下载文档原格式
目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
第十一章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.教学目标1．理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质；2．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法；3．理解两类曲线积分之间的关系；4．掌握格林公式；5．会应用平面曲线积分与路径无关的条件；6．理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质；7．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法；8．理解两类曲面积分之间的关系。
教学要求1．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。
2．掌握格林公式。
3．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
4．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。
知识点、重点归纳1．分析实际问题，将其转化为相关的数学问题；2．应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题；3．理解格林公式的实质；4．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
第一节 对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，),(y x f 在L 上有界，用i M 将L 分成n 小段i S ∆，任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =， 作和ini iiS f ∆∑=1),(ηξ，令},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ，当λ0→时，01lim (,)ni i i i f S λξη→=∆∑存在，称此极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为=⎰ds y x f L),(01lim (,)ni i ii f S λξη→=∆∑注意：（1）若曲线封闭，积分号⎰ds y x f ),(（2）若),(y x f 连续，则ds y x f L⎰),(存在，其结果为一常数.（3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L⎰),(=L （L 为弧长）（4）物理意义 M =ds y x L⎰),(ρ（5）此定义可推广到空间曲线ds y z x f ⎰Γ),,(=01lim (,,)ni i i ii f S λξηζ→=∆∑（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心：Mxdsx L⎰=ρ，Mydsy L⎰=ρ，Mzdsz L⎰=ρ。
