不等式的概念与性质独立作业

每日轻松做一第11章一元一次不等式（组）应用题提优精练（12）姓名班别完成情况四.不等式的应用问题:1．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条2ba元的价格把鱼全部卖给了乙，请问甲会赚钱还是赔钱？并说明原因．2.2008年5月12日，汶川发生了里氏8.0级地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多300元；信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元．请根据以上信息，帮助老师解决：(1)二班与三班的捐款金额各是多少元?(2)一班的学生人数是多少?3.商场出售的A型冰箱每台2190元，每日耗电量为1度。

而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度。

现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？4．（2011 山东东营）如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.（1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由.5. 光华农机租赁公司有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。

现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 区，20台派往B 地区。

不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质：a. 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。

b. 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。

c. 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及运用。

2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。

2. 利用例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。

3. 小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔2. 例题及练习题3. 学生分组合作的材料教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学的相关知识。

2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不等式的基本性质，引导学生发现规律。

2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师点评答案，解答学生疑问。

四、小组讨论（10分钟）1. 教师给出讨论题目，让学生分组合作解决问题。

2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。

五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结不等式的基本性质及运用。

2. 教师补充讲解，强调重点知识点。

六、课后作业（课后自主完成）1. 巩固不等式的基本性质，提高解题能力。

2. 结合生活实际，解决相关问题。

六、教学拓展（10分钟）1. 引导学生思考：不等式性质在实际生活中的应用。

2. 举例说明：如购物时比较价格、比赛成绩排名等。

七、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些巩固不等式性质的习题。

2. 教师点评答案，解答学生疑问。

八、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题，让学生分组讨论、回答。

《一元二次不等式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一元二次不等式基本概念的理解，掌握一元二次不等式的解法，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过作业练习，提高学生的数学思维能力和解题技巧。

二、作业内容1. 基础练习（1）一元二次不等式的定义与形式识别。

（2）一元二次不等式的解集表示方法。

（3）一元二次不等式与等式的关系及转换。

2. 技能提升（1）掌握一元二次不等式的求解步骤及常见解法。

（2）理解一元二次不等式在实际问题中的应用，如求最值问题等。

3. 综合运用（1）通过实际问题，将一元二次不等式应用于实际情境中，如工程、经济等领域。

（2）结合其他数学知识，如函数、图像等，综合解决复杂问题。

三、作业要求1. 认真审题，准确理解题目要求，按照题目给出的条件和要求进行解答。

2. 书写规范，解题步骤清晰，答案准确无误。

3. 独立思考，遇到问题时先尝试自己解决，如无法解决可查阅相关资料或向老师请教。

4. 按时完成作业，不得抄袭他人作业或提供给他人抄袭。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况、解题步骤、答案准确性等方面进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业时，采用百分制评分法，对每个学生的作业进行评分，并给出详细的批改意见和建议。

3. 反馈方式：教师将批改后的作业发回给学生，并针对学生在作业中出现的问题进行讲解和指导，帮助学生更好地掌握一元二次不等式的知识和技能。

五、作业反馈1. 学生应根据教师的批改意见，认真检查自己的作业，找出错误并加以改正。

2. 学生应积极向老师请教自己在作业中遇到的问题，及时解决自己的疑惑。

3. 教师应对学生的作业情况进行总结，针对学生在作业中普遍出现的问题进行重点讲解和指导，帮助学生更好地掌握一元二次不等式的知识和技能。

4. 教师可根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。

通过此作业设计，旨在通过不同层次的练习，使学生能够全面、系统地掌握一元二次不等式的基本概念、解法及应用。

不等式的概念和基本性质：
概念：不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。

基本性质：
如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x±z>y±z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;
如果x>y，z>0，那么x*(/)z>y*(/)z ,即不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;
如果x>y，z<0，那么x*(/)z<y*(/)z, 即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;
如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。

不等式·含绝对值符号的不等式证明·教案一、教学目标：1. 让学生掌握含绝对值符号的不等式的基本性质和证明方法。

2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容：1. 绝对值符号的基本性质2. 含绝对值符号的不等式的证明方法3. 实际应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：含绝对值符号的不等式的证明方法。

2. 教学难点：绝对值符号在不等式中的运用。

四、教学方法：1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示概念和证明过程。

3. 引导学生主动探究、合作交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习绝对值符号的基本性质，引导学生思考如何证明含绝对值符号的不等式。

2. 讲解与示范：讲解含绝对值符号的不等式的证明方法，示例演示。

3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，分组讨论解题思路和方法。

4. 应用拓展：结合实际例子，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 总结与反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，布置作业。

六、课后作业：1. 巩固所学知识，完成课后练习题。

2. 搜集含有绝对值符号的实际问题，尝试运用所学知识解决。

3. 预习下一节课内容，准备参与课堂讨论。

七、教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问和互动情况。

2. 学生作业完成情况：检查课后作业的完成质量和解题思路。

3. 学生实际应用能力：评估学生在解决实际问题中的表现。

4. 学生反馈：收集学生的学习心得和建议，不断优化教学方法。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握含绝对值符号的不等式证明。

利用图形和案例来直观展示绝对值符号的作用和影响。

提供多样化的练习题，涵盖不同类型的证明题目，以巩固学生的理解和应用能力。

鼓励学生之间进行讨论和合作，通过小组活动来促进知识的交流和深化理解。

《一元二次不等式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一元二次不等式基本概念的理解，掌握一元二次不等式的解法，以及能运用一元二次不等式解决实际问题。

通过本次作业，学生应能独立解决简单的一元二次不等式问题，并具备初步的数学逻辑思维和问题解决能力。

二、作业内容（一）基本概念练习1. 回顾一元二次不等式的定义及常见形式。

2. 掌握一元二次不等式的解集与图像关系。

（二）解法技巧训练1. 熟练运用因式分解法、公式法等解一元二次不等式。

2. 学会根据不等式的特点选择合适的解法。

（三）实际问题应用1. 结合实际生活，设置一元二次不等式应用题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、作业要求1. 独立完成：本作业需学生独立完成，不得抄袭他人答案。

2. 规范书写：解题过程需规范，步骤完整，答案准确。

3. 及时提交：学生需在规定时间内提交作业，并保持作业整洁。

4. 反思总结：学生需在完成作业后进行反思总结，找出自己的不足并加以改进。

四、作业评价1. 教师评价：教师将对每份作业进行批改，给出详细的评分及评语。

2. 同伴互评：鼓励学生之间互相评价作业，学习彼此的优点，改正不足。

3. 自我评价：学生需对自己的作业进行自我评价，总结学习成果和经验。

五、作业反馈1. 个性化反馈：教师根据学生作业情况，进行个性化反馈，指出学生的优点和不足。

2. 课堂讲解：选取典型作业进行课堂讲解，让学生了解自己的解题思路是否正确。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题经验和技巧，互相帮助提高。

4. 家长沟通：教师将学生的作业情况及时与家长沟通，让家长了解孩子的学习情况，共同促进孩子的学习进步。

六、附加资源为帮助学生更好地完成本次作业，教师可提供以下附加资源：1. 一元二次不等式相关视频讲解，帮助学生复习巩固知识点。

2. 一元二次不等式练习题及答案解析，供学生自主练习和参考。

3. 数学学习方法指导资料，帮助学生提高学习效率和解题能力。

_
.
的 图 象 如 图 ， 则 满 足 1 的 x 的 取 值 范 围
17 . 已 知 函 数 y f ( x )
2x x 1
2
(
) 6.若角 α ，β 满足－ ＜α ＜β ＜ ，则 2α －β 的取值范围是
2 2
π
π
f(
x 2x 1
2
) f (lg ( x 6 x 2 0 )) 0
8 2 3
( x1 x 2 )
x1 x 2 x1 1
2
a 2 x2 1
①当 a 1 时，

x1 x 2 x1 1
2
x2 1
2
1 ，
x1 x 2 x1 1
2
a 0。 x2 1
2
又 x1 x 2 0 ， f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x 2 ) 。
2 x 1 . 故 x 的取值范围为 x [ 2， ． 1)
当 x 1 时， log 2 x 0 ， log x 2 0 ， 18.解析： （1） f ( x ) 1 ，即 x 2 1 1 ax ，因此 1 1 ax ，即 ax 0 。

y log 2 x log x 2 1 2 log 2 x log x 2 1 3 。
参考答案:
1.解析：选 D。 2.解析：选 C。 3.解析：函数 y log 2 x log x 2 1 当 0 x 1 时， log 2 x 0 ， log x 2 0 ，

13.答案 5 14.答案 ①③④ 15.解析：当 k 0 时，对于任意 x R 不等式均成立； 当 k 0 时， 0 ，即 36 k 2 4 k ( k 8) 0 ，即 0 k 1 对 x R 均成立。

不等式的基本性质一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质解有关不等式。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现不等式的基本性质。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的性质。

2. 教学难点：不等式性质的应用。

三、教学准备1. 教师准备：教案、PPT、黑板、粉笔。

2. 学生准备：课本、练习本、文具。

四、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾一元一次不等式的解法。

1.2 提问：同学们，你们知道不等式有什么性质吗？今天我们就来学习不等式的基本性质。

2. 探究不等式的性质2.1 展示不等式实例，引导学生观察、分析。

2.2 引导学生发现不等式的性质，并总结出不等式的基本性质。

3. 例题讲解3.1 出示例题，讲解例题的解法，引导学生运用不等式的性质解决问题。

3.2 学生自主练习，教师巡回指导。

4. 课堂练习4.1 出示练习题，学生独立完成，教师批改并讲解。

4.2 学生总结练习中的经验教训。

五、课后作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。

2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。

六、教学拓展1. 引导学生思考：不等式的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明不等式性质在生活中的应用，如购物、分配等。

3. 引导学生进行不等式性质的综合应用，提高解决问题的能力。

七、巩固练习1. 出示巩固练习题，学生独立完成。

2. 教师批改并讲解，学生总结解题思路和方法。

八、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结不等式的基本性质。

2. 学生分享学习收获和感受。

九、课后反思1. 教师反思本节课的教学效果，找出不足之处，为下一节课做好准备。

2. 学生反思自己的学习过程，找出优点和不足，制定改进措施。

十、布置作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。

2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。

《不等式的基本性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作和理论学习相结合的方式，使学生掌握不等式的基本性质，理解不等式的概念，并能运用不等式的基本性质解决实际问题。

同时，通过作业的完成，提高学生的数学思维能力和解题能力。

二、作业内容1. 复习巩固：学生需复习之前学过的等式的基本性质，为学习不等式的基本性质做好铺垫。

2. 理论学习：学生需认真阅读教材，掌握不等式的基本性质，包括：对称性、可加性、可乘性、正反性等。

3. 练习题：（1）基础练习：包括填空题、选择题等形式，主要涉及不等式的基本性质和简单的不等式运算。

（2）应用练习：通过实际问题，让学生运用所学的不等式基本性质解决问题，如“在某次比赛中，甲、乙两队的得分满足某不等式关系，求甲队至少需要多少分才能确保总分高于乙队”等。

4. 拓展延伸：学生可自行寻找一些与不等式有关的问题进行探究，如“不等式的解集与等式的解集有何不同”、“如何利用不等式解决生活中的实际问题”等。

三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，掌握不等式的基本性质。

2. 完成练习题时，要认真审题，理解题意，按照题目要求进行解答。

3. 在应用练习中，学生需运用所学的不等式基本性质解决实际问题，注意问题的实际背景和解题的逻辑性。

4. 拓展延伸部分，学生需积极寻找问题并进行探究，记录下自己的思考过程和答案。

四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，对学生的学习情况进行评估。

2. 针对学生的练习题和拓展延伸部分的表现，给予适当的鼓励和建议。

3. 对于学生的错误，教师应及时指出并引导学生进行改正。

五、作业反馈1. 教师对学生的作业进行批改，并及时给予反馈。

2. 对于普遍存在的问题，教师可在课堂上进行讲解和答疑。

3. 对于表现优秀的学生，可在课堂上进行表扬和分享经验。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对不等式基本性质的理解和掌握。

2. 培养学生运用不等式性质解决实际问题的能力。

【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】【课题】2．2区间【教学目标】知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】讲解}4xx<|24}过 程行为 行为 意图 间表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)． 强调 细节领会各区 间的 规范 书写10*巩固知识 典型例题例1 已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：AB ，A B ．解 两个集合的数轴表示如下图所示,(1,5]A B =-， [0,4)A B =．质疑 分析 讲解 思考 理解 复习 相关 集合 运算 知识 15*运用知识 强化练习 教材练习2.2.11.已知集合(2,6)A =，集合()1,7B =-，求A B ，A B ．2.已知集合[3,4]A =-，集合[1,6]B =，求A B ，A B ．3. 已知集合(1,2]A =-，集合[0,3)B =，求A B ，A B ．巡视辅导思考 解题 交流 反馈 学习 效果20 *动脑思考 明确新知 问题集合{|2}x x >可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决集合{|2}x x >表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)+∞表示．其中符号“+∞”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合{|2}x x <表示的区间为开区间，用符号(,2)-∞表示（“-∞”读作“负无穷大”）． 集合{|2}x x表示的区间为右半开区间，用记号[2,)+∞表 质疑 讲解 说明 强调 细节思考 领会 记忆 理解学习 各种 区间过 程行为 行为 意图 间示；集合{|2}x x表示的区间为左半开区间，用记号(,2]-∞表示；实数集R 可以表示为开区间，用记号(,)-∞+∞表示． 注意“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数．明确25*巩固知识 典型例题例 2 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=．例3 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞， （1）求A ，B ；（2）求AB ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞； (2) (0,2]AB =．质疑 说明 讲解 启发 强调观察 思考 领会 主动 求解通过 例题 巩固 区间 的概 念 注意 规范 书写30 *理论升华 整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a 、b 为任意实数，且a b <）． 区间(,)a b[,]a b (,]a b 集合 {|}x a x b << {|}x a x b ≤≤ {|}x a x b <≤ 区间[,)a b(,)b -∞ (,]b -∞ 集合 {|}x a x b <≤ {|}x x b < {|}x x b ≤ 区间(,)a +∞[,)a +∞ (,)-∞+∞集合 {|}x x a >{|}x x a ≥R引导分析思考 互动 总结小组 讨论 教师 归纳35B，A B.(0,3)，求A，B，B A．巡视指导*归纳小结强化思想（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷ 讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题 2.3 一元二次不等式 *回顾思考 复习导入 问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？ 解决观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <． 归纳一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；介绍 提出 问题 引领 分析 讲解了解 思考 观察 领悟 理解复习 相关 知识 内容 强化 知识 点的 内在 联系 突出 数形 结合()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存过 程行为 行为 意图 间内的值，使得260y x x =--<．30 *动脑思考 探索新知 解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<．（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞；（1） （2） （3）（2）当240b ac ∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)(,)x x -∞+∞．（3）当240b ac ∆=-<时，方程20ax bx c ++=没有实数解，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ． 归纳 总结讲解分析强调 讲解思考 观察 理解 领会 记忆引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程 强化 图像 作用 熟练 数形 结合 应用40*理论升华 整体建构2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]12,x }0x224b ac x =-． 典型例题解下列各一元二次不等式：26x x --0．首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．26x --=0的解(3,)+∞．）29x <可化为290-=的解集为）253x x -两边同乘1-，得30．由于判别式0的解集为0的解集为是什么实数时，有意义． 题意需要20-．解0=得1x =．由于二次项系数为30>以不等式的解集为[)1,⎛-∞+∞．[)1,+∞时，32有意义． 解下列各一元二次不等式：0．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 【课题】2.4含绝对值的不等式【教学目标】知识目标：（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：（1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．【教学重点】（1）不等式x a <或x a >的解法 ．（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．【教学难点】利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间不等式2x <和2x >的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示）；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）．引导分析观察 领会习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析10 *动脑思考 明确新知一般地，不等式x a <（0a >）的解集是(),a a -；不等式x a >（0a >）的解集是()(),,a a -∞-+∞．试一试：写出不等式x a 与x a （0a >）的解集．总结 强化理解 记忆强调 特点15*巩固知识 典型例题 例１ 解下列各不等式： （1）310x ->； （2）26x．分析：将不等式化成x a <或x a >的形式后求解．解 （1）由不等式310x ->，得13x >，所以原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由不等式26x ，得3x ，所以原不等式的解集为[]3,3-．分析讲解强调 细节思考 主动 求解进一 步巩 固知 识点20*运用知识 强化练习 教材练习2.4.1 解下列各不等式：巡视解题反馈 学习（2）（1）8；（2）实际操作 探索新知如何通过x a <等式2x +3．3213x --， 224x -， 12x-，所以原不等式的解集为 []1,2-． 7>．257x +>，整理，得6- 或 1x >，()1,+∞．11；4212．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？。

浙江省杭州市萧山城区六校2023-2024学年七年级上学期12月独立作业数学试题第Ⅰ卷10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四1．杭州第19届亚运会开幕式现场直播及相关报道，中央广播电视总台全媒体多平台的跨媒体总阅读播放量达到5.03亿次，503000000用科学记数法表示为（）A．5.03×109B．5.03×108C．0.503×109D．50.3×1072．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作（）A．+10分B．0分C．－10分D．－20分3．64的平方根是（）A．4B．±4C．8D．±84．已知−25a2m b和7a4b3−n是同类项，则3m−2n的值是（）A．6B．4C．3D．25．如图，下列说法错误的是（）A．直线AC还可以表示为直线CA或直线mB．射线AC与射线CA不是同一条射线C．点B在直线m上D．图中有直线1条，射线4条，线段1条6．下列变形中正确的是（）A．若x=y，则x+a=y−a B．若xm=ym，则x=yC．若x+12−3=x3，则x+1−3=2x D．若x=y，则xm=ym7．下列说法正确的是（）A．1x+1是多项式B．3x+y3是单项式C．−mn5是五次单项式D．−x2y−2x3y是四次多项式8．《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数几何？”大意为：若干人共同出资购买某物品，若每人出八钱，则多了三钱；若每人出七钱，则少了四钱，问共有几人？设人数共有x人，则可列方程为（）A．8x−3=7x+4B．8x+3=7x−4C．8x+4=7x−3D．8x−4=7x+3 9．下列说法正确的是（）①若x=1是关于x的方程a+bx+c=0的一个解，则a+b+c=0；②在等式3x=3a−b 两边都除以3，可得x=a−b；③若b=2a，则关于x的方程ax+b=0 (a≠0)的解为x=−12；④在等式a=b两边都除以x2+1，可得ax2+1=bx2+1．A．①③B．②④C．①④D．②③10．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式|a+1|a+1−|a|a+b−a|a−b|−1−b|b−1|的值是（）A．﹣1B．0C．1D．26个小题，每小题4分，共24分．11．−π的相反数是，绝对值是．12．萧山区2023年中考考生人数四舍五入取近似值后约有1.3万人，那么这个数值是精确到位．13．若x=1是关于x的方程a−x2=12−a+2x的解，则a=．14．观察下列算式：①32−12=8，②52−32=16，③72−52=24，④92−72=32，…，请用你发现的规律将第n个式子表示出来：．15．七年级某班同学，每人都会游泳或滑冰，其中会游泳的人数比会滑冰的人数多10人，两种都会的有5人，设只会滑冰的有a人，则该班同学共有（用含a的代数式表示）人．16．已知M是满足不等式−√2<a<√7的所有整数的和，N是√52的整数部分，则M+N的平方根为．8小题，共66分．解答应写出文字说明或推演步骤．17．计算：（1）(−15)−(−23)+(−17)+5；（2）−23+13×[−9+(−3)2]．18．解方程：（1）2(x −1)=2−5(x +2) （2）5x+12−7x+24=119．化简：（1）5a −(2a −4b)； （2）2x 2+3(2x −x 2)．20．如图，已知线段AB ，点C 在AB 上，点P 在AB 外．（1）根据要求画出图形：画直线P A ，画射线PB ，连接PC ； （2）写出图中的所有线段．21．求值：（1）已知 5x −2y =3 ，求 15x −6y −8 的值.（2）已知 a −b =5，−ab =3 ，求 (7a +4b +ab)−6(56b +a −ab) 的值.22．为抗击新冠肺炎疫情，某药店对消毒液和口罩开展优惠活动.已知消毒液每瓶定价比口罩每包定价多5元，按照定价售出4包口置和3瓶消毒液共需要43元. （1）求一包口罩和一瓶消毒液定价各多少元？ （2）优惠方案有以下两种：方案一：以定价购买时，买一瓶消毒液送一包口罩；方案二：消毒液和口罩都按定价的九折付款. 现某客户要到该药店购买消毒液20瓶，口罩x 包（x>20）.①若客户购买150包口罩时，请通过计算说明哪种方案购买较为省钱？ ②求当客户购买多少包口罩时，两种方案的购买总费用一样.23．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．（1）问题发现：若大正方形的面积为32cm 2，则小正方形的面积是 cm 2，边长为cm；（2）拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．24．已知数轴上点A表示的数为−5，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为8个单位长度，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x．（1）写出点B所表示的数为．（2）①若点P到点A，点B的距离相等，则点P所表示的数为．②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．（3）点A以1个单位长度/秒向右运动，点B以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时点P以5个单位长度/秒从原点向左运动，当点P遇到点A时，立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时点P所经过的总路程，并直接写出此时点P在数轴上表示的数．答案解析部分1．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：503000000=5.03×108故答案为：B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.2．【答案】C【知识点】用正数、负数表示相反意义的量【解析】【解答】解：以80分为基准，70-80=-10，故答案为：C．【分析】根据正负数的意义、相反意义的量及表示方法求解即可。

2024—2025学年湖北省华中师范大学第一附属中学高一上学期独立作业1数学试卷一、单选题(★★) 1. 对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（）A．集合B的任何一个元素都属于A B．集合B的任何一个元素都不属于AC．集合B中至少有一个元素属于A D．集合B中至少有一个元素不属于A(★★★) 2. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．(★★★) 3. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 5. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三人去过同一个城市，下面判断错误的是（）A．乙去过城市B．乙去过城市C．甲去过城市D．甲去过城市(★★) 6. 若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（）A．B．C．D．若，则整数，属同一类(★★★) 8. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 下列关于集合运算的结论，正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 已知，，且，则（）A．的最小值是16B．的最小值为128C．的最小值为10D．的最小值为三、填空题(★★) 12. 设，，，则，，，的大小顺序是________ ．(★★★) 13. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 _____ .(★★★★) 14. 已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 _________ ；四、解答题(★★) 15. 已知全集，集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.(★★) 16. （1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）解关于的不等式.(★★★) 17. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.将正方形沿折叠，使点与线段上的点重合（不在端点，处），折叠后与交于点.设，(1)将表示成的函数.(2)求的面积的最大值.(★★★★) 18. 已知，且．(1)求证：；(2)求的最大值．(★★★★) 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；②，若，则；③，若，则．(1)当时，判断是否为U的子集，说明理由；(2)当时，若A为U的子集，求证：；(3)当时，若A为U的子集，求集合A．。

湘教版数学八年级上册4.2《不等式的基本性质1》教学设计一. 教材分析《不等式的基本性质1》是湘教版数学八年级上册4.2节的内容。

这部分教材主要介绍了不等式的性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变。

这部分内容是学习不等式的重要基础，对于学生理解和掌握不等式的解法具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习这部分内容前，已经学习了有理数的加减乘除运算，对于基本的数学运算有一定的掌握。

但是，对于不等式的性质的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生可能对于不等式的两边同时乘除同一个负数时不等号方向改变这一性质存在理解上的困难。

三. 教学目标1.理解不等式的基本性质。

2.能够运用不等式的基本性质进行简单的数学运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：不等式的基本性质。

2.教学难点：不等式的两边同时乘除同一个负数时不等号方向改变。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索不等式的性质，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，运用实例讲解法，通过具体的例子来解释和展示不等式的性质，帮助学生理解和掌握。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.教学实例。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入不等式的概念，例如：“某班有男生和女生共50人，男生人数是女生的2倍，求男生和女生各有多少人？”让学生思考并解答这个问题，引导学生认识到不等式在实际问题中的应用。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件呈现不等式的基本性质，包括：（1）不等式的两边同时加减同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给出一些不等式，让学生运用不等式的性质进行计算，并判断计算结果是否正确。

高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。

高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

湘教版数学八年级上册《4.2 不等式的基本性质》教学设计2一. 教材分析《4.2 不等式的基本性质》是湘教版数学八年级上册的教学内容。

本节内容主要让学生了解和掌握不等式的基本性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

这些性质为解不等式提供了基本的方法和依据。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了有理数的概念、加减乘除运算等基础知识，对数学运算有一定的掌握。

但他们对不等式的认识还比较模糊，对本节内容的不等式基本性质的理解还需要引导和培养。

三. 教学目标1.理解不等式的基本性质，并能运用其解不等式。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：不等式的基本性质及运用。

2.教学难点：对不等式基本性质的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、讨论和总结不等式的基本性质，并通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握和运用。

六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等教学资源。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或问题，引发学生对不等式的思考，进而引入本节内容——不等式的基本性质。

2.呈现（10分钟）a.呈现不等式的基本性质，引导学生观察和思考。

b.通过PPT或板书，详细讲解不等式的基本性质，并给出示例。

3.操练（10分钟）a.让学生分组讨论，尝试运用不等式的基本性质解不等式。

b.选取部分学生进行解答展示，并对解答进行点评和指导。

4.巩固（10分钟）a.让学生独立完成练习题，巩固不等式的基本性质。

b.对学生进行解答指导，纠正错误，提高解题能力。

《9.2 一元一次不等式》教案一第1课时 一元一次不等式的解法【教学目标】1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。

【教学重点】：熟练并准确地解一元一次不等式。

【教学难点】：熟练并准确地解一元一次不等式。

【教学过程】（师生活动）提出问题:某地庆典活动需燃放某种礼花弹．为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度是4m/s ，导火索的长x(m)应满足怎样的关系式？你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程．探究新知1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法．教师规范地板书解的过程．2、例题．解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）32x ≤50 (2)-4x<3 (3)7－3x ≤10（4）2x-3<3x ＋1分组活动．先独立思考，然后请4名学生上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，最后各组选派代表发言，点评板演情况．教师作总结讲评并示范解题格式．3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？ 让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处。

巩固新知1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）7671 x （2）－8x<102、用不等式表示下列语句并写出解集：（1）x 的3倍大于或等于1；（2）y 的41的差不大于－2.解决问题测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的树龄一般规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约3cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4m?总结归纳：围绕以下几个问题：1、这节课的主要内容是什么？2、通过学习，我取得了哪些收获？3、还有哪些问题需要注意？让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨．布置作业：教科书第120页 习题9.1第6题9.2实际问题与一元一次不等式（一）【教学目标】1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。

华师一附中高三独立作业10参考答案：1．A【分析】利用方程的根结合整数、自然数化简集合，再利用交集运算求解即可.【详解】因为{}{}29,1,9M a ax x =∈=∈=NZ ∣，{}{}29,1,3,1,3N x ax a =∈=∈=--Z N ∣，所以{}1M N ⋂=.故选：A.2．C【分析】由2490a a +=结合()32413113q a a a a a a a a =++++求解即可.【详解】因为13430,120a a S +==，所以2490a a +=，则()324131133a a a a a a a a q q +++===+.故选：C 3．A【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.【详解】由()()33e e e e x x x xx xf x f x ----===--且定义域{|0}x x ≠，即()f x 是偶函数，排除D ；当0x >时，e 1e x x ->>，即e e 0x x -->，此时()0f x >，排除C ；当x 趋向+∞时，3x 、e e x x --均趋向+∞，但随x 变大，e e x x --的增速比3x 快，所以()f x 趋向于0，排除B.故选：A.4．A【分析】根据三角函数图象变换可得()y f x =的表达式，结合对ππ,312x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()0f x <成立可得相应不等式，结合πϕ≤，即可求得实数ϕ的取值范围，即得答案.【详解】由题意得()πsin 26f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当ππ,312x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,623x ϕϕϕ⎛⎫++∈-+ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误9．ACD从而可得12301e x x x <<<<<由1122ln e x x x x =，得1212ln ln e ex x x x =，即又()f x 在()0,1上单调递增，则【点睛】关键点点睛：设BC是解决本题的关键.13．13【分析】利用向量的数量积公式求出)不妨设12x x <，∴12120e 1,x x <<<<号，令l (n )x t x x =，)ln 1(x x t '+=，显然即1ln ex x ≥-，∴1()f x x ≥-，当且仅当1x =时取等号，由图可知21211e (e 1)1x x x x m m m -<-=++=+'+'，∴12e 111x x m+<---①，令2(1)()ln 1x x x x ϕ-=-+，()()()222114()011x x x x x x ϕ-'=-=>++，又(1)0ϕ=，可得当1x >时，()0x ϕ>，即令1b x a =>，0b a >>，则2(1)ln 1bb a b a a->+，即2()ln ln b a b a b a -->+，即ln b b --120x x <<，则2212x x <，又22()ln ,()ln f x x x m f x x x m ====，则2222212212222ln ln x x x x x x x m +>=-⎛--。