2017-2018学年高中数学(人教B版)选修2-1名师讲义：第一章 1.2 基本逻辑联结词

_1.2基本逻辑联结词1．2.1 “且”与“或”[对应学生用书P5]如图所示，有两种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．1．两种基本逻辑联结词(1)“且”逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．(2)“或”逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”是相当的．2．由“且”与“或”构成的新命题的写法及读法(1)用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．(2)用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．“p∧q”、“p∨q”的真假判断1．对“或”的理解，可联想集合中并集的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，是指“x∈A”“x∈B”其中至少一个是成立的，即x∈A，且x∉B，也可以x∉A，且x∈B，也可以x∈A，且x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的．由“或”联结两个命题p和q构成的新命题“p或q”，当“p真q假”“p假q真”“p真q真”时，都真．2．对“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，它是指“x∈A”“x∈B”同时满足的意思，即x既属于集合A，同时又属于集合B.用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”为真．[对应学生用书P6][例1]分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：{0}⊆N；(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．(4)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．[思路点拨]解答本题注意正确理解逻辑联结词，并注意语法的准确．[精解详析](1)p∧q：2是无理数且大于1，p∨q：2是无理数或大于1.(2)p∧q：N⊆Z且{0}⊆N，p∨q：N⊆Z或{0}⊆N.(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．(4)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．[一点通]用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．1．将下列命题写成“p∧q”“p∨q”的形式．(1)p：1是合数，q：1是质数．(2)p：他是运动员，q：他是教练员．(3)p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品语法上有错误．解：(1)p∧q：1是合数且是质数；p∨q：1是合数或是质数．(2)p∧q：他是运动员兼教练员；p∨q：他是运动员或是教练员．(3)p∧q：这些文学作品艺术上有缺点且语法上也有错误；p∨q：这些文学作品艺术上有缺点或语法上有错误．2．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的新命题．(1)p：π是有理数，q：π是无理数；(2)p：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同，q：方程x2＋x－1＝0的两根的绝对值不同．解：(1)p或q：π是有理数或是无理数；p且q：π是有理数且是无理数；(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同或绝对值不同．p且q：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同且绝对值不同.[例2]分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6.(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解．(4)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]判断p、q的真假→利用真值表判断“p∧q”“p∨q”的真假[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．[一点通]判断含有“且”“或”的命题的真假的方法：(1)对“p∨q”命题：一真必真．也就是p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题；(2)对“p∧q”命题：一假必假．也就是p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题．3．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，“p∧q”为假的是( )A．p：0＝∅；q：0∈∅B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限不是增函数C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集为(－∞，0)D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：3≥3解析：由已知条件知命题p与命题q中应该有一个为真，一个为假．选项A中命题p、q均假，排除；选项B中，命题p、q均为真，排除；选项C中命题q为真，p为假；选项D中，命题p和命题q都为真，排除．答案：C4．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)x＝1是方程x2＋3x＋2＝0的根或x＝－1是方程x2＋3x＋2＝0的根．解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真．所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题.[例3](12分)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[精解详析]设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2， ∴p ：－2<a <2.(2分)函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数， 则有5－2a >1，即a <2.∴q ：a <2.(4分) 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(6分) (1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，此不等式组无解．(8分)(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，∴a ≤－2. (10分)综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (12分) [一点通](1)根据p 、q 的真假可判断命题p ∧q 、p ∨q 的真假；反之根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假也可以判断命题p 、q 的真假．(2)解答这类问题的一般步骤：①先求出命题p 、q 为真时参数的条件；②其次根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判定命题p 、q 的真假； ③根据p 、q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．5．已知p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是________．解析：p：x<3；q：－1<x<5.∵p且q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)6．对命题p：1是集合{x|x2<a}中的元素；q：2是集合{x|x2<a}中的元素，则a为何值时，“p或q ”为真？a为何值时，“p且q”为真？解：若p为真，则1∈{x|x2<a}，所以12<a，即a>1；若q为真，则2∈{x|x2<a}，即a>4.若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1；若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个．2．一个复合命题，从字面上看不一定是“或”、“且”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”，“x＝±3”、“≤”的含义为“或”；“并且”，“綊”的含义为“且”．[对应课时跟踪训练(三)]1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有( )A．q为真B．q为假C．p∨q为真D．p∨q不一定为真解析：由已知条件不能确定命题q的真假，故选D.答案：D2．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)解析：使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．答案：C3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：p 是假命题，q 是假命题．因此C 正确． 答案：C 4．下列命题： ①2>1或1<3；②方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：前三个命题是“p ∨q ”形式，第四个是“p ∧q ”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．答案：C5．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．解析：∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0. 答案：b ≤a ≤06．已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p ；②q ；③p ∨q ；④p ∧q 中，真命题是________．解析：∵p 为真命题，q 为假命题，p 或q 为真，p 且q 为假， ∴①、③是真命题． 答案：①③7．判断下列命题的真假：(1)函数y ＝cos x 是周期函数并且是单调函数； (2)x ＝2或x ＝－2是方程x 2－4＝0的解．解：(1)由p ：“函数y ＝cos x 是周期函数”，q ：“函数y ＝cos x 是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p ∧q .因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∧q 是假命题．(2)由p ：“x ＝2是方程x 2－4＝0的解”，q ：“x ＝－2是方程x 2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p ∨q .因为p ，q 都是真命题，所以p ∨q 是真命题．8．已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减， 故p 真时0<a <1.q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，∴0<a <12或a >52.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p ，q 中必定是一个为真一个为假． (1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1. 即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)若p 假，且q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52.即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1.2.2 “非”(否定)[对应学生用书P8]问题：在如图所示电路图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合．1．逻辑联结词“非”的含义逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来的．2．由逻辑联结词“非”构成的新命题的表示及读法对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．3．含有“非”的命题的真假判定观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．1．全称命题和存在性命题的否定(1)存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)．(2)全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是：綈q：∃x∈A，綈q(x)．2．开句(条件命题)含有变量的语句，通常称为开句或条件命题．1．命题的否定是只否定结论，不否定条件．2．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．[对应学生用书P8][例1]写出下列命题的否定，并判断真假．(1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；(4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．[思路点拨]明确命题的条件和结论→对命题的结论进行否定→判断真假[精解详析](1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．(4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．[一点通](1)一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：(2)当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题綈p的真假，当命题綈p为真时，命题p 为假，当命题綈p为假时，命题p为真．1．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集．(4)一元二次方程至多有两个解．解：(1)綈p：y＝sin x不是周期函数．命题p是真命题，綈p是假命题；(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；(3)綈p：空集不是集合A的子集，命题p是真命题，綈p是假命题．(4)綈p：一元二次方程至少有三个解，命题p是真命题，綈p是假命题．2．写出下列命题的否定：(1)p：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＝0)的图象与x轴有唯一交点；(2)q：若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12＝0.解：(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＝0)的图象与x轴没有交点或至少有两个交点．(2)若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12≠0.[例2]判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]先判断命题的真假，再写出命题的否定．[精解详析](1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象不开口向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[一点通](1)否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质q(x)进行否定．(2)有的全称命题省略了全称量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．如本例(1)应理解为“每个三角形的内角和都为180°”．3．(重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0解析：全称命题的否定是存在性命题，“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x20<0”．答案：D4．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数；(2)所有的矩形都是平行四边形；(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0；(4)被5整除的整数，末位数字是0.解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个素数，不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题．(3)是全称命题，其否定为：∃a，b∈R，a2＋b2≤0，真命题．(4)是全称命题，其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0，因为15能被5整除，其末位为5，因此其否定是真命题.[例3]写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.[思路点拨]写命题的否定时注意更换量词并否定结论．[精解详析] (1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．为假命题．(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“∀x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[一点通](1)存在性命题的否定为全称命题，即命题“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．(2)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是( )A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x∈R，x3－x2＋1≤0C．∃x∈R，x3－x2＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0解析：存在性命题的否定是全称命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．答案：D6．写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0；(2)p：若a n＝－2n＋10，则∃n∈N＋，S n＜0；(3)p：∃x∈R，x＞2；(4)p：∃x∈R，x2＜0.解：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：若a n＝－2n＋10，则∀n∈N＋，S n≥0.(假)(3)綈p：∀x∈R，有x≤2.(假)(4)綈p：∀x∈R，x2≥0.(真)1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是存在性命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．[对应课时跟踪训练(四)]1．(安徽高考)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1解析：利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.答案：C2．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．答案：C3．若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：p∨q，綈q是真命题．答案：D4．已知条件命题p ：xx －1>0，当綈p 为真命题时，x 的取值范围是( ) A ．[0,1) B ．[0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]解析：当綈p 为真命题时，p 为假命题，当p 真时，x <0或x >1.则p 假时，0≤x ≤1. 答案：B5．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋4≠0的否定是________． 答案：∃x ∈R ，x 2－x ＋4＝06．命题“若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零”的否定为________． 解析：“a 、b 、c 中至少有一个为零”的否定为“a 、b 、c 全不为零”． 答案：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零7．用符号“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象． (3)有些四边形存在外接圆． (4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．解：(1)綈p ：∃f (x )∈{二次函数}，f (x )的图象不是抛物线．假命题． (2)綈p ：在直角坐标系中，∃l ∈{直线}，l 不是一次函数的图象．真命题． (3)綈p ：∀x ∈{四边形}，x 不存在外接圆．假命题． (4)綈p ：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0至少有一解．假命题． 8．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等； (4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”， 綈p ：存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0. ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0，∴綈q 是真命题． (3)綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r是一个假命题．(4)綈s：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1. 由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．。