第四章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分
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目录1对弧长的曲线积分 (扩展)对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分(1)对于y=y(x)(2)对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(3)对于极坐标方程是()r r θ=,转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ,则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长,现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么,如果把被积函数f(x,y)看成是密度,那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1,则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分,称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间,若被积函数是f(x,y,z)那么,就表示在空间曲线L 的密度,求得的结果就是空间的线质量。
定义:01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程,指出自变量范围,确定积分上下限(下限必须小于上限) 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ,y 在L 上变动,因此x ,y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ,y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式,并计算。
注,二重积分中xy 在投影域D 内动,而被积函数的xy 在L 上动,故(x ,y)必须满足L 。
如,L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰(保留。
还不太懂)参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩,则有:显式方程 设曲线为L :y=y(x) ,则有:设曲线为L :x=x(y) ,则有: 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有:空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩,则有: 设在L 上f(x,y)<=g(x,y),则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰,特别的,有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用(其实和二重积分一样,完全可以自己推导)质心坐标:LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量:I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i(Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积),设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点,作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i,并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y),∑在xOy面上的投影区域为D_xy,函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数,被积函数f(x,y,z)在∑上连续,则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地,如果曲面∑的方程为x = x(y,z),∑在yOz面上的投影区域为D_yz,则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x),∑在zOx面上的投影区域为D_zx,则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算(略高于一般要求)- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.,(u,v)∈ D,且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数,(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零,则dS=√(EG - F^2)dudv,其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
第十一章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题.但在实际问题中,这些还不够用,例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时,还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线,或者空间中的一张曲面的积分,这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.教学目标1.理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质;2.掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法;3.理解两类曲线积分之间的关系;4.掌握格林公式;5.会应用平面曲线积分与路径无关的条件;6.理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质;7.掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法;8.理解两类曲面积分之间的关系。
教学要求1.掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。
2.掌握格林公式。
3.应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
4.掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。
知识点、重点归纳1.分析实际问题,将其转化为相关的数学问题;2.应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题;3.理解格林公式的实质;4.应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
第一节 对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,),(y x f 在L 上有界,用i M 将L 分成n 小段i S ∆,任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =, 作和ini iiS f ∆∑=1),(ηξ,令},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ,当λ0→时,01lim (,)ni i i i f S λξη→=∆∑存在,称此极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为=⎰ds y x f L),(01lim (,)ni i ii f S λξη→=∆∑注意:(1)若曲线封闭,积分号⎰ds y x f ),((2)若),(y x f 连续,则ds y x f L⎰),(存在,其结果为一常数.(3)几何意义),(y x f =1,则ds y x f L⎰),(=L (L 为弧长)(4)物理意义 M =ds y x L⎰),(ρ(5)此定义可推广到空间曲线ds y z x f ⎰Γ),,(=01lim (,,)ni i i ii f S λξηζ→=∆∑(6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心:Mxdsx L⎰=ρ,Mydsy L⎰=ρ,Mzdsz L⎰=ρ。
第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、 性质,掌握对面积的曲面积分的计算方法, 会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界,将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积),在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ,作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n ),并作和 f i , i , is i ,记各小曲面直径的最大值为,如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法,当 0时,上述和式的极限都存在且相等,则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素,因此,S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时,积分结果在数值上等于曲面的面积S ,即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数,被积函数f (x, y,z)在 上连续,则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性,若12,且1与2没有公共的内点,则设曲面 由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24,则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙(x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙(X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分,则有()4 xdS ;( B) ydS 4 xdS ;1 14 xdS ;( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面, 关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数,于是 xdS xyzdS ° .类似地, 关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数,于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上,由对称性,zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时,应注意下列技巧: (1) 利用对称性,但要注意,曲面 关于某坐标面对称,被积函数关于相应变量具有 奇偶性,两者缺一不可.(2)利用积分曲面 的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ,其中 是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形,记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中,将曲面方程代入到了曲面积分里, 形,最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】]根据积分曲面 的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域,计算曲面面积微元dS ,将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1,在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分,在 2上,dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D :x y 1,所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影,因为投影为曲线,不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ,其中 为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面 如图11-13所示,此积分为对面积的曲面积分,积分曲面关于xoz 面,yoz 面对称,被积函数是偶函数,则有z 2dS = 4 z 2dS , 1故可利用对称性解之•解 设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量,其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点,铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系,则球面方程为x 2y 2z 2R 2, 且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z),由对称性知,x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3,于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面,在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z),用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。