2021年军考复习解放军武警(高中)士兵考军校数学综合测试卷附答案解析

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷双曲线、抛物线1．已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是()A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为()A ．221204x y -=B ．221412x y -=C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为()A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=4．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．221205x y -=D ．221520y x -=5．已知双曲线的实轴长为2，焦点为(4,0)-，(4,0)，则该双曲线的标准方程为()A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．22115y x -=D ．22115y x -=6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22128x y -=的渐近线方程为()A ．2y x =±B ．12y x=±C ．2y x =D ．y =7．抛物线22y x =的准线方程是()A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =-8．抛物线2y ax =的准线方程是2y =-，则a 的值为()A ．4B ．8C ．18D ．149．抛物线的准线为4x =-，则抛物线的方程为()A ．216x y=B ．28x y=C ．216y x =D ．28y x=10．抛物线212x y =的准线方程为()A ．3y =-B ．3x =-C ．6y =-D ．6x =-11．已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是()A ．212x y=-B ．212x y=C ．212y x =-D ．212y x=12．已知抛物线的准线方程12x =，则抛物线的标准方程为()A ．22x y=B ．22x y=-C ．2y x =D ．22y x=-13．抛物线212x y =-的焦点坐标是()A ．1(0,)4-B ．1(0,)8-C ．1(0,)8D ．1(0,414．抛物线24y x =的准线方程是()A ．1y =B ．1y =-C ．116y =D ．116y =-15．抛物线218y x =-的准线方程是()A ．132x =B ．132y =C ．2y =D ．2y =-16．抛物线24x y =的准线方程是()A ．12y =B ．1y =-C ．116x =-D ．18x =17．以(0,1)F 为焦点的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．22x y=C ．24y x=D ．22y x=18．焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．24y x=C ．24x y =-D ．24y x=-19，且与椭圆22184x y +=有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为．20．焦点在y 轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是．参考答案与详解1．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由24c =，则2c =，渐近线方程为y =，即ab=由222c a b =+，解得：1b =，a =∴双曲线的标准方程为：2213y x -=．故选：B ．2．【解答】解：由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2c a=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选：B ．3．【解答】解：由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a=，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选：B ．4．【解答】解：双曲线2214x y -=的渐近线方程为：12y x =±，由题意设双曲线C 的方程为：22221y x a b-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b +=，①渐近线的方程为：ay xb =±再由C 与双曲线2214x y -=的渐近线相同，所以12a b =，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520y x -=，故选：D ．5．【解答】解：由题意可设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，4c =，则1a =，22216115b c a =-=-=．∴双曲线的标准方程为22115y x -=．故选：C ．6．【解答】解：双曲线22128x y -=的渐近线方程：2y x =±．故选：A ．7．【解答】解：由抛物线22y x =，可得准线方程24x =-，即12x =-．故选：C ．8．【解答】解：由抛物线2y ax =，得21x y a=，由其准线方程为2y =-，可知抛物线开口向上，则0a >．12p a ∴=，则124p a=．∴124a -=-，得18a =．故选：C ．9．【解答】解： 抛物线的准线为4x =-，∴可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为22(0)y px p =>．则42p=，8p =．抛物线方程为216y x =．故选：C ．10．【解答】解：抛物线212x y =的焦点在y 轴正半轴上，且212p =，则6p =，32p=．∴抛物线212x y =的准线方程为3y =-．故选：A ．11．【解答】解：依题意可知焦点在y 轴，设抛物线方程为22x py= 焦点坐标是(0,3)F -，∴132p =-，6p =-，故抛物线方程为212x y =-．故选：A ．12．【解答】解： 抛物线的准线方程12x =，可知抛物线为焦点在x 轴上，且开口向左的抛物线，且122p =，则1p =．∴抛物线方程为22y x =-．故选：D ．13．【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y 上，开口向下，且122p =，∴128p =．∴抛物线212x y =-的焦点坐标是1(0,8-．故选：B ．14．【解答】解：抛物线24y x =化成标准方程，可得214x y =，∴抛物线焦点在y 轴上且124p =，得1216p =，因此抛物线的焦点坐标为1(0,16，准线方程为116y =-．故选：D ．15．【解答】解：整理抛物线方程得28x y =-，4p ∴=，抛物线方程开口向下，∴准线方程是2y =，故选：C ．16．【解答】解：124p = ，18p ∴=，开口向右，∴准线方程是116x =-．故选：C ．17．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是(0,1)，所以抛物线开口向上，且2p =，则抛物线的标准方程24x y =，故选：A ．18．【解答】解：焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是24x y =．故选：A ．19．【解答】解：椭圆22184x y +=的焦点为(2,0)-和(2,0)，可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，由题意可得2c =，即224a b +=，又ce a==，解得a =，b =，则双曲线的标准方程为22122x y -=．故答案是：22122x y -=．20．【解答】解：由题意，设方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则虚轴长为8，焦距为104b ∴=，3a ==∴双曲线的标准方程是221916y x -=故答案为：221916y x -=。

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。

综合题1．在ABC ∆中，已知32sin4cos 2B B +=，且B 为锐角．（1）求sin B ；（2）若(4(sin sin )B AC A C +=+ ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．2．已知集合{|||4}A x x a =-<，2{|3(1)2(31)0}B x x a x a =-+++<（其中)a R ∈．（1）若1a =，求A B ；（2）求使A B ⊆的a 的取值范围．3．数列{}n a 的前n 项和n S ，112a =，且120(2)n n n a S S n -+= ．（1）证明数列1{}nS 为等差数列；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）若2(1)n n b n a =-，(2,*)n n N ∈，求证：2334451212n n b b b b b b b b +++++⋯+<．4．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．5．设()f x lnx =，()()()g x f x af x =+'．（1）求函数()f x 的图象在点(,1)e 处的切线方程；（2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，求实数m 的取值范围，使得1()()g m g x m-<对任意0x >恒成立．6．已知(0,1)-是椭圆C 的一个顶点，焦点在x 轴上，其右焦点到直线y x =+3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1(1,)2P 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若P 为MN 中点，求直线l 方程．7．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC AA ==，BC =，点D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅲ）求二面角1A A B D --的余弦值．参考答案与试题解析1.【详解】（1）ABC ∆中，232sin 4cos 24(12sin )B B B +==-．解得1sin 4B =或1sin 2B =-；又B 为锐角，∴1sin 4B =；（2）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(4(sin sin )B AC A C =+ ，∴(4()b b a c =+ ，∴4a c +=+又ABC ∆ 的面积为152，∴111sin 2242ac B ac =⨯=，∴ac =；B 为锐角，cos B =由余弦定理得22222cos ()221b a c ac B a c ac ac =+-=+--⨯，解得1b =，ABC ∴∆的周长为5+．2.【详解】（1）由于1a =，则集合{||1|4}{|414}{|35}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<，2{|680}{|24}B x x x x x =-+<=<<，故{|24}A B x x =<< ；（2）由于集合{|||4}}{|44}{|44}A x x a x x a x a x a =-<==-<-<=-<<+，2{|3(1)2(31)0}{|[(31)](2)0}B x x a x a x x a x =-+++<=-+-<①当312a +>，即13a >时，(2,31)B a =+由于A B ⊆，则1342431a a a a ⎧>⎪⎪-⎨⎪++⎪⎩解得6a ；②当312a +<，即13a <时，(31,2)B a =+由于A B ⊆，则1343142a a a a ⎧<⎪⎪-+⎨⎪+⎪⎩解得52a -；③当312a +=，即13a =时，B =∅由于不满足A B ⊆，则13a ≠综上可知，使A B ⊆的a 的取值范围为5(,][62-∞- ，)+∞．3.【详解】（1）由120(2)n n n a S S n -+= ．得112n n n n S S S S ---=- ，(2)n ．∴1112n n S S --=，(2)n ，故数列1{}nS 为公差为2的等差数列．（2）由（1）知数列1{}n S 的首项为112a =，公差2d =，则数列122(1)2n n n S =+-=，即12n S n =，111122(1)2(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，2n ，则1,121,22(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪-⎩．（3）若2(1)n n b n a =-，(2,*)n n N ∈，则112(1)2(1)[]2(1)n n b n a n n n n =-=--=- ，2n ，则1211111212n n b b n n n n ++==-++++ ，则23344512111111111233412222n n b b b b b b b b n n n +++++⋯+=-+-+⋯+-=-<+++成立．4.【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为2887282C ⨯==，这2个产品都是次品的事件数为233C =．∴这2个产品都是次品的概率为328．（2）设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件1B 为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件2B 为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件3B 为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件1B 、事件2B 、事件3B 彼此互斥．251285()14C P B C ==，115322815()28C C P B C ==，233283()28C P B C ==，12(|)3P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，P ∴（A ）112233()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =++．5215534714328928912=⨯+⨯+⨯=．5.【详解】（1）()f x lnx =的导数为1()f x x '=，即有()f x 在点(,1)e 处的切线斜率为1k e=，则()f x 在点(,1)e 处的切线方程为11()y x e e-=-，即为0x ey -=；（2）()()()a g x f x af x lnx x=+'=+，221()(0)a x a g x x x x x -'=-=>，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上递增；当0a >时，0x a <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)a 上递减，x a >时，()0g x '>，()g x 在(,)a +∞上递增．综上可得，当0a 时，()g x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()g x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a ．（3）()f x lnx =，()()()g x f x af x =+'，即有()a g x lnx x=+，由1a =，1()g x lnx x =+，22111()x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x =，当()0g x '>，即1x >时，函数()g x 单调递增，当()0g x '<，即01x <<时，函数()g x 单调递减，即有()min g x g =（1）1=，由于1()()g m g x m -<，对任意0x >恒成立，则11()lnm g x m m+-<，0m >，即有()lnm g x <恒成立，即1lnm <，解得0m e <<，则实数m 的取值范围是(0,)e ．6.【详解】（1）由题知1b =，3d ==则c +=，则c =⋯．（2分）则222213a b c =+=+=，则椭圆飞标准方程为2213x y +=⋯．（5分）（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⋯（7分）两式作差得12121212()()()()03x x x x y y y y -++-+=所以1212203y y x x -+=-，即121223y y k x x -==--，⋯．（10分）则直线方程为12(1)23y x -=--，即4670x y +-=⋯．（12分）（其他方法可参考给分）7.【详解】()I 因AB AC =，D 为BC 中点，故AD BC ⊥（1分）．又因在直三棱柱111A B C ABC -中，1CC ⊥平面ABC ，故1AD CC ⊥（2分）．又1BC CC C = （3分），故AD ⊥平面11BCC B （4分）．用向量方法证明本题请对应给分．本题可分别以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，也可分别以DC ，DA ，11(AD D 为棱11B C 中点）为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．()II 如图，连接11A C AC E = ，连接DE ．因D 、E 分别是BC 、1A C 的中点，故DE 是△1A BC 的中位线（5分），故1//A B DE （6分）．因1A B ⊂/平面1ADC （7分），故1//A B 平面1ADC （8分）．用向量方法证明本题请如下给分：求出平面1ADC 的法向量（2分），因1A B ⊂/平面1ADC （7分），故1//A B 平面1ADC （8分）．()III 解法一：连接11B A BA O = ，分别取OB 、AB 中点H 、1O ，连接DH 、1DO ．因为四边形11ABB A 是正方形且1O ，H 分别是BA ，BO 中点，故1HO AB ⊥．又因1O ，H 分别是BA ，BC 中点且AB AC ⊥，故1O D AB ⊥，故1O HD ∠就是二面角1A A B D --的平面角（10分）．设2AB =，则在Rt △1HO D 中，190HO D ∠=︒且111121,222O D AC O H OA ====，故62HD =，故113cos 3O H O HD DH ∠==（12分）．解法二：设2AB AC ==，则BC =222AB AC BC +=，故AB AC ⊥（9分），又因三棱柱111A B C ABC -为直三棱柱，故AB ，AC ，1AA 两两垂直，故可建系如图．则平面1AA B 的法向量为1(0,1,0)n = （10分）．又11(2,0,2),(1,1,2)A B A D =-=- ，设平面1A BD 的法向量2(,,)n x y z = ，则020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．令1z =可得2(1,1,1)n = （11分）．设所求二面角为θ，由图可知θ为锐角，故1212||cos ||||n n n n θ== （12分）．。

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1．已知圆的一条直径的端点分别是(0,0)A ，(2,4)B ，则此圆的方程是()A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．22(1)(2)25x y -+-=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)25x y -+=2．已知圆C 的圆心在直线y x =-上，且过两点(2,0)A ，(0,4)B -，则圆C 的方程是()A ．22(3)(3)x y -++=B ．22(3)(3)x y ++-=C ．22(3)(3)10x y -++=D ．22(3)(3)10x y ++-=3．已知圆心为点(1,1)C -，并且在直线4320x y --=上截得的弦长为的圆的方程为()A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)4x y ++-=C ．22(1)(1)2x y -++=D ．22(1)(1)4x y -++=4．圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为()A ．22(3)(2)4x y +++=B ．22(4)(6)4x y ++-=C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．已知直线0x y a ++=与圆22(2)(3)2x y -++=相切，那么a 的值为()A ．3或1-B ．1±C ．3-或7-D ．5-±6．已知圆22(1)(2)9x y -++=的一条直径通过直线240x y +-=被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．250x y -+=D ．250x y ++=7．直线1y =+被圆224x y +=截得的弦长为()A B ．C D8．两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y ++--=的公共弦所在的直线方程为()A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=9．已知圆2221:(3)(4)(0)O x y r r ++-=>与圆222:1O x y +=外切，则实数(r =)A ．2B ．4C ．6D ．810．已知圆22241:()C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为，则圆1C 与圆222:2440C x y x y +--+=的位置关系是()A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离11．P 是圆22:(3)4M x y +-=上的动点，则P 到直线30l y --=的最短距离为()A ．5B ．3C ．2D ．112．已知点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则yx的最大值是()A BC ．12D 13．圆22(1)(2)8x y -++=上到直线30x y ++=的点的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．414．已知点(,)P x y 是曲线2sin (cos x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．5C ．36D ．2515．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线:(sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，则||PQ 的最小值是()A ．522B ．22C D ．322参考答案与试题解析1.【详解】解：根据题意，圆的一条直径的端点分别是(0,0)A ，(2,4)B ，则圆的圆心为AB 的中点，即圆心的坐标为(1,2)；圆的半径11||22r AB ===则要求圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=；故选：A ．2.【详解】解：由题意设圆的圆心坐标为(,)C a a -，可得||||AC BC =，即=，解得：3a =，即圆心坐标(3,3)-，半径r ==，所以圆的方程为：22(3)(3)10x y -++=．故选：C ．3.【详解】解：圆心C 到直线4320x y --=的距离1d =，又圆截直线4320x y --=所得的弦长为，∴圆的半径2r ==．则所求圆的方程为22(1)(1)4x y -++=．故选：D ．4.【详解】解：由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=，故选：C ．5.【详解】解：圆22(2)(3)2x y -++=其圆心为(2,3)-，半径为因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，=解得3a =或1-．故选：A ．6.【详解】解：由圆22(1)(2)9x y -++=的方程可得圆心坐标为(1,2)-，联立直线240x y +-=与圆22(1)(2)9x y -++=可得：2224(1)(2)9y x x y =-+⎧⎨-++=⎩，整理可得：2526280x x -+=，所以12265x x +=，1212122()85y y x x +=-++=-，所以弦的中点坐标为：13(5，6)5-，由题意可得该直径所在的方程为：6252(1)1315y x -++=--，整理可得：250x y --=．故选：B ．7.【详解】解：根据题意，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径2r =，则圆心到直线1y =+10y -+=的距离12d ==，则直线1y =+被圆224x y +=截得的弦长为2=故选：D ．8.【详解】解：根据题意，两圆的方程为222620x y x y +-++=、224240x y x y ++--=，则有222226204240x y x y x y x y ⎧+-++=⎨++--=⎩，变形可得3430x y --=；即两个圆的公共弦所在的直线方程3430x y --=故选：A ．9.【详解】解：结合题意12||15O O r =+==，解得：4r =，故选：B ．10.【详解】解：圆22241:()C x y a a +-=的圆心为21(0,)C a ，半径21r a =，0a ≠，由圆22241:()C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为，2=，解得a =可得圆1C 的圆心为(0,2)，半径为2，而圆222:2440C x y x y +--+=的圆心为(1,2)，半径为21r =，由1212||121C C r r ==-=-，可得两圆的位置关系为内切．故选：B ．11.【详解】解：如图，过M 作MA l ⊥于A ，当P 在线段MA 上时，||PA 为最短距离，由点到直线的距离公式，知||3MA =，||||21PA MA ∴=-=．故选：D ．12.【详解】解：如图，yx的几何意义为圆22(2)1x y -+=上的动点与原点连线的斜率，由图可知，当动点P 与A 重合时，OA 与圆相切，此时yx最大为OA 所在直线的斜率．由图可知，||3OA =，则1333OA k ==．故选：B ．13.【详解】解：由题意，圆心坐标为(1,2)-，半径为22， 圆心到直线30x y ++=的距离|123|22d -+==，∴圆22(1)(2)8x y -++=上到直线30x y ++=的距离等于2的点共有3个．故选：C ．14.【详解】解：曲线2sin (cos x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为普通方程为22(2)1x y -+=，该曲线是以(2,0)为圆心，1为半径的圆．所以圆心(2,0)到点(5,4)-的距离22(52)(4)5d =-+-=，所以点到圆上的最大距离为516+=，所以22(5)(4)x y -++的最大值为36．故选：C ．15.【详解】解：Q 是曲线3cos :(sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，设,sin )Q θθ，所以点Q 到直线l 的距离|2sin()4|3d πθ+-==当sin()13πθ+=时，min d ==故选：C ．。

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷1．已知函数()|2|||f x x x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x 的解集；（2）若不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．2．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2sin sin a C B =．（1）若b =120C =︒，求ABC ∆的面积S（2）若:2:3b c =，求3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14||(*)n n a a n N +=-∈．（Ⅰ）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ；（Ⅱ）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S ．4．从2018年起，某市中考考试科目将改为“3科必考3+科选考+体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，3科选考科目应在物理和生化两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科．已知甲、乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同．()I 求甲考生在选考科目中选考历史的概率；()II 如果甲、乙两名考生都选考了物理，求他们选考科目完全相同的概率．5．有7名“厦门金砖会议”志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓英语，1B ，2B 通晓俄语，1C ，2C 通晓葡萄牙语，从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组（1）求1A 被选中的概率（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．6．已知函数221()2f x x a lnx =-，a R ∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为6270x y +-=，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x =与x 轴有两个交点，求a 的取值范围．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B 在椭圆上，且△12BF F 为等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点2F 在以MN 为直径的圆外，求直线l 斜率k 的取值范围．8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，AB =，求1A 到平面11BCC B 的距离．参考答案与详解1.【详解】（1）把1a =代入()|2|||f x x x a =++-，可得21,2()|2||1|3,2121,1x x f x x x x x x ---⎧⎪=++-=-<<⎨⎪+⎩．当2x -时，()5f x 等价于215x --，解得3x -，则32x --；当21x -<<时，()5f x 等价于35，此式恒成立，则21x -<<；当1x 时，()5f x 等价于215x +，解得2x ，则12x ．综上，不等式()5f x 的解集为[3-，2]；（2）()|2||||2||||2||2|f x x x a x a x x a x a =++-=++-++-=+，∴不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立转化为|2|21a a +-恒成立，若210a -<，即12a <，则不等式|2|21a a +-成立；若210a -，即12a ，则2244441a a a a ++-+，即23830a a --，解得133a -，则132a ．综上，实数a 的取值范围是(-∞，3]．2.【详解】（1）由正弦定理知，sin sin c B b C =；由2sin sin a C B =，得2sin sin a C C =，故2a =，b =6a ∴=；又120C =︒，ABC ∆的面积11sin 61822S ab C ==⨯⨯，故ABC ∆的面积S 为18．（2）由2a =，:2:3b c =，∴3232a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3sin 23sin sin 2A B C B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin 2sin cos sin 222cos 3sin sin 3sin 2B A B A B A A B AC C B ---===-；2222223())522cos 32622b b b c a A bc b b +-+-===；22cos 13A ∴-=．故3sin 2sin 1sin AB C-=．3.【详解】（Ⅰ）10a >，2114||4a a a ∴=-=-，1132111,044||4|4|8,4a a a a a a a <⎧=-=--=⎨->⎩．1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2132a a a =，①104a <时，有2211(4)a a =-，得12a =；②14a >时，有2111(8)(4)a a a -=-，得14a =-)或14a =+．综①②可知，12a =或14a =+．当12a =时，22a =，32a =，42a =，得48S =；当14a =+时，2140a a =-<，3180a a =->，4314||4a a a =-=-，得48S =．故48S =；（Ⅱ）214||a a =-，3214||4|4|||a a a =-=--，∴由等差数列的定义得：2132a a a =+，即1112(4||)4|4|||a a a -=+--，当14a >时，可得10a =，矛盾；当104a <时，可得12a =，符合条件；当10a 时，公差2140d a a =-=>，∴必存在2m ，使得14(1)4m a a m =+->，这与14||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾．综上可知，只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=．2n a ∴=，则12a =，2n S n =．4.【详解】()I 甲若在历史、地理和思想品德三科中只选择1科历史，则他应在物理和生化两科中选择2科，概率为11133⨯=；甲若在历史、地理和思想品德三科中选择2科，其中一科为历史，则他应在物理和生化两科中选择1科，概率为111132212=，甲考生在选考科目中选考历史的概率为11531212+=．()II 如果甲、乙两名考生都选只选考了物理，则他们只需在生化、历史、地理和思想品德四科中同时选择相同的2科，概率为224411136C C =．5.【详解】（1）从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组，基本事件有12个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，2(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，2)C ，2(A ，2B ，1)C ，2(A ，2B ，2)C ，3(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，2)C ，3(A ，2B ，1)C ，3(A ，2B ，2)C ，用事件M 表示“1A 被选中”，则事件M 包含的基本事件有4个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，1A ∴被选中的概率41123p ==．（2）用N 表示事件“1B 和1C 不全被选中”，则N 表示事件“1B 和1C 全被选中”，则N 包含听基本事件有3个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，1)C ，∴由对立事件概率计算公式得1B 和1C 不全被选中的概率：33()1()1124P N P N =-=-=．6.【详解】由题意知函数的定义域为(0,)+∞，2()a f x x x'=-．（Ⅰ）因为函数在1x =处切线斜率为3-，所以当1x =时，f '（1）213a =-=-，解得2a =±．（Ⅱ）222()()()(0)a x a x a x a f x x x x x x-+-'=-==>，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，当x a =时，函数()f x 有最小值22211()()()22min f x f a a a lna a lna ==-=-，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以要使函数()f x 与x 轴有两个交点，只需()0min f x <，即21()02a lna -<，解得a >7.【详解】（1）由已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B在椭圆上，可得b =由△12BF F 为等边三角形可知2a =，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由已知可得直线l 的斜率存在为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(34)84120k x k x k +++-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且△0>恒成立，由点2F 在以MN 为直径的圆外，则290MF N ∠<︒且22,F M F N 不同向220F M F N ⇒>，则1(1x -，12)(1y x -，2)0y >1212(1)(1)0x x y y ⇒--+>1212(1)(1)(1)(1)0x x k x k x ⇒--+++>，整理可得2221212(1)(1)()10k x x k x x k ++-+++>，则22222224128(1)(1)103434k k k k k k k -+--++>++，整理可得229377977k k k >=>⇒>或377k <-．8.【详解】（1）证明：连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ，又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ．（2）解：2AC =，AB =，60ACB ∠=︒，2222cos 3AB AC BC AC BC ACB ∴=+-∠=，即23422cos60BC BC =+-⨯⨯⨯︒，1BC ∴=，222AC AB BC =+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B ⋂平面ABC AB =，BC ∴⊥平面11AA B B ，160A AB ∠=︒，1AB BB ==111BC B C ==，∴11111111sin 24A B B S A B BB A B B =∠=．∴11111133C A B B A B B V S BC -==⨯．设1A 到平面11BCC B 的距离为h ，1111122CBB SBC BB =⨯⨯=⨯⨯，11111333326A CBB CBB V S h -=⨯⨯=⨯=，1111A BCBC A B B V V --=，∴64h =，解得32h =，1A ∴到平面11BCC B 的距离为32．。

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．已知集合{|(1)}A x y ln x ==+，2{|40}B x x =-，则(A B =)A ．{|2}x x -B ．{|12}x x -<C ．{|12}x x -<<D ．{|2}x x 2．已知函数213()log (38)f x x ax =-+在[1-，)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，6]-B ．[11-，6]-C ．(11-，6]-D ．(11,)-+∞3．已知命题:21p x m <+，2:560q x x -+<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．12m >B ．12mC ．1m >D ．1m 4．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a =，266a a +=，对于*n N ∈，不等式1231111nM S S S S +++⋯+<恒成立，则整数M 的最小值是()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a =，b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．b a c>>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b c a>>6．点M 为圆22:20C x y +=上的任意一点，则点M 到直线8x =-与直线1y =-的距离之积的最大值为()A ．50B ．54C ．56D ．587．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为()A ．15B ．310C ．25D ．458．已知向量(3cos ,3sin )a θθ=，(0,3)b =-，(,)2πθπ∈，则向量a 、b 的夹角为()A ．32πθ-B ．2πθ-C ．2πθ+D ．θ9．若函数2,0()21,0x e x f x x x x ⎧=⎨-++<⎩（其中e 是自然对数的底数），且函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(0,)e C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(-∞，0)(e ⋃，)+∞二．填空题（共8小题）10．若正数a ，b 满足2483log 1log log ()a b a b +=+=+，则a =，b =．11．已知(1A ，0，2)，(1B ，3-，1)，点M 在Z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为．12．若(0,)2πα∈，且2cos 2)54παα=+，则tan α=．13．在三角形ABC 中，(1A ，2-，1)-，(0B ，3-，1)，(2C ，2-，1)，若向量n 与平面ABC垂直，且||n =，则n 的坐标为．14．912x-展开式中的常数项是．（用数字作答）15．2[147(32)]lim6752n a n n n →∞+++⋯+-=--，则a =．16．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC 的长为．参考答案与详解一．选择题（共9小题）1.【详解】{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，{|22}B x x =-，{|12}AB x x ∴=-<．故选：B ．2.【详解】213()log (38)f x x ax =-+在[1-，)+∞上是减函数，且外层函数13y log t =为减函数，则内层函数238t x ax =-+在[1-，)+∞上是增函数且恒大于0，∴2163(1)80aa ⎧-⎪⎨⎪⨯-++>⎩，解得116a -<-．∴实数a 的取值范围是(11-，6]-．故选：C ．3.【详解】命题:21p x m <+，2:560q x x -+<，即：23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2∴，3)(21m ⊆+，)+∞，213m ∴+，解得1m ．实数m 的取值范围为1m ．故选：D ．4.【详解】等差数列{}n a 满足266a a +=，176a a ∴+=，又175a a =，∴1715a a =⎧⎨=⎩，或1751a a =⎧⎨=⎩等差数列{}n a 是递增数列，11a ∴=，75a =．设公差为d ，则7165a a d =+=，23d ∴=．11(1)(21)3n a a n d n =+-=+．∴1(2)()23n n n n n s a a +=+=．1311()22n s n n =-+．故12311113311()2212n S S S S n n +++⋯+=--++，令11()12f n n n =+++11(1)()031f n f n n n +-=-<++．∴函数()f n 在n N +∈单调递减，∴33119()[1,22124n n --∈++．∴对于*n N ∈，不等式1231111n M S S S S +++⋯+<恒成立时，94M，则整数M 的最小值是3．故选：C ．5.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，3a =>，12b <=<，21log 32c <=<，设2log b ==，2log 3c =，由于函数2log m t =为增函数，由于y =4，所以a b c >>．故选：C ．6.【详解】设(,)M x y ，则点M 到直线8x =-与直线1y =-的距离之积为|8||1|x y ++，由题意，只需求(8)(1)88x y xy y x ++=+++的最大值．2214xy x y +，2816y y +，2114x x +，三式相加得：2258()17424xy y x x y ++++=，当且仅当12x y =，4y =，112x =，同时成立，即2x =，4y =时，(8)(1)x y ++的最大值为50．故选：A ．7.【详解】他在9:10~10:00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在9:10~9:20之间随机到达教室，区间长度为10，∴他在9:10~10:00之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是101505=，故选：A ．8.【详解】(3cos ,3sin )a θθ=，(0,3)b =-，||3a ∴=，||3b =，3cos 03sin (3)9sin a b θθθ=⨯+⨯-=-，设向量a 与b 夹角为α，则3cos sin cos()2||||a b a b παθθ==-=-，又(2πθ∈，)π，3(22ππθ-∈，)π，且[0α∈，]π，32παθ∴=-，故选：A ．9.【详解】由|()|0y f x mx =-=得|()|f x mx =，当0x =时，|(0)|0f =，即10=不成立，0x ∴≠，即|()|f x m x=，当0x >时，x e m x =，设()x e g x x =，则22(1)()x x x e x e e x g x x x --'==，由()0g x '>得1x >，由()0g x '<得01x <<，即当1x =时，函数()g x 取得极小值，极小值为g （1）e =，当0x <时，22|()||21||(1)2|f x x x x m x x x -++--===，则当1x =-时，2|(1)2|0x x --=，则函数22|(1)2||21|x x x y x x----==2221211||||2|x x x x x x x x----=-=-=----，设1()2h x x x=--在0x <时为增函数，且当1x <-时，()0h x <，且为增函数，|()|h x 为减函数，|()|h x -为增函数，且1|()||2|0h x x x-=---<，当1x >时，()0h x >，且为增函数，|()|h x 为增函数，|()|h x -为减函数，且1|()||2|0h x x x-=---<，作出函数|()|f x y x=的图象如图：要使|()|f x m x=有两个不同的根，则m e >或0m <，即实数m 的取值范围是(-∞，0)(e ⋃，)+∞，故选：D ．二．填空题（共8小题）10.【详解】正数a ，b 满足2483log 1log log ()a b a b +=+=+，222(4)()log (8)23log b log a b a +∴==，8a ∴==，解得116a b ==．故答案为：116，116．11.【详解】设(0M ，0，)z ，=，解得3z =-．M ∴点坐标为(0，0，3)-．故答案为：(0，0，3)-．12.【详解】(0,)2πα∈，且cos 2)54παα=+，1cos 2cos )cos )5ααααα∴=+=+，221cos sin (cos sin )(sin cos )(sin cos )5αααααααα∴-=-+=+，1cos sin 5αα∴-=①，可得：cos sin αα>，即tan 1α<，∴①式两边平方可得：112sin cos 25αα-=，解得：242sin cos 25αα=，∴2222sin cos 2tan 24125sin cos tan αααααα==++，可得：212tan 25tan 120αα-+=，∴解得：3tan 4α=，或43（大于1，舍去）．故答案为：34．13.【详解】设平面ABC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则0m AB =，且0m AC =，(1AB =-，1-，2)，(1AC =，0，2)，∴2020x y z x z --+=⎧⎨+=⎩，即24x zy z =-⎧⎨=⎩，令1z =，则2x =-，4y =，即(2m =-，4，1)，若向量n 与平面ABC 垂直，∴向量//n m ，设(2n m λλ==-，4λ，)λ，||n =，∴||λ=，即||1λ=，解得1λ=±，∴n 的坐标为(2，4-，1)-或(2-，4，1)，故答案为：(2，4-，1)-或(2-，4，1)14.【详解】91)2x展开式中的通项公式：939219911()()22r r rr r rr T xx --+=-=-痧．令9302r -=，解得3r =．∴常数项339121(22=-=-ð．故答案为：212-．15.【详解】2[147(32)]lim6752n a n n n →∞+++⋯+-=--，∴2[(132)]2lim 6752n na n n n →∞+-=--，22322lim 6752n a an n n n →∞-=--，∴3267a=，解得28a =．故答案为：28．16.【详解】由于2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，则当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(-∞，0]为减区间，即有0a ，则有21a x a x++，0x >恒成立，由12x x +=，当且仅当1x =取最小值2，则22a a +，解得12a -．综上，a 的取值范围为[0，2]．故答案为：[0，2]．17.【详解】由题意，如图，作1A O ⊥底面于O ，作OE 垂直AB 于E ，OF 垂直AD 于F ，连接1A F ，1A E ，由于，1160BAA DAA ∠=∠=︒，故有△1A FA ≅△1A EA ，即11A F A E=从而有△1A FO ≅△1A EO ，即有OF OE =，由作图知，O 在角DAB 的角平分线上，又底面是矩形，故角DAO =角45BAO =︒，又1AB =，2AD =，13AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，11A F A E ∴==，32AE AF ==，于是有322AO =，在直角三角形1A OA 中，解得1322A O =在图中作1C H 垂直底面于H ，作HR 垂直DC 延长线与R ，由几何体的性质知，32HR CR ==，112A O C H ==连接AH ，得如图的直角三角形ASH ，直角三角形1AHC ，由已知及上求解得52AS =，72SH =22222211125491892234444AC AH C H AS SH C H ∴=+=++=++==1AC ∴=。

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一．选择题（共9小题）1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=，则34567(a a a a a ++++=)A ．10B ．16C ．20D ．242．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()(a a +=)A ．12-B ．32C ．12D ．323．已知数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，则公比q 等于()A ．12B ．1-C ．2-D ．24．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于()A ．3-B ．3C ．4-D ．45．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则95(S S =)A ．95B ．59C ．53D ．2756．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26312a a +=-，1020S =，则n S 取最小值时，n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．57．在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9(S =)A ．18B ．27C ．36D ．458．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于()A ．66B ．132C ．66-D ．132-9．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是()A ．5B ．7C ．9D ．3二．详解题（共3小题）10.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足*1121(2,)n n n S S S n n N +-+=+∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n s ，并求当n 取何值时n S 有最小值．12．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．C【详解】解：等差数列{}n a 中，468a a +=，可得3746528a a a a a +=+==，可得54a =，则则3456788420a a a a a ++++=++=．故选：C ．2．A【详解】解：{}n a 为等差数列，192852a a a a a ∴+=+=，1598a a a π++= ，583a π∴=，28163a a π+=，28161cos()cos32a a π∴+==-．故选：A ．3．B【详解】解： 数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，513242a a a ∴=-，422(4)442(4)q q ∴=⨯-，解得1q =（舍)或1q =-．故选：B ．4．B【详解】解：5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，5a ∴、7a 是方程2430x x -+=的两个根，573a a ∴= ，由等比数列的性质可得：39573a a a a == ．故选：B ．5．D【详解】解：依题意，19951553992552a a S a a a S a +⨯==+⨯，又533a a =，∴95927355S S =⨯=，故选：D ．6．C【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由26312a a +=-，1020S =，得11481210910202a d da +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩．72(1)29n a n n ∴=-+-=-．由290n a n =-，得92n．∴数列{}n a 自第5项起大于0，则n S 取最小值时，n 的值为4．故选：C ．7．D【详解】解：由等差数列的性质可得：3575153a a a a ++==，解得55a =．则该数列的前9项和1959()9452a a a +===．故选：D ．8．D【详解】解：在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，3924a a ∴+=-，∴数列{}n a 的前11项和为：1111139111111()()(24)132222S a a a a =+=+=⨯-=-．故选：D ．9．A【详解】解： 等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，34567896735a a a a a a a a ∴++++++==，65a ∴=，故选：A ．三．详解题（共3小题）10.【解答】解：（1）由已知，11()()1(2n n n n S S S S n +----=，*)n N ∈，即*11(2,)n n a a n n N +-=∈，且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．1n a n ∴=+（2）由（Ⅰ）知3(1)3n n n n b a n ==+ ，它的前n 项和为22333(1)3n n T n =++⋯++ ，（1）23132333(1)3n n T n +=++⋯++ ，（2）12341(1)(2):2233333(1)3n n n T n +--=++++⋯+-+ 13(13)333(1)3(331322n n n n n +-=+-+=--+- ，∴333(3244n n T n =+- ．11．【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，得17a =-，2d =．{}n a ∴的通项公式为29n a n =-．（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．12．【详解】解：（1） 各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．∴61211156()(3)0a a d a d a a d d =+=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩，解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）2222n a n n b n n =+=+ ，∴数列{}n b 的前n 项和：23(2222)2(123)n n S n =+++⋯+++++⋯+2(12)(1)2122n n n -+=+⨯-1222n n n +=-++．。