芜湖一中2018年高一自主招生考试
数 学 试 卷
（满分：150分）
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项，请把正确的
选项序号填在答题卡的相应位置上） 1．若,,a b c 均为整数且满足2018
2018()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．某圆柱的高为2，底面周长为8，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在主视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( ) A ．5
B ．22
C ．3
D ．2
3．在菱形ABCD 中，2AB =，︒=∠60A ，E 为AB 的中点，若在线段BD 上取一点P ，则PE PA + 的最小值是( ) A 3
B ．2
C 5
D 74．若实数a 使关于x 的不等式组()()⎪⎩⎪
⎨⎧-≤--≤-x a x x x 132121131
有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程
1212
23=-++-y
a y y 有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是( ) A ．18-
B ．16-
C ．12-
D ．10-
5．如果方程()()
2
120x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值
范围是( )
A ．
314m <≤
B ．3
4
m > C ．1m ≥ D ．01m <≤ 6．如图，直角三角形ABC 位于第一象限，3AB =，2AC =，直角顶点A
在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平
行于x 轴、y 轴，若函数()0k
y k x =≠的图象与ABC ∆有交点，则k 的最
大值是( ) A ．5
B ．12125
C ．12124
D 12120
y
x
B
C
A O
第6题图
7．如图，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为AC F ,和BE 的交点为H ，
AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是( )平
方厘米.
H G
F
E
B
D
C
A
A ．180
B ．120
C ．90
D ．60
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分，请把正确答案写在答题卡上） 8．在ABC ∆中，
80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ． 9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如12=5+7.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_____.（结果用最简分数表示） 10．已知实数,a b 满足221a b +=，则44
a a
b b ++的最大值是 ．
11．不等式21a x x <++对任意的实数x 都能成立，则实数a 的取值范围是________.
12．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，
使点C 旋转至AB 边延长线上的C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 ．
C
C'
A'
13．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“奇异数”.如：
333321(1),2631,=--=- 2和26均为“奇异数”.那么，不超过2018的正整数中，所有的“奇
异数”之和为_________.（结果用数字表示）
14．已知关于x 的方程2
99990x ax a --+=的两根都是素数，则实数a 的值为_________.
座位号：
三、解答题（本大题共5小题，满分59分，写出必要的解答过程） 15．(本小题满分12分)
解方程组：33222
26
x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩.
16．(本小题满分15分)
如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2
y x bx c =-++交于A B 、两点，其中
(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2,若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合),分别以AP 、DP 为斜边,在直线
AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,求△MPN 面积最大值以及此
时P 点的坐标；
（3）若不等式2
2x bx c kx t -++>+的解集为13x <<，求实数k 和t 的值.
图1 图2
17．(本小题满分16分)
如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ,D 的O ⊙分别交AB ,AC 于点E ,F ,连接OF 交AD 于点G . （1）求证：BC 是O ⊙的切线；
（2）设AB x =，AF y =，试用含,x y 的代数式表示线段AD 的长； （3）若8BE =，5
sin 13
B =，求DG 的长.
18．(本小题满分16分)
如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点． （1）求证：AF ⊥BF ；
（2）当AF•GF =6时，求CE 的长．
