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飞行摘要本文讨论了甲方飞行计划的优化问题。
针对本问题，甲方飞行计划可用约束优化模型的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总费用最低的最优解。
总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和，其中执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬是固定的，总费用不会受它们影响。
所以在计算总费用时，可以直接将执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬算出结果加到总费用中。
由于题目给的变量和约束条件较多，首先对题目做了相应的定性分析和定量计算，可知本月初购买的飞机与招聘的新飞行员在下一月全部投入使用，尽最大可能减少熟练飞行员的闲置，可使总费用最低，这样使变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。
计算结果如下表所示。
关键字飞行员数量飞机数量教练数目总费用约束优化模型月份第一个月第二个月第三个月第四个月各项总费用购买的新飞机的数量60 30 80 0 33050闲置的飞机的数量10 0 0 0闲置的熟练飞行员数量7 0 0 0 49 教练的数量23 12 12 0 466.4 招聘新飞行员数量432 210 228 0 8633.4 执行任务的飞行员数量300 450 450 600 16935 休假的熟练飞行员数量0 240 360 360 4596 总费用63729.8一、问题重述在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。
由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。
运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。
每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。
在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。
数学建模飞行管理问题引言在现代航空领域，航班的飞行管理是一个极其重要的问题。
飞行管理的目标是确保航班的安全、高效和准时到达目的地。
为了实现这一目标，数学建模在航班飞行管理中发挥着关键作用。
本文将探讨数学建模在飞行管理问题中的应用，并给出相应的示例和解决方案。
数学建模在飞行管理中的应用航班路径规划在飞行管理中，航班路径规划是一个重要的环节。
通过数学建模，我们可以确定最佳的航班路径，以确保航班的安全和高效。
航班路径规划的主要目标是最小化飞行时间、燃料消耗以及减少碳排放量。
数学建模中，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：考虑风速和风向对飞行速度的影响，选择最佳的飞行高度和航线。
•气温和气压：考虑气温和气压对飞行性能的影响，选择最佳的飞行高度和速度。
•气象条件：考虑降雨、雷雨和大风等天气情况对航班安全的影响，调整航班路径避开恶劣天气区域。
•空中交通管制：考虑航空交通管制对航班路径的限制，避免空中拥堵。
航班调度与资源分配航班调度和资源分配是飞行管理中另一个重要的问题。
通过数学建模，我们可以优化航班的调度和资源的分配，以确保航班的准时到达和高效运作。
航班调度和资源分配的主要目标是最大化机场和航空公司的资源利用率。
在数学建模中，我们可以考虑以下因素来优化航班调度和资源分配：•航班数量和航班时刻表：根据乘客需求和机场容量，确定最佳的航班数量和时刻表。
•登机口和登机桥分配：根据航班的到达时间和登机口的可用性，分配最佳的登机口和登机桥，以减少登机和下机的时间。
•地面设备和人员分配：根据航班的需要，合理分配地面设备和人员，以确保航班的准时运作。
示例和解决方案为了更好地理解数学建模在飞行管理中的应用，我们将给出一个具体的示例和相应的解决方案。
航班路径规划示例假设有一架航班从A城市飞往B城市，我们需要确定最佳的航班路径以最小化飞行时间和燃料消耗。
根据数学建模，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：通过获取实时的风速和风向数据，我们可以计算出不同高度上的风向风速情况，并选择最佳的飞行高度和航线。
一个飞行管理问题摘要在某一空域里对飞机的飞行合理管理事关重大�比如乘客及机上工作人员生命财产安全和航空公司的运作效益等。
本文通过对飞机飞行管理问题的研究�得到了调整飞机架数较少同时调整幅度均最小�平方和最小�的飞行管理最优安排的非线性模型�这样既使得乘客所受影响达到最少�也便于飞机调整�还有利于飞机回到原来的航线�同时还在决策时间上对模型进行了优化和调整。
本文不仅一般性地将不相撞的问题转化为欧式距离控制�而且很巧妙的将不碰撞条件转化成简单的二次函数标准形式进行含参讨论�建立一个只含有转向角变量的模型。
并且再次很妙的具体化区域内受控时间形成矩阵�大大得简化运算�节约了大量运算的时间�便于管理人员控制操作�从而确保飞机的安全。
更重要的是最后结合实际缩短了搜索区间�并优化算法�使得决策更加高效。
最后的延时检验也充分体现了模型的可靠性。
关键字�欧氏距离约束转化缩短搜索区间时间矩阵延时检验1在约 10000 米的高空某边长为 160公里的正方形区域内�经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据�以便进行飞行管理。
当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时�记录其数据后�要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞�则应计算如何调整各架�包括新进入的�飞机飞行的方向角�以避免碰撞。
现假定条件如下�公里以上�1�不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8公里�2�飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30度�3�所有飞机飞行速度均为每小时 800公里�4�进入该区域的飞机在到达区域边缘时�与区域内飞机的距离应在 605�最多需考虑 6架飞机�6�不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请算你�对方这向个角误避差免不碰超撞过的飞0.机01管理问题建立数学模型�列出计算步骤�对以下数据进行计度��要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域内 4 个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
航空公司的最佳飞行方案摘要随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
假设我们是某航空公司的策划者，根据给出的数据建立数学模型，综合评价各客机的性能，并制定最佳飞行方案。
对于问题一，我们运用层次分析法来构建数学模型。
我们先构建了性能评价层次结构模型，对各性能进行两两比较得到判断矩阵，并应用Matlab软件求解得到综合评价方程。
我们对该判断矩阵进行一致性检验，检验通过了。
通过该方程我们计算得到这17种客机的综合性能，对其分组，我们得出，型号为B747-100的客机综合性能最好，型号为MD-80，B737-300，DC-9-50，B737-100，F-100，DC-9-30，DC-9-10的客机综合性能最差，其余的性能适中。
对于问题二，我们采用线性规划法来建立模型。
建立目标函数，给出约束条件后，我们通过LINGO软件求解得到最佳飞行方案，即DC-10，1架，飞行航线4；B747-100，1架，飞行航线2；A300B4，2架，飞行航线2；B767-300，1架，飞行航线3；B757-200，1架，飞行航线5；MD-80，2架，飞行航线1,2；DC-9-30，2架，飞行航线4,5；B727-100，2架，飞行航线4,5，此时成本最低。
关键字：最佳飞行方案；层次分析法；线性规划法；综合性能；Matlab软件；LINGO软件1.问题重述1.1问题背景随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
1.2问题提出随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。
各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。
表 1给出了目前在我国民航业运营的各种客机的性能参数，假设你现在是某航空公司的策划者。
请回答以下问题：1. 试根据表 1的数据综合评价各客机的性能。
2. 如果你的公司目前承担表 2中的运输计划，请制定满足旅客需求（方便快捷）同时又节约成本的最佳飞行方案（即在每条航线上布置何种客机、布置多少）。
.;2012年军队院校军事建模竞赛承诺书我们仔细阅读了军队院校军事建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛队号为：0512078所属学校（请填写完整的全名）：信息工程大学参赛队员（打印并签名）：1. 何杰2. 张洋3. 赵永胜指导教师（打印并签名）：日期：2012年6月25日.2012年军队院校军事建模竞赛编号专用页评阅编号：评阅记录：空中飞行器无源定位摘 要本文针对空中飞行器无源定位问题，采用最小二乘、遗传算法、matlab 仿真等方法，得到了飞行器静止和运动时的定位、可靠性分析、卫星选择策略。
针对问题一，根据基于测向夹角的飞行器无源定位方法，得出三颗星可以定位。
本文采用了两个模型，第一个使用遗传算法。
对于84组数据的处理，我们采用了先删除误差点大的数据，再利用遗传算法去逼近实际位置，求出飞行器的位置为(5140.2,6512.5,3277.7)- ()km ，距离地球表面25563.6km ；第二个角度误差平方和最小原理，用最小二乘法，用方程组得出的角度去逼近角度的实际测量值，进而得出比较接近实际值的数据，求出飞行器的位置为(5201.2,6603.5,3125.6)- ()km ，距离地球表面2600.5km ，两种方法确定的飞行器的位置相差不大。
针对问题二，我们利用0t s =时刻的位置和速度矢量表示出其余4个时刻的位置。
利用附表给出的5个时刻的测量数据，建立33个方程，并联立方程。
中国研究生创新实践系列大赛“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛学校参赛队号1.队员姓名 2.3.中国研究生创新实践系列大赛“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛题目多约束条件下智能飞行器航迹快速规划摘要：本文研究了多约束条件下智能飞行器航迹快速规划问题，这是一个多目标约束问题。
本文首先针对附件中的校正节点数据进行数据处理，构建从起点 A 到终点 B 的邻接距离网络，将航迹快速规划问题转化为0-1 多目标整数规划问题。
接着通过系统建模建立0-1 多目标整数规划模型，并通过自适应改进型Dijkstra 算法和自适应型蚁群算法，综合求解多目标规划模型，给出多约束条件下智能飞行器航迹快速规划的方案。
针对问题一，本文通过构架0-1 多目标整数规划模型，以航迹长度尽可能小和经过校正区域进行校正的次数尽可能少为目标，通过动态规划中的分阶段优化方法，给出航迹快速规划的方案。
在第一阶段利用自适应改进型Dijkstra 算法和蚁群算法得出当前满足约束条件的最优路径和最佳误差校正点。
第二阶段，在满足约束条件的基础上，应用贪婪算法在实际情况中对航行轨迹进一步优化。
针对问题一，本文求出附件一的最优航行轨迹为：起点A → 503 → 69 → 237 → 155 → 338 → 457 → 555 → 436 → 终点B，飞行器最短的航迹长度为104.9 × 103m，经过校正区域进行校正的次数为8 次；附件二的最优航行轨迹为：起点A → 163 → 114 → 8 → 309 → 305 → 123 → 45 → 160 ⟶92 → 93 ⟶61 ⟶ 292 ⟶终点B，飞行器最短的航迹长度为109.34 × 103m，经过校正区域进行校正的次数为12 次。
针对问题二，与第一问不同的是，问题二增加了飞行器在实际飞行过程中有200 米的最小转弯半径约束。
本文通过系统分析最小转弯半径约束对飞行器实际飞行路程和能否成功到达的影响，重新构建邻接距离网络和多目标规划模型。
题目无人机自主飞行航迹规划问题摘要本文分别研究了基于二维平面和三维空间的最优航迹规划问题。
对于第一问，我们在忽略地形和无人机操作性能等因素影响的基础上，将影响无人机飞行的“敌方雷达威胁”和“飞行燃油代价”两个因素进行了量化处理，建立了雷达威胁模型和燃油代价模型，并在这两个模型的基础上建立了基于二维平面的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们依据图论中的相关理论，将二维平面划分成了若干网格，然后使用Dijkstra算法来求最优航迹。
对于第二问，我们在第一问的模型的基础上，同时考虑了地形因素和无人机的操作性能（主要是拐弯），增加了“无人机飞行高度代价”和“无人机操作性能”两个指标，并对其进行了量化处理。
同时，我们对雷达威胁模型进行了适当的简化，建立了一个较复杂的、基于三维空间的最优航迹规划模型。
在求解该模型时，我们将三维空间划分为若干个小方块，在“无人机操作性能”作为补充约束条件的基础上，采用蚁群算法，得到了最优航迹。
在建立以上两个模型的基础上，我们对每个模型的可行性分别进行了分析。
由于规划的约束条件众多而且模糊性大、研究的各因素之间的相互联系及不同种类无人机的控制方式和任务情况各异，因而模型存在着一定的缺陷。
我们用MATLAB对建立的两个模型进行了仿真，分别得到了基于二维平面的最优航迹和基于三维空间最优航迹。
此外，我们分析了所建模型的优缺点，并对模型的完善进行了进一步的探索。
关键词：最优航迹Dijkstra算法蚁群算法 MATLAB仿真目录1. 问题的重述------------------------------------------------------------------------------------22. 问题的分析------------------------------------------------------------------------------------23. 模型假设----------------------------------------------------------------------------------------34. 符号说明----------------------------------------------------------------------------------------35. 模型的建立-------------------------------------------------------------------------------------35.1问题一模型的分析、建立与求解-----------------------------------------------------35.2问题二模型的分析、建立与求解-----------------------------------------------------66. 模型的可行性分析与仿真-------------------------------------------------------------------96.1模型的可行性分析-----------------------------------------------------------------------96.2模型的仿真-------------------------------------------------------------------------------107. 模型的评价、改进及推广-------------------------------------------------------------------128. 参考文献----------------------------------------------------------------------------------------149. 附录----------------------------------------------------------------------------------------------15一、问题的重述无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是执行各种侦察任务。
飞行管理问题
摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。
本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。
通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。
当∆＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。
当∆≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。
若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。
方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。
最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。
关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度
一、问题重述（略）
二、模型假设：
（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km
（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o
（3）所有飞机飞行速度均为每小时800km
（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上
（5）最多需要考虑6架飞机
（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况
（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响
（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外
（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）
（10）每架飞机都视为质点
三、符号说明：
i,=1,2,3,4,5,6）
j
i,表示飞机编号（j
x表示第i架飞机所处位置的横坐标
i
y表示第j架飞机所处位置的纵坐标
i
θ表示第i架飞机的初始方向角
i
θ∆表示第i架飞机所调整的方向角
i
t表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间
S表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i≠j）
ij
A表示第i架飞机初始记录的点的坐标
i
B表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标
i
a
表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量
i
四、模型建立与求解
由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。
首先我们在不调整各架飞机方向角时，按各飞机初始位点来判断各飞机的碰撞情况，从图（一）中可以大致估算两两飞机在区域范围内的飞行情况，
从而可以初步预测和排除部分飞机的碰撞情况。
每架飞机在区域范围内飞行的时间范围为[0，0.283]h ，即从原点沿正方形区域对角线飞出的飞机所用时间最大为0.283h 。
平移向量为a i =（vtcos θi ,vtsin θi ），A i =(x i ,y i ),B i =(x i +vtcos θi ,y i +vtsin θi )
我们建立初始模型:8min >ij S ，或64)min(2≥ij S (i,j=1,2,3,4,5,6 i ≠j)
0≤t ≤0.283h
问题转化为：
64))sin (sin )(())cos (cos )(()min(222＞j i j i j i j i ij vt y y vt x x S θθθθ-+-+-+-=
0≤t ≤0.283h
用上述不等式判断初始时刻两两飞机的碰撞情况，
图（一）
64))5.220sin 52(sin 800155())5.220cos 52(cos 800150()min(22263＞o o o o t t S -+-+-+-=即
64)6.1149155()8.1100150(22＞t t +-++-
3
50
100 160
80
160
1
4
2
1
5
x
y
进而有：
0464616866168.225333402＞+-t t
因为∆＞0，所以可以求出一元二次方程
0464616866168.225333402＝+-t t 的两个根1t =0.13h,2t =0.14h 1t 、2t ∈[0，0.283]，可知6、3飞机会在[0.13，0.14]时间范
围内发生碰撞。
64
))5.220sin 159(sin 800)15550(())5.220cos 159(cos 800)150145(()min(2
2243＞o
o
o o t t S -+-+-+-=
即
64)6.805105()13925(22＞t t +-++-
0109861552564.25866552＞+-t t
因为∆＜0，所以一元二次方程
0109861552564.25866552＝+-t t 无实数解，即4、3飞机不会发生碰撞。
同理，可以判断，其余各架飞机按初始方向角飞行的碰撞情况如表（一）所示：(T 表示会发生碰撞，F 表示不会发生碰撞)
飞机 编号 1
2
3
4
5
6
1 F F F F F
2 F F F F F
3 F F F F T
4 F F F F F
5 F F F F T 6
F
F
T F
T
表（一）
从图（一）初位点可以直观看出，当∆θ6增大时，它与原来不发生碰撞的飞机1、2仍保持不碰撞，又∆θ6的可调范围为30o 内，此时以∆θ6=30o ，其余飞机保持原来的方
向角不调整进行计算，可使得每架飞机都不发生碰撞。
但要使方向角的调整幅度尽量小，应该尽量让每架飞机都进行稍微的调整。
下面我们给定∆θ6=5.00o 并判断出6与3、5飞机不发生碰撞，但此时6与4会发生碰撞，则我们只需对应给∆θ4=5.00o 就可保证6与4不发生碰撞。
从而有表（二）调整方式： 飞机编号(i)
1 2 3 4 5 6 ∆θi
0 5.00
5.00
表（二）
最终模型：
j)
i 61,2,3,4,5,j (i,64
))sin()(sin()(())cos()(cos()(()min(222≠=∆+-∆++-+∆+-∆++-=＞j j i i j i j j i i j i ij vt y y vt x x S θθθθθθθθ 0≤t ≤0.283h
o j i 30,≤∆∆θθ V=800km/h
五、模型的优缺点与分析
优点：在调整各飞机偏转的方向角时，我们只调整少数飞机，能把问题的计算简单化，而且借助各架飞机初始位点的运动路线，更直观地初步判断各飞机于某时刻的基本碰撞情况。
缺点：调整各飞机方向角时，只调整少数飞机，使得要调整的方向角幅度较大，所以找到的角度不能达到最优，只是可行解。
假设（9）中过于理想化，与实际的情况还有一定差距，比如，在飞机的飞行过程中，它会受到风速、仪器、天气的影响，进而导致飞行员在调整角度的过程中可能出现偏差。
六、模型推广
此类模型可以用于航海中轮船的相遇问题等 参考文献
【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型 第三版, 北京；高等教育出版社，2003 【2】黄忠裕，初等数学建模, 成都：四川大学出版社，2004.12。
