江西省兴国县兴国三中平川中学等四校2017-2018学年高三上学期第一次联考数学(文)试题 Word版含答案

兴国县2017-2018学年高三年级第一次联考数学（文）试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题“∃x 0∈R ，7x 30+sin 2x 0>3”的否定是A ．∃x 0∈R ，7 x 30+sin 2x 0≤3B ．∃x 0∈R ，7 x 30+sin 2x 0<3C ．∀x ∈R ，7 x 3+sin 2x ≤3D ．∀x ∈R ，7 x 3+sin 2x <32．已知复数z 满足iz32+=1+4i ，则复数z 的虚部为 A ．- 10B ．11C ．11iD ．- 113．已知集合A=｛x | (x-3)(x+2)<0｝，B=｛- 4，-1，0，1，3｝，则A B=A ．｛- 1，0，1｝B ．｛- 1，0，1，3｝C ．｛0，1｝D ．｛0，1，3｝4．已知),2(ππα∈，且cos 2524-=α，则)7cos()215tan(παπα++=A ．257B ．-257 C ．725 D ．-725 5．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-0,230),106(log 24x x x x x x ，则函数y =f (x )的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）与直线l ：x =4交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为32，则抛物线C 的准线方程为A ． x =-2B ．x =- 4C ．x =-1D ．x =- 87．执行下面的程度框图，若输出的值为- 5，则判断框中可以填A ．z >10B ．z ≤10C ．z >20D ．z ≤20第7题图 第8题图8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的最短棱长为A ．4B ．5C ．42D ．419．在平行四边形ABCD 中，AB=21BC=1，∠BAD=120°，21=，则⋅= A ．27-B ．25-C ．23-D ．21-10．已知函数f (x )=Msin )20,0)((πϕωϕω<<>+x 的部分图象如下图所示，其中A ，B 分别为函数f (x )图象的一个最高点和最低点，且A ，B 两点的横坐标分别为1，4，若0=⋅，则函数f (x )的一个单调减区间为A ．（- 6，- 3）B ．（6，9）C ．（7，10）D ．（10，13）11．已知双曲线C 1：1422=-y x ，双曲线C 2：)0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若2OMF S ∆=16，且双曲线C 1，C 2的离心离相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．3212．已知x ∈（0，2），关于x 的不等式221x x k e x x-+<恒成立，则实数k 的取值范围为A ．[0，e - 1）B ．[0，2e - 1)C ．[0，e ）D ．[0，e+1)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤x y y x x y 408522，则z=x +2y 的最小值为。

14．已知五边形ABCDE 满足AB=BC=CD=DE ，∠BAE=∠AED=90°，∠BCD=120°，若F 为线段AE 的中点，则往五边形ABCDE 内投掷一点，该点落在△BDF 内的概率为 。

15．已知△ABC 满足BC ·AC=22，若C=)cos(21sin sin ,43B A B A +=π，则AB=。

16．观察下列等式：1=2011216151211;1216141211;613121++++=+++=++；…，以此类推，1=421301201171121++++++n m ，其中m <n ，m ，n ∈N *，则m-n = 。

三．解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）已知数列｛a n ｝的首项为a 1=1，前n 项和为S n ，且数列｛nS n｝是公差为2的等差数列。

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）若b n =(-1)n · a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。

18．（本小题满分12分）2013年4月14日，CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象，为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（2）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？ 参考数据：参考公式：K 2=))()()(()(d b c a d c b a bc ad n ++++-。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥C —ABB 1A 1内接于圆柱OO 1，且A 1A ，B 1B 都垂直于底面圆O ，BC 过底面圆心O ，M ，N 分别是棱AA 1，CB 1的中点，MN ⊥平面CBB 1。

（1）证明：MN ∥平面ABC ；（2）求四棱锥C —ABB 1A 1与圆柱OO 1的体积比。

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x-y 2+6=0相切。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y =k (x-2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得⋅+2为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分） 已知函数f (x )=x 2-ax +21n x 。

（1）若函数y =f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若x 1∈(0，e1]，且f (x 1)≥t +f (x 2)恒成立，求实数t 的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知曲线C 1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 21cos 21y x ，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为)4sin(πθρ++2=0。

（1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程； （2）求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的取值范围。

23．（本小题满分10分） 设f (x )=| x-1 | + | x +1 |。

（1）求f (x )≤x +2的解集； （2）若不等式f (x )≥|||12||1|a a a --+，对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围。

兴国县2017届高三年级第一次联考数学（文）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、-514、52 15、10 16、-6三、解答题17、解：（1）由已知得.2,122)1(12n n S n n nS n n-=-=⨯-+=所以……………………2分 当.34)]1()1(2[2,2221-=-----=-=≥-n n n n n S S a n n n n 时…………………………5分 而a 1=1=4×1-3满足上式，所以a n =4n -3，n ∈N *.……………………………………6分 （2）（分组求和法）由（1）可得b n =(-1)n a n =(-1)n (4n -3).……………………………7分 当n 为偶数时，T n =(-1+5)+(-9+13)+…+[- (4n -7)+(4n -3)]=4;22n n=⨯………………9分 当n 为奇数时，n +1为偶数，T n =T n +1-b n +1=2(n +1) - (4n +1)=-2n +1.…………………11分 综上，T n =⎩⎨⎧+-.12,2为奇数为偶数，n n ，n n ……………………………………………………………12分18：解：（1）s =30-15=15，t =30-25=5.…………………………………………………2分 由已知数据可求得K 2=.635.65.720403030)5151525(602>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯……………………………5分因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关.…………………………………………………………………………………………6分 （2）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的个数为.563025=⨯“混凝土耐久性不达标”的个数为1.………………………7分 “混凝土耐久性达标”的记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，“混凝土耐久性不达标”的记为B. 从这6个样本中任取2个，共有15种可能.…………………………………………9分 设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件A 为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”包含（A 1，B ），（A 2，B ），（A 3，B ），（A 4，B ），（A 5，B ），共5种可能，所以P （A ）=1-P(A )=132155=-. 故取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是32.………………………………12分 19、解：（1）如图连接AO ，NO由O 、N 分别是BC ，B 1C 的中点，则ON //=21BB 1……………………………………9分 在圆柱中BB 1⊥平面ABC ，AA 1⊥平面ABC ，则AA 1//=BB 1又M 是AA 1的中点，则ON //=AM ，故四边形AMNO 是平行四边形………………4分MN//AO ，又MN ⊄平面ABC ，AO ⊆平面ABC ，则MN//平面ABC ………………6分 （2）由题意MN ⊥平面CBB 1，MN//AO ，AO ⊥平面CBB 1 又BC ⊆平面CBB 1，则AO ⊥BC ，在R t △BAC 中，则AB=AC在△ABC 中，AC ⊥AB ，又AA 1⊥AC ，则AC ⊥平面ABB 1A 1……………………8分 设圆柱底面半径为r ，高为h ，则AB=AC=2r11A ABB C V -=1131A ABB S 四·AC=2322231hr r h r =⨯⨯⨯…………………………………9分V 圆柱=S △ABC ·h =2r π·h =2hr π…………………………………………………………10分ππ32322211==-hrhrV V A ABB C 圆柱故四棱锥C —ABB 1A 1与圆柱OC 1的体积比为2：3π.………………………………12分 20、解：（1）由a ，c ，a c e 3636,36===即得 ①………………………………1分又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，且该圆与直线 2x 062=+-y 相切， 所以6)2(2|6|22=-+=a ，代入①得c =2，所以b 2=a 2-c 2=2，……………………4分所以椭圆C 的标准方程为.12622=+y x …………………………………………………5分（2）由.061212)31(),2(,126222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 得………………………………6分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以2221222131612,3112k k x x k k x x +-=+=+.…………………7分 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0）,使得⋅=⋅+=⋅+)(2为定值，……………………………………8分 则+++-+=+--=-⋅-=⋅))(2()1())((),(),(21221221212211x x m k x x k y y m x m x y m x y m x,31)6()10123()4(22222k m k m m m k +-++-=+ (10)分要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2-12m +10=3(m 2-6)，解得m =37， 此时，95622-=-=⋅+m ，所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得⋅+2为定值，且定值为95- (12)分21、解：（1）因为函数y =f (x )在定义域上单调递增，所以),0(022,0)(+∞≥+-≥'在即xa x x f 上恒成立，所以)),0((22+∞∈+≤x xx a .………………………………………………………………2分 而2x 42222=⋅≥+x x x （当且仅当2x =x2，即x =1时等号成立）.所以a ≤4. 所以实数a 的取值范围是（-∞，4].…………………………………………………………4分 （2）因为)0(22)(2>+-='x xax x x f ，由题意可得x 1，x 2为方程)0(0220)(2>=+-='a ax x ，x f 即的两个不同实根，…………5分所以ax 1=2x .22,222221+=+x ax 由根与系数的关系可得x 1x 2=1.由已知0.11121e x x ，e x ≥=≤<则………………………………………………………………6分而f (x 1)-f (x 2)=)21()21(22221121x n ax x x n ax x +--+- =]21)22([]21)22([22222122121x n x x x n x x ++--++-=)212()212(222121x n x x n x +---+-- =21212221x x n x x +- =2222221211x n x x +-=2222221211x nx x +-=)(2112222222e x x n x x ≥--.……………………………………………………………………9分 设P(x )=x )(2112e x x n x≥--，…………………………………………………………10分 则,)1(12211)(22222x x x x x x x x p -=+-=-+=' 显然当2e x ≥时，0)(≥'x p ，函数p (x )单调递增， 故.41211)()(222222--=--=≥e e e n e e e p x p 故.4141)()(222221--≤--≥-ee t ，e e xf x f 故…………………………………………12分 22、解：（1）曲线C 1化为普通方程为(x -1)2+(y -1)2=2 展开后得x 2-2x +y 2-2y =0再由x =θρθρsin ,cos =y 代入得极坐标方程为θθρcos 2sin 2+=……………………2分 曲线C 2展开得02cos 22sin 22=++θρθρ 又x =θρθρsin ,cos =y ，得直角坐标方程为x +y +2=0…………………………………5分 （2）由（1）知曲线C 1的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，曲线C 2是一条直线 圆C 1的圆心到直线C 2的距离d 0=222|211|=++……………………………………8分故曲线C 1上的点到C 1的距离d 的取值范围是[2，32]…………………………10分 23、解：（1）（零点分区间法）由2)(+≤x x f 有⎪⎩⎪⎨⎧+≤----≤≥+211,1,02x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤++-<<-≥+211,11,02x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤++-≥≥+,211,1,02x x x x x ………………………3分 解得02≤≤x ，所以所求的解集为[0，2].………………………………………………5分 （2）,3|1211|||12||11|||||12||1|=-++≤--+=--+aa a a a a a ……………………………7分当且仅当0)12)(11(≤-+aa 时取等号.由不等式|||12||1|)(a a a x f --+≥对任意实数a ≠0恒成立，要得| x -1 | + | x +1 | ≥3， (8)分解得.2323≥-≤x x 或所以所求x 的取值范围是),23[]23,(+∞--∞ .………………………………………………10分。