型ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它是在自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的基础上进行组合的。

ARMA模型的一般形式如下：X_t = c + AR(p) + MA(q) + ε_t其中，X_t表示时间t的观测值，c是常数，AR(p)表示p阶自回归项，MA(q)表示q阶移动平均项，ε_t表示白噪声项。

AR(p)模型的表达式为：X_t = c + Σ(φ_i * X_{t-i}) + ε_t其中，φ_i为自回归系数，c为常数，ε_t为白噪声项。

MA(q)模型的表达式为：X_t = c + Σ(θ_i * ε_{t-i}) + ε_t其中，θ_i为移动平均系数，c为常数，ε_t为白噪声项。

ARMA模型的自相关函数ARMA模型的自相关函数可以通过模型参数进行计算。

假设ARMA模型的参数为(φ, θ)，其中φ表示自回归系数，θ表示移动平均系数，即ARMA(φ, θ)模型。

ARMA模型的自相关函数可以表示为AR和MA模型自相关函数的线性组合。

具体而言，可以通过以下公式计算ARMA模型的自相关函数：ACF(k) = Σ(φ^i * ACF_AR(k-i)) + Σ(θ^j * ACF_MA(k-j))其中，ACF_AR(k-i)表示AR模型在滞后阶数为k-i时的自相关函数，ACF_MA(k-j)表示MA模型在滞后阶数为k-j时的自相关函数，φi表示φ的i次方，θj表示θ的j次方。

arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，主要用于拟合和预测具有线性趋势的时间序列数据。

ARMA 模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组合而成的，可以同时对时间序列数据中的长期依赖关系和短期依赖关系进行建模。

二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式分为两个部分：自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）。

1.自回归部分（AR）自回归模型主要描述时间序列数据中的长期依赖关系，其数学表达式为：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，c 为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp 为自回归系数，ε_t 为误差项。

2.滑动平均部分（MA）滑动平均模型主要描述时间序列数据中的短期依赖关系，其数学表达式为：X_t = μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，μ为常数项，θ1、θ2、...、θq 为滑动平均系数，ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。

将自回归部分和滑动平均部分相结合，即可得到ARMA 模型的数学表达式：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，c、μ为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp、θ1、θ2、...、θq 分别为自回归系数和滑动平均系数，ε_t、ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。

三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于金融、经济学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。

clearformat longclcx0=[2568 2737 2813 2877 2963 3259 3855 4008 4396 5162 5487 6107 6954 8650 10729 13807 17022 19779 22583 24513 26527 29671 32201 35329 39128 46338 51529 57695]';subplot(2,2,1)plot(x0,'.'),lsline,title('原始数据图像')subplot(2,2,2)autocorr(x0)title('自相关函数图像')subplot(2,2,3)parcorr(x0)title('偏相关函数图像')subplot(2,2,4)normplot(x0)title('数据的正态概率图')%n=length(x0);%t=1:n; t=t';%[b,bint,r,rint,stats]=regress(x0,[ones(n,1),t]);%x0=x0-(b(1)+b(2)*t);n=length(x0);m=n-1;meanx0=mean(x0);varx0=sum((x0-meanx0).^2);r=[];for k=1:mr(k)=sum((x0(1:n-k)-meanx0).*(x0(k+1:end)-meanx0)) / varx0;endQ=0;for k=1:mQ=Q+r(k)^2/(n-k);endQ=Q*n*(n+1)x=diff(x0);figuresubplot(2,2,1)plot(x,'.'),lsline,title('差分后数据图像')subplot(2,2,2)autocorr(x)title('自相关函数图像')subplot(2,2,3)parcorr(x)title('偏相关函数图像')subplot(2,2,4)normplot(x)title('数据的正态概率图')%[PartialACF, Lags, Bounds] = parcorr(x)n=length(x);m=n-1;meanx=mean(x);varx=sum((x-meanx).^2);r=[];for k=1:mr(k)=sum((x(1:n-k)-meanx).*(x(k+1:end)-meanx)) / varx; endQ=0;for k=1:mQ=Q+r(k)^2/(n-k);endQ=Q*n*(n+1)y=diff(x)figuresubplot(2,2,1)plot(y,'.'),lsline,title('差分后数据图像')subplot(2,2,2)autocorr(y)title('自相关函数图像')subplot(2,2,3)parcorr(y)title('偏相关函数图像')subplot(2,2,4)normplot(y)title('数据的正态概率图')%[PartialACF, Lags, Bounds] = parcorr(x)n=length(y);m=n-1;meany=mean(y);vary=sum((y-meany).^2);r=[];for k=1:mr(k)=sum((y(1:n-k)-meany).*(y(k+1:end)-meany)) / vary; endQ=0;for k=1:mQ=Q+r(k)^2/(n-k);endQ=Q*n*(n+1)n=length(y);[b,bint,r1,rint,stats]=regress(y(3:end),[ones(size(y(3:end))),y(2:n-1),y(1:n-2)]); AIC1=log(var(r1))+4/n[b,bint,r2,rint,stats]=regress(y(2:end),[ones(n-1,1),y(1:n-1)])AIC2=log(var(r2))+2/n[b,bint,r3,rint,stats]=regress(y(4:end),[ones(size(y(4:end))),y(3:n-1)y(2:n-2),y(1:n-3)])AIC3=log(var(r3))+6/nfor i=24:32x0(i)=318.8084+1.6256*x0(i-1)-0.2572*x0(i-2)-0.3744*x0(i-3);endx0'。

ARMA 模型（一）模型的引进AR ：011t t k t k t Y Y Y βββε--=++++ （注意：如果假设t Y 的均值为零，0β可以不写）如果序列在其均值附近波动：t 可用： 12...TT Y Y Y F Y T+++==来预测1T F +，1211 (1)T T Y Y Y F T +++++=+来预测2T F +，等等。

事实上，新的信息更能反映未来，远离现在的数据对未来的影响应该变小。

所以，按照这样一种想法，改用移动平均）。

121212111111 (11)()()TT T T T T T T T Y Y Y F Y T Y Y F Y T F Y Y F Y F T T+++++++++++==++===+-≈+- 那么，1T Y +是实际值，1T F +是上一期的预测值，所以11()T T Y F ++-是误差，即1T e +。

可见，下一期的预测值是用前一期的预测值的基础上，加上修正误差。

实际上它是跟踪数据的变化，这就是移动平均提供的一个非常好的思想！当然，也有问题，就是滞后，前后两期的误差是否一样是需要考虑的。

以此类推，继续将1T F +写成T 时刻的预测值和T 时刻的误差修正之和，如此递推下去，就可将t Y 用不同滞后期的误差项表示：即MA ：11t t t k t k Y e e e μαα--=++++ （一定平稳！）。

而ARMA 模型为：01111t t p t p t t q t q Y Y Y e e e βββαα----=+++++++对时间序列的分析的一种重要工具——自相关。

注意：移动平均可平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来。

（二）方法性工具自相关系数只是序列逐项之间的一种简单相关，它和x 和y 之间的简单相关系数实际上是一样的。

1.自相关函数：k γ当序列t Y 完全随机时，它的自相关系数理论上为零，没有任何自相关，但是我们不可能穷尽这个总体，所以，我们只能用它的样本数据来算，当使用样本数据来算的时候可能不是零，比如说0.008、0.007或者负的0.008、0.007。