11.10.18高二数学(理)第二节课《利用空间向量证明平行、垂直关系》(课件)

利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。

注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。

（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。

⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。

2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。

（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ， 的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以 E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，所以 EF⊥平面 B1AC. 方法二 设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA， DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图
点评：利用向量法证明线面垂直，有两种方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂 直．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分 别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
变式 训练
证明：方法一 设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b， 则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1) ＝12(A→A1＋B→D)＝12(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)． 因为A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b， 所以E→F·A→B1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)
A．1
B．－2
C．－3 D．3
2．若两个不同平面α、β的法向量分别为u＝(1,2， －1)，v＝(2,3,8)，则( B )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
3．已知平面 α 内有一个点 A(2，－1,2)，它的一个法
向量为 n＝(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 α 内的是( )
所以E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
E→F·A→C＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， 所以E→F⊥A→B1，E→F⊥A→C， 所以 EF⊥AB1，EF⊥AC.又 AB1∩AC＝A， 所以 EF⊥平面 B1AC.

题型探究
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中 点，N是侧棱CC1上的点，且C14N＝ CC1.求证：AB1⊥M证N.明
反思与感悟
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→ 求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝ 3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、 BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知 ②③④正确.
12345
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
√B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
答案 解析
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
c2)，则l⊥α⇔a∥aμ＝⇔kμ(k∈R)
.
知识点三 向量法判断面面垂直
思考
平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)， 用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案
x1x1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔ . a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
反思与感悟
方法一：(1)建立空间直角坐标系.

探究二
探究三
思维辨析
利用向量方法证明空间中的平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为
BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
思维点拨:画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决,但
不如用向量法处理直接简单,因此本题可以通过建立空间直角坐标
∴=(1,-2,-4), =(2,-4,-3).设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z),依题
-2-4 = 0,
解得 z=0,且 x=2y.令
2-4-3 = 0,
y=1,则 x=2.故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
意,应有 n·=0,且 n· =0,即
探究一
一
二
三
思考辨析
一、空间中的垂直关系
1.线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平
面垂直.
2.面面垂直判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.
3.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投
影,则这两条直线垂直.
4.三垂线定理的逆定理
设平面HMN的法向量为n=(x2,y2,z2),
则 n· =(x2,y2,z2)·(0,-1,1)=-y2+z2=0,
n·=(x2,y2,z2)·(1,1,0)=x2+y2=0,
从而得x2=-y2=-z2,设x2=-1,则n=(-1,1,1),
∴m∥n,∴平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
∴ =(0,-1,1),=(1,1,0),