19.2.3正方形的性质及判定(一)教师

正方形的性质与判定（1）主讲：叶良国课题：正方形的性质与判定（1）课型：新授课教学目标：1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重难点：重点：探索正方形的性质与判定。

难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。

关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程教学过程：一、回忆童年，情境引入想一想：什么是矩形？是菱形？做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形看一看：几何画板演示动画设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。

我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】二、实践探究，交流新知师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形．平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．生：画图展示设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构．师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？生：学生独立完成，并相互交流师：正方形有几条对称轴？生：思考或者画图验证师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示）设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。

正方形的性质与判定教学目标：1. 理解正方形的定义及性质；2. 学会正方形的判定方法；3. 能够应用正方形的性质与判定解决实际问题。

教学重点：正方形的性质与判定教学难点：正方形性质的灵活运用与判定方法的掌握教学准备：课件、黑板、几何模型教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾矩形、菱形的性质；2. 提问：矩形和菱形有什么共同点？有什么不同点？3. 引导学生思考：是否存在一种四边形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 引入正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形称为正方形；2. 讲解正方形的性质：a. 边长：四条边相等；b. 角度：四个角都是直角；c. 对角线：相互垂直，且平分对方；d. 面积：边长的平方；3. 举例说明正方形的性质；4. 讲解正方形的判定方法：a. 方法一：四条边相等且四个角都是直角；b. 方法二：对角线相互垂直，且平分对方；c. 方法三：已知一个四边形是矩形且是菱形。

三、课堂练习（10分钟）1. 请同学们完成教材P52的练习题1-5；2. 老师选取部分题目进行讲解和解析。

四、课堂小结（5分钟）1. 请同学总结本节课所学的正方形的性质与判定；2. 老师进行补充和总结。

五、课后作业（课后自主完成）1. 请同学们完成教材P52的练习题6-10；2. 思考题：如何证明一个四边形是正方形？教学反思：本节课通过引导学生回顾矩形和菱形的性质，引出正方形的定义和性质。

通过讲解和举例，使学生掌握正方形的性质和判定方法。

通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

在教学过程中，注意引导学生思考和发现规律，培养学生的逻辑思维能力。

六、正方形的性质深化理解（15分钟）1. 讲解正方形边长的性质：正方形的边长等于其对角线长度的一半；2. 讲解正方形面积的性质：正方形的面积等于两对角线乘积的一半；3. 举例说明正方形性质在实际问题中的应用。

七、正方形的判定深化理解（15分钟）1. 讲解判定方法一：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；2. 讲解判定方法二：对角线相互垂直，且平分对方的四边形是正方形；3. 讲解判定方法三：已知一个四边形是矩形且是菱形的四边形是正方形；4. 举例说明正方形判定方法在实际问题中的应用。

1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质知识点梳理：1．有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形叫做正方形．2．正方形的四个角都是__直角__，四条边__相等__，对角线__相等__且__互相垂直平分__．知识点解析：知识点一：正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( D) A．平行四边形B．矩形C．菱形 D．正方形2．如图，∠ACB＝90°CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那四边形DECF是__正方形．知识点二：正方形的性质3．正方形的对称轴的条数为( D)A．1 B．2 C．3 D．44．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B)A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( C) A．45° B．55° C．60° D．75°6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝( B)A. 2 B．2 2 C．2 D．17．(2014·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长是__4__．8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有__8__个等腰直角三角形．9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．10．(易错题)如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝__30°__．11．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.．(1)求证：BF＝DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF＝2解：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF12．(2014·安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：①点D到直线l的距离为3；②A，C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为( B) A．1 B．2 C．3 D．413．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.14．(2014·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．15．(2014·鄂州)在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.解：证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD ＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE16．(教材例4改编)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)四边形ADCE为__矩形__；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形17．将正方形(图①)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是( B)A．502 B．503 C．504 D．50518．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．解：(1)∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)．∴∠HAF＝∠DAF.同理∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.∴∠EAF的大小不会发生变化(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：由(1)知：Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，∴FH ＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化第2课时正方形的判定知识点梳理：1．对角线__相等__的菱形是正方形．2．对角线__垂直__的矩形是正方形．3．有一个角是__直角__的菱形是正方形．知识点解析：知识点：正方形的判定1．下列说法不正确的是( C)A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是( D)A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( C) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D)A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF第4题图第5题图第8题图5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是__正方形__．7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件__垂直且相等__时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为__45°__．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形．解：证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED(HL)．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形巩固练习:10．(2014·株州)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( B)A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为__AC＝BC__．12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由．解：方法：测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长；理由：若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．解：证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．解：(1)证明：∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴∠FAC ＝∠ACB.在Rt△ACB中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.又∠AEG ＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF ⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形15．(2014·随州)已知：如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)填空：当AB∶AD＝__1∶2__时，四边形MENF是正方形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，又∵点M为AD的中点，∴AM ＝DM ，在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AM ＝DM ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABM ≌△DCM (SAS )(2)当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形，理由是：∵AB ∶AD ＝1∶2，AM ＝DM ，AB ＝CD ，∴AB ＝AM ＝DM ＝DC ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝∠DMC ＝∠DCM ＝45°，∴∠MBC ＝∠MCB ＝45°，∴BM ＝CM ，∠BMC ＝90°，∵点N ，E ，F 分别是BC ，BM ，CM 的中点，∴BE ＝CF ＝ME ＝MF ，NF ∥BM ，NE ∥CM ，∴四边形MENF 是平行四边形，∵ME ＝MF ，∠BMC ＝90°，∴四边形MENF 是正方形，即当AB ∶AD ＝1∶2时，四边形MENF 是正方形。

教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
2、过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
3、情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
2. 教学重点/难点
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用．
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
课堂小结
你有什么收获？
1.正方形的概念和性质，会利用相关知识解决有关问题；
2.判别一个四边形是正方形
3.正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的关系.
板书
19.2.3 正方形
1、正方形既是矩形又是菱形；
2、正方形具有矩形和菱形的一切性质；
3、既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
4、正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的关系：。