第一章习题答案
略
第二章习题答案
（1）非平稳
（2）
（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图
（1）非平稳，时序图如下
（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
（1）自相关系数为：
（2）平稳序列
（3）白噪声序列
，序列不能视为纯随机序列。LB=，LB统计量对应的分位点为，P值为。显着性水平=0.05
（1）时序图与样本自相关图如下
（2）非平稳
（3）非纯随机
（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机
第三章习题答案 ()0t E x =,2
1
() 1.9610.7
t Var x ==-,220.70.49ρ==,220φ= 1715φ=,2115
φ=
()0t E x =,10.15
() 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15)
t Var x +=
=--+++
10.8
0.7010.15
ρ=
=+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-=
1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ=
10c -<<, 1121,1,2
k k k c c k ρρρρ--?=?
-??=+≥?
证明:
该序列的特征方程为：32--c 0c λλλ+=，解该特征方程得三个特征根：
11λ=
，2λ=
3λ=
无论c 取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。证毕。
(1)错 （2）错 （3）对 （4）错 （5）
该模型有两种可能的表达式：11
2
t t t x εε-=-和12t t t x εε-=-。
将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为
()23
23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t
t
B CB x B B CB B B B εε-+-=-=-+++++L 展开等号右边的多项式，整理为
2233
4423243
4
10.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++--?-?-+++L L L
合并同类项，原模型等价表达为
2
330
20[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞
+=-=+-+-+∑
当30.50.40C -+=时，该模型为(2)MA 模型，解出0.275C =。
()0t E x =,22
()10.70.4 1.65t Var x =++=
10.70.70.40.591.65ρ--?=
=-，20.4
0.241.65
ρ==，0,3k k ρ=≥
（1）证明：因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞
=+=∞
，所以该序列为非平稳序列。
（2）
11
(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-，该序列均值、方差为常数，
()0t E y =,22
()1(1)t Var y C ε
σ??=+-??
自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关
121
,0,2
1(1)k C k C ρρ-=
=≥+-
所以该差分序列为平稳序列。
（1）非平稳，（2）平稳，（3）可逆，（4）不可逆，（5）平稳可逆，（6）不平稳不可逆
01G =，11010.60.30.3G G φθ=-=-=，11
11110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===?≥
所以该模型可以等价表示为：10
0.30.6k
t t t k k x εε
∞
--==+?∑
0123
121110.25
φμφφ=
==---+
证明：已知112φ=
，11
4
θ=，根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得： 01G =，2110110.50.25G G φθφ=-=-=，1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥
01ρ=
5
223211
1
1
1
22
450
111111424
22(1)
11112
01
1
170.27126111
j j
j j j j j
j j G G
G
φφφ
φφφφφρφφφφφ∞
∞
++==∞
∞
+==++
--+=
=
====-+++-∑∑∑∑ ()
1
1
1
1
1122200
,2j
j k
j
j k j
j k j j j k k j
j
j
j j j G G G G
G G
k G
G
G
φρφφρ∞
∞
∞
++-+-===-∞
∞
∞====
=
==≥∑∑∑∑∑∑
（1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立
（1）95%置信区间为（,）
（2）更新数据后95%置信区间为（,）
（1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)
(3) 5年预测结果如下：
（1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)
(3) 5年预测结果如下：
（1）平稳非白噪声序列 （2）MA(1)
(3) 下一年95%的置信区间为（,）
（1）平稳非白噪声序列 （2）ARMA(1,3)序列
（3）拟合及5年期预测图如下：
第四章习题答案 3T x -的系数为116， 1T x -的系数为516
解下面的方程组，得到0.4α=
5.255(1)
5.26 5.5(1)t t χααααχ=+-??
=+-?
%% （1） （2） （3）0.40.240.16b a -=-=
根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1)α-有（2）式成立
23
23
(1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)
t t x t t t t x t t t αααααααααααααα=+--+--+--+-=
-+--+--+%L %L
（1）-（2）得
2
2(1)(1)(1)(1)1t t x t x t t ααααααααα
α
=-----=------=-
%L %L
则1lim lim 1t
t t t x t t α
α→∞→∞-??- ?
== ?
??
?
%。
该序列为显着的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。
该序列为显着的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使
用holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。
本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考
（1）该序列有显着趋势和周期效应，时序图如下
（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：t t t t x T S I =++。（注：如果用乘法模型也可以）
首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）
消除季节影响，得序列t t t y x S x =-，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：
97.70 1.79268t T t =-+，1,2,3,t =L
（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率） 得到残差序列t t t t t I x S x y T =-=-，残差序列基本无显着趋势和周期残留。
预测1971年奶牛的月度产量序列为()
mod 12?,109,110,,120t t t x T S x t =+=))L
得到
（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为
趋势拟合图为
这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar ）或曲线指数平滑（expo ）进行预测（trend=3）。具体预测值略。
第五章习题
拟合差分平稳序列,即随机游走模型 -1=+t t t x x ε,估计下一天的收盘价为289 拟合模型不唯一，答案仅供参考。
拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：
12(1,1,0)(1,1,0)ARIMA ?
(1)AR(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为
-12
-1=7.472+=-0.5595+=
=11.9719+0.4127t t
t
t t t t t
t
t x v
v h e h v εεε????
??? (1)非平稳
（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为
ln ~((1,3),1,0)x ARIMA
（3）预测结果如下：
原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。
第六章习题
单位根检验原理略。
例 原序列不平稳，一阶差分后平稳
例 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳 例 原序列带漂移项平稳 例 原序列不带漂移项平稳
例 原序列带漂移项平稳(=0.06)α，或者显着的趋势平稳。
（1）两序列均为带漂移项平稳
（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR （2）疏系数模型。 （3）两者之间具有协整关系
（4）23.55210.775549t t =+谷物产量降雨量
（1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显着的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即-2{-}t t y x β为平稳序列。
（2）被掠食者拟合乘积模型：5(0,1,0)(1,1,0)ARIMA ?,模型口径为:
551
=
1+0.92874t t
x B
ε?? 拟合掠食者的序列为： -2-1=2.9619+0.283994+-0.47988t t t t y x εε 未来一周的被掠食者预测序列为：
Forecasts for variable x
Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
掠食者预测值为：
Forecasts for variable y
Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60 61 62
（1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。所以对这两个序列取对数后进行单个序列拟合和协整检验。
（2）出口序列拟合的模型为ln ~(1,1,0)t x ARIMA ,具体口径为：
1
ln =0.14689+
1-0.38845t t x B
ε?
进口序列拟合的模型为ln ~(1,1,0)t y ARIMA ,具体口径为：
1
ln =0.14672+
1-0.36364t t y B
ε?
（3）ln t y 和ln t x 具有协整关系
（4）协整模型为：-1ln =0.99179ln +-0.69938t t t t y x εε （5）误差修正模型为：-1ln =0.97861ln -0.22395ECM t t t y x ??