金华一中自主招生数学试卷学习资料

浙江省金华一中2013-2014学年高一入学摸底数学试题注意：答案必须写在答题卷上一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ） A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{}0,1,2⊂≠A D ．{}1A ∈2．设5.105.1)21(,5.2,2===c b a ，则a,b,c 大小关系 （ ） A ．a>c>b B ．a>b>c C ． c>a>b D ．b>a>c3．已知集合}80|{},22|{≤≤=≤≤-=y y B x x A ，下列从A 到B 的对应关系f 不是．．映射的是（ ） A ．22:x y x f =→ B ．xy x f 2:=→C ．x y x f 4:=→D ．6||:+=→x y x f4．下列函数中与函数x y =相同的是 ( )A ． 33x y = B ．xx y 2=C ．2x y =D ．2)(x y =5．函数||y x x =的图象是（ ）A B C D6．)(x f 是定义在]5,5[-上的奇函数,若(3)(2),f f <则下列各式中一定成立．．．．的是（ ） A ．)1()0(f f > B ．)3()2(-<-f f C ．)5()3(f f <- D ．)3-()2(f f < 7．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a 2｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ）A ．2个 B.3个 C.4个 D. 5个8．已知偶函数)(x f y =，当0≥x 时，54)(2++=x x x f ，若)3()(-≤f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3≤aB ．33≥-≤a a 或C ． 3-≤aD ．33≤≤-a9.对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ，都有x m x *=，则m 的值是 （ ） A.4B.4-C.5-D.610．已知函数212,1(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在12,x x ∈R ，12x x ≠，使12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．20<≤a B ．0≤a C ．2≥a 或0≤a D ．2a >或0a ≤二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.函数y =的定义域为 .12．已知函数2,3()1,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,则((2))f f = ．13.若函数)(x f 满足x x x f 2)1(2-=+，则=)2(f14．已知指数函数xa x f )12()(-=在),(+∞-∞内是增函数，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数|12||12|)(+--=x x x f ，若2)(=a f ，则=-)(a f ．16．当53≤≤x 时，关于x 的不等式0)2)(1(2≥---x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．17.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x x af x a a a=>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为 .三、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）化简或求值： （Ⅰ）()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----；（Ⅱ）)0,0()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a19．(本小题满分14分)已知全集U=R ，集合}4221|{4<<=-x x A ，{}211180B x x x =-+<．（Ⅰ）分别求)(B A C R ⋃，B A C R ⋂)(；（Ⅱ）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分15分)已知函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且是奇函数，且0)1(>f ． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（Ⅲ）求不等式2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解．21．（本小题满分15分）设函数),,(1)(2R ∈++=b a bx ax x f（Ⅰ）若)(,0)(0)1(x f x f x f 求成立均有且对任意实数≥=-表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， x x f x g 16)()(-=（[]10,m x ∈，其中常数0>m ），区间D 为)(x g 的值域，若D 的长度为m 223-,求此时m 的值。

2012年浙江省金华一中自主招生数学试卷一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）计算（﹣a3）3的结果是（）A．﹣a27B．﹣a6C．a9D．﹣a92．（5分）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣2B．﹣3≤a≤﹣2C．﹣3≤a＜﹣2D．﹣3＜a≤﹣2 3．（5分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位后的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2B．y＝﹣（x+2）2C．y＝﹣x2﹣2D．y＝﹣x2+2 4．（5分）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A．4cm B．cm C．cm D．（2+）cm 5．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BF＝AF，BD与EF交于G，则BG：BD＝（）A．1：5B．2：3C．2：5D．1：46．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）若a，b，c均为非零实数，且a+b+c＝abc＝a3，则ab+bc+ca的最小值为（）A．6B．8C．9D．139．（5分）已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴的两个不同的交点A．B距离原点都大于1且小于2，一个直角三角形的两条直角边长分别为a．b，则斜边c的取值范围是（）A．4＜c＜25B．2＜c＜5C．5＜c＜32D．＜c＜二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）10．（5分）如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．11．（5分）定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b＝ab+b，当a≤b时，a※b＝ab﹣a，若（2x﹣1）※（x+2）＝0，则x＝．12．（5分）如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别为m、2m，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为4，则k的值为．13．（5分）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…，利用以上运算的规律写出f（n）＝（n为正整数）；f（1）•f（2）•f（3）…f（200）＝．14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则2x+y的最大值为．三、解答题（本大题共3小题，共50分．）15．（14分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4nx﹣2n＝1和x2﹣（3n﹣1）x+2n2﹣3n＝2，问是否存在这样的n值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．16．（18分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E 分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？17．（18分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求x的值；（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．2012年浙江省金华一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）计算（﹣a3）3的结果是（）A．﹣a27B．﹣a6C．a9D．﹣a9【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：（﹣a3）3＝﹣a9．故选：D．【点评】本题考查了积的乘方的运算法则：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，比较简单．2．（5分）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣2B．﹣3≤a≤﹣2C．﹣3≤a＜﹣2D．﹣3＜a≤﹣2【分析】首先解方程组，即可确定整数解，则a的范围即可得到．【解答】解：，解①得：x≥a，解②得：x＜2，则不等式组的解集是：a≤x＜2．方程组有4个整数解，则整数解是：1，0，﹣1，﹣2．则﹣3＜a≤﹣2．故选：D．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．（5分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位后的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2B．y＝﹣（x+2）2C．y＝﹣x2﹣2D．y＝﹣x2+2【分析】求出向右平移后的顶点坐标，然后写出即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），右平移2个单位后抛物线的顶点坐标为（2，0），所以，平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．4．（5分）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A．4cm B．cm C．cm D．（2+）cm 【分析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD＝OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC 的长，即可确定出AB的长．【解答】解：过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，∴C为AB中点，即AC＝BC，由折叠得到CD＝OC＝OD＝2cm，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，即AC2+4＝16，解得：AC＝2cm，则AB＝2AC＝4cm．故选：C．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．5．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BF＝AF，BD与EF交于G，则BG：BD＝（）A．1：5B．2：3C．2：5D．1：4【分析】延长FE，DC相交于H，先证明△EBF≌△ECH，得出BF＝CH，然后由△BFG ∽△HDG，可得出BG：GD＝BF：HD，继而可得出BG：BD的值．【解答】解：延长FE，DC相交于H，∵E是中点，∴BE＝CE，∵AB∥DC，∴∠FBE＝∠HCE，∵在△EBF与△ECH中，，∴△EBF≌△ECH（ASA），∴BF＝CH，∵BF＝AF，∴BF＝AB＝DC，∵AB∥CD，∴△BFG∽△HDG，∴＝＝，则BG：BD＝1：5．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，有一定难度．6．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y ＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x＝﹣＝1得到a＝﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c ＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y 轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c ＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x＝﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．7．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示，∵AP＝x，AB＝5，∴BP＝5﹣x，又cos B＝，∵△ABC∽QBP，∴PQ＝BP＝∴S△APQ＝AP•PQ＝x•＝﹣x2+x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．8．（5分）若a，b，c均为非零实数，且a+b+c＝abc＝a3，则ab+bc+ca的最小值为（）A．6B．8C．9D．13【分析】由b+c＝a3﹣a、bc＝a2知ab+bc+ca＝a2+a（a3﹣a）＝a4，将b、c看作方程x2﹣（b+c）x+bc＝0的两根，即方程x2+（a﹣a3）x+a2＝0有两个实数根，可得△＝（a﹣a3）2﹣4a2≥0，即a6﹣2a4﹣3a2≥0，由a2≠0可得a2﹣3≥0，即a2≥3，继而可得答案．【解答】解：∵a，b，c均为非零实数，a+b+c＝abc＝a3，∴b+c＝a3﹣a，bc＝a2，∴ab+bc+ca＝a2+a（a3﹣a）＝a4，∵b、c是方程x2﹣（b+c）x+bc＝0的两根，∴方程x2+（a﹣a3）x+a2＝0有两个实数根，则△＝（a﹣a3）2﹣4a2≥0，即a6﹣2a4﹣3a2≥0∵a2≠0，∴a4﹣2a2﹣3≥0，即（a2﹣3）（a2+1）≥0，由a2≥1可得a2﹣3≥0，即a2≥3，∴ab+bc+ca＝a2+a（a3﹣a）＝a4≥9，即ab+bc+ca的最小值为9，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的判别式、因式分解的应用，根据题意将待求代数式用同一个字母表示且构建一个以b、c为根的方程是解题的关键．9．（5分）已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴的两个不同的交点A．B距离原点都大于1且小于2，一个直角三角形的两条直角边长分别为a．b，则斜边c的取值范围是（）A．4＜c＜25B．2＜c＜5C．5＜c＜32D．＜c＜【分析】根据二次函数根与系数的关系得出，a，b的取值范围，以及利用根的判别式得出，a2+b2的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴的两个不同的交点A、B距原点的距离都大于1小于2，假设x2+ax+b＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b，∴﹣4＜﹣a＜4，1＜b＜4，∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴的两个不同的交点，∴△＝a2﹣4b＞0，∴a2＞4b，∴32＞a2+b2＞5，∵一个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，∴斜边c的取值范围是：＜c＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，注意二次函数根与系数的关系以及根的判别式的应用，利用已知得出a，b取值范围是解决问题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）10．（5分）如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．【分析】从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有12种结果，且每种结果出现的机会相同，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的条件是：4（m2﹣n2）≥0，在上面得到的数对中共有9个满足．【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有：4×3＝12种结果，∵满足关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根，则△＝（﹣2m）2﹣4n2＝4（m2﹣n2）≥0，符合的有9个，∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．【点评】本题是概率与一元二次方程的根的判别式相结合的题目．正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程有根的条件是关键．11．（5分）定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b＝ab+b，当a≤b时，a※b＝ab﹣a，若（2x﹣1）※（x+2）＝0，则x＝﹣1、．【分析】根据题中所给出的新运算法则，分2x﹣1≥x+2即x≥3时和2x﹣1≤x+2即x≤3时两种情况把对应的数值代入对应的式子计算即可．【解答】解：2x﹣1≥x+2即x≥3时，（2x﹣1）※（x+2）＝（2x﹣1）（x+2）+x+2＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∵x≥3∴x＝0或x＝﹣2均舍去；2x﹣1≤x+2即x≤3时，（2x﹣1）※（x+2）＝（2x﹣1）（x+2）﹣（2x﹣1）＝0，解得：x＝﹣1或x＝．故答案为：﹣1、．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确的对两种情况进行讨论．12．（5分）如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别为m、2m，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为4，则k的值为．【分析】分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，再过点A作AF⊥BE于F，那么由AD∥BE，AD＝2BE，可知B、E分别是AC、DC的中点，易证△ABF≌△CBE，则S△AOC＝S梯形AOEF＝8，根据梯形的面积公式即可求出k的值．【解答】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，再过点A作AF⊥BE于F．∴四边形ADEF是矩形，∵A、B两点的横坐标分别是m、2m，∴AD∥BE，AD＝2BE＝，∴B、E分别是AC、DC的中点．在△ABF与△CBE中，∠ABF＝∠CBE，∠F＝∠BEC＝90°，AB＝CB，∴△ABF≌△CBE．∴S△AOC＝S梯形AOEF＝4．又∵A（m，），B（2m，），∴S梯形AOEF＝（AF+OE）×EF＝（m+2m）×＝＝4，解得：k＝．故答案为．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质、三角形的中位线的判定及梯形的面积公式，体现了数形结合的思想，同学们要好好掌握．13．（5分）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…，利用以上运算的规律写出f（n）＝1+（n为正整数）；f（1）•f（2）•f（3）…f（200）＝20301．【分析】观察不难发现，分数的分子都是2，分母是连续的自然数，然后写出f（n）即可；把所有的数都转化为假分数的形式，然后根据规律进行计算即可得解．【解答】解：∵f（1）＝1+，f（2）＝1+，f（3）＝1+，f（4）＝1+，…，∴f（n）＝1+；∵f（n）＝1+＝，∴f（1）•f（2）•f（3）…f（200）＝×××…××＝＝20301．故答案为：1+；20301．【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出分数的分子都是2，分母是连续的自然数是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则2x+y的最大值为．【分析】设t＝2x+y，则y＝t﹣2x，则可得到x2+（t﹣2x）2＝1，整理得5x2﹣4tx+t2﹣1＝0，此方程有解，根据判别式的意义得到△＝16t2﹣4×5（t2﹣1）≥0，解得﹣≤t ≤，于是可判断2x+y的最大值为．【解答】解：设t＝2x+y，则y＝t﹣2x，∵x2+y2＝1，∴x2+（t﹣2x）2＝1，整理得5x2﹣4tx+t2﹣1＝0，∵x为实数，∴△＝16t2﹣4×5（t2﹣1）≥0，即t2≤5，∴﹣≤t≤，∴2x+y的最大值为．故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（本大题共3小题，共50分．）15．（14分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4nx﹣2n＝1和x2﹣（3n﹣1）x+2n2﹣3n＝2，问是否存在这样的n值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【分析】设方程2x2﹣4nx﹣2n＝1的两根为x1，x2，变形方程得到方程2x2﹣4nx﹣2n﹣1＝0，根据根与系数的关系得到x1+x2＝2n，x1•x2＝﹣，再x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4n2+2n+1，然后解方程x2﹣（3n﹣1）x+2n2﹣3n﹣2＝0得到x1＝2n+1，x2＝n﹣2，根据题意得到方程4n2+2n+1＝2n+1和4n2+2n+1＝n﹣2，最后分别解两个关于n的方程即可．【解答】解：存在．理由如下：设方程2x2﹣4nx﹣2n＝1的两根为x1，x2，变形方程得到方程2x2﹣4nx﹣2n﹣1＝0，x1+x2＝2n，x1•x2＝﹣，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4n2+2n+1，对于方程x2﹣（3n﹣1）x+2n2﹣3n﹣2＝0，△＝（3n﹣1）2﹣4（2n2﹣3n﹣2）＝n2+6n+9＝（n+3）2，∴x＝，即x1＝2n+1，x2＝n﹣2，当4n2+2n+1＝2n+1，解得n＝0；当4n2+2n+1＝n﹣2，整理得4n2+n+3＝0，△＜0，方程无解，∴n的值为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程根的判别式．16．（18分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E 分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？【分析】（1）根据对称性可得HD＝HA，那么可得∠HDQ＝∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．【解答】（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，∴∠HDQ＝∠A，∴△DHQ∽△ABC．（2）解：①如图1，当0＜x≤2.5时，ED＝10﹣4x，QH＝AQ tan A＝x，此时y＝（10﹣4x）×x＝﹣+x，当x＝时，最大值y＝，②如图2，当2.5＜x≤5时，ED＝4x﹣10，QH＝AQ tan A＝x，此时y＝（4x﹣10）×x＝﹣x＝（x﹣）2﹣．当2.5＜x≤5时，y有最大值，当x＝5时，最大值为y＝，∴y与x之间的函数解析式为y＝，则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y＝．综上可得，y的最大值为．（3）解：①如图1，当0＜x＜2.5时，若DE＝DH，∵DH＝AH＝＝x，DE＝10﹣4x，∴10﹣4x＝，x＝．∵∠EDH＞90°，∴EH＞ED，EH＞DH，即ED＝EH，HD＝HE不可能；②如图2，当2.5＜x≤5时，若DE＝DH，4x﹣10＝，x＝；若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5，若ED＝EH，则∠ADH＝∠DHE，又∵点A、D关于点Q对称，∴∠A＝∠ADH，∴△EDH∽△HDA，∴＝，x＝，∴当x的值为，5，，时，△HDE是等腰三角形．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．17．（18分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求x的值；（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．【分析】（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM＝BC＝3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y＝AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD＝A'D，AE＝A'E，再由（1）可得△ADE 是等腰三角形，得出AD＝A'D，AE＝A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'＝∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA′＝90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D＝90°，根据∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三种情况当∠A'BD＝90°，根据∠A'BD＝90°，∠AMB＝90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2＝A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；【解答】解：（1）如图1，过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM＝BC＝3，∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即y＝AN．在Rt△ABM中，AM＝＝4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜5）．（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，∴AD＝A'D，AE＝A'E，∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，∴AD＝AE，∴A'D＝A'E，∴四边形ADA'E是菱形，∴AC∥D A'，∴∠BDA'＝∠BAC，又∵∠BAC≠∠ABC，∴∠BDA'≠∠ABC，∵∠BAC≠∠C，∴∠BDA'≠∠C，∴有且只有当BD＝A'D时，△BDA'∽△BAC，∴当BD＝A'D，即5﹣x＝x时，x＝．（3）第一种情况：∠BDA'＝90°，∵∠BDA'＝∠BAC，而∠BAC≠90°，∴∠BDA'≠90°．第二种情况：∠BA'D＝90°，∵在Rt△BA'D中，DB2﹣A'D2＝A'B2，在Rt△BA'M中，A'M2+BM2＝A'B2，∴DB2﹣A'D2＝A'M2+BM2，∴（5﹣x）2﹣x2＝（4﹣x）2+（3）2，解得x＝；第三种情况：∠A'BD＝90°，∵∠A'BD＝90°，∠AMB＝90°，∴△BA'M∽△ABM，即＝，∴BA'＝，在Rt△D BA'中，DB2+A'B2＝A'D2，（5﹣x）2+＝x2，解得：x＝．综上可知当x＝或时，△A'DB是直角三角形．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．。

金华一中高一新生摸底考试数学试题注意：答案必须写在答题卷上一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ） A ．0A ⊆ B ．0A ∈C ．{}0,1,2⊂≠A D ．{}1A ∈2．设5.105.1)21(,5.2,2===c b a ，则a,b,c 大小关系 （ ）A ．a>c>bB ．a>b>cC ． c>a>bD ．b>a>c3．已知集合}80|{},22|{≤≤=≤≤-=y y B x x A ，下列从A 到B 的对应关系f 不是．．映射的是（ ） A ．22:x y x f =→ B ．x y x f 2:=→C ．x y x f 4:=→D ．6||:+=→x y x f 4．下列函数中与函数x y =相同的是 ( )A ． 33x y = B ．xx y 2=C ．2x y =D ．2)(x y =5．函数||y x x =的图象是（ ）A B C D6．)(x f 是定义在]5,5[-上的奇函数,若(3)(2),f f <则下列各式中一定成立．．．．的是（ ） A ．)1()0(f f > B ．)3()2(-<-f f C ．)5()3(f f <- D ．)3-()2(f f <7．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a 2｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是 （ ）A ．2个 B.3个 C.4个 D. 5个8．已知偶函数)(x f y =，当0≥x 时，54)(2++=x x x f ，若)3()(-≤f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3≤aB ．33≥-≤a a 或C ． 3-≤aD ．33≤≤-a9.对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ，都有x m x *=，则m 的值是 （ ） A.4B.4-C.5-D.610．已知函数212,1(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在12,x x ∈R ，12x x ≠，使12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．20<≤a B ．0≤a C ．2≥a 或0≤a D ．2a >或0a ≤二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.函数y =的定义域为 .12．已知函数2,3()1,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,则((2))f f = ．13.若函数)(x f 满足x x x f 2)1(2-=+，则=)2(f14．已知指数函数x a x f )12()(-=在),(+∞-∞内是增函数，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数|12||12|)(+--=x x x f ，若2)(=a f ，则=-)(a f ．16．当53≤≤x 时，关于x 的不等式0)2)(1(2≥---x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．17.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11xx a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为 .三、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）化简或求值：（Ⅰ）()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-----；（Ⅱ）)0,0()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a19．(本小题满分14分)已知全集U=R ，集合}4221|{4<<=-x x A ，{}211180B x x x =-+<．（Ⅰ）分别求)(B A C R ⋃，B A C R ⋂)(；（Ⅱ）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分15分)已知函数()(01)x xf x ka a a a -=->≠且是奇函数，且0)1(>f ．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（Ⅲ）求不等式2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解．21．（本小题满分15分）设函数),,(1)(2R ∈++=b a bx ax x f（Ⅰ）若)(,0)(0)1(x f x f x f 求成立均有且对任意实数≥=-表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， x x f x g 16)()(-=（[]10,m x ∈，其中常数0>m ），区间D 为)(x g 的值域，若D 的长度为m 223-,求此时m 的值。

2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（0，﹣2）且与直线x +2y ﹣3＝0垂直的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y +2＝0B ．x +2y +2＝0C ．2x ﹣y ﹣2＝0D ．2x +y ﹣2＝02．已知数列{a n }，a 2＝1，a n +a n +1＝2n ，n ∈N *，则a 1+a 3的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．83．若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√34C ．√64D ．√324．“点A （1，﹣2），B （5，6）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等”是“a ＝﹣2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若圆x 2+y 2＝4上恰有三个点到直线y ＝x +b 的距离为1，则实数b 的值为（ ） A ．√2B ．−√2C ．±1D ．±√26．已知数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，S n 是其前n 项和，若S n 存在最大值，则（ ）A ．在S 1，S 22，S 33，⋯，S20232023中最大的数是S 1B ．在S 1，S 22，S 33，⋯，S20232023中最大的数是S 20232023C ．在S 1，S 2，S 3，…，S 2023中最大的数是S 1D ．在S 1，S 2，S 3，…，S 2023中最大的数是S 2023 7．设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a +√a 2+b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（−√2，0）∪（0，√2）D ．（﹣∞，−√2）∪（√2，+∞）8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1C 的中点，F 是棱C 1D 1上的动点，若点P 为线段BD 1上的动点，则PE +PF 的最小值为（ ）A ．1+√22B ．3√22C ．√62D ．5√26二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知双曲线C ：x 23−y 2=1，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为√3 B ．双曲线C 的焦距为4C ．双曲线C 的虚轴长为1D ．双曲线C 的渐近线方程为x =±√3y10．已知直线l ：ax +y +1＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点（0，﹣1）B ．直线l 与直线x ﹣ay ﹣1＝0不可能垂直C ．若点A （0，1）与点B （b ，0）关于直线l 对称，则实数a 的值为±√3D ．直线l 被圆x 2+y 2﹣2y ﹣8＝0截得的最短弦长为√511．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上存在一点E （2，t ）到其焦点的距离为3，点P 为直线x ＝﹣2上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点．则（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．直线AB 一定过抛物线的焦点 C ．线段AB 长的最小值为4√2D ．OP ⊥AB12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ） A ．当λ＝μ时，A 1P ∥平面ACD 1B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值 C ．当λ＝1时，△PBD 的面积为定值D ．当λ+μ＝1时，直线A 1D 与D 1P 所成角的范围为[π3，π2] 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8＝15，则a 5＝ ． 14．已知椭圆x 24+y 22=1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上．若|PF 1|﹣|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是 ．15．已知球O 是直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球（点O 到直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，△ABC 的周长为4，则三棱锥A 1﹣ABC 的体积为 ．16．设经过抛物线y 2＝8x 焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ∠ACB ＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知动圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝m 2（m ＞0） （Ⅰ）当m ＝2时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程； （Ⅱ）若圆C 与圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝16内切，求实数m 的值．18．（12分）如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，BF ⊥BA ，∠DAB =π3，AB =2AD ． （1）求证：BD ⊥FC ；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．19．（12分）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣1与x 轴相交于A ，B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点 （1）记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 2﹣k 1为定值（2）过点A 作AD ⊥PB ，垂足为D ，若D 关于x 轴的对称点恰好在直线P A 上，求△P AD 的面积20．（12分）正项数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ∈N *都有a n+12−a n 2=2（a n +1+a n ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n =ana n+t ，试问是否存在正整数t ，m ，使得b 1，b 2，b m （m ≥3）成等差数列？若存在，求出所有满足要求的t ，m ；若不存在，请说明理由．21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝2DC ＝2√2，且E 、F 分别为PD 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：CF ∥平面P AD ；（Ⅱ）若直线P A 与平面CEF 的交点为G ，且PG ＝1，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．22．（12分）已知点P （x ，y ）与定点M （﹣1，0）的距离和它到定直线x ＝﹣4的距离的比是12．（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的标准方程；（Ⅱ）设点N （1，0），若点A ，C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足AM ∥NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（0，﹣2）且与直线x +2y ﹣3＝0垂直的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y +2＝0B ．x +2y +2＝0C ．2x ﹣y ﹣2＝0D ．2x +y ﹣2＝0解：设过点（0，﹣2）且与直线x +2y ﹣3＝0垂直的直线方程为2x ﹣y +m ＝0， 则0+2+m ＝0，求得m ＝﹣2，故过点（0，﹣2）且与直线x +2y ﹣3＝0垂直的直线方程为2x ﹣y ﹣2＝0， 故选：C ．2．已知数列{a n }，a 2＝1，a n +a n +1＝2n ，n ∈N *，则a 1+a 3的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：数列{a n }，a 2＝1，a n +a n+1=2n ，n ∈N ∗， 可得a 1+a 2＝2，a 2+a 3＝4， 解得a 1＝1，a 3＝3， a 1+a 3＝4． 故选：A ．3．若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√34C ．√64D ．√32解：由椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形， 得a ＝2b ，则a 2＝4b 2＝4（a 2﹣c 2）， 整理得：3a 2＝4c 2，即e =ca =√32． 故选：D ．4．“点A （1，﹣2），B （5，6）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等”是“a ＝﹣2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为点A （1，﹣2），B （5，6）， 所以直线AB 的斜率为k AB =6−(−2)5−1=2，方程为y +2＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0，必要性：当a ＝﹣2时，直线l ：ax +y +1＝0为﹣2x +y +1＝0，即2x ﹣y ﹣1＝0，此时直线l ∥AB ， 所以点A （1，﹣2），B （5，6）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，即必要性成立； 充分性：因为点A （1，﹣2），B （5，6）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等， 所以分两种情况：①当A ，B 在直线l 的同侧时，直线l ∥AB ，则a2=1−1≠1−4，所以a ＝﹣2；②当A ，B 在直线l 的异侧时，线段AB 的中点（3，2）在直线l 上， 将其代入直线l 的方程，有3a +2+1＝0，解得a ＝﹣1， 综上，a ＝﹣2或a ＝﹣1，即充分性不成立． 故选：B ．5．若圆x 2+y 2＝4上恰有三个点到直线y ＝x +b 的距离为1，则实数b 的值为（ ） A ．√2B ．−√2C ．±1D ．±√2解：由圆的方程为x 2+y 2＝4可得：圆的圆心坐标为（0，0），半径为2，则圆x 2+y 2＝4上恰有三个点到直线y ＝x +b 的距离为1等价于圆心（0，0）到直线y ＝x +b 的距离为1， 则√2=1，即b =±√2，故选：D ．6．已知数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，S n 是其前n 项和，若S n 存在最大值，则（ ）A ．在S 1，S 22，S 33，⋯，S20232023中最大的数是S 1B ．在S 1，S 22，S 33，⋯，S20232023中最大的数是S 20232023C ．在S 1，S 2，S 3，…，S 2023中最大的数是S 1D ．在S 1，S 2，S 3，…，S 2023中最大的数是S 2023解：由题设知数列{a n }是等差数列，且前n 项和S n =d2n 2+（a 1−d 2）n 存在最大值， ∴公差d ＜0，S n n=d 2n +a 1−d2在定义域上是单调递减的，∴S 1最大．例如数列4，3，2，1，…，在S 1，S 2，S 3，…，S 2023中最大的数是S 4或S 5，所以C 、D 不正确． 故选：A ．7．设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a +√a 2+b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（−√2，0）∪（0，√2）D ．（﹣∞，−√2）∪（√2，+∞）解：由题意，A （a ，0），B （c ，b 2a），C （c ，−b 2a ），由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D （x ，0），则由BD ⊥AC ，得b 2ac−x •b 2ac−a=−1，∴c ﹣x =b4a 2(a−c)，∵D 到直线BC 的距离小于a +√a 2+b 2， ∴c ﹣x ＝|b 4a 2(a−c)|＜a +√a 2+b 2，∴b 4a2＜c 2﹣a 2＝b 2， ∴0＜ba ＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：A ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1C 的中点，F 是棱C 1D 1上的动点，若点P 为线段BD 1上的动点，则PE +PF 的最小值为（ ）A ．1+√22B ．3√22C ．√62D ．5√26解：连接BC 1，则BC 1∩B 1C ＝E ，点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中， 且BC 1⊥C 1D 1，C 1D 1＝1，BC 1=√2，如图1所示；在Rt △BC 1D 1中，以C 1D 1为x 轴，C 1B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D 1（1，0），B （0，√2），E （0，√22）； 设点E 关于直线BD 1的对称点为E ′， ∵BD 1的方程为x y√2=1①， ∴k EE ′=1−2=√22， ∴直线EE ′的方程为y =√22x +√22②， 由①②组成方程组，解得{x =13y =2√23，直线EE ′与BD 1的交点M （13，2√23）； 所以对称点E ′（23，5√26），∴PE +PF ＝PE ′+PF ≥E ′F =5√26． 故选：D ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知双曲线C ：x 23−y 2=1，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为√3 B ．双曲线C 的焦距为4C ．双曲线C 的虚轴长为1D ．双曲线C 的渐近线方程为x =±√3y解：对于A ：因为双曲线C 方程为x 23−y 2＝1，所以a 2＝3，b 2＝1， 所以c 2＝a 2+b 2＝4， 故a =√3，b ＝1，c ＝2， 所以e =ca =2，2c ＝4，2b ＝2； 故A 错误，B 对，C 错误； 双曲线C ：x 23−y 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ＝±√33x ，即x ＝±√3y ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知直线l ：ax +y +1＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点（0，﹣1）B ．直线l 与直线x ﹣ay ﹣1＝0不可能垂直C ．若点A （0，1）与点B （b ，0）关于直线l 对称，则实数a 的值为±√3D ．直线l 被圆x 2+y 2﹣2y ﹣8＝0截得的最短弦长为√5 解：对于A ，直线l ：ax +y +1＝0，可以整理为：y ＝﹣ax ﹣1， 无论a 取什么值，直线l 恒过定点（0，﹣1），故A 正确；对于B ，当a ＝0时，直线l ：y +1＝0与直线x ﹣1＝0垂直，故B 错误；对于C ，若点A （0，1）与点B （b ，0）关于直线l 对称，可得{1−00−b ⋅(−a)=−1a ⋅b 2+12+1=0， 解得实数a 的值为±√3，故C 正确；对于D ，圆x 2+y 2﹣2y ﹣8＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝9，圆心为C （0，1），半径r ＝3， 由A 可知直线l 过定点P （0，﹣1），如图当直线l ⊥PC 时，弦长最短，最短弦长为2√r 2−PC 2=2√9−4=2√5，故D 错误． 故选：AC ．11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上存在一点E （2，t ）到其焦点的距离为3，点P 为直线x ＝﹣2上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点．则（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．直线AB 一定过抛物线的焦点 C ．线段AB 长的最小值为4√2D ．OP ⊥AB解：由抛物线C ：y 2＝2px ，可得焦点坐标F(p2，0)，准线方程为x =−p2， 因为抛物线C 上存在一点E （2，t ）到其焦点的距离为3，由抛物线的定义可得2+p2=3，可得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，所以A 正确； 设P （﹣2，m ），显然直线P A 的斜率存在且不为0，设斜率为k 1， 可得P A 的方程为y ﹣m ＝k 1（x +2），联立方程组{y −m =k 1(x +2)y 2=4x，整理得k 1y 2−4y +8k 1+4m =0，因为P A 是抛物线的切线，所以Δ＝（﹣4）2﹣4k 1（8k 1+4m ）＝0，即2k 12+k 1m −1=0，且点A 的纵坐标为−−42k 1=2k 1，代入抛物线方程，可得A 横坐标为1k 12，即A(1k12，2k 1)，设直线PB 的斜率存在且不为0，设斜率为k 2，同理可得：2k 22+k 2m −1=0，且B(1k 22，2k 2)， 所以k 1，k 2是方程2k 2+km ﹣1＝0的两个不等式的实数根，所以k 1+k 2=−m 2，k 1k 2=−12， 因为k AB ⋅k OP =2k 2−2k 1k 22−1k 12⋅(−m 2)=2k 1k 2k 1+k 2⋅(−m 2)=−12×2−m 2⋅(−m2)=−1，所以OP ⊥AB ，所以D 正确；由OP ⊥AB ，且k OP =−m 2，可得k AB =2m， 则直线AB 的方程为y −2k 1=2m (x −1k12)，即mk 12y −2mk 1=2k 1x −2，又由2k 12+k 1m −1=0，可得k 1m =1−2k 12，所以(k 1−2k 1)y −2(1−2k 12)=2k 12x −2，即(1−2k 12)y =2k 1(x −2)，所以直线AB 一定过定点（2，0），该点不是抛物线的焦点，所以B 不正确．由直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my +2，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组{x =my +2y 2=4x ，整理得y 2﹣4my ﹣8＝0，所以y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣8．则|AB |=√1+m 2•|y 1﹣y 2|=√1+m 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2•√16m 2+32=4√m 4+3m 2+2=4√(m 2+32)2−14≥4√2， 当且仅当m ＝0时，等号成立，即|AB |的最小值为4√2，所以C 正确．故选：ACD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝μ时，A 1P ∥平面ACD 1B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值C ．当λ＝1时，△PBD 的面积为定值D ．当λ+μ＝1时，直线A 1D 与D 1P 所成角的范围为[π3，π2]解：对于A ：当λ＝μ时，P 是BC 1上的动点，显然A 1P ⊂平面A 1BC 1，根据A 1B ∥D 1C ，C 1B ∥D 1A ，可证平面A 1BC 1∥平面AD 1C ，∴A 1P ∥平面ACD 1，故A 正确；对于B ；当μ＝1时，点P 是B 1C 1上的动点，∵B 1C 1∥BC ，∴P 到平面A 1BC 的距离为定值，故三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值，故B 正确；对于C ：当λ＝1时，点P 是CC 1上的动点，显然△PBD 的面积不为定值，故C 错误；对于D ：当λ+μ＝1时，点P 是CB 1上的动点，因为△D 1B 1C 是等边三角形，当P 是B 1C 的中点时，B 1C ⊥D 1P ，∵A 1D ∥B 1C ，故A 1D ⊥D 1P ，当P 在B 1C 的两端点时，可得直线A 1D 与D 1P 所成角为π3， 故直线A 1D 与D 1P 所成角的范围为[π3，π2]．故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8＝15，则a 5＝ 5 ．解：∵{a n }是等差数列，∴a 2+a 5+a 8＝3a 5＝15，∴a 5＝5．故答案为：5．14．已知椭圆x 24+y 22=1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上．若|PF 1|﹣|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是 √2 ．解：∵x 24+y 22=1∴|PF 1|+|PF 2|＝4，2c ＝2√2∵|PF 1|﹣|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，因为12+（2√2）2＝9，∴△PF 2F 1是直角三角形，△PF 1F 2的面积12|PF 2|×|F 1F 2|=12×1×2√2=√2． 故答案为：√2．15．已知球O 是直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球（点O 到直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，△ABC 的周长为4，则三棱锥A 1﹣ABC 的体积为163 ．解：设直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，内切球的半径为r ，则h ＝2r ，球O 的表面积为4πr 2＝16π，∴r ＝2，h ＝4，又△ABC 的周长为a +b +c ＝4，连接OA ，OB ，OC ，OA 1，OB 1，OC 1，则直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1被分割为5个小棱锥，即以内切球的球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥，根据等体积法可得S △ABC ⋅ℎ=13aℎr +13bℎr +13cℎr +2×13S △ABC ⋅r ，即4S △ABC =83(a +b +c)+43S △ABC ，∴S △ABC ＝4，∴三棱锥A 1﹣ABC 的体积为13S △ABC ⋅ℎ=13×4×4=163．故答案为：163．16．设经过抛物线y 2＝8x 焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ∠ACB ＝ 13 ．解：由题意可得直线l 的方程为y ＝x ﹣2，联立{y =x −2y 2=8x， 消y 可得x 2﹣12x +4＝0，不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1＞x 2，则x 1=6+4√2，x 2=6−4√2，则A(6+4√2，4+4√2)，B(6−4√2，4−4√2)，又C （﹣2，0），则|AC|=√(8+4√2)2+(4+4√2)2=4√9+6√2|BC|=√(8−4√2)2+(4−4√2)2=4√9−6√2 又|AB |＝x 1+x 2+4＝16，则cos ∠ACB =|AC|2+|BC|2−|AB|22|AC||BC|=13． 故答案为：13． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知动圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝m 2（m ＞0）（Ⅰ）当m ＝2时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 与圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝16内切，求实数m 的值．解：（Ⅰ）C ：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4当直线l 的斜率不存在时，l 方程为x ＝0，（3分）当直线l 的斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ，由题意得d =|2k−4|√k +1=2， ∴k =34∴l 方程为y =34x （6分）综上直线l 方程为y =34x 或x ＝0．（Ⅱ）圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝m 2的圆心C （m ，2m ），半径为m ，圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝16的圆心E （3，0），半径为4，由题意得|4﹣m |＝|CE |，（9分）两边平方解得m =√29−14（12分）18．（12分）如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，BF ⊥BA ，∠DAB =π3，AB =2AD ． （1）求证：BD ⊥FC ；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．证明：（1）因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD =√3AD ，从而BD 2+AD 2＝AB 2， ∴BD ⊥AD ，又AD ∥BC ，故BD ⊥BC又BF ⊥BA ，BF ⊥BC ，所以BF ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥BF ，∴BD ⊥平面BCEF ．故BD ⊥FC解：（2）如图建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，则C(1，0，0)，D(0，√3，0)，F(0，0，1)，E(1，0，1)， DF →=（0，−√3，1），FC →=（1，0，﹣1），DE →=（1，−√3，1），设平面DFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{−√3y +z =0x −z =0 可取n →=（√3，1，√3），设直线DE 与平面DFC 所成的角为θ．故sin θ=335=√1053519．（12分）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣1与x 轴相交于A ，B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点（1）记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 2﹣k 1为定值（2）过点A 作AD ⊥PB ，垂足为D ，若D 关于x 轴的对称点恰好在直线P A 上，求△P AD 的面积解：（1）由题意得点A ，B 的坐标分别为A （﹣1，0），B （1，0）．设点P 的坐标为P （t ，t 2﹣1），且t ＞1，则k 1=t 2−1t+1=t ﹣1，k 2=t 2−1t−1=t +1，所以k 2﹣k 1＝2为定值．（2）由直线P A ，AD 的位置关系知k AD ＝﹣k 1＝1﹣t ，因为AD ⊥PB ，所以k AD •k 2＝（1﹣t ）（t +1）＝﹣1，解得t ＝±√2，因为P 是第一象限内的点，所以t =√2，点P 的坐标为P （√2，1）联立直线PB 与AD 的方程{y =(1+√2)(x −1)y =(1−√2)(x +1)， 解得点D 的坐标为D （√22，−√22）， 所以△P AD 的面积为S =12•|AB |•|y P ﹣y D |＝1+√22．20．（12分）正项数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ∈N *都有a n+12−a n 2=2（a n +1+a n ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n =a n a n +t，试问是否存在正整数t ，m ，使得b 1，b 2，b m （m ≥3）成等差数列？若存在，求出所有满足要求的t ，m ；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由a n ＞0及a n+12−a n 2=2(a n+1+a n )，得a n +1﹣a n ＝2，知数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1，前n 项和S n =n(1+2n−1)2=n 2． （Ⅱ）存在，由（Ⅰ）得b n =2n−12n−1+t ，假设存在正整数t ，m ，使得b 1，b 2，b m （m ≥3）成等差数列，可得b 1+b m ＝2b 2，即1t+1+2m−12m−1+t=6t+3， 化为m =3t+1t−1=3+4t−1，∵t ，m ∈N *，∴4t−1为整数，故t ﹣1＝1，2，4，解得t ＝2，m ＝7；t ＝3，m ＝5；t ＝5，m ＝4．∴存在满足要求的t ，m 共3组：t ＝2，m ＝7；t ＝3，m ＝5；t ＝5，m ＝4．21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝2DC ＝2√2，且E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：CF ∥平面P AD ；（Ⅱ）若直线P A 与平面CEF 的交点为G ，且PG ＝1，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．解：（Ⅰ）证明：取P A 的中点为Q ，连接QF ，QD ，∵F 是PB 的中点，∴QF ∥AB 且QF =12AB ，∵底面ABCD 为直角梯形，∠CDA ＝∠BDA ＝90°，AB =AD =2DC =2√2，∴CD ∥AB ，CD =12AB ，∴QF ∥CD 且QF ＝CD ，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴FC ∥QD ，又FC 不在平面P AD 内，QD 在平面P AD 内，∴FC ∥平面P AD ；（Ⅱ）取PC 的中点M ，连接AC ，EM ，FM ，QM ，QM ∩EF ＝N ，连接CN 并延长交P A 于G ，且PG ＝1，∵CF ∥平面APD ，且平面CDEF ∩平面APD ＝EG ，∴CF ∥EG ，又CF ∥DQ ，∴EG ∥DQ ，又∵E 为中点，∴G 为PQ 中点，∴P A ＝4，建立如图所示空间直角坐标系，A(0，0，0)，B(0，2√2，0)，C(2√2，√2，0)，D(2√2，0，0)，E(√2，0，2)，F(0，√2，0)，则平面ABCD的法向量为n 1→=(0，0，1)，CE →=(−√2，−√2，2)，CF →=(−2√2，0，2)， 设平面CEF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，则{n 2→⋅CE →=0n 2→⋅CF →=0，即{−√2x −√2y +2z =0−2√2x +2z =0，取z =√2，则x ＝1，y ＝1，即n 2→=(1，1，√2)，∴cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√21×2=√22，即两个法向量的夹角为45°， ∴截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45°．22．（12分）已知点P （x ，y ）与定点M （﹣1，0）的距离和它到定直线x ＝﹣4的距离的比是12． （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的标准方程；（Ⅱ）设点N （1，0），若点A ，C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足AM ∥NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．解；（Ⅰ）依题意得，√(x+1)2+y 2|x+4|=12，化简得，3x 2+4y 2＝12， ∴点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；（Ⅱ）设O 为坐标原点，连接CO 并延长交椭圆E 于点B ，连接BM ，AN ，CM ，由椭圆对称性可知：|OC |＝|OB |，又|OM |＝|ON |，∴四边形CMBN 为平行四边形，得CN ∥BM ，且|CN |＝|BM |，∴S △BOM ＝S △CON ，且A ，M ，B 三点共线，∴四边形AMNC 的面积S ＝S △ACM +S △COM +S △CON ＝S △ACM +S △COM +S △BCM ＝S △ABC ，设直线AB ：x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（y 1＞0），由{x =my −1x 24+y 23=1，得：（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9＝0， ∴y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， |AB|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√48(3m 2+3)3m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 又∵AM ∥NC ，∴点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB 的距离，∵点N 到直线AB 的距离d =2√1+m 2， ∴S =12|AB|⋅d =12√1+m 23m 2+4=12√1+m 2(3m 2+4)2． 设3m 2+4＝t ，则m 2=t−43，t ≥4，∴S =12√1+t−43t 2=12√t−13t 2=4√3⋅√−1t 2+1t =4√3⋅√−(1t −12)2+14， 又1t ≤14，∴当1t =14，即m ＝0时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3．。

2020年浙江省金华一中高三数学考试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题5分，共50分） 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．R x x y ∈-=,3B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x y x∈=,)21(2．若直线m 在平面α内，直线l 在平面α外，则“l m //”是“α//l ”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．抛物线x y 22-=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长为 （ ）A ．2B ．1C ．21D ．41 4．已知集合}1|{22=-=y x x A ，}21|{<-=x x B ，则=B A I（ ）A ．]0,1(-B ．]1,1[-C ．)3,1[D ．]3,0[5．设等比数列{}n a （公比1>q ），若14765=++a a a ，64765=a a a 则987a a a ++=（ ）A ．40B ．56C ．90D ．1056．若点A （1，3）与B （m, 4）在直线01=+-y x 的两侧，则m 可以取 （ ） A ．0 B ．2C ．3D ．47．现给出条件：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3π=x 对称。

则在下列四个函数中，同时满足这两个条件的是（ ）A ．)62sin(π+=x yB ．)62cos(π+=x yC ．21)6sin(++=πx yD ．21)62sin(+-=πx y 8．如图所示的是2020年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色 块连接起来，不同的连接方法共有 （ ）A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种9．若对于)2,0(π∈x ，不等式0sin 32cos >++a x x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≥aB ．1->aC ．2-≥aD ．2->a10．定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=*)0(,)0(,ab ba ab b a b a ，则函数)(cos )(sin )(x x x f *=的最小值为（ ）A ．－2B ．－１C ．０D ．１第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 11．在(1－x )(1＋x )10的展开式中，x 3的系数为__________.(用数字作答) 12．对于给定的函数xxx f --=22)(，有下列结论：①)(x f 的图象关于原点对称； ②)(x f 是R 上的增函数③3log )2(21=-f④)(x f 有最小值0其中正确命题的序号是13．抛物线x y 42=的弦AB 垂直x 轴，若34=AB ，则焦点到AB 的距离为 。

2022级新生数学能力测试2022.8.18（本卷满分150分，考试时间180分钟）卷Ⅰ一、填空题Ⅰ（本题有6小题，每小题4分，共24分）1．已知：a ，b ，c 都是正整数，且342a b c ++=，331a bc -=．则abc 的最大值为_________，最小值为_________．2．直线1:2l y kx =+与y 轴交于点A ，直线1l 绕点A 逆时针旋转45︒得到直线2l ，若直线2l 与抛物线232y x x =++有唯一的公共点，则k =_________．3．某工厂有甲、乙、丙、丁四个不同的车间生产电子元件，由于生产设备不同，工人在不同车间日生产量也不一定相同，但皆为整数．某日，该工厂接到一批生产订单，工厂老板想将工人合理分配到不同车间，已知甲车间的工人数与乙车间相同，丙车间的工人数是丁车间的3倍且比甲车间工人数多，甲车间与丁车间的工人数之和不少于40人且不超过50人；甲车间与丁车间每个工人的日生产量相同，乙车间每个工人的日生产量为丙车间每个工人日生产量的3倍，甲车间与丙车间每个工人的日生产量之和为450件，且甲车间每个工人的日生产量不低于丙车间每个工人日生产量的23且不超过230件；甲车间、丙车间的日生产之和比乙车间、丁车间的日生产之和少1100件．则当甲、丙两车间当日生产量之和最多时，该工厂调配前往甲车间的人数为__________人．4．如图，在等腰直角ABC 中，8,90AB AC A ==∠=︒，点E 是BC 边上一点，点D 是AC 边上的中点，连接ED ，过点E 作EF ED ⊥，满足ED EF =，连接DF ，交BC 于点M ，将DEM △沿DE 翻折，得到DEN ，连接NF ，交DE 于点P ，若22BE =，则PF 的长度是________．5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，点E 是对角线AC 上的一点，经过C ，D ，E 三点的⊙O 与AD ，BC 分别交于点F ，G ，连接ED ，EF ，EG ，延长GE 交AD 于点H ．若△HEF是等腰三角形时，则CE 的长为__________．6．如图，三角形ΔABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，点P 从A 出发沿AB 运动到点B ，作如图的RtΔPQC ，且P ∠＝30°，Q ∠＝90°，则ΔPQC 的外心运动的路径长为________，BQ 的最小值为________．二、解答题Ⅰ（本题有4小题，共54分）7．（本题满分12分）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x （元/件）（0x >即售价上涨，0x <即售价下降），每月商品销量为y （件），月利润为w （元）．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？8．（本题满分14分）定义：四边形EFGH 的四个顶点在 ABCD 四条边上（不与 ABCD 的顶点重合），我们称四边形EFGH 为 ABCD 的内接四边形．(1)如图1，若 ABCD 的内接四边形EFGH 为平行四边形，求证：AE=CG ．(2)若60A ∠=︒的 ABCD 的内接四边形EFGH 为正方形，①如图2，H 为AD 的中点，若AB =12，求AD 的长；②在①的条件下，DHG AHE ABCDS S S ∆∆+= _______．(3)已知 ABCD 的内接四边形EFGH 为平行四边形，且2ABCD EFGH S S = ，求证：点E 、F 、G 、H 中至少存在两个点是 ABCD 边的中点．9．（本题满分14分）如图1，已知AB 为半圆O 的直径，AB ＝2，线段AI ⊥AB ，延长AB 至点G ，使BG ＝AB ，以点B 为圆心，线段AG 为直径作半圆B ，点D 是半圆B 上一点，过点D 作DF ⊥AI 于点F ，连结AD ，BD ，其中AD 交半圆O 于点E ．连接EF ．(1)求证：AE ＝DE ．(2)设EF x =，DF y =，求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围．(3)如图2，以BG 为直径作半圆O '，BD 交半圆O 或半圆O '于点J ，连结FB 交AD 于点K ，连结KJ ，当点K 将线段FB 分为2：3两部分时，求 DFK 与 BJK 的面积之差．10．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：245y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，与一次函数1y x =+相交于点A 和点C ．(1)求点A 、B 、C 三点的坐标；(2)点P 是抛物线上的一动点且在直线AC 的上方，过点P 作x 轴垂线交直线AC 于点D ，当点P 运动到什么位置时，线段PD 的长度最大？求出此时点P 的坐标和线段PD 的最大值；(3)将抛物线L ：245y x x =-++的图像向下平移得到新的抛物线L '，直线AC 与抛物线L '交于M ，N 两点，满足AM CN MN +=，在抛物线L '上有且仅有三个点1R ，2R ，3R 使得△1MNR ，△2MNR ，3MNR ∆的面积均为定值S ，求出定值S 及1R ，2R ，3R 的坐标．卷Ⅱ三、填空题Ⅱ（本题有4小题，每小题6分，共24分）11．设n 个有理数1x ，2x ，…，n x 满足()11,2,,i x i n <= ，且121219+++=++++ n n x x x x x x ，则n 的最小值为__________．12．代数式的最大值为__________．13．如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ：BC =1：2，F 为线段AB 上的点,E 为线段FC 上的点，且E :13AOF DO S S =△△：,24BEF S =△.则△AOF 的面积为__________．14．104条直线：10,220,,1001000,1002001000x y x y x y x y +-=+-=+-=+-= ，50100770,4830,210x x y x y +-=+-=++=所组成的图形中，同旁内角的对数为__________．四、解答题Ⅱ（本题有3小题，每小题16分，共48分）15．从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．16．若实数a 使得对任意实数1234,,,x x x x 不等式：()22221234122334+++x x x x a x x x x x x ≥++恒成立，试求a 的最大值．17．如图，ABC ∆Rt 中，︒=∠90BAC ，E 、D 分别AB 、AC 上一点，BD 、CE 交于点F ，ABC ∆的外接圆⊙O 交AED ∆的外接圆⊙P 于G ，求证：GF AG ⊥．。

2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，则|OB →|＝（ ） A ．√34B ．√41C ．5D ．2√52．椭圆C ：x 216+y 29=1的左焦点为F ，椭圆上的点P 1与P 2关于坐标原点对称，则|P 1F |+|P 2F |的值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．83．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3a 1，则a 6a 3=（ ）A ．﹣8B ．8C ．1或﹣8D ．﹣1或84．攒（cu án ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．如图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）A ．3√3πB ．6√3πC ．12√3πD ．6π5．已知圆C ：x 2+y 2＝2，点A （m ，m ﹣3），则点A 到圆C 上点的最小距离为（ ） A ．1B ．2C ．√22D ．3√226．直线y =12x +t 与曲线y =√x 相切，且与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切，则r ＝（ ）A ．15B ．√55 C ．3 D ．√33 7．在数列{a n }中，a n+1a n=1+na n，a 1＝1，若a n ＝46，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以OF 2为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于O ，M 两点，且PO 平分∠APM ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2C ．√3D ．3二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．已知点M 椭圆C ：4x 2+9y 2＝36上一点，椭圆C 的焦点是F 1，F 2，则下列说法中正确的是（ ）A ．椭圆C 的长轴长是9B ．椭圆C 焦距是2√5C ．存在M 使得∠F 1MF 2＝90°D ．三角形MF 1F 2的面积的最大值是2√510．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，S 6＝S 13，则（ ） A ．数列{a n }是递减数列 B ．a 10＝0 C ．S 9是S n 中最小项D ．S 2＜S 1611．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则下列结论正确的是（ ）A ．直线DB 1与平面AEF 垂直 B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．三棱锥D ﹣AEF 的体积为23D ．点D 到平面AEF 的距离为4312．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点M （﹣2，0），P （2，0），过点P 的直线l 交抛物线C 与A ，B 两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），下列说法正确的有（ ） A ．y 1y 2＝﹣8 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1AP+1BP=√22D ．∠AMP ＝∠BMP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线x +y +2＝0的倾斜角是 ．14．已知函数f （x ）＝sin2x ﹣xf '（0），则f ′(π2)= ．15．九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，需按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，推广到m 连环，用a n 表示解下n （n ≤m ）个圆环所需的最少移动次数，若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数a n ＝ ．（用含n 的式子表示）16．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），B （3，0），动点P 满足PA PB=2，则P 点的轨迹Γ为圆，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC →=CD →，则CD ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n +1＝2a n +2n （n ∈N *）． （1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求出a n ；（2）数列{a n }前n 项和为S n ，求S n ．18．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝1，AB ⊥AC ，D 是棱BC 的中点， （1）求异面直线AB 1，DC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B 1﹣AD ﹣C 1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （1，√22），N （√2，0）． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆x 2+y 2=12相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且△AOB 的面积为23，求直线l 的方程． 20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AD ＝4，AB ＝2，AC ∩BD ＝O ，SO ⊥平面ABCD ，SO =√3，BF →=13FC →，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n−n3a n−4=12．（1）证明：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+(−1)n log3(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T2n＞2024的最小正整数n．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，过点P(√3，√6)，且Γ的渐近线方程为y=±√3x．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O作互相垂直的直线l1，l2分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧．①求四边形ACBD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。