高中数学1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用

1．1.3 集合的基本运算第二课时 补集及综合应用一、全集的定义及表示1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作U.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作——A U C2、符号语言：AU C ＝{x| x ∈U ，且x ∉A}3、图形语言：4、性质：(1)A U C ⊆U ；(2)U U C ＝∅，φU C ＝U ；(3)()AU C U C ＝A ；(4)A ∪(A U C )＝U ；A ∩(A U C )＝∅ 5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A 包含三层意思：①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．(3)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈∁U A ，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1] (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5，x ∈Z}，A ＝{x |x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B ＝________.[解析] (1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分∴∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．(2)法一：在集合U 中，∵x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A ＝{x |x 2－2x －15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．[活学活用]设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．解析：∵A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，A∪(∁U A)＝{1,5,7,9，|a－5|}＝U，∴|a－5|＝3.解得a－5＝±3，即a＝8或a＝2.题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁A)U∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解]如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[活学活用]已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁P，求实数a的取U值范围．[解]∁P＝{x|x<－2，或x>1}，∵M∁U P，U∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1. ∴a ≤－72或13≤a <5. (2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.综上可知，a ≥13或a ≤－72. [活学活用]1、已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x <－1，或x >0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解：∵B ＝{x |x <－1，或x >0}，∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a ≤－1.2、已知集合A ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，B ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}，是否存在实数m ，使A ∩B ≠∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：若A ∩B ＝∅，分A ＝∅和A ≠∅讨论：(1)若A ＝∅，则2m －1≥3m ＋2，解得m ≤－3，此时A ∩B ＝∅.(2)若A ≠∅，要使A ∩B ＝∅，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<3m ＋2，2m －1≥－2，3m ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－3，m ≥－12，m ≤1.所以－12≤m ≤1. 综上，当A ∩B ＝∅时，m ≤－3或－12≤m ≤1. 所以当m >1或－3<m <－12时，A ∩B ≠∅. 课堂练习1．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U(A ∪B)＝( )A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U(A ∪B)＝{6,8}，选A.答案：A2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2≤x ≤3}，B ＝{x|x ＜－1，或x>4}，那么集合A ∩(∁UB)等于 ( )A ．{x|－2≤x ＜4}B ．{x|x ≤3，或x ≥4}C ．{x|－2≤x ＜－1}D ．{x|－1≤x ≤3}解析：由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x ≤3}．答案：D3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.解析：∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.答案：54．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．解：如图(1)．(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图(2)．∁U B＝{x|x<0，或x≥7}，∴A∪(∁U B)＝{x|x<5，或x≥7}．(4)如图(3)．(3)∁U A＝{x|x≤－5，或x≥5}，B∩(∁U A)＝{x|5≤x＜7}．课时跟踪检测(五) 补集及综合应用一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( ) A．∅B．{4}C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.答案课时跟踪检测(五)1．选A ∵∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.2．选B 因U＝R，A＝{x|0<x<9}，又因B＝{x∈Z|－4<x<4}，所以∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，所以(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．3．选C 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．4．选A 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))．故选A.5．选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.6．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}7.解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.答案：{a|a≥2}8.解析：如图所示，由图可知C⊆∁U A，且C⊆B，∴C＝B∩(∁U A)．答案：B∩(∁U A)9．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.10．解：法一：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．法二：∵M∩(∁U N)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，∴∁U(M∪N)＝{2,17}，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．。

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课堂10分钟达标1.已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，则U A= ( )A.{6，8}B. {5，7}C.{1，3，5，7}D.{2，4，6，8}【解析】选D.由于U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，所以U A={2，4，6，8}.2.全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合(U A)∪B= ( )A.{0，2，3，6}B.{0，3，6}C.{2，1，5，8}D.∅【解析】选A.U A={0，3，6}，所以(U A)∪B={0，2，3，6}.3.设全集U={x|x≥0}，集合P={1}，则U P等于( )A.{x|0≤x<1或x>1}B.{x|x<1}C.{x|x<1或x>1}D.{x|x>1}【解析】选A.由于U={x|x≥0}，P={1}，所以U P={x|x≥0且x≠1}={x|0≤x<1或x>1}.4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则U A= .【解析】如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，U A={x|0<x<2，或x≥6}. 答案：{x|0<x<2，或x≥6}5.已知全集U=R，集合A={x|-1<x<4}，B={x|0<x<5}，则A∩(U B)= . 【解析】由于U B={x|x≤0或x≥5}，故A∩(U B)={x|-1<x<4}∩{x|x≤0或x≥5}={x|-1<x≤0}.答案：{x|-1<x≤0}6.已知全集U={2，3，a2-2a-3}，A={2，|a-7|}，U A={5}，求a的值.【解析】方法一：由|a-7|=3，得a=4或a=10，当a=4时，a2-2a-3=5，当a=10时，a2-2a-3=77∉U，所以a=4.方法二：由A∪(U A)=U知所以a=4.7.【力量挑战题】已知全集为R，集合M={x|-2<x<2}，P={x|x≥a}，并且M⊆(R P)，则a的取值范围是.【解析】M={x|-2<x<2}，R P={x|x<a}.由于M⊆(R P)，所以由数轴知a≥2.答案：a≥2关闭Word文档返回原板块。

第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．易混点2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．重点、难点3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．重点[基础·初探]教材整理补集阅读教材＝{∈U|2－5＋＝{2,3}，则实数＝{2,3}，得M＝{1,4}，即1和4是方程2－5＋＝0的两个解，则实数＝1×4＝42易知A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以∁A B＝{－3，－1,0,2}．【答案】1B2{－3，－1,0,2}集合并、交、补集的综合运算1已知全集图1-1-2A．{0,1,2} B．{0,1}C．{1,2} D．{1}2已知集合A＝{|≥－2}，集合B＝{|－2≤≤2}，则集合∁R B∩A＝________【精彩点拨】1由图观察阴影部分所代表的集合，然后求解；2先求∁R B，借助于数轴求解．【自主解答】1由题意，阴影部分表示A∩∁U B．因为∁U B＝{|2}，∁R B∩A＝{|>2}．【答案】1C2{|>2}1．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．[再练一题]2．已知全集U＝{|1≤≤8且∈N*}，集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，求A∩B，∁U A∪B，A∩∁U B．【导学号：】【解】因为集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，所以A∩B＝{2,7}，因为全集U＝{|1≤≤8且∈N*}，则∁U A＝{3,4,6,8}，∁U B＝{1,3,5,8}，所以∁U A∪B＝{2,3,4,6,7,8}，A∩∁U B＝{1,5}．[探究共研型]根据补集的运算求参数的值或范围探究1U【提示】如果“a∈∁U B”，那么a∉B探究2若A≠∅，且A⊆∁U B，则集合A，B满足什么条件？【提示】若A⊆∁U B且A≠∅，则A∩B＝∅1已知集合A＝{|2＋a＋12b＝0}和B＝{|2－a＋b＝0}，满足B∩∁U A＝{2}，A∩∁U B＝{4}，U ＝R，求实数a，b的值；2已知集合A＝{|2a－22a2a2a－1，则a2a2a－1}．由于A⊆∁U B，如图，则a＋1>5，∴a>4∴实数a的取值范围为{a|a4}．1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅【解析】∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．【答案】B2．设全集U＝R，集合A＝{|10}，B＝{－2，－1,0,1}，则∁R A∩B＝A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}【解析】因为集合A＝{|>－1}，所以∁R A＝{|≤－1}，则∁R A∩B＝{|≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．【答案】 A4．已知全集U＝{|1≤≤5}，A＝{|1≤＜a}，若∁U A＝{|2≤≤5}，则a＝________【解析】∵A＝{|1≤＜a}，∁U A＝{|2≤≤5}，∴A∪∁U A＝U＝{|1≤≤5}，且A∩∁U A＝∅，∴a＝2【答案】 25．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，∁U A∩∁U B，A∩∁U B，∁U A∪B【导学号：】【解】法一由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴∁U A∩∁U B＝{1,2,6}，A∩∁U B＝{3,5}，∁U A∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A∩∁U B＝{1,2,6}，A∩∁U B＝{3,5}，∁U A∪B＝{1,2,4,6,7,8}．。

第二课时补集及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号补集的运算1,3 集合的交、并、补集综合运算2,4,5,9,12Venn图的应用6,7综合应用8,10,11,13,141.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?U A等于( B )(A){1,2} (B){3,4,5}(C){1,2,3,4,5} (D)解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以?U A={3,4,5}.2.已知集合A,B,全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(?U B)等于( A )(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)解析:因为全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},因为B={1,2},所以?U B={3,4},A={3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}.所以A∩(?U B)={3}.故选A.3.(2018·洛阳高一月考)设全集U={x|x>1},集合A={x|x>2},则?U A等于( A )(A){x|1<x≤2} (B){x|1<x<2}(C){x|x>2} (D){x|x≤2}解析:画出数轴可知,?U A={x|1<x≤2}.故选A.4.(2018·宁波大学附中高一期中)设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)的元素个数有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},所以?U(A∩B)={1,2,5}.故选C.5.已知全集U=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N*},则( C )(A)U=A∪B (B)U=(?U A)∪B(C)U=A∪(?U B) (D)U=(?U A)∪(?U B)解析:由题意易得B A,画出如图所示的示意图,显然U=A∪(?U B),故选C.6.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( D )(A){0,1,2}(B){0,1}(C){1,2}(D){1}解析:因为?R B={x|x<2},所以图中阴影部分为A∩(?R B)={1}.故选D.7.已知全集U={x∈N+|x<9},(?U A)∩B={1,6},A∩(?U B)={2,3},?U(A∪B)={5,7,8},则B等于( B )(A){2,3,4} (B){1,4,6} (C){4,5,7,8} (D){1,2,3,6}解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},如图,可知A∩B={4},B={1,4,6},故选B.8.设全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>m},若?U A?B,则实数m的取值范围是.解析:因为全集U=R,A={x|x<1},则?U A={x|x≥1},又B={x|x>m},且?U A?B,则m<1.所以实数m的取值范围是{m|m<1}.答案:{m|m<1}9.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?R A)=R,B∩(?R A)= {x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.解:因为A={x|1≤x≤2},所以?R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(?R A)=R,A∪(?R A)=R,可得A? B.而B∩(?R A)={x|0<x<1,或2<x<3},所以{x|0<x<1,或2<x<3}?B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.10.设集合P={x|x≥1},Q={x|x2<1},则( D )(A)P?Q (B)Q?P(C)?R P??R Q (D)Q??R P解析:因为Q={x|-1<x<1},?R P={x|x<1},所以Q??R P.故选D.11.(2018·北京市海淀区高三期末)已知全集U=R,M={x|x≤1},P= {x|x≥2},则?U(M∪P)等于( A )(A){x|1<x<2} (B){x|x≥1}(C){x|x≤2} (D){x|x≤1或x≥2}解析:因为M∪P={x|x≤1或x≥2},所以?U(M∪P)={x|1<x<2}.故选A.12.已知U=R,A={x|a≤x≤b},?U A={x|x<3或x>4},则ab= . 解析:因为A∪(?U A)=R,所以a=3,b=4,所以ab=12.答案:1213.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A? ?U B,求实数a的取值范围.解:若B=,则a+1>2a-1,则a<2,此时?U B=R,所以A??U B;若B≠,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时?U B={x|x<a+1,或x>2a-1},由于A??U B,如图,则a+1>5,所以a>4,所以实数a的取值范围为{a|a<2,或a>4}.14.已知U=R,集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x2-(a+2)x+2a=0},a∈R.(1)若a=0,求A∪B;(2)若(?U A)∩B≠,求a的取值范围.解:(1)若a=0,则A={x|-2<x<2},B={0,2},所以A∪B={x|-2<x≤2}.(2)因为?U A={x|x≤a-2或x≥a+2},当a≠2时,B={2,a},因为(?U A)∩B≠,又a-2<a<a+2,所以2∈(?U A),所以2≤a-2或2≥a+2,解得a≥4或a≤0,当a=2时,A={x|0<x<4},?U A={x|x≤0或x≥4},B={2},此时(?U A)∩B=,不合题意,综上所述,a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}.。