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系统稳定性的基本概念和例题解答

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第六章 系统的稳定性

第六章 系统的稳定性

③ 计算行列式的其余各行
sn s n 1 s n 2 s
n 3
a0 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1
a2 a3 b2 c2 d2 e2
a4 a5 b3 c3 d3
b1 a0 a1 a1 a1 c1 b1 b1 b1 b2 d1 c1 c2 c1 d2 a3 b2 c2 a2 a3 b2 a0 a1 a1 a1 b1 b1 b1 b3 c1 c3 c1
对于如图所示闭环系统，传 递函数为：
F ( s) C ( s) G ( s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s)
1 G( s) H ( s) 0
令该函数的分母等于零就得到系统的特征方程： 故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性。
6.2 劳斯－胡尔维茨稳定性判据
综上所述，判别系统稳定性的 问题可归结为对系统特征方程 的根的判别，即：一个系统稳 定的必要和充分条件是其特征 方程的所有根都必须为负实数 或具有负实部的复数。亦即稳 定系统的全部特征根si均在复平 面的左半平面。
应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴 j ，但对于虚轴上的坐 y（） c t t 标原点应具体分析。当有一个特征根在坐标原点时 ， 常数，系统达到新的平衡状态，仍属稳定。当有两个及两个以 y（） 上特征根在坐标原点时， c t t ，其瞬态响应发散，系统 不稳定。
n A0 ( s) B0 ( s) N 0 ( si ) si t y（）＝ t L [ ] e c A( s) i 1 A( si ) -1
N 0 ( si ) A0 ( si ) B0 ( si )
一般称A(s)=0为系统的“特征方程”，它的解si称为特征根。 若si为复数，则由于实际物理系统A(s)的系数均为实数，因此 si总是以共扼复数形式成对出现，即：

控制系统的稳定性 (2)

控制系统的稳定性 (2)
法获得）；
③ 可判断系统相对稳定性；
④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
第28页，共72页。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
F(
s
)
k( s z1 )( s z2 ( s p1 )( s p2
)( )(
s s
zm pn
) )
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导，那么称 f（Z）在Z0解析。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在 任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的 推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来平衡状态的性 能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决于 系统本身的结构和参数，而与输入无关。
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零初始 偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的还是发 散的。
第4页，共72页。
5.2 系统稳定性的充要条件
若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号
(t，) 系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ，g(t)
g(t就) 相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。
如果当 时，t 脉冲过渡函数 收敛于系g统(t原) 平衡工作
点，即下式成立：
lim g(t) 0
如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在D内解 析或称f（Z）是D内的一个解析函数。
如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z）的奇点。
第29页，共72页。
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续 正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或 为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经 过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲 线LF，也是一封闭曲线。 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按 顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。

系统稳定性基本概念及例题解答

系统稳定性基本概念及例题解答

系统稳定性的基本概念和例题解答
5.3 代数稳定性判据
不用求解代数方程的根，基于代数方程各次项的系数， 来判别系统稳定性的方法称为代数稳定性判据。
5.3.1 劳斯稳定判据 系统的特征方程
a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0
要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：
K
B(s)
r
an (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统，t → 时,输出量 c(t)=0。
系统稳定性的基本概念和例题解答
B (s) k C (s) R (s)
c i r
jsj
D (s) i 1s p i j 1 [s (j jj)][s (j jj)]
系统稳定性的基本概念和例题解答
S平面
j
s1
jV
F(S)平面
F (s3 )
o
s3
s2
例
F(s)
s2 s
，则s平面上
点
d
s
(-1，j1)，映射到F(s)平面上
的点 d f 为(0，-j1)见右图。
o
U
F(s2 )
F(s1)
j
ds(1,j1) S平面
jV
F(S)平面
U
df (0,j1)
s平面 A s B s C s
系统稳定性的基本概念 和例题解答
系统稳定性的基本概念和例题解答
稳
定
的
摆
b
c
a
d 不 稳 定 的 摆
系统稳定性的基本概念和例题解答
➢稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状

第六章 系统的稳定性

第六章 系统的稳定性

6.1 稳定性
1.稳定性的概念 只有稳定的系统才能正常工作。在设计一个系统时，首先要 保证其稳定；在分析一个已有的系统时，也首先要判定其是否 稳定。线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统 的输入量或扰动无关
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
a0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 1 j1 )( S 1 j1 )][( S 2 j 2 )( S 2 j 2 )] } 0
即a 0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 2 2 1 S 1 1 )][( S 2 2 2 S 2 2 )] } 0
例1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 10 4 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5

4
517 2.3 10 4

0 0
2.3 10
结论： (1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的； (2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半 平面。
6.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
幅角原理的简单说明 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如下图 所示，在 S平 面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点， 在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数 的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数 的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲 线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向 转过2π弧度（一周）。

第5章 系统的稳定性

第5章 系统的稳定性

s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
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（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
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四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。

第六章系统的稳定性

第六章系统的稳定性

1 3
16 3
12 20
80 3 25
0
35 25
5 0 10 25
出现全零行时： 出现全零行时： 3×12 − 20 = 16 3× 35 − 25 = 用上一行元素组成辅助方80 3 3 3 3 将其对S求导一次 求导一次， 程，将其对 求导一次， 用新方程的系数代替全零 行系数，之后继续运算。 行系数，之后继续运算。
ω=∞
ω
∞
K ∏ (τ i s + 1)∏ (τ l2 s 2 + 2ζ lτ l s + 1)
b
c
ω=0
Re
−1
−1
ω ω=0+
第六章 系统的稳定性
[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极 点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的奈氏 曲线的映射曲线。如右图： 从图上可以看出：映射曲线顺时 针包围(-1,j0)两圈。因 P = 0 ，所 ω = 0− 以Z = P − 2N ' = 2 ，闭环系统是不 稳定的。
a n-1 a n-3 b2
b1
sn s
n−1
an a n−1
a n−2 a n−3
a n−4 a n−5
a n−6 a n−7
b1 a n -1 a n -3 c1 = − b1 = − an −1 L
L
a n a n -4
a n-1 a n −5 b3
b1
sn−2 sn−3 M s
0
b 1 c1
ω = 0+
−1
ω = +∞ • = −∞ ω
第六章 系统的稳定性
[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系 统。 [例]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半 平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：显然这是1型系统。先根据 奈氏路径画出完整的映射曲线。 从图上看出：N=0，而 Pk = 0 ， 故 Z = P − 2N′ = 0，闭环系统是稳 定的。

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

（5.2.3）
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机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
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从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
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机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
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5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้

关于系统稳定性

关于系统稳定性

控制工程基础课程资料1：关于系统稳定性1 概念稳定性是宇宙的根本法则之一，不稳定的对象只有走向死亡。

可以通过社会的、生活的例子说明之。

工程举例：稳定的单摆，不稳定的倒立摆。

系统受干扰作用，具有了初始位能，放手后，振荡衰减的过程是位能和动能相互进行能量转换的过程，系统最后能回到（恢复到）原来的平衡状态，是因为初始能量可以被消耗掉（被系统吸收）。

还可以举家用空调的例子；还可以举生病的例子——稳定者恢复健康，不稳定者——去见阎王老子。

社会要安定谐和——不稳定的社会什么也不能干。

2 定义在控制工程中，系统稳定性定义为：系统受扰动作用，会偏离原来的平衡位置（平衡工作点、平衡态），随着时间的推移，系统能恢复到原平衡状态的性能，称为系统稳定性。

稳定性是系统的固有属性，是系统的一种动态特性，与外作用（指令输入）无关。

对初学者，不宜介绍李雅普诺夫意义下的稳定性概念。

注意：以前有不少教材把稳定性定义为从一个平衡工作点能过渡到另一个平衡工作点的性能，是不确切的，不是经典的定义。

应该说，只有稳定的系统才能具有此能力，或者说，这是系统稳定性的一种表现！用此定义无法说明稳定性的物理含义。

3 系统稳定的必要充分条件系统特征根（极点）全部具有负实部。

数学证明如下：一般地，系统传递函数为11101110)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s X s n n n n m m m m i ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==Φ---- 如果能求出系统的零、极点，可写成零、极点表达形式，即稳定 不稳定 c 点稳定，a 、e 点不稳定∏∏==--=-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--==Φni im j j n m i p s z s K p s p s p s z s z s z s K s X s X s 1121210)()()())(()())(()()()( 式中，s ＝z j （j ＝1，2，…，m ）为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点；s ＝p i （i ＝1，2，…，n ）为传递函数分母多项式的根，称为传递函数的极点。

第七章 系统的稳定性

第七章 系统的稳定性

s s5 s4 3 s s3 s2 1 s s0
6
1 8 20 16 2 12 16 0 1 6 8 0 ? F (s) s 4 + 6s 2 + 8 0 0 4 12 ? F ¢(s) =4s 3 12s 3 8 4/3 8
表中第一列元素均为正号，系统没有正实部特征根。但由 于劳斯数列表出现全零行，说明系统在虚轴上有共轭虚根， 求解辅助多项式构成的辅助方程，就可得该共轭虚根，即 求解 4 2 Fs =s +6 s + 8 () 得两对共轭虚根
b1 = a1 ,
a1a4 - a0a5 b2 = , a1
aa 1 6- a 0a 7 b = ,鬃 ? 3 a1 a3b1 - a1b2 a5b1 - a1b3 c1 = , c2 = , b1 b1
c3 = a7b 1- a 1b 4 ,鬃 ? b 1
每一行的元素计算到 零为止。为简化运算过程， 可以用一正整数去乘以或 除某一行的各项。
3）用 s+a（a为任意正数）乘以原特征方 程式，得到一个新的特征方程，再用劳 斯判据。
2. 劳斯数列中某一行的元素全部为零
这种情况意味着在s平面中存在着一些对称于虚轴的根：
1）一对（或几对）大小相等符号相反的实根； 2）一对共轭虚根； 3）呈对称位置的两对共轭复根。
在这种情况下，可以用该零行的上一行元素构成一个 辅助方程，取辅助方程的一阶导数所得到的一组系数来代 替该零行，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后 再按照前述方法进行判别。
在初始条件不为零的条件下取拉氏变换，得 n n 1 ( a s a s . . . as aX )o () s M () s 0 1 n 1 n 0
m m 1 ( b s b s . . . bs bX ) i() s N () s 0 1 m 1 m 0

第五章 系统的稳定性PDF

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第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。

若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。

线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。

若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。

而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。

因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。

5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。

一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。

此即系统稳定的必要条件。

按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。

Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。

Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。

建立表的方法请参阅相关的例题或教材。

运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。

Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。

现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性

现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性

其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t

第5章 系统的稳定性

第5章 系统的稳定性
n2
n
n 3
s
0
an an2 a n4 a n1 a n 3 a n 5 a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 b3 a n1 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 c3 b1 b1 x1 0 0
1、基本概念
线性系统的特征方程为：
D( s) a n s n a n1 s n1 a1 s a0 0
将上式因式分解： D(s) an (s r1 )(s r2 ) (s rn ) an s n an (r1 r2 rn ) s n1 an (r1r2 r1r3 rn 1rn )s n2
符号改变两次，故有两个不稳定的实数根。
1阶系统:
a1s a0 0
a2 s a1s a0 0
2
a1, a0同号则系统稳定 2阶系统:
a1, a2, a0同号则系统稳定
3阶系统:
a3s a2 s a1s a0 0
3 2
a0, a1, a2, a3均大于0,且a1a2 > a3a0,则系统稳定
本节介绍稳定性的基本概念。
5.1 稳定性的基本概念
B A
(a)
A
(b)
图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，
当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除
后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，
所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 就是不稳定的。 (b)
稳定性的定义
任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状 态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除 后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统 可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不 稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说， 它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及 外作用无关。

(优选)第一节系统的稳定性

(优选)第一节系统的稳定性
当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来 的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
稳定的充要条件和属性
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1 a j
j 1s p j
b s n2
1
b2
b3
第一行为1，3，5，…项系数组成，
c s n3
1
d1
c2 d2
c3 d3
第二行为2，4，6，…项系数组成。
s0
g1
sn s n1
an an1
an2 an3
an4 an5
b s n2
1
b2
b3
c s n3
1
c2
c3
d s n4
1
d2
d3
s1 s0
f1
g1
劳斯判据
以下各项的计算式为：
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期
振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
不稳定。
I m S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的 结构、参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；
sn4
d1
c2
d2
c3 d3
s1
an1 an7
s0
c3

系统的稳定性

系统的稳定性

由上例可知： (1)线性系统不稳定现象发生与否, 取决于系统内部条件，而与输 入无关。 (2)系统发生不稳定现象必有适当 的反馈作用。 (3)控制理论中所讨论的稳定性其 实都是指自由振荡下的稳定性, 也就是说,是讨论输入为零,系 统仅存在有初始状态不为零时 的稳定性。
(二)稳定的定义和条件
1. 稳定的定义:
F(s) 零点 极点
GK(s) 零点
相同
极点
原来系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点均须具有负实部,现在 却变为F(s)的全部零点须具பைடு நூலகம்负实部，即F(s)在[s]右半平面无零点。
函数F(s)具有下列特点: (1)它的零点即系统闭环传递函数GB(s)的极点,它的极 点即系统开环传递函数GK(s)的极点; (2) [GH]平面上的(-1,j0)点就是[F]平面上的原点。 所以在[GH]平面上包围点(-1,j0)的圈数N，就等 于在[F]平面上LF包围原点的圈数N。
于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
例2 、 系统的特征方程为: D(s)=s4+ s3 – 19s2 + 11s+ 30=0 s4 s3 1 1 – 19 11 30 0
s2
s1 s0
[1×(-19) –1×11]/1= –30
[(–30)×11–1×30]/ (–30)=12 30
8 12 12 0 12 8 0 0 20 16 16 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 辅助方程
s 4 6s 2 8 0
4s 12s 0
3
某一行全为零，说明在虚轴有共轭虚根。令F(s)=s4+6s2+8=0，求得两对大小 相等、符号相反的根： j 2 , j 2 ，显然这个系统处于临界稳定状态。

第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)

第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)

f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。

系统的稳定性

系统的稳定性

L L L L M
a1
0 0 0 0 0 ao
∆n =
M
0 0
M L
M L
a2
第五章 系统的稳定性
∆1=an-1>0
an-1 ∆2 = an an-3 >0 an-2 an-1 an-3 an-5 ∆3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
∆n>0
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 行列式直接由系数排列， 行列式直接由系数排列 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 表要简单些， 而明确，因此，比列 表要简单些 较为方便，但对六阶以上的系统， 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式： 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
第五章 系统的稳定性
补充： 补充： 映射定理：设复变函数 映射定理：设复变函数F(s)有p 有 个极点和Z个零点被 平面内某一封 个极点和 个零点被s平面内某一封 个零点被 闭曲线所包围， 闭曲线所包围，并且这一封闭曲线 不经过F(s)的任何极点或零点。当 的任何极点或零点。 不经过 的任何极点或零点 复变量s顺时针方向沿此封闭曲线 复变量 顺时针方向沿此封闭曲线 移动一周时， 移动一周时，在F(s)平面内的映射 平面内的映射 曲线将顺时针方向包围坐标原点
a n-2 a n-3
… …
每一行元素可以同时乘以或除以相同数 2）列出Routh表 列出 表 3）由稳定判据判断稳定性 ） 第一列符号无改变， 第一列符号无改变，系统无实部为正的 特征根→ 特征根→稳定 第一列符号改变n 则有n 第一列符号改变n次，则有n个实部为正 的特征根→ 的特征根→不稳定
第五章 系统的稳定性

第5章系统的稳定性

第5章系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
稳定性是控制系统正常工作的首要条件。 稳定性是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动， 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，如负载或 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 如果系统不稳定，当它受到扰动时， 如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了， 不可能恢复原来的平衡状态。 不可能恢复原来的平衡状态。
例
系统特征方程 D( s ) = s 6 + 2s 5 + 8s 4 + 12s 3 + 20s 2 + 16s + 16 = 0， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： （1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定 ）特征方程的所有系数均为正实数， 的必要条件。 的必要条件。 （2）列劳斯数列表 ）
得系统的脉冲响应函数
A C(s) = φ(s) = ∑ i i=1 s − si
n sit i=1
n
g(t) = c(t) = ∑Ae i
若系统稳定
n sit t →∞ t →∞ i=1
lim g(t) = lim∑Ae = 0 i
si (2)若 (2)若 s 为复数 i
(1)若 (1)若 为实数
t →∞
例
已知系统特征方程 D( s ) = s 5 + 3s 4 + 3s 3 + 9s 2 − 4s − 12 = 0 ， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
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（2）特征方程的各项系数的符号全部相同
即：特征方程的各项系数全部大于0。
充分条件：“劳斯阵列”第一列所有项全部为正。
劳斯阵列
sn
a0 a2 a4 L
s n1 a1 a 3 a 5 L
s n2 b1 b2 b3 L
s n3 c1 c2 c3 L
M MMMM
s1
v1 v2
s0
w1
a0 a2
a0
b1 a4
a1 a3 a1
b2
a1 a5 a1
a1 a3
c1
b1 b2 b1
注：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实 部根的个数。
【例】：特征方程为 a 2s2a 1sa 00，
试判断稳定性。
【解】：劳斯阵为：
s2
a2
a0
s1
a1
0
s0
b1 a0
所以二阶系统稳定的充要条件是： ❖ a2,a1,a0 均大于零
K
k
an (spi) [s(jjj)][s(jjj)]0
i1
j1
P3
P2
Pn
P1
P5
P4
j
S平面 O
I m S平面
稳 定 区
临 界 稳 定
不
稳 Re
定 区
注：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统 本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初 始条件无关；只与极点有关，与零点无关。
注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。 原因：(1) 在进行系统分析时，所依赖的模型通常是 简化或线性化；
(2) 实际系统参数的时变特性； (3) 系统必须具备一定的稳定裕量。
5.2 系统稳定的充要条件
系统的稳定性 关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚
普诺夫（А. М. Лялунов）于1892年确立的。 线性定常系统，在脉冲扰动的作用下，系统的
s4
1
4 16
s3
3
12
s 2 0 ( ) 1 6
s1 12 48 0
s0
16
第一列符号改变2次，有2个正实根。
特殊情况二
D (s )【 s 例5 】s 4 5 s 3 5 s 2 6 s 6 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
s5
1
s4
1
5
6 特殊情况：
5
6 有一行元素全为0。
(c) 不稳定
注意：稳定性是控制系统自身的固有特性，取 决于系统本身的结构和参数，与输入无关。
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后， 系统都能够恢复到原有的平衡状态。
B A
（a） 大范围稳定
小范围稳定:
当扰动引起的初始偏差在一定范围内，当扰动取消
后，系统能够恢复到原有的平衡状态；而扰动引起
的初始偏差超出其范围内，当扰动取消后，系统不
能够恢复到原有的平衡状态。
c
e
bd
a
（b）小范围稳定
不稳定: 只要扰动引起一点初始偏差，当扰动取消后，系 统也不能够恢复到原有的平衡状态。
A B
（C）不稳定
临界稳定： 若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存 在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临 界稳定状态。
系统稳定性的基本概念 和例题解答
稳
定
的
摆
b
c
a
d 不 稳 定 的 摆
➢稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状
态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原
来的初始定常系统。
x (t)
控制系统 y ( t )
0
t
(a) 外加扰动
(b) 稳定
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解 作劳斯表如下
s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 6 0 s0 5
b1
23411 2
b2
25015 2
c1
14526 1
第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统 不稳定。
两种特殊情况 特殊情况一 【例】 D (s) s4 s3 3 s2 3 s 2 0
k
r
c(t) ciepit
ejt(Ajcos
jtBjsinjt)
i1
j1
由上式可知，如果系统稳定，应有：
t0，c(t)=0
pi 0即，：j 0
系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部，即：系统闭环 传递函数的极点全部在S平面左半部。
系统特征方程
D(s)ansnan1sn1La1sa0
【例】：特征方程为 a3s3a2s2a1sa00，
试判断稳定性。
【解】：劳斯阵为：
s3
a3
a1
s2
a2
a0
s1
a2a1 a3a0 0
a2
s0 a0
0
三阶系统稳定的充
❖ a3,a2,a1,a0 均大于零
要条件：
❖且 a1a2a3a00
【例】 已知特征方程为 s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
s4
1
32
s3
1
30
s2
0( )
2
s1
3 2
0
s0
2
第一列符号改变2次， 有2个正实根。
特殊情况：第一列出现0。 解决方法：用任意小正数代之。
【例】 D (s ) s 4 3 s 3 4 s 2 1 2 s 1 6 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
运动随着时间的增长，可以逐渐趋于零，则称该系 统是稳定的（系统（渐近）稳定）。否则系统是不 稳定的。
定义：若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间 的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的 性能，则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不 稳定。
设系统的闭环传递函数为:
(s)C(s) R(s)
bamnssm n abnm11ssnm11......ab11ssab00
s 3 （0 4） （0 1 0） 0 解决方法：全0行的上一行元
s2
5/2
6
素构成辅助方程，求导后方
s1
2/5
程系数构成一个辅助方程。
s0
6
第一列全为正，临界稳定,解A(s)可
A(s)s45s260
得虚根
dA(s)4s310s10 ds
5.3 代数稳定性判据
不用求解代数方程的根，基于代数方程各次项的系数， 来判别系统稳定性的方法称为代数稳定性判据。
5.3.1 劳斯稳定判据 系统的特征方程
a 0 s n a 1 s n 1 L L a n 1 s a n 0
要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：
（1）特征方程的各项系数 ai 0(i0， 1， 2Ln)
M(s) D(s)
K
B(s)
r
an (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统，t → 时,输出量 c(t)=0。
B (s) k C (s) R (s)
c i r
jsj
D (s) i 1s p i j 1 [s (j jj)][s (j jj)]