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数学建模：差分方程模型
差分方程模型
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，
但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
差分方程模型
一、银行复利问题
二、抵押贷款买房问题
三、市场经济中的蛛网模型
四、减肥计划——节食与运动
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
模 型 假 设
记号
1. 储蓄的年利率为 r 2. 任何时候都可以存款，但存款利息只 从下一时期开始计算，如时间段开始第 一天的存款即开始计算利息
y ( t ) : t期结束时的总存款
x ( t ) : 第t期内的新存款
模型
y(t ) (1 rn ) y(t 1) x(t )
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，
但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
差分方程模型
一、银行复利问题
二、抵押贷款买房问题
三、市场经济中的蛛网模型
四、减肥计划——节食与运动
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
模 型 假 设
记号
1. 储蓄的年利率为 r 2. 任何时候都可以存款，但存款利息只 从下一时期开始计算，如时间段开始第 一天的存款即开始计算利息
y ( t ) : t期结束时的总存款
x ( t ) : 第t期内的新存款
模型
y(t ) (1 rn ) y(t 1) x(t )
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
数学建模差分方程PPT课件
或 G(x , yi , yi1 , , yin ) 0 或 H (x , yi , yi , , n yi ) 0
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
第4章差分模型(数学建模)
△a1=a2-a1 △a2=a3-a2 △a3=a4-a3
对每个整数n 对每个整数n有
△an=an+1-an
例4.1 储蓄存单 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 1000美圆的储蓄存单 1% 件下的积累价值是一个数列 A={1000, 1010, 1020.10, 1030.30,1040.60…}
C
△bn=bn+1-bn=0.01bn-880.87
一阶动力系统方程
bn+1=bn+0.01bn-880.87
bn+1=1.01bn-880.87 b0=80000
一个序列就是定义在非负整数集上的函数 一个序列就是定义在非负整数集上的函数. 序列就是定义在非负整数集上的函数 一个动力系统是指序列各项之间的关系 动力系统是指序列各项之间的关系. 一个动力系统是指序列各项之间的关系 数值解是该动力系统的一张数值表 数值解是该动力系统的一张数值表 是该动力系统的一张
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
对每个整数n 对每个整数n有
△an=an+1-an
例4.1 储蓄存单 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 1000美圆的储蓄存单 1% 件下的积累价值是一个数列 A={1000, 1010, 1020.10, 1030.30,1040.60…}
C
△bn=bn+1-bn=0.01bn-880.87
一阶动力系统方程
bn+1=bn+0.01bn-880.87
bn+1=1.01bn-880.87 b0=80000
一个序列就是定义在非负整数集上的函数 一个序列就是定义在非负整数集上的函数. 序列就是定义在非负整数集上的函数 一个动力系统是指序列各项之间的关系 动力系统是指序列各项之间的关系. 一个动力系统是指序列各项之间的关系 数值解是该动力系统的一张数值表 数值解是该动力系统的一张数值表 是该动力系统的一张
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
差分方程模型PPT课件
回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
数模差分方程模型
可参照导数的四则运算法则学习
二 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义1
含有未知函数的差分yn , 2 yn ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F (n, yn , yn , 2 yn ,, m yn ) 0
定义2：
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yn , yn1,的方程，称为差分方程.
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
函数y f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
2 yn (yn ) ( yn1 yn ) ( yn2 yn1) ( yn1 yn ) yn2 2 yn1 yn
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yn (2 yn ),4 yn (3 yn )
f x 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
数学建模差分方程模型
-192-第十六章 差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。
下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程1.1 差分方程简介规定t 只取非负整数。
记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=∆+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为t y 的二阶差分。
类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y ∆。
由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。
若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程00110=+++-a a a n n λλ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
差分方程模型介绍
function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b1*c; q=a2*b*91-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
差分方程模型
表款付期分款贷押抵房住行银业商市海上 3.8 表
066.6 年五
525.6 年四
093.6 年三
522.6 年二
21.6 年一
�率利 限期款贷
表率利款贷押抵房住行银业商市海上 2.8 表
。)年五了出列仅(据数分部的额款还)元万(款贷押抵业商和率利年款贷押抵业商 房住人个市海上了出列别分 3.8 表和 2.8 表。整调应相出作率利款贷性业商房住人个对行银 业商海上,后其。者大较中数两邻相应对为率利时间之限年邻相列所中表于处期款贷当 65.7 上以年五 02.7 年五 66.6 年三 93.6 年一 21.6 年半 �率利 限期款贷
表率利款贷行银民人国中 1.8 表
:列所表下如率利款贷中其,平水率利款贷、存的新了布公行银 民人国中,月 21 年 8991。项一的要重最中其是款贷押抵房住人个 �题问融金及涉都等卡用信 和金老养、险保、款贷�活生的民市通普入进地多越来越正题问融金,展发的济经着随
款贷押抵房住人个 1.8
。型模学数的题问 际实的立建程方分差用个几绍介章本 �法方学数的用常的题问间时散离决解是程方分差
kb
7.7592 2.1692 6.5692 3.1792 6.8792 0.8892
ka
6 5 4 3 2 1 k
9.1642 0.4642 7.6642 1.0742 5.4742 1.0842 kb
表金基付支城两的 0062 � 0 b , 0082 � 0 a �b�4.8 表
1.8392 0.6392 3.3392 9.9292 5.5292 9.9192 ka
到得难不此据,0=0F 值始初而
有则,例为保投岁 52 以,岁 57 值均平计统的命寿性男地在所划计金老养司公险保该取们我,命寿的人保投于赖 依 M 然显.)月:位单(间时的金老养领停至和费险保交停至起保投是别分 M,N,率利的得获金险 保交所是 r,)元 :位单(数金老养的领月每起岁 06 和费险保月的交所前岁 06 是别分 q,p,中其 )11.8(
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。
现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。
设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。