《高等数学复习资料》第一章第一次62页PPT文档
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高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技
狄利克雷函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
高等数学课件第一章1
以，若用y 表示撑杆跳高高度，用t表示1900年以来的年
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
《高等数学》 课件 高等数学第一章
2 函数的极限
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
《高等数学复习资料》第一章第一次
X
f
Y f (X )
②【复合映射】
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z
定义
f g:X Z
且Y1 Y2
称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 ：g ( X ) R g D f 不可少
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
注意:
1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合 X，即定义域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的变化范围; （3）对应规则f, 使每个x ∈X，有惟一确定 的y=f(x)与之时应．
2．映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不 要求原像也具有惟一性．
说明：
1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中， 映射又有不同的惯用名称： 泛函：从非空集合X 到数集Y 的映射；
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
y x
x y x x
x0 x0
o
x
(2) 符号函数
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学第一章复习课ppt课件.ppt
3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
同济版高等数学上册复习资料.ppt
方法2 . 利用莱布尼兹求导公式
x e x (n) n e x (n1)
uv
(n)
u(((n11)))vnn(xxneuxn(n)e1n)vx(1)nn(1ne2! x1)
u(n2)v
uv(n)
例9. 设 y x 1 , 求 y(n) . x 1
解:
y
1
2 x 1
1
2(x
1)1
y 2 (1)( x 1)2
0
11
1 et
d
t
1
01
1
t
d
t
[
t
ln(1
e
t
)]
0 1
ln(1 t)
1 0
ln(1 e)
例9. 已知 f ( x)
x sin t d t , 求
f (x)dx .
0 t
0
解: 由已知条件得
f (0) 0 , f ( x) sin x
x
0
f (x)dx
x
f (x) 0
2
0
1 2
1
0
x
1
1
dx
2
1
x
1
1
dx
可见原积分发散.
发散
例6. 求 11x2 arctan x 2 1 x2 dx .
奇函数
偶函数
解: 利用“偶倍奇零”再, 令 x sin t, 得
原式 4
1
1 x2 dx 4
2 cos2 t d t
0
0
例7.
已知
x
f
( x) dx
arcsin
(包括对数微分法) (3) 参数方程求一阶、二阶导数 ; (4) 用导数定义求特殊点的导数值 ; (5) 计算 n 阶导数 . 例题分析
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高等数学第一章PPT
几何表示
O
a
a
a
x
25
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U(a，） { x 0 x a }.
xa 开区间 ( a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 ( a , a ) 称为a的 右 邻域 .
31
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域,
或f 的 像集, 记作 R f 或f ( X ), 即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x ) sin x , 正弦函数
2
6
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: “” 数集内排除0的集. “ ” 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 N, 即
N {0, 1, 2,, n,}; 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
注
7
全体整数的集合记作
Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,}; 全体有理数的集合 记作Q, 即
、 . Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 ”. “ ” 表示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到 ”, ” 符号 “ 表示 “蕴含 ”,或 “推 ”. 出”. “ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必 符号
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 列举法有很大的局限性.
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§5极限运算法则 §6极限存在准则 两个重要极限
§7无穷小的比较 §8函数的连续性与间断性
§9连续函数的运算与初等函数的连续性 § 10闭区间上连续函数的性质
第一节 映射与函数
一 基本概念 二 映射 三 函数 四 小结 思考
一、基本概念
集合的表
示方法
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
答
疑
五、 辅导答疑方式：
学
地点：7J—C段102
习Leabharlann 时间：上午：8：30—11：00
要
下午：2：30—5：00
求
与 考试与成绩评定
辅
开课时间：第4---18周
导 考试方式：闭卷
答
成绩评定：卷面* 80% ＋平时成绩* 20%
疑
第一章 函数与极限
§1映射与函数 §3函数的极限
§2数列的极限 §4无穷小与无穷大
学
有热心、在数学学习方面上通下达 每周按时收、发作业
习 开课准备二：
要
小作业本：2
求
大作业本：全校统一发放
与
辅
导
答
疑
五、
学
学习要求与建议：
习
怎么学：
要
课前预习---课堂听讲、适当笔记---课后复习-
求
--浏览参考资料--完成作业
与
要求：
辅
小作业本每周交一次；大作业每章结束后
导
交一次；(周二下午之前交上)
⑴【逆映射】设f:X Y是单射
定义 g:f(X) X 称映射 g为映射 的f 逆映射
记作f1
【注】①只有 f 是单射才存在逆映射. Xf(X) 满且单，故而是双射
② 逆映 f 1是 射 指f从 (X )到 X 值 的域 映 从Y 到X不一定是映射
X
f Yf(X)
②【复合映射】 设有两 g:X 个 Y 1, f映 :Y 2 射 Z且Y1 Y2 定义 fg:X Z
二、 《高等数学》《线性代数与空间解析几何》
大
《概率与数理统计》
随机基础
学 数 选修课：
学 《数学建模》 《数学实验》 ……
学
什
么
三、高等数学内容简介
Calculus
微 83% 积 分
级 9% 数
方 8%
程 以极限为基础
函数为研究对象
各部分内容比例分布
四、学习进度、参考书
学习进度：
第一学期：
函数：从实数集到实数集的映射.
如： « 高等数学»中的函数
对映射的分类
f:XY X
f Yf(X)
①满射 若 f(X)Y,则称 f 为满射;
②单射
f
若 x1,x2X,x1x2, 有
X
Y
f (x1) f (x2)
则称f 为单射; ③双射
若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
{xaxb} 称为半开区间,
{xaxb} 称为半开区间,
x 记作 [a,b)
记作 (a,b]
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
ob
高等数学
上、下册 第六版 同济大学数学系 编 高等教育出版社
主讲教师： 祁晓光 授课单位： 数学科学学院
一、为什么学数学
学习数学的目的： 1、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力； 2、为后继基础课与专业课打基础； 3、为本科毕业后的继续深造打下基础。
一、二年级全校连必续修基数础学课： 离散基础
第二学期：
一元函数微积分1—7章; 线性代数
教材类 ：
多元函数微积分
同济大学数学系 《高等数学》第六版 高等教育出版社 2019
指导书类：
1、同济大学数学系 《高等数学》少学时 第三版 高等教育出版社 2019
2、同济大学数学系 《学习辅导与习题选解》第六版 高等教育出 版社 2019
五、 开课准备一：课代表一人/ 每班
点a的去心 邻的 域 ,记作 U0(a).
U 0(a){x0xa}.
注0 意 x a ， 意味 xa着
二、 映射
1.【定义】设X,Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则f , 使得 x X, 有唯一确定的 y Y 与之对应 , 则 称 f 为从X 到Y 的映射, 记作 f:XY
Xx
f
yY
元素y 称为元素x 在映射f 下的像 , 记作 yf(x).
aM, aM,
A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征限集
有限个元素 无限个元素
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
注 表示“对于任意给定的”
3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U ( a ) { x a x a } .
a
a
a x
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
集合X 称为映射 f 的定义域 ;记作Df =X
Y 的子集 Rf f(X)f(x)x X 称为 f 的值域 .
注意:
1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合 X，即定义域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的变化范围; （3）对应规则f, 使每个x ∈X，有惟一确定
的y=f(x)与之时应．
2．映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不要 求原像也具有惟一性．
说明：
1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中，
映射又有不同的惯用名称：
泛函：从非空集合X 到数集Y 的映射；
如： «实变函数与泛函分析»
变换：从非空集到它自身的映射；
如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等.
数集D叫做这个函数的定义域，
yf(x)
记作
Df
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点 函 数 值 全 体 组 成 的 数 集 Rf {yyf(x),xD }称 为 函 数 的 值 域 .
称fg为映g射 和f 构成的复合映射
( f g ) x ) ( f g ( x ) Z , x X
【注意】
(1)构成复合： 映 g(X射 )Rg的 Df条 不件 可少 (2) fg与gf 是有区. 别的
三、函数
1、函数概念
定义 设数集 D R ,则称映射 f : D R 为定义在
D 上的函数，通常简记为