最新5.1.1任意角的概念教学文案

5.1.1 任意角一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第1课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。

树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。

教学方法可以选用讨论法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。

二、课标要求了解任意角的概念和弧度，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性三、教学目标与核心素养A.了解任意角的概念；B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；C.掌握终边相同的角的表示方法；D.会判断角所在的象限。

四、学情分析学生在初中时已接触到角的概念(角的范围仅限于0°～360°)，在前面又学习了集合内容，具备了一定的基础知识，同时具备了一定的观察能力和数形结合能力.由于刚刚将角的概念推广，学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质，在理解终边相同的角的表示方法上，学生会出现障碍，另外，学生在用集合和数学符号语言正确地表示象限角时也可能会出现障碍.五、教学重点任意角的概念，象限角的表示六、教学难点终边相同角的表示，区间角的集合书写七、教学过程的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？2.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.3.角的构成要素：终边、始边、顶点。

4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.︒︒︒-=-= =660,150 210.5γβα负角，负角画出下列各角：正角【解析】6.。

【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。

讲解任意角的定义，即不与任何特定角度相同的角。

强调任意角可以大于360°或小于-360°。

1.2 任意角的表示方法介绍用弧度制表示任意角的方法。

讲解用角度制表示任意角时，超过360°的部分记作正数，不足360°的部分记作负数。

示例练习，让学生熟悉表示方法。

第二章：任意角的性质2.1 任意角的度量讲解任意角的度量方法，即以原点为中心，以射线为边，绕原点旋转形成的角。

强调度量结果不受旋转方向影响。

2.2 任意角的分类讲解任意角的分类，如锐角、直角、钝角、平角、周角等。

示例练习，让学生掌握各类角的特征。

第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义讲解正弦函数的定义，即任意角与其终边上的正弦线之间的比值。

强调正弦函数的周期性和奇偶性。

3.2 余弦函数的定义讲解余弦函数的定义，即任意角与其终边上的余弦线之间的比值。

强调余弦函数的周期性和奇偶性。

3.3 正切函数的定义讲解正切函数的定义，即任意角与其终边上的正切线之间的比值。

强调正切函数的周期性和奇偶性。

第四章：任意角的应用4.1 求解任意角的三角函数值讲解如何利用三角函数定义求解任意角的三角函数值。

示例练习，让学生熟悉求解过程。

4.2 任意角在实际问题中的应用举例讲解任意角在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。

让学生尝试用所学知识解决实际问题。

第五章：任意角的复习与拓展5.1 复习任意角的概念、性质和三角函数定义通过练习题，让学生巩固任意角的相关知识。

引导学生发现任意角的规律和特点。

5.2 拓展任意角的相关知识介绍任意角的进一步研究，如倍角公式、半角公式等。

鼓励学生自主学习，探索任意角的更多知识。

第六章：任意角的三角函数图形6.1 正弦函数的图形讲解正弦函数的图形特征，如波动性和周期性。

引导学生通过图形理解正弦函数的性质。

任意角的概念教案教案标题：任意角的概念教案教案目标：1. 理解任意角的概念及其特点。

2. 能够正确使用角度单位进行角的度量。

3. 能够在平面坐标系中绘制和标记任意角。

4. 能够通过已知角度的运算求解未知角度。

教学资源：1. 平面坐标系图纸和直尺。

2. 角度测量工具，如量角器或半圆规。

3. 白板、黑板或投影仪。

4. 角度计算练习题。

教学步骤：引入活动：1. 向学生展示一个直角，并询问他们对角的概念的理解。

2. 引导学生思考是否只有直角才是角，或者是否存在其他类型的角。

3. 引出任意角的概念，并解释任意角是介于0度和360度之间的角。

知识讲解：1. 介绍角的度量单位：度和弧度。

2. 解释度的概念，即一个圆共分为360度。

3. 介绍弧度的概念，即一个圆的周长为2π，因此一个圆共分为2π弧度。

4. 比较度和弧度的关系，强调在数学中常用度作为角的度量单位。

示范与实践：1. 在平面坐标系中示范绘制一个任意角，并解释如何使用直尺和角度测量工具进行角度的绘制和度量。

2. 要求学生在自己的平面坐标系图纸上练习绘制和度量不同的任意角。

3. 引导学生讨论他们绘制和度量角的过程中遇到的困难和技巧。

角度计算：1. 引导学生思考如何通过已知角度进行角度计算。

2. 解释角度计算的基本运算法则，如角的加法、减法、乘法和除法。

3. 提供一些角度计算的练习题，让学生运用所学知识进行解答。

总结与评价：1. 总结任意角的概念和特点。

2. 回顾学生在绘制和度量角以及角度计算方面的学习成果。

3. 对学生的表现进行评价，并提供必要的反馈和指导。

拓展活动：1. 鼓励学生探索其他类型的角，如锐角、钝角等，并比较它们与任意角的异同。

2. 引导学生思考角度在日常生活和实际问题中的应用，如测量角度、导航等。

教案评估：1. 观察学生在绘制和度量角以及角度计算练习中的表现。

2. 收集学生在课堂讨论和活动中的参与程度和回答问题的准确性。

3. 评估学生对任意角概念的理解程度和能力的提升。

【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的表示方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 任意角的概念及表示方法。

2. 任意角的分类。

三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及表示方法。

2. 难点：任意角的分类。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的概念及表示方法。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解任意角的分类。

五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的概念及表示方法。

2. 分析实例，让学生理解任意角的分类。

3. 课堂练习，巩固所学知识。

六、课后作业1. 定义任意角，并写出表示方法。

2. 分析实例，判断任意角的类别。

第二章：任意角的度量一、教学目标1. 让学生掌握任意角的度量方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 任意角的度量方法。

2. 弧度制的概念及应用。

三、教学重点与难点1. 重点：任意角的度量方法。

2. 难点：弧度制的概念及应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的度量方法。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解弧度制的概念及应用。

五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的度量方法。

2. 分析实例，让学生理解弧度制的概念及应用。

3. 课堂练习，巩固所学知识。

六、课后作业1. 解释任意角的度量方法。

2. 运用弧度制，解决实际问题。

第三章：任意角的三角函数一、教学目标1. 让学生掌握任意角的三角函数定义及性质。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 任意角的三角函数定义及性质。

2. 三角函数在各象限的符号。

三、教学重点与难点1. 重点：任意角的三角函数定义及性质。

2. 难点：三角函数在各象限的符号。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的三角函数定义及性质。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解三角函数在各象限的符号。

五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的三角函数定义及性质。

【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。

2. 培养学生运用图形计算器进行角的测量和绘制，提高学生的动手操作能力。

3. 通过对任意角的学习，培养学生对数学的兴趣和探究精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：任意角的概念及其表示方法。

2. 教学难点：任意角的测量和绘制。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。

2. 利用图形计算器，让学生亲自动手测量和绘制任意角，提高学生的实践能力。

3. 采用分组讨论法，培养学生团队合作精神，激发学生学习兴趣。

四、教学准备1. 准备图形计算器，确保每个学生都能进行实践操作。

2. 准备相关教案、PPT和教学素材。

3. 准备练习题，巩固学生所学知识。

五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾之前学过的角的概念，为新课学习做好铺垫。

2. 讲解任意角的概念：讲解任意角的概念，并用PPT展示相关图片，让学生形象地理解任意角。

3. 任意角的表示方法：介绍任意角的表示方法，如用弧度制、度分秒制等。

4. 实践操作：让学生使用图形计算器测量和绘制任意角，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 分组讨论：让学生分组讨论任意角的测量和绘制方法，分享彼此的经验和心得。

6. 总结提升：教师引导学生总结任意角的概念和表示方法，强调重点知识点。

7. 布置作业：发放练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为的教学做好准备。

六、教学内容与要求1. 教学内容：任意角的定义与表示方法，角的测量与绘制。

2. 教学要求：学生能理解任意角的定义，能用弧度制和度分秒制表示任意角。

学生能够使用图形计算器测量任意角的度数。

学生能够绘制给定度数的任意角。

七、教学过程设计1. 教学活动一：引入新课通过实际生活中的例子（如钟表上的指针、车轮的旋转等）引出角的概念。

提问：我们之前学习的角都是有限制的，有没有无限大的角呢？2. 教学活动二：讲解任意角讲解任意角的定义，强调任意角可以是正向旋转也可以是反向旋转。

【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。

通过图形和实际例子，让学生理解任意角的概念。

1.2 任意角的表示方法介绍用角度制表示任意角的方法。

引导学生学习用弧度制表示任意角。

让学生通过练习，掌握任意角的表示方法。

第二章：任意角的分类2.1 象限角引导学生学习象限角的概念。

通过图形和实际例子，让学生理解第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义。

2.2 轴线角引导学生学习轴线角的概念。

通过图形和实际例子，让学生理解轴线角的定义。

第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义引导学生学习正弦函数的概念。

通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的定义。

3.2 余弦函数的定义引导学生学习余弦函数的概念。

通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的定义。

3.3 正切函数的定义引导学生学习正切函数的概念。

通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的定义。

第四章：任意角的三角函数性质4.1 正弦函数的性质引导学生学习正弦函数的性质。

通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的性质。

4.2 余弦函数的性质引导学生学习余弦函数的性质。

通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的性质。

4.3 正切函数的性质引导学生学习正切函数的性质。

通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的性质。

第五章：任意角的三角函数在坐标系中的应用5.1 在直角坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。

通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。

5.2 在极坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在极坐标系中的应用。

通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在极坐标系中的应用。

第六章：任意角的三角恒等式6.1 和角公式引导学生学习两角和的正弦、余弦公式。

通过图形和实际例子，让学生理解两角和的正弦、余弦公式的推导和应用。

6.2 差角公式引导学生学习两角差的正弦、余弦公式。

【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念1. 引导学生回顾角度的定义，复习锐角、直角、钝角的概念。

2. 引入“任意角”的概念，解释任意角是指大于0°且小于或等于360°的角。

1.2 任意角的表示方法1. 讲解如何用度数表示任意角，例如：一个任意角可以表示为375°。

2. 引导学生理解任意角可以分为锐角、直角、钝角三种类型。

第二章：任意角的度量与计算2.1 任意角的度量1. 介绍量角器的使用方法，示范如何测量任意角的度数。

2. 学生分组练习，测量不同角度的任意角，并记录结果。

2.2 任意角的计算1. 讲解如何计算两个任意角的和、差、乘积、除法。

2. 引导学生运用公式进行计算练习，例如：A + B = (A的度数+ B的度数)°。

第三章：任意角的性质与变化3.1 任意角的性质1. 引导学生探讨任意角的性质，如：任意角的对边相等、相邻角互补等。

2. 学生通过实例验证这些性质，并记录在教案中。

3.2 任意角的变化1. 讲解如何通过旋转或翻转改变任意角的大小。

2. 学生进行实际操作，观察任意角的变化，并记录在教案中。

第四章：任意角的应用4.1 任意角在几何中的应用1. 引导学生回顾几何中任意角的概念和性质。

2. 学生举例说明任意角在几何中的应用，如：计算三角形内角和、证明角度相等等。

4.2 任意角在生活中的应用1. 引导学生思考任意角在生活中的应用场景。

2. 学生举例说明任意角在生活中的应用，如：测量角度、设计建筑等。

第五章：任意角的综合练习5.1 综合练习题1. 设计一组综合练习题，包括任意角的表示、度量、计算、性质和应用等方面的内容。

2. 学生独立完成练习题，教师进行讲解和解答。

5.2 小组讨论与总结1. 学生分组讨论在练习过程中遇到的问题和解决方法。

2. 每组选代表进行总结，分享学习心得和经验。

第六章：任意角的弧度制6.1 弧度制的引入1. 讲解弧度制的概念，解释为什么用弧度制表示角度。

教学单元第 5章三角函数教学内容 5.1.1任意角教学目标学习目标1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角的表示方法．(难点、易混点)核心素养1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养直观想象的核心素养；2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，提升数学抽象的核心素养；3.了解象限角的概念，强化数学抽象的核心素养。

教学重难点重点：任意角的概念，象限角的表示；难点：终边相同角的表示，角的集合书写。

学情分析学生过去接触的角都在0°~360°，关于角的认识形成一定的思维定势，这就需要通过实际问题，如时针与分针、体操等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入观看视频，想狗蛋谜题。

引入大于360度的角以及旋转角的概念【提示】两圈=360°×2=720°360°看成一圈通过复习初中角的概念，引入本节新课,建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过复习初中正当狗蛋苦恼怎么会有大于360°的角时，狗蛋的爸爸打开了电视，电视正播放着奥运会跳水，只见运动员在空中旋转两圈后落入水中，解说员说这叫在空中转体720°，狗蛋幡然醒悟……角的概念，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

新知讲授【知识一：任意角的概念】1.角的概念：规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.2.相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养。

高中数学《任意角的概念》精品公开课教案教学设计任意角的概念》教学设计课时：1课时（45分钟）教学理念：数学教学应该让学生变得更聪明、更善于研究、更喜欢数学。

一、教学内容分析1.教学内容：《任意角的概念》是高教版基础模块上册第五章第一课时内容。

该教材编写遵循够用、实用原则，突出基础性和职业性。

2.内容分析：任意角的概念是初中角的概念推广，也是刻画现实世界中周期性现象的数学模型。

它是研究任意角三角函数的基础，具有开启全章，承前启后的作用。

概念建立过程中隐含的抽象、归纳、概括、类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法和思维方法有助于学生数学素养的提升。

二、学情分析1.教学对象。

2.认知上：学生头脑中已经有角的概念，但局限在不超过360°的正角。

3.能力上：学生缺乏从现实背景中抽象、归纳出数学概念的能力，需要教师给予认知策略与方法的指导。

4.情感上：思维活跃，做事拖拉，较粗心，多数学生不大喜欢数学，甚至害怕数学，对学好数学缺乏足够的信心。

三、目标分析1.知识与技能：学生能在教师创设情境中发现归纳出任意角的特征，理解任意角及其相关概念。

2.过程与方法：概念建立过程中，学生能体验和感悟到抽象、归纳、类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法和思维方法。

3.情感态度价值观：学生能感受到任意角的概念源于现实，高于现实，服务于现实，能欣赏数学知识的价值。

4.教学重难点：1）教学重点：任意角的概念；2）教学难点：对角概念的深入理解；3）教学关键点：角是由“旋转”生成。

四、教学策略为突出重点、突破难点，有效地培养学生的能力和思维，采用如下教学策略。

1.教法学法分析：根据以学定教、以教促学的原则，结合我班学生的实际情况，我采取问题引导研究、策略指导探究的教法，变“要我学”为“我要学”，倡导学生自主合作探究、讨论交流展示进而获得相应的知识和技能。

2.教学支持条件分析：本节课借助于XXX提供的数字化资源、网络平台进行辅助教学，为学生提供生动直观、易于建立多元表征的教学环境。

【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念一、教学目标：1. 让学生了解任意角的概念，理解平角和周角的特点。

2. 培养学生运用图形直观认识角的能力。

3. 引导学生运用数学语言描述角的大小。

二、教学内容：1. 任意角的概念：大于0°而小于180°的角叫做锐角；等于180°的角叫做平角；等于360°的角叫做周角。

2. 角的度量：用度、分、秒表示角的大小。

三、教学重点与难点：1. 重点：任意角的概念及分类。

2. 难点：角的度量及运用。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察图形，理解任意角的概念。

2. 运用讲授法，讲解角的度量方法及运用。

3. 引导学生运用小组讨论法，探讨任意角的特点。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示各种角的照片，引导学生思考：这些角有什么共同特点？2. 讲解任意角的概念：介绍锐角、平角、周角的定义，引导学生理解任意角的概念。

3. 讲解角的度量：讲解度、分、秒的换算方法，示范如何度量角的大小。

4. 练习与巩固：让学生自主度量一些角的大小，并与同学交流分享。

5. 总结与拓展：引导学生总结本节课所学内容，提出问题：还有没有其他的角分类？激发学生进一步学习的兴趣。

第二章：任意角的性质一、教学目标：1. 让学生了解任意角的性质，掌握角的运算规律。

2. 培养学生运用图形直观认识角的能力。

3. 引导学生运用数学语言描述角的大小。

二、教学内容：1. 任意角的性质：角的大小与边的长短无关，与开口的大小有关。

2. 角的运算规律：角的和、差、倍、分等运算。

三、教学重点与难点：1. 重点：任意角的性质及运用。

2. 难点：角的运算规律及应用。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察图形，理解任意角的性质。

2. 运用讲授法，讲解角的运算规律及运用。

3. 引导学生运用小组讨论法，探讨任意角的性质。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示一些角的照片，引导学生思考：这些角有什么共同特点？2. 讲解任意角的性质：介绍角的大小与边的长短无关，与开口的大小有关，引导学生理解任意角的性质。

任意角概念教案教案标题：任意角概念教案教学目标：1. 理解任意角的概念，包括度数和弧度的表示方法。

2. 掌握任意角的基本性质和常见角度的度数。

3. 能够在几何图形中识别和绘制任意角。

教学准备：1. 教材：包含任意角概念的相关知识点。

2. 教具：直尺、量角器、圆规、白板、马克笔等。

3. 图形素材：包括各种角度的图形示例。

教学过程：引入：1. 创设情境：通过展示一张包含不同角度的图形，引起学生对角度的兴趣。

2. 提问：请学生思考并回答下列问题：- 你对角度有什么了解？- 你能否举出一些常见的角度？- 为什么我们需要学习和理解角度的概念？探究：1. 角度的定义：- 引导学生观察图形中的角，并引导他们给出角度的定义。

- 引导学生发现角度的度数表示和弧度表示。

- 引导学生思考度数和弧度之间的关系。

2. 角度的度数表示：- 介绍角度的度数表示方法，即用数字表示角度的大小。

- 示范如何使用量角器测量角度，并让学生进行实际操作。

- 引导学生练习将常见角度转化为度数表示。

3. 角度的弧度表示：- 介绍角度的弧度表示方法，即用弧长与半径之比表示角度大小。

- 示范如何使用圆规和直尺测量角度的弧长，并让学生进行实际操作。

- 引导学生练习将常见角度转化为弧度表示。

4. 角度的基本性质：- 介绍角度的基本性质，如角度的大小范围、角度的对立角和补角等。

- 引导学生通过观察图形和计算角度，发现和验证角度的基本性质。

应用：1. 角度在几何图形中的应用：- 引导学生观察不同几何图形中的角度，并让他们识别和命名这些角。

- 引导学生练习使用直尺和圆规绘制给定角度。

2. 角度的实际应用：- 引导学生思考角度在实际生活中的应用，如地图定位、建筑设计等。

- 鼓励学生分享自己在日常生活中遇到的角度问题，并进行讨论和解决。

总结：1. 回顾所学内容，强调任意角的概念和表示方法。

2. 检查学生对所学知识的掌握情况，解答学生提出的问题。

3. 布置相关练习作业，巩固学生对任意角概念的理解和应用。

《5.1.1 任意角》教学设计教学目标1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．教学重难点教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角．教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系．课前准备PPT课件教学过程（一）整体感知问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的函数是什么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题．预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向．（二）新知探究1．任意角的概念、运算引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．问题2：如图1，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）．预设答案：通过角的变化进行刻画．图1说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．问题3：我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°（如图）．追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？预设答案：两个方面，一是大小；二是方向． 设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°～360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra 动画）．假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）．图2（1） 图2（2）图3（1）图3（2）设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量．追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向．问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）．设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与-90°的关系吗？预设的师生活动：学生分别作图并说明．图4（1） 图4（2）图4（4）图4（3）预设答案：如图5（1）（2）（3）．追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？预设答案：对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α＜β，则α－β＜0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．2．象限角问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？预设的师生活动：学生互相交流后，再回答．预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论图5（3）图5（2） 图5（1）得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．练习3：教材第171页第1、2、3题．预设的师生活动：由学生逐题给出答案．预设答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．2．三，三，五．3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．设计意图：检验学生对象限角的理解情况．3．终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．预设答案：还有－392°、328°、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}；设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°的整数倍．例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答．追问：与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点？预设答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0°～360°范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2写出终边在y轴上的角的集合．预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流．追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍．”设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法．上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3写出终边在直线y xβ有哪些？预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示．追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．（三）归纳小结问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．（四）布置作业（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；（2）预习5.1.2弧度制的内容；（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．（五）目标检测设计1．写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β（教科书第171页练习第5题）：（1）1303°18′；（2）－225°．设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．参考答案：1．{β｜β＝k·180°，k∈Z}；{β｜β＝k·90°，k∈Z}；终边在x轴上的角相差180°的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°的整数倍．2．（1）{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′；（2）{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°．。

【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。

2. 培养学生运用任意角解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、思考、交流，培养学生的抽象思维能力和创新意识。

二、教学内容1. 任意角的概念及其表示方法。

2. 任意角的分类。

3. 任意角的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及其表示方法。

2. 难点：任意角的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。

2. 运用实例分析法，让学生学会运用任意角解决实际问题。

3. 利用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识角的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究任意角的概念和表示方法。

3. 课堂讲解：讲解任意角的分类及其应用。

4. 实例分析：分析实际问题，让学生学会运用任意角解决问题。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调任意角的概念和表示方法。

7. 课后作业：布置作业，巩固任意角的知识。

8. 教学反思：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

六、教学评价1. 评价学生对任意角概念的理解和表示方法的掌握程度。

2. 评价学生运用任意角解决实际问题的能力。

3. 评价学生在小组合作学习中的表现，包括团队协作能力和沟通能力。

七、教学资源1. 教材：人教版高中数学《三角函数》单元。

2. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

3. 参考资料：与任意角相关的学术论文、教学案例等。

八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解任意角的概念和表示方法。

2. 第3-4课时：讲解任意角的分类及其应用。

3. 第5-6课时：实例分析，让学生学会运用任意角解决实际问题。

4. 第7-8课时：练习巩固，布置作业。

5. 第9-10课时：课堂小结，布置课后作业。

九、教学拓展1. 引导学生深入研究任意角的性质和特点。

第5章 三角比5．1任意角及其度量（1）【教学目标】通过一条射线绕着它的端点旋转，了解角的形成过程，然后推广到任意角.理解角的概念，理解任意角中正角和负角的意义.理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，能够准确判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学重点】理解任意角、象限角、终边相同的角等概念.【教学难点】判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学过程】1、角的概念角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.我们以前学过的角，其大小都在0 到360之间，而在生活中还有其它的角. 我们定义，一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的，（如160 、520 ）；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的，（如200- ）；一条射线没有旋转时，形成的角叫做零角0α=.【问题】经过12分钟，时钟的分针转过的角是多少度？ 72-【说明】确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程2、象限角的概念在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.当角的终边在坐标轴上时，认为这些角不属于任何象限.（称为轴线角）【问题】1. 在0 到360 之间，各象限角分别是什么范围？2. 判断下列角属于第几象限？ 160,200,520-解：这些角都属于第二象限，还可以发现这三个角的终边重合.3、终边相同的角的概念 所有与角α终边重合的角的集合：{|360,}k k Z ββα=⋅+∈【例1】判断下列角属于哪个象限（1）200- （2）516 （3）2000解：（1）第二象限 （2）第二象限 （3）第三象限【例2】（1）写出与65- 角终边相同的角的集合 {|36065,k k Z αα=⋅-∈（2）写出终边与x 轴正半轴重合的角的集合、终边与x 轴负半轴重合的角的集合{|360,}k k Z αα=⋅∈ 、{|360180,}k k Z αα=⋅+∈（3）写出终边与y 轴正半轴重合的角的集合、终边与y 轴负半轴重合的角的集合{|36090,}k k Z αα=⋅+∈ 、{|360270,}k k Z αα=⋅+∈（4）写出第一象限角的集合 {|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈变式：写出第二、三、四象限角的集合{|36090360180,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈ ；{|360180360270,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈{|360270360360,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈【例3】（1）与1024 角终边重合的角中，最小的正角是_______，最大的负角是______；304 、56- （2）与576 角终边重合的角中，绝对值最小的角是______________144-思维拓展：1.已知α为第二象限角，则2α为第 象限角. 第一、三象限 已知α是第三象限的角，则2α为第 象限角. 第二、四象限 2.（1）已知,αβ的终边关于x 轴对称，则,αβ的关系为 ；0360k αβ+=（2）已知,αβ的终边关于y 轴对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ+=+（3）已知,αβ的终边关于原点对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ-=+5.1任意角及其度量（2）【教学目标】1、了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算；2、建立起弧度度量角的感性认识.【教学重点】弧度制的理解与应用【教学难点】弧度制的感性认识【教学过程】这节课，我们研究如何度量角的大小.1、角度制.在平面几何中，我们把周角分成360等分，每一份叫做1度的角.这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.回忆角度制下，圆心角为x 的扇形的弧长公式、面积公式：180r x l π=，3602r x S π=. 2、弧度制由于1 的圆心角所对的弧长为2360180r r l ππ==，x 的圆心角所对的弧长为180r l x π=⋅，由此得到180l x r π=，其中180π为定值，说明比值l r 仅与角的大小有关.因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小.把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度,符号rad ，读作：弧度.一般地说，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即||l rα=，α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零. 3、弧度制与角度制的换算：由上述定义，x 的角其弧度数为180xπ弧度，所以 1的角其弧度数为180π弧度. 即1 =180π弧度，两边同除180π得1弧度=180π，两边同乘π得180 =π弧度.[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π= 这个关键．【例1】将100 换算成弧度、将2.3弧度换算成角度（保留两位小数） 解：59π弧度、131.78 快速回答：360 =____2π____弧度 90 =____2π____弧度 30 =____6π____弧度 45 =____4π____弧度 60 =____3π____弧度 120 =____23π____弧度 135 =____34π____弧度 150 =____56π____弧度32π弧度=__270 ___ 310π-弧度=__54- _ '6730 =___38π____弧度 【例2】设扇形的圆心角为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，求证：（1）l r α= （2）212S r α= （3）12S lr = 【例3】（1）在扇形OAB 中，已知半径 8,12,OA cm AB cm ==求圆心角AOB ∠和扇形OAB 的面积 解：32、248cm （2）已知3弧度的圆心角所对的弧长为9cm ，求此圆心角所夹的扇形面积. 解：2272cm 【例4】（1）把所有与角α终边重合的角的集合用弧度制表示解：{|2,}k k Z ββπα=+∈（2）把每个象限角的范围用弧度制表示：【例5】将下列各角写成2(02,)k k Z πααπ+≤<∈（1）245π （2）403π- （3）450 （4）310- 解：（1）445ππ+ （2）2143ππ-+ （3）22ππ+ （4）5218ππ-+ 【例6】用弧度制表示下列各集合（1）终边在x 轴上的角的集合 {|,}k k Z ααπ=∈（2）终边在y 轴上的角的集合 {|,}2k k Z πααπ=+∈（3）终边落在第一象限的角平分线上的角的集合 {|2,}4k k Z πααπ=+∈（4）终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合 {|,}4k k Z πααπ=+∈ 【例7】判断下列各角分别属于哪个象限（1）232π （2）4- （3）终边落在区间7(,3)2ππ--内 解：（1）不属于任何象限 （2）第二象限 （3）第二象限。

【课题】5. 1. 1 任意角的概念
授课时间授课时数课型【教学目标】
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
任意角、象限角、界限角的概念．
【教学难点】
任意角、象限角、界限角的概念的理解．
【学情分析】
【教学方法】
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（3）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】
0°
（1）（2）
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
运用知识强化练习
教材练习5.1.1
．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．
归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
教学后记板书设计。

任意角的概念教案教案标题：任意角的概念教案目标：1. 了解任意角的定义和特性；2. 掌握任意角的度量方法；3. 能够在平面直角坐标系中表示和绘制任意角；4. 能够解决与任意角相关的问题。

教学重点：1. 任意角的定义和特性；2. 任意角的度量方法。

教学难点：1. 在平面直角坐标系中表示和绘制任意角；2. 解决与任意角相关的问题。

教学准备：1. 教学投影仪或白板；2. 平面直角坐标系的图纸；3. 直尺和量角器。

教学过程：步骤一：引入1. 利用教学投影仪或白板，展示一个角的图形，引导学生回顾角的概念。

2. 引导学生思考，角的度量是否有限制，是否只能是整数度数。

步骤二：任意角的定义和特性1. 通过展示多个角的图形，引导学生理解任意角的概念，即角可以是任意大小的。

2. 解释任意角的特性，包括角的顶点、角的两条边等。

步骤三：任意角的度量方法1. 引导学生思考，如何度量任意角。

2. 介绍度量角的单位——度和弧度，并解释它们的概念和换算关系。

3. 指导学生使用量角器度量角的方法，并进行实际操作练习。

步骤四：在平面直角坐标系中表示和绘制任意角1. 引导学生回顾平面直角坐标系的概念和表示方法。

2. 解释如何在平面直角坐标系中表示和绘制任意角，包括确定角的顶点和两条边的位置。

3. 指导学生进行实际绘制练习，加深对任意角在平面直角坐标系中的理解。

步骤五：解决与任意角相关的问题1. 引导学生思考，如何应用任意角的概念解决相关问题。

2. 提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决，并进行讨论和分享。

步骤六：总结1. 对本节课所学内容进行总结，强调任意角的概念和度量方法的重要性。

2. 鼓励学生进行思考，如何将所学知识应用到实际生活中。

教学延伸：1. 鼓励学生通过练习和解决问题，进一步巩固任意角的概念和应用能力。

2. 引导学生拓展思维，探究更复杂的角的概念和应用。

教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与情况和回答问题的能力；2. 收集学生完成的练习和问题解答，对其进行评估。

《5.1.1 任意角》教学设计教材内容：任意角是在初中所学的角的范围上为了满足高中阶段的学习对于角的进一步推广，也是为之后学习半角、倍角、三角函数奠定基础。

为后续学习几何、复数等相关内容提供了研究工具。

本节课的学习可借助角与现实生活的联系，借助由特殊到一般的数学思想，归纳总结出本节课的知识点。

教学目标：1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.教学重点与难点：1、教学重点：终边相同的角的表示；2、教学难点：终边相同的角的含义及其表示方法。

教学过程：1、新课导入︒︒范围的角.例如，体操中有“前空翻转体现实生活中随处可见超出0~360︒︒范围540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0~360的角，而且旋转的方向也不相同，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，那么这节课我们就来学习一下任意角的相关知识.2、探索新知知识点1 角的分类、任意角正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.知识点2 相等角、角的加减（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ=.（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.知识点3 象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.知识点4 终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例题点拨例1 在0~360︒︒范围内，找出与95012-︒'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解：95012129483360''-=-⨯︒︒︒，所以在0~360︒︒范围内，与95012-︒'角终边相同的角是12948︒'，它是第二象限角.例2 写出终边在y 轴上的角的集合.解：在0~360︒︒范围内，终边在y 轴上的角有两个，即90︒，270︒角.因此，所有与90︒角终边相同的角构成集合1|90{}360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，而所有与270︒角终边相同的角构成集合2|270360,{}S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，于是，终边在y 轴上的角的集合12S S S ={|902180,}|90180218}0{,k k k k ββββ==︒+⋅︒∈=++⋅︒︒∈︒Z Z{{|902180,}|90(21)1}80,k k k k ββββ==+⋅∈︒︒︒︒=++∈Z Z|90180,{}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .例3 写出终边在直线y x =上的角的集合S ，S 中满足不等式360720β-<︒︒的元素β有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线y x =，可以发现它与x 轴的夹角是45︒，在0~360︒︒范围内，终边在直线y x =上的角有两个：45︒，225︒.因此，终边在直线y x =上的角的集合{|45360,}{|225360,}S k k k k ββββ=︒︒=︒︒+⋅∈=+⋅∈Z Z{|45180,}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .S 中适合不等式360720β-<︒︒的元素β有452180315-⨯=-︒︒︒，451180135-⨯=-︒︒︒，45018045︒︒+⨯=︒，451180225+⨯=︒︒︒，452180405+⨯=︒︒︒，453180585+⨯=︒︒︒.3、课堂练习1.如果角α与45x +︒的终边相同，角β与45x -︒的终边相同，那么α与β的关系是( )A.0αβ+=︒B.0αβ-=︒C.360()k k αβ+=⋅︒∈ZD.36090()k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 答案：D解析：由题意知()()1145360x k k α=++⋅︒︒∈Z ，()()2245360x k k β=-+⋅︒︒∈Z ， ()123609036090()k k k k αβ∴-=-⋅+=⋅+︒︒︒∈︒Z .故选D.2.下列角的终边位于第二象限的是( )A.450°B.860°C.1060°D.1260°答案：B解析：42036060=+，终边位于第一象限；=⨯+，终边位于第二象限；8602360140=⨯+，终边位于第四象限；10602360340=⨯+，终边位于x轴非正半轴.故选B.126033601803.有下列结论：①小于90°的角是锐角；②30°与-30°角的终边方向相反；③经过1小时，时针转过了30°；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的结论为___________（填序号）.答案：①②③④解析：①小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30°与-30°角的夹角为60°，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经过1小时，时针转过了-30°，故③不正确；④0°小于180°，但0°角既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.4、小结作业小结：本节课学习了任意角、象限角的概念，用集合表示象限角以及终边相同的角的含义及其表示方法.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计5.1.1 任意角1.角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；③零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.2.任意角：包括正角、负角和零角.3.相等角、角的加减：=.（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.5.终边相同的角：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。