[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
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§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
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§6.1 格的概念
例：以下均为偏序集合格（D为整除关系，Sn为n的因 子集合）。
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§6.1 格的概念
2.代数系统格 L, [定义]设 是一个格，如果在A上定 义两个二元运算和，使得对于任意的a，bA， ab等于a和b的最小上界，ab等于a和b的最大 下界，那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格 L, [定义]格是一个偏序集合 ，其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用 a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即： GLB{a, b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。
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§6.3 有补格
[定理]在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。 证明：
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§6.4 布尔代数
[定义]一个有补分配格称为布尔格。
[定义]一个格<L,≤>如果它既是有补格，又是分配格， 则它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元 素a的唯一补元记为a。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义L上的一个一元运算，称为补运算， 记为“-”。
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§6.4 布尔代数
因此， 从逻辑观点看，布尔代数是命题演算系统。 从集合论观点看，布尔代数是集合代数。 从抽象代数的观点看，布尔代数是一个代数系统。
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第三篇小结
通过本篇的学习应该达到以下基本要求： (1)给定集合与运算的解析表达式，写出该运算的运 算表。 (2)给定集合和运算，判别该集合对运算是否封闭。 (3)给定二元运算，说明运算是否满足交换律、结合 律、幂等律、分配律和吸收律。 (4)给定集合S上的二元运算，求出该运算的幺元、 零元、幂等元和所有可逆元素的逆元。 (5)给定集合S和二元运算*，能判定<S,*>是否构成半 群、独异点和群。
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§6.4 布尔代数
例：<(S),,,~,,S>，其中S={a,b,c}， 在这个布尔代数中的元素分三种情况： （ⅰ）界：全上界S，全下界 ； （ⅱ）{a},{b},{c}单个元素集合的元素； （ⅲ）二，三个元素作为集合的元素，但它们均可 {a,b,c} 用单个元素的集合的元素来表述： {a,c} {a,b}={a}{b} ,{a,c}={a}{c}, {a,b} {b,c} {b,c}={b}{c}, {a} {b} {c} {a,b,c}={a}{b}{c} 。
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习题选讲
例1. 设：S＝{a,b}，则S上可以定义多少个二元运算？其 中有4个运算如下表所示，则有哪些满足交换律， 哪些满足幂等律，哪些有幺元，哪些有零元？
1 a a a b a b a a 2 a a b a b b b a 3 a b a b a b a a 4 a b a a b b a b
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§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b，有a≤ab及ab≤a。
(3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL，如a≤b， c≤d，则ac≤ bd， ac≤bd
(4)（交换律）交和并运算是可交换的。 (5)（结合律）交和并运算是可结合的。
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§6.1 格的概念
(6)（幂等律）对L中每一个a，有aa=a，aa=a。
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§6.2 分配格
[定义]如对L中任意a，b，c有： a≤ca (b c) ＝ (a b) c 则称<L,≤>为模格。 例：
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§6.2 分配格
[定理]如果格中交对并是分配的，那么并对交也是 分配的，反之亦然。 证明：已知a(bc)＝(ab)(ac) (ab)(ac)=((ab)a)((ab)c) =a((ab)c) =a((ac)(bc)) =(a(ac))(bc) =a(bc) 即：并对交也是分配的。
Ø
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§6.4 布尔代数
(3)A中除0外的每个元素，都可以唯一地表示成原子 的并。 该定理可得以下两个推论： a)<B,*,,’,0,1>与<p(S),∪,∩,~,Ø,S>同构， |p(S)|=2|s|所以，|B|=2|s|，故任一有限布尔代数 载体的基数是2的幂。 b)任一有限布尔代数和它的原子集合S构成的幂集集 合代数<p(S),∪,∩,~,Ø,S>同构，但后者又与任 一基数相同的幂集集合代数同构，故具有相同载 体基数的有限布尔代数都同构。
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习题选讲
例2. 对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？ 如能，请说明是构成哪一种代数系统？ (1) S1 {0,1,2,...,n} ，＋为普通加法；
1 (2) S 2 { ,0,2} ，*为普通乘法； 2
(3) S3 {0,1,2,3}
，≤为小于等于关系；
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Hale Waihona Puke (7)（吸收律）对L中任意a，b，有 a(ab)=a a(ab)=a。
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§6.2 分配格
对格所定义的代数系统<L,,>，其运算和不一 定满足分配律。 [定义]设<L,,>是由<L,≤>所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cL，满足： a (b c)=(a b) (a c) 及 a (b c)=(a b) (a c) 则称<L,≤>是分配格。
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§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格，对于L中的一个元素 a，如果存在bL，使得ab=1和ab=0，则称元素 b是元素a的补元。 讨论定义： （1）∵ 和是可交换的，∴补元是相互的。 （2） 1 0 1 0 0,0 1 1 1 0 1 ,在有界格 0 中，1和0互为补元； （3）由定义可知L中一个元素的补元不一定唯一； 例：
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§6.1 格的概念
3.格的主要性质： (1)格的对偶原理 设<L,≤>是格，“≤”的逆关系“≥”与L组成的偏 序集 <L, ≥>也是格。两者互为对偶。前者的GLB，LUB 恰好是后者的LUB，GLB。如有关于<L,≤>的有效 命题，将“≤”换成“≥”，“”换成“”， “”换成 “”，便能得到<L, ≥>的有效命题。 反之亦然。
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§6.4 布尔代数
[定义]由布尔格<L,≤>，可以诱导一个包括交，并和 补运算的代数系统<L,,,->，称此代数系统为布 尔代数。 例：设S是一个非空有限集，<(S),>是一个格， 且是一个布尔格。由<(S),>所诱导的代数系统 为 < (S), ,,-> 是一个布尔代数。其中“,,-”分 别是集合的交、并、补运算。
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§6.2 分配格
讨论定义： (1)定义中的两式互为对偶式。 6. (2)如<L,≤>非为分配格，则有下面的分配不等式： a (b c) ≤ (a b) (a c) a (b c) ≥ (a b) (a c) 以及模不等式： a≤ca (b c) ≤ (a b) c
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§6.4 布尔代数
[定理]对于布尔代数中任意两个元素a,b，必定有
(a ) a
a b a b
a b a b
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§6.4 布尔代数
证明：
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§6.4 布尔代数
[定理]设<A,,,->是由有限布尔格<A,≤>所诱导的一 个有限布尔代数，S是布尔格<A,≤>中的所有原子 的集合，则<A,,,->和<(S),,,~>同构。 讨论定理： (1)当布尔代数<A,,,->的载体A的基数|A|是有限数 时,则称之为有限布尔代数。 (2)设<A,,,->是一个布尔代数，a∈A,如果a盖住0， 则称元素a是该布尔代数的一个原子。 例如：
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§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个格，如果存在元素aL，对 于任意的x L，都有： a≤x 则称a为格<L,≤>的全下界，记格的全下界为0。 例：
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§6.3 有补格
[定理]如果格<L,≤>有全上界（全下界），那么它 是唯一的。 证明：（反证法）设有两个全上界a和b，则由定义 a≤b，且b≤a，由“≤”的反对称性， a＝b。
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§6.2 分配格
[定理]每个链均是分配格。 证明：设<L,≤>是链。对任意a，b，cL (1)若a≤b或a≤c，则 a (b c) ＝ a， (a b) (a c)＝a 即： a (b c) ＝ (a b) (a c) (2)若a≥b且a≥c，则 a (b c) ＝ b c， (a b) (a c)＝ b c 即：a (b c) ＝ (a b) (a c)。得证。
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§6.2 分配格
[定理]分配格是模格。 证明：由于a (b c) ＝ (a b) (a c) (1)若a≤c，则a c=c，代入上式得 a (b c) ＝ (a b) c (2)若a (b c) ＝ (a b) c，则 a≤ a (b c) ＝ (a b) c≤c，即： a≤c ∴分配格是模格
