函数知识讲解

初中函数知识点函数是数学中的一个重要概念，它是描述两个数量之间关系的一种数学工具。

在初中数学中，函数是一个重要的知识点。

本文将从函数的定义、函数的性质、函数的图像等几个方面进行讲解。

一、函数的定义函数是数学中的一个重要概念，它是描述两个数量之间关系的一种数学工具。

函数是指一个变量的值可以通过另一个变量的值来确定，通常用y=f(x)来表示。

其中y是函数的值，x是自变量，f(x)是函数的表达式。

二、函数的性质在初中数学中，函数的性质是我们必须要掌握的。

函数的性质主要包括可定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

1.可定义域：函数在哪些自变量下有定义，就称为函数的可定义域。

2.值域：函数在可定义域内所有函数值的集合，就称为函数的值域。

3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称或者关于原点对称的性质。

4.单调性：函数在它的定义域内，如果随着自变量的增大，函数值也增大，则称函数在这个区间上是单调递增的；如果随着自变量的增大，函数值反而减小，则称函数在这个区间上是单调递减的。

5.周期性：如果存在一个正数T，使得对于所有x∈D，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T是函数的周期。

三、函数的图像函数的图像是指自变量和函数值之间的关系所形成的图形。

在初中数学中，我们通常使用平面直角坐标系来描绘函数的图像。

1.一次函数：一次函数的图像是一条直线，它的一般式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

2.二次函数：二次函数的图像是一条开口向上或者开口向下的抛物线，它的一般式是y=ax²+bx+c，其中a不等于0。

3.指数函数：指数函数的图像是一条上升的曲线，它的一般式是y=aˣ，其中a大于0且不等于1。

4.对数函数：对数函数的图像是一条上升的曲线，它的一般式是y=loga(x)，其中a大于0且不等于1。

四、函数的运算函数的运算是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除等运算所得到的新函数。

在初中数学中，我们主要学习函数的加、减、乘、除四种运算。

高中函数知识点总结讲解一、基本概念1. 函数的定义函数是一个对应关系，通常用符号f(x)表示，其中x称为自变量，f(x)称为因变量。

函数就是对于给定的x值，通过某种规则来确定唯一的f(x)值，这种规则可以用一个公式、图形、数据表等形式2. 定义域和值域函数的定义域是输入变量x的取值范围，而值域是函数取值f(x)的集合范围3. 奇函数与偶函数奇函数和偶函数是函数的对称性质, 它们满足f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)这两种关系4. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势, 函数递增指当x1<x2时, f(x1)<f(x2), 函数递减指当x1<x2时,f(x1)>f(x2)5. 奇偶性奇函数是对称于原点的函数，偶函数是关于y轴对称的6. 恒等函数恒等函数是指f(x)=x这一关系式，它表示了x和f(x)的一一对应关系7. 复合函数复合函数是指其中一个函数的自变量是另一个函数的因变量的函数，其符号是(f●g)(x)=f(g(x))二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性可以通过函数的解析式来判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数则满足f(-x)=f(x)2. 周期性如果对于任意的x都有f(x+T)=f(x)，其中T为一个正常数，则此函数称为周期函数，T称为函数的周期，函数的周期一般用T表示3. 增减性函数增减性是指函数在定义域上的单调变化性质，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)则函数f(x)在区间(x1,x2)上是单调递增的4. 峰值和谷值函数的峰值和谷值是指函数图像的最高点和最低点，即函数在一定区间内的最大值和最小值5. 奇点和间断点函数的奇点指的是函数在该点处不连续或者无定义，间断点是指函数在该点的函数值与函数的极限不相等的点三、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是用平面直角坐标系中的曲线来表示函数的各个值点在坐标系中的几何位置2. 基本初等函数的图像基本初等函数包括常数函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数和幂函数等，它们在坐标系中的图像分别是水平直线，斜直线，抛物线，指数增长曲线，对数增长曲线和曲线等3. 函数的性质与图像函数的性质可通过函数的图像来直观地表示，如奇偶性可以通过图像的对称性来判断，增减性可以通过图像的曲线趋势来判断四、函数的运算1. 函数的四则运算函数的四则运算包括函数的加减乘除，其中加减法为对应自变量的值相加减，乘法为函数的因变量相乘，除法为函数的因变量相除2. 复合函数的运算复合函数的运算是指将一个函数的自变量用另一个函数的因变量来代替，然后再进行相应的运算3. 反函数的运算反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数，通常通过交换自变量和因变量来求得五、函数的应用1. 函数的应用函数的应用十分广泛，包括物理中的位移函数、速度函数、加速度函数等，化学中的反应速率函数，经济中的利润函数、成本函数等2. 函数模型函数模型是指利用数学方法来对现实中的问题进行建模，通常通过分析问题中的具体关系和规律来确定相应的函数形式，然后用函数来描述这种关系3. 函数的优化函数的优化是指通过对函数的分析，找到函数取得最大值或最小值的自变量取值，从而优化问题的结果，通常通过求导和分析函数的性质来确定最优解六、高中函数的扩展1. 三角函数三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，这些函数在三角形的边和角的关系中有着重要的应用2. 对数函数对数函数是指y=loga(x)形式的函数，其中a为底数，x为真数，对数函数在解决指数方程和指数函数问题时有着重要的作用3. 反比例函数反比例函数指的是y=k/x形式的函数，其中k为比例常数，反比例函数在解决比例关系和变化关系的问题中有着重要的应用总之，高中函数是数学学习中的重要内容，它不仅是解决问题的有力工具，也是培养学生逻辑思维和数学推理能力的重要手段。

专升本数学函数知识点讲解在专升本数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，贯穿了整个数学课程。

理解和掌握函数的相关知识，对于我们解决各种数学问题以及提升数学素养都具有关键意义。

接下来，就让我们一起深入探讨一下函数的知识点。

一、函数的定义函数可以被简单地理解为一种对应关系。

设集合 A、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 是集合A 到集合B 的一个函数。

记作 y ＝ f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域。

要准确理解函数的定义，需要注意以下几点：1、函数是一种特殊的对应关系，强调“一对一”或者“多对一”，但绝不能“一对多”。

2、定义域、值域和对应关系是决定一个函数的三要素，当这三个要素完全相同时，两个函数才是相同的。

二、函数的表示方法函数常见的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图象法。

1、解析法就是用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，例如 y ＝ 2x ＋ 1 。

这种方法简洁明了，能够准确地反映函数的性质，但对于一些复杂的函数，其表达式可能会比较繁琐。

2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

例如，在某商店某种商品的销售记录中，我们可以列出不同数量的商品对应的价格，这就是列表法。

这种方法直观易懂，但只适用于有限个取值的情况。

3、图象法用图象来表示函数关系。

例如，一次函数 y ＝ x ＋ 1 的图象是一条直线。

图象法能够直观地反映函数的变化趋势和性质，但不够精确。

在实际应用中，我们常常根据具体问题的需要，灵活选择合适的表示方法。

三、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

其图象是一条直线，当 k＞0 时，函数单调递增；当 k＜0 时，函数单调递减。

中职函数知识点总结讲解一、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它是一种特殊的关系，它把一个数域的元素（称为自变量）映射到另一个数域的元素（称为因变量）。

通俗地讲，函数就是一种对应关系，每个自变量都对应一个唯一的因变量。

在数学上，函数通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

如果一个函数的定义域和值域都是实数集，那么这个函数就是实函数；如果定义域和值域都是复数集，那么这个函数就是复函数。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质，它们决定了函数的取值范围和取值规律。

在函数的图像中，定义域决定了函数的横坐标范围，值域决定了函数的纵坐标范围。

2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减规律。

一个函数如果在定义域上严格递增或严格递减，那么它就是单调函数；如果在定义域上既递增又递减，那么它就是不单调函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的对称性。

一个函数如果满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定区间内具有重复性。

一个函数如果满足f(x)=f(x+T)，其中T为正实数，那么它就是周期函数，T称为函数的周期。

5. 最值和极值：函数的最值是指函数在定义域上的最大值和最小值，极值是指函数在某个局部范围内的最大值和最小值。

函数的最值和极值通常通过导数和二阶导数求解。

三、基本初等函数1. 线性函数：线性函数是最简单的函数之一，它的图像是一个直线。

线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b是常数，k称为斜率，b称为截距。

2. 二次函数：二次函数是一个关于x的二次多项式，它的图像是一个抛物线。

二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，a≠0。

3. 指数函数：指数函数是以一个固定的正数为底的函数，它的自变量是指数。

八年级函数全知识点讲解函数是数学中非常重要的一个概念，是一种映射方法，用来描述两个变量之间的关系。

下面就为大家详细讲解八年级数学中的函数知识点。

一、函数的定义函数是一个映射方法，可以将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

通常用符号 f(x)表示，在其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。

函数从一组数到另一组数的映射，也就是说函数是一种关系。

映射方法 f 将自变量 x 映射到因变量 y，在数学中用 (x, y) 表示这个映射关系。

函数常用于表示各种自然现象以及数学中导数、积分等运算。

二、函数的特点1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量 x 的所有取值，在这些区间内映射后得到的函数值定义了函数的值域。

例如，y = 2x + 1 这个函数的定义域为实数集合，值域为所有的实数集合。

2. 奇偶性函数的奇偶性指函数在自变量 x 为正或负时对应的函数值是否相等。

如果一个函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相等，则这个函数具有偶性；如果函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相反，则这个函数具有奇性。

3. 对称性函数的对称性包含水平和垂直两种对称性。

如果函数曲线在直线 y = k 垂直平面上对称，则称函数关于该垂直线具有对称性。

如果函数曲线在直线 x = k 水平平面上对称，则称函数关于该水平线具有对称性。

4. 单调性函数在定义域内是单增还是单减的性质称为它的单调性。

如果函数的导数恒大于0，该函数称为单调递增；如果函数的导数恒小于0，该函数称为单调递减。

三、函数的类型1. 线性函数线性函数的表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，也叫函数的斜率和截距。

线性函数的图形是一条直线，反映了固定比例的关系。

2. 二次函数二次函数的标准表达式为 y = ax² + bx + c，其中 a, b, c 都是常数。

它的图形是一个抛物线。

3. 幂函数幂函数的表达式为 y = x^n，其中 n 为常数。

函数知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是其他学科中经常遇到的概念之一。

它是描述两个集合之间的一种关系的方法。

函数的概念在数学中是非常广泛的，从最基本的映射到更复杂的变换都可以归为函数的范畴。

本文将对函数的基本概念、性质和应用进行总结和讲解。

首先，我们来定义函数的基本概念。

函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

通常记作f(x)，其中x是输入的值，f(x)是输出的值。

函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域则是所有可能的输出值的集合。

函数可以用各种不同的方式表示，例如用公式、图像、表格等。

函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以直观地看到函数的特点和性质。

其次，我们来讨论函数的性质。

函数有很多重要的性质，其中最基本的性质是单值性和有界性。

单值性指的是函数的每个输入值只对应一个输出值，即每个x值只有一个f(x)值。

有界性指的是函数的值域有上界和下界，即值域中的值都在一定的范围内。

函数还有其他的性质，例如增减性、奇偶性、周期性等。

增减性指的是函数在定义域上的单调性，即函数是单增的还是单减的。

奇偶性指的是函数的对称性，即函数在原点的对称性。

周期性指的是函数的图像在一定的间隔内重复出现。

接下来，我们来讨论函数的应用。

函数在数学中有着广泛的应用，可以用来解决各种实际问题。

例如，函数可以用来描述物体的运动，可以用来计算经济中的变量之间的关系，可以用来模拟自然界中的现象等。

在物理学中，函数可以用来描述物体在空间中的位置随时间的变化。

在经济学中，函数可以描述供需关系、成本收益关系等。

在计算机科学中，函数是编程中的基本组成单元，可以用来实现各种功能。

函数在工程和技术中也有很多应用，例如信号处理、控制系统等。

最后，我们来总结一下函数的重要性。

函数是数学中的一个基本概念，几乎涉及到数学的各个分支和其他学科。

它可以描述两个集合之间的关系，并且可以用来解决实际问题。

函数具有很多重要的性质，例如单值性、有界性、增减性等，这些性质可以帮助我们理解函数的特点和性质。

函数知识点总结讲解一、函数的定义和调用1.1 函数的定义在程序设计中，函数是一段完成特定任务的独立代码块，它可以通过函数名来调用和执行。

函数通常包括函数名、参数列表、返回值类型和函数体等部分。

函数可以被多次调用，在不同的上下文中完成不同的任务。

在大多数编程语言中，函数的定义通常遵循以下格式：```pythondef function_name(parameters):# 函数体# 实现特定的功能return value```其中，def是定义函数的关键字，function_name是函数的名字，parameters是函数的参数列表，return value是函数的返回值。

函数体是实现特定功能的代码块。

1.2 函数的调用函数的调用是指在程序中使用函数名加上一对括号来执行函数。

调用函数时，可以将实际参数传递给函数，这些参数将会被函数体所使用。

函数执行完毕后，可以返回一个值给调用者。

在大多数编程语言中，函数的调用通常遵循以下格式：```pythonresult = function_name(arguments)```其中，function_name是函数的名字，arguments是实际参数列表，result是函数的返回值。

二、参数传递2.1 位置参数在调用函数时，可以将参数按照位置顺序传递给函数，这种传递方式被称为位置参数。

函数内部可以通过参数的位置来访问这些参数，然后进行相应的处理。

例如：```pythondef add(a, b):return a + bresult = add(3, 5)print(result) # 输出8```在这个例子中，add函数接收两个位置参数a和b，然后将它们相加并返回结果。

当调用add函数时，传递的实际参数3和5会分别赋值给a和b，从而得到结果8。

2.2 关键字参数在调用函数时，也可以按照参数名字来传递参数，这种传递方式被称为关键字参数。

通过使用关键字参数，可以使得函数调用更加清晰和易于理解。

函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。

它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。

接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。

一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。

在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。

例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。

当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。

可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。

二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。

1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。

2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。

例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。

三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。

例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。

通过分析函数的表达式，可以得出值域。

四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。

要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。

例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。

将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。

例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。

函数讲解知识点函数是编程中非常重要的概念之一。

它是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务或计算。

函数将一系列操作封装在一个单元中，可以接受输入参数并返回结果。

在本文中，我们将逐步讲解函数的相关知识点。

1. 函数的定义函数的定义由关键字def开始，后面跟着函数名和一对圆括号。

函数名是用于调用函数的标识符。

圆括号中可以包含参数，参数是函数接受的输入值。

def function_name(parameter1, parameter2, ...):# 函数体# 实现特定的任务或计算return result在函数体中，我们可以编写实现特定任务的代码。

函数可以完成一系列操作，例如执行计算、打印输出、调用其他函数等。

2. 函数的调用函数定义之后，我们可以通过函数名加圆括号的方式来调用函数，并传递参数。

调用函数时，参数的值将被传递给函数体中的对应参数。

result = function_name(argument1, argument2, ...)这样就可以将函数的返回值赋给变量result。

如果函数没有返回值，则可以省略赋值语句。

3. 参数传递函数可以接受零个或多个参数。

在函数定义中，我们可以指定参数的名称和类型。

参数可以是必需的或可选的。

•必需参数：函数定义中指定了参数名称的参数，调用函数时必须传递相应的参数值。

def greet(name):print("Hello, "+ name +"!")•默认参数：函数定义中可以为参数指定默认值，调用函数时如果没有传递该参数，则使用默认值。

def power(base, exponent=2):return base ** exponent•可变参数：函数定义中可以使用*来接受不定数量的参数。

这些参数将被封装成一个元组。

def sum(*numbers):total =0for num in numbers:total += numreturn total4. 返回值函数可以使用return语句返回结果。

函数知识点复习整理函数是数学中的基本概念之一，它在解决问题、研究现象和建模等方面起到了重要的作用。

函数的知识点主要包括函数的定义、函数的性质和函数的应用等方面。

下面就对函数的知识点进行复习整理。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个集合与另一个集合中的元素进行对应。

数学中常用的函数记作f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。

函数的定义包括以下几个要素：1.自变量的定义域：自变量x的取值范围，通常用集合表示。

2.因变量的值域：因变量f(x)的取值范围，也用集合表示。

3.函数表达式：函数的具体表达形式，可以是一个公式或者一个算法。

4.函数名称：给函数取一个名称，以便于引用和表示。

二、函数的性质函数的性质主要包括函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性、连续性和可导性等方面。

下面对这些性质进行详细讲解：1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

2.周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

3.单调性：如果对于函数f(x)中的任意两个数a和b，当a<b时，有f(a)<f(b)；当a>b时，有f(a)>f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；反之，如果当a<b时，有f(a)>f(b)；当a>b时，有f(a)<f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递减。

4.有界性：如果对于函数f(x)中的任意x，存在两个常数M和N，使得当，x，>M时，有，f(x)，<N，称函数f(x)在无穷远处有界。

5.连续性：如果对于函数f(x)中的任意x0，当，x-x0，趋近于0时，有f(x)趋近于f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。

6.可导性：如果对于函数f(x)中的任意x0，存在一个常数f'(x0)，使得当x趋近于x0时，有[f(x)-f(x0)]/[x-x0]趋近于f'(x0)，则称函数f(x)在点x0处可导。

大学函数知识点总结讲解1. 函数的概念首先，我们来介绍函数的概念。

在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

通常情况下，我们把函数记为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义域是自变量可以取值的集合，值域是因变量可以取值的集合。

例如，f(x) = 2x + 1，其中x的取值范围是实数集，这个函数的定义域是实数集，而f(x)的取值范围也是实数集。

2. 函数的表示方法函数可以用不同的方式来表示。

最常见的表示方法是用解析式表示函数，即通过一个公式来描述函数的关系。

除此之外，还可以用函数图像来表示函数，函数图像是函数在平面直角坐标系中的图形，它通过自变量和因变量的对应关系来展示函数的特性。

3. 函数的性质函数有许多重要的性质，其中最重要的性质之一是单调性。

一个函数在其定义域上可以是递增的、递减的或者不变的，这取决于函数的导数。

另外，函数还有奇偶性和周期性的性质。

奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有不同的对称性。

周期函数是指在某个周期内具有重复性质的函数，例如正弦函数和余弦函数就是周期函数的例子。

4. 函数的极限极限是函数的一个重要概念，它描述了一个函数在某个点附近的表现。

函数在某个点x=a处的极限表示当自变量x趋近于a时，函数值f(x)的趋势。

如果当x趋近于a时，f(x)的值趋近于一个有限值L，那么我们说函数f(x)在x=a处存在极限，记为lim(x->a)f(x)=L。

如果极限不存在，则函数在该点不连续。

极限对于研究函数的性态和图像具有重要的意义。

5. 函数的导数函数的导数是函数微分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

函数f(x)在点x处的导数表示函数在该点的切线斜率，记为f'(x)或者dy/dx。

导数可以用极限或者微分的方法求得，它是函数的一个重要性质，对于描述函数的变化趋势以及求解最优值都有很大的帮助。

导数也有很多重要的性质，如可加性、乘法规则、链式法则等。

指数函数、对数函数、幂函数综合【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1mnm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r s rsa a = (3)()rr rab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：要点三、对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>. 2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…).4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 要点四、对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.要点五、反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 要点六、幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴. 【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.化简与计算下列各式 （1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--．【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】（1）1615；（2）100；(3)2a ． 【解析】 (1)原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1+11610-=1615；(2)原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =5937100331648++-+=100(3) 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)133241116()()8()100481----+⋅；. 【答案】（1）-27；（2【解析】(1)1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯ 344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭；133⎫=1)1)=-=-=例2． 已知：4x =，求：111244311422111x x xx x xx -+⋅⋅+++的值.【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法. 【答案】2 【解析】111244311422111x x xx x xx -+⋅⋅+++11441411122411111x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++ ⎪⎝⎭1111442211122211111111x xx x x x xx x --=⋅⋅+=+=-+=++∴ 当4x =时，111112442231142211421x x xx x x xx -+⋅⋅+===++.【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++． 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14．【解析】(1)原式=122221log 12log log 22-⎫===-； (2)原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5lg 53lg 2lg 5+-++=()2lg10lg5lg 23lg 2lg53lg 2lg5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1(3)原式=()22lg52lg 2lg51lg 2lg 2++++=()2lg5lg 2lg5lg 2(lg 2lg5)++++=2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧. 【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A.0B.1C.2D.4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==． 【变式2】(1)2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+；(2)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】(1)2；(2)54． 【解析】(1) 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；(2) 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例4.已知函数3log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩　则1(())9f f =( )A.4B.14C.-4D.-14【答案】B【解析】1)12(log )2(23=-=f ，0((2))22f f e ==. 【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值.举一反三：【变式一】已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ ）．A.12B. 45 C. 2 D. 9 【答案】C ．【解析】1,()21,(0)2x x f x f <=+∴= ，由((0)f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+ ，2a ∴=，选C ．例5.函数1()f x x=的定义域( ) ． A.(][),42,-∞-+∞ B.()()4,00,1- C.[)(]4,00,1- D. [)()4,00,1- 【答案】D【解析】220,320,340,0.x x x x x ≠⎧⎪-+≥⎪⎨--+≥>【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零． 例12-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)x y x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B例7. 函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

初二函数知识点初二函数知识点是中学高数教育中很重要的一部分，许多初中学生在接触该知识点时会遇到困难。

以下就对初二函数知识点进行深入的讲解，以便任何初中学生都能掌握函数的概念和技能。

一、函数概念函数是由一组输入和一组输出之间的关系决定的。

简单来说，函数就是给定一个输入，得到一个输出。

例如，用$f(x)=x+2$表示，当x=3时，输出$f(3)=3+2=5$；当x=4时，输出$f(4)=4+2=6$。

二、函数的表示方式函数可以用符号来表示，也可以用图形图象的方式表示。

1、函数方程函数的一种简单有效的表示方式是函数方程，如$y=f(x)$。

在这里，y是函数的输出，x是函数的输入，f是函数本身。

例如，$f(x)=x+2$就是一个用函数方程表示的函数。

2、函数图像函数图像是把函数函数方程用图表表示出来的。

例如，用$f(x)=x+2$表示，可以用下图表示：图1：f(x)=x+2的函数图像三、函数的基本概念1、定义域定义域是指函数的输入变量x可以取得的值所组成的集合，称为函数的定义域。

例如，对于$f(x)=x+2$来说，它的定义域是所有实数集合。

2、值域值域是指函数的输出y可以取得的值所组成的集合，称为函数的值域。

例如，对于$f(x)=x+2$来说，它的值域是所有大于等于2的实数集合。

3、增减性函数的增减性指的是当输入变量的值变化时，函数的输出值的变化规律。

如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值也增加，则称函数f(x)为增函数；如果当输入变量x的值减小时，函数的输出值也减小，则称函数f(x)为减函数。

4、凹凸性函数的凹凸性指的是函数曲线的凹凸性，也就是当输入变量的值变化时，函数的输出值的变化规律。

如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值先增加后减小，称函数为凹函数；如果当输入变量x的值增加时，函数的输出值先减小后增加，称函数为凸函数。

四、函数的应用1、函数在学术计算中的应用函数在学术计算中起着重要作用，可以将复杂的数学运算转变为简单的函数运算，大大减少了计算的工作量，同时也提高了计算的效率，为学术研究和计算准确性提供了巨大的帮助。

数学三角函数基础知识讲解
三角函数是数学中经典而重要的一类函数类型，表示角度与边长之间的关系。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

1. 正弦函数（sin）
正弦函数是一个周期函数，它的图像为一条连续的波浪线。

在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的弧度值的正弦值。

例如，在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则该直角边所对的角的正弦值为a/c。

2. 余弦函数（cos）
余弦函数也是一个周期函数，它的图像为一条连续的曲线。

在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的弧度值的余弦值。

例如，在直角三角形中，如果一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则该直角边所对的角的余弦值为b/c。

3. 正切函数（tan）
正切函数是一个奇函数，它的图像为一条连续的曲线。

在单位圆上，正切函数的值等于对应角度的弧度值的正切值。

例如，在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，则该直角边所对的角的正切值为a/b。

除了这三个基本的三角函数，还有其他一些相关的三角函数，比如余切函数、正割函数和余割函数等。

在学习三角函数时，需要注意它们的定义域和值域，并且要熟练掌握它们的性质和应用。

八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。

例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。

2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。

3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。

二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。

如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。

三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。

四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。

例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。

已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。

若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。

下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。

知识点1函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。

这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号b的符号函数图像图像特征k>0 b>0y0 x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。

b<0y0 x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。

K<0 b>0y0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0y0 x图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中一个非常重要的概念，它在初中数学竞赛中也是一个经常出现的知识点。

下面，我将为您讲解一下初中数学竞赛中关于函数的知识点。

1.函数的定义：函数是一个有特定关系的数集，也可以理解为一个数集和另一个数集之间的对应关系。

通常我们用字母表示函数，如f、g、h等。

在函数中，通常有自变量和因变量两个变量，自变量的取值决定了因变量的值，可以用对应关系式表示：y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，y=f(x)表示y是x的函数。

2.函数的性质：(1) 定义域：函数中自变量的取值范围称为定义域，常用符号表示为D(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，定义域为全体实数（即D(f) = R）。

(2) 值域：函数中因变量的取值范围称为值域，常用符号表示为R(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，值域是全体实数（即R(f) = R）。

(3)奇偶性：若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若奇函数和偶函数的性质都不具备，则函数为非奇非偶函数。

(4)单调性：函数的单调性表示函数在定义域内的递增或递减趋势。

若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数为严格递增函数；若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则函数为严格递减函数。

3.常见函数类型：(1) 一元一次函数：一元一次函数的一般表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，a≠0。

一元一次函数的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。

(2) 二次函数：二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。

二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线。

(3)绝对值函数：绝对值函数的一般表达式为y=，x，即y等于x的绝对值。