波与粒子

第十四章 波与粒子14-1 在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。

同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。

天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为0.352 μ m ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。

解 根据维恩位移律λm T b =, 可以计算这颗白矮星的表面温度，为 T b==⨯⨯⨯--λm3 K =8.2310 K 28981003521036...14-2 三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为0.300 μm 、0.400 μm 和0.500 μm ，试求它们的温度以及它们在单位时间内向空间辐射的能量之比。

解 根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为 T b1396610==⨯λm1K .;T b2372510==⨯λm2K .; T b3358010==⨯λm3K ..根据斯特藩-玻耳兹曼定律M T T 04()=σ和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度M 0 。

辐出度是表示该黑体在单位时间内从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间内向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即E E E M M M T T T 123010203142434871276113::::::.:.:. ===.14-3 试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。

解 黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示M T hc hc kT λλλ025211()/=-πe . (1)在短波近似情况下，有λ<<hckT, ∴>>e hc kT /λ1. 这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式 M T hc hc kT λλλ0252()/=-πe . (2)令c hc 122=π、c hc k 2=/，并代入上式，得 M T c c T λλλ0152()/=-e .这正是维恩公式。

在长波近似情况下，有 λ>>hc kT , ∴≈+e hc kT hc kT/λλ1. 于是，普朗克公式成为下面的形式M T hc kT hc ckTλλλλ025422()()==ππ. 这正是瑞利-金斯公式。

14-5 试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量： (1) 波长为1.2⨯103 nm 的红外线； (2) 波长为6.2⨯102 nm 的可见光； (3) 波长为0.34⨯102 nm 的紫外线； (4) 波长为1.6⨯10-2 nm 的X 射线； (5) 波长为1.1⨯10-3 nm 的γ射线。

解(1) 对于波长为1.2⨯103 nm 的红外线，λ=⨯-12106. m : 能量为ενλ===⨯-h hc171019. J ;动量为p c==⨯⋅⋅--ε5510281. kg m s ;质量为m pc==⨯-181036. kg . (2) 对于波长为6.2⨯102 nm 的可见光，λ=⨯-62107. m : 能量为ενλ===⨯-h hc321019. J ;动量为p c==⨯⋅⋅--ε1110271. kg m s ;质量为m p c==⨯-361036. kg . (3) 对于波长为0.34⨯102 nm 的紫外线，λ=⨯-034107. m : 能量为ενλ===⨯-h hc581018. J ;动量为p c==⨯⋅⋅--ε1910251. kg m s ;质量为m pc==⨯-151034. kg . (4) 对于波长为1.6⨯10-2 nm 的X 射线，λ=⨯-161011. m : 能量为ενλ===⨯-h hc121014. J ;动量为p c==⨯⋅⋅--ε4110231. kg m s ;质量为m pc==⨯-141031. kg . (5) 对于波长为1.1⨯10-3 nm 的γ射线，λ=⨯-111012. m : 能量为ενλ===⨯-h h c181013. J ;动量为p c==⨯⋅⋅--ε6010221. kg m s ;质量为m p c==⨯-201030. kg .14-6 已知金属钨的逸出功为4.38 eV ，若用波长为429 nm 的紫光照射其表面，问能否产生光电子？若在钨的表面涂敷一层铯，其逸出功变为2.61 eV ，结果又将如何？若能产生光电子，求光电子的最大初动能。

解 入射光子的能量为 h hcνλ==⨯⨯⨯⨯⨯---66261029981042910348719... J =4.6310 J ;金属钨的逸出功为A =⨯⨯⨯--438160*********.. J =7.01 J . 因为h A ν<，所以不能产生光电子。

当在钨表面涂敷铯，逸出功变为'=⨯⨯⨯--A 261160210101919.. J =4.18 J , 这时h A ν>'，所以能够产生光电子。

根据光电效应的爱因斯坦方程h mu A ν=+122,光电子的最大出动能为 124510220mu h A =-'=⨯-ν. J .14-7 金属钾的红限为4.62⨯1014 Hz ，若用波长为436 nm 的光照射，求光电子的最大初速度。

解 根据红限的定义，可以求得金属钾的逸出功A h ==⨯⨯⨯=⨯--ν03414196626104621030610... J . 光电子的最大初动能为12456306101021919mu h A hcA =-=-=-⨯⨯--νλ(..) J =1.50 J , 光电子的最大初速度为 u m=⨯⨯=⨯⋅--215010574101951.. m s .14-8 金属钠的红限为4.39⨯1014 Hz ，求：(1) 金属钠的逸出功；(2) 用波长为500 nm 的光照射时的遏止电势差。

解(1) 金属钠的逸出功为A h ==⨯⨯⨯=⨯--ν03414196626104391029110... J . (2) 因为遏止电势差表征了光电子的最大初动能，故有eU mu a =122,将此关系代入光电效应的爱因斯坦方程，得 h eU A a ν=+. 于是有U h A e hcAea =-=-=νλ0666 V .. 所以，遏止电势差为 -0.666 V 。

14-10 在康普顿效应中，入射X 射线的波长是5.00⨯10-2 nm ，求在散射角ϕ = 45︒ 、90︒ 和180︒ 的方向上散射线的波长。

解 根据波长改变公式∆λλλϕ=-=-001hm c(c o s ), 散射线的波长可以表示为 λϕλϕ=-+=-⨯⨯--hm c00121112426110(cos ).(cos ) m +5.0010 m . 对于ϕ=45 ：λ=⨯+⨯⨯---(..)0712105001012112 m =5.0710 nm ; 对于ϕ=90 ：λ=⨯+⨯⨯---(..)2426105001012112 m =5.2410 nm ; 对于ϕ=180 ：λ=⨯+⨯⨯---(..)4852105001012112 m =5.4910 nm .14-11 波长为1.60⨯10-10 m 的X 射线被某散射体所散射，求在散射角为60︒的方向上散射X 射线的波长和引起这种散射的反冲电子所获得的动能。

解 在散射角为60︒的方向上散射X 射线的波长为λϕλϕ=-+=-⨯⨯--hm c00121012426110(cos ).(cos ) m +1.6010 m =⨯⨯⨯---121310121010. m+1.6010 m =1.6110 m . 反冲电子所获得的动能等于X 光子损失的能量，即 E mc m c h h hc k J eV =-=-=+=⨯=-2020001893410583ννλλλλ∆∆()...14-12 波长为4.2⨯10-3 nm 的入射光子与散射物质中的自由电子发生碰撞，碰撞后电子的速度达到了1.5⨯108 m ⋅s -1 。

求散射光子的波长和散射角。

解 先求波长的改变量∆λ，再求散射光子的波长，最后求散射角。

求波长的改变量∆λ： 反冲电子的质量m m u cm =-=02201116/.;反冲电子获得的动能∆E k 为E mc m c m c k J =-=-=⨯-2020214116112710(.).. 反冲电子获得的动能就等于光子损失的能量，而光子损失的能量与波长的改变量∆λ有如下关系：E hc k =+∆∆λλλλ00(),由此可以求得波长的改变量∆λ，得∆λ=⨯-1541012. m . 由波长改变量即可求得散射光子的波长，为λλλ=+=⨯+⨯⨯---012123421015410∆(..) m =5.710 nm . 由波长改变量可求得散射角 ∆λϕ=-hm c01(c o s ), 即1541011212.(cos )⨯⨯--- m =2.4310 m ϕ, 从中求得(cos ).106337-=ϕ, ∴=ϕ685. .14-16 计算氢原子光谱的莱曼系谱线和巴耳末系谱线的波长范围。

解(1) 巴耳末系谱线的波长范围： 巴耳末系可以表示为~()ν=-R n 12122, n =⋅⋅⋅34,, 当n =3时，对应与长波限的波数：~().νL m =-=⨯-R 121301523102271, ∴==λνL Ln m16565~.; 当n =∞时，对应于短波限的波数：~().νSm =-∞=⨯-R 12102742102271, ∴==λνS Sn m 13647~..(2) 莱曼系谱线的波长范围： 莱曼系可以表示为~()ν=-R n 11122, n =⋅⋅⋅23,, 当n =2时，对应与长波限的波数：~().νLm =-=⨯-R 111208226102271, ∴==λνL Ln m112165~.; 当n =∞时，对应于短波限的波数：~().νS m =-∞=⨯-R 11110968102271, ∴==λνS Sn m1912~..14-17 在氢原子的紫外光谱中有一条波长为121.57 nm 的谱线，问这条谱线属于哪个线系？它是原子在哪两个能级之间跃迁产生的？解 波长为121.57 nm 的谱线属于莱曼系，是从能级n =2到能级n =1的跃迁产生的。

14-18 依照玻尔理论求出处于基态的氢原子的下列各量：量子数、轨道半径、角动量和动量、电子所受的力、电子的角速度、速率、加速度、动能、势能以及总能量。

解 量子数：n =1; 轨道半径：r n h m eh m e120220221152810===⨯-εεππe e m .;角动量：L n h===⨯⋅⋅--210510341π. kg m s 2; 动量：p Lr ==⨯⋅⋅--124119910. kg m s ; 速率：v pm ==⨯⋅-em s 2181061.; 角速度：ω==⨯⋅-vr 116141310. rad s ; 受力：F e r ==⨯-20128482510πε. N ;加速度：a v r n m s ==⨯⋅-2122290010.;动能：E m v e r k e J ===⨯-12821810220118πε.;势能：E e r E p k J =-=-=-⨯-201184243610πε.;总能量：E E E =+=-⨯-k p J 2181018..14-19 计算n = 8的氢原子的直径和电子的运动速率。