高等数学二高阶偏导数及泰勒公式

§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。

多元函数泰勒公式引言泰勒公式是微积分中的重要概念之一，它用于将一个函数在某一点的局部性质展开为一系列无穷次的项。

在单变量函数中，我们已经熟悉了泰勒公式的推导和应用，而多元函数的泰勒公式则是将这一概念推广到多个自变量的情况。

多元函数的一阶泰勒展开考虑一个函数f(x1,x2,...,x n)，其中x1,x2,...,x n是函数的自变量。

我们希望将这个函数在点(a1,a2,...,a n)的附近展开。

根据泰勒公式，多元函数的一阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) $$这个公式和单变量函数的一阶泰勒展开非常相似，不同之处在于我们需要求偏导数，而不是普通的导数。

多元函数的高阶泰勒展开类似于单变量函数的高阶泰勒展开，对于多元函数，我们也可以将其在某一点的局部性质展开为高阶项。

多元函数的二阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) +\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{n} \\frac{{\\partial^2 f}}{{\\partial x_i \\partial x_j}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) \\cdot (x_j - a_j) $$同样地，我们可以通过求偏导数来计算高阶项的系数。

§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。

若他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ∂∂（x z ∂∂）， y ∂∂（x z ∂∂）， x ∂∂（y z ∂∂）， y ∂∂（yz ∂∂）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。

通常将 x ∂∂（x z ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x . y ∂∂（x z ∂∂）记为yx z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数) x ∂∂（y z ∂∂）记为xy x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数) y ∂∂（y z ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号k k n n yx z ∂∂∂-或 )(n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解 x z ∂∂=23263y xy y x +-， yz ∂∂=xy x y x 233223+-. 22xz ∂∂=y xy 663-.yx z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2) 22yz ∂∂=x y x 263+. 例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0. 证明 由§10.3例2，有x u ∂∂=3r a x --，yu ∂∂=3r b y --，z u ∂∂=3r c z --. 22x u ∂∂=6233)(r x r r a x r ∂∂---(x r ∂∂=r a x -) =6233)(r r a x r a x r ---- =31r -+53r 2)(a x -. 同样，可得22yu ∂∂=31r -+53r 2)(b y -, 22z u ∂∂=31r -+53r 2)(c z - 于是，22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=31r -53r +])()()[(222c z b y a x -+-+- =33r -+33r=0. 由例1看到，y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。

高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。

同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。

类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。

对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。

例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。

同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。

高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。

通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。

二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。

泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。

1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。

两个变量的泰勒公式泰勒公式是数学中一个重要的工具，用于近似表示函数。

它可以将一个光滑的函数表示为无穷级数的形式，这使得我们能够更好地理解函数的性质和行为。

对于给定的函数 f(x)，假设它在某个点 a 处具有各阶的连续导数。

那么泰勒公式描述了函数 f(x) 在点 a 的附近的近似表达式。

针对两个变量的情况，我们可以将泰勒公式写为如下形式：f(x, y) ≈ f(a, b) + (x - a)∂f/∂x + (y - b)∂f/∂y + ...+ 1/2!(x - a)²∂²f/∂x² + 1/2!(x - a)(y - b)∂²f/∂x∂y + 1/2!(y - b)²∂²f/∂y² + ...其中∂f/∂x 和∂f/∂y 分别代表函数 f(x, y) 对变量 x 和 y 的一阶偏导数，∂²f/∂x²、∂²f/∂y² 和∂²f/∂x∂y 分别代表函数 f(x, y) 的二阶偏导数。

泰勒公式的优点在于它可以将复杂的函数近似为一个无穷级数，通过截取级数中的有限项，我们可以得到对函数在指定点附近的近似结果。

这在数学和物理学中具有重要的应用，例如在微积分、近似计算和数值分析等领域。

需要注意的是，泰勒公式的适用范围有限。

首先，函数必须具备一定的光滑性，即在给定的点和附近区域内具有足够多的导数存在。

其次，泰勒公式只能提供给定点附近的局部近似，对于远离该点的区域可能并不准确。

尽管存在一些限制，泰勒公式仍然是一个非常有用的工具。

它帮助我们更好地理解函数的性质和性态，并在各个领域中发挥重要作用。

无论是物理学、工程学还是计算机科学，泰勒公式都扮演着不可或缺的角色。

泰勒公式二阶展开
牛顿-拉夫逊公式二阶展开，也称为牛顿泰勒法，是一种经典的数值多元微分方法，它在求解多元函数在每个点附近变化情况时，具有较高的准确性和效率，是计算微分学中一种重要的方法。

下面将介绍牛顿-拉夫逊公式二阶展开的基本原理以及基本步骤：
一、基本原理
牛顿-拉夫逊公式二阶展开是对多元函数每个点附近的极限表示的非常精确的一种方法。

牛顿-拉夫逊公式二阶展开的基本原理是：设有函数f(x)，它在点x处的值为f(x)，假设泰勒公式足够精确，则可以写作：
f(x)=f(x) + (x-x0)f'(x0) + (x-x0)^2 f''(x0)/2
二、应用步骤
1、确定多元函数：设置多元函数f(x1,x2,...,xn)；
2、求偏导数：求函数的各个变量的偏导数f'(xi),i=1,2,...,n;
3、求二阶、三阶以及更高阶的偏导数：求函数的二阶、三阶偏导数以及更高阶的偏导数f''(xi),f'''(xi),...;
4、确定极限：利用函数的偏导数求函数在每个点的极限；
5、牛顿-拉夫逊公式二阶展开：将求得的极限表示用牛顿-拉夫逊公式二阶展开表示出来。

牛顿-拉夫逊公式二阶展开是进行数值微分求解多元函数，计算出函数在某点处的极限情况时，非常适合使用的一种方法。

它在求解多元函数在每个点附近变化情况时，可以提供比泰勒公式更高精度的结果，并且准确性与效率都非常优异。

§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数z f ( x, y) 的两个（一阶）偏导数zxz, 仍是x 与y 的二元函数.y若它们存在关于x 和y 的偏导数，即z x zx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数z f (x, y) 的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有 2 2 个. 通常将它们表为：z x zx表为2z2x或 f (x, y).xxz y zx表为2xzy或 f ( x, y).xy （混合偏导数）z x zy表为2zy x或 f yx (x, y). （混合偏导数）z y zy表为2yz2或 f (x, y).yy一般地，二元函数z f (x, y) 的n 1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n阶偏导数至多有n 2 个. 二元函数z f (x, y) 的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号n x nkzky( n) x y或 f ( , )n k kx y表示二元函数z f (x, y) 的n 阶偏导数，首先对x求n k 阶偏导数，其次接着对y求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.3 y3 x2 y xy2例1. 求函数z x 3 3 的二阶偏导数.z z2 x y2 x xy3 2 3 2 解： 3 6 . 3 3 2 .x y xy yx y2z 2 x 6 3xy6 .y2 y2z 9 6 2 .2 2 2 2z9 6 2 .x y x y x y x yx x y2xzy2yzx2z36x y 2x. 2y1 2 2 2 例2. 证明：若u ,r (x a) ( y b) (z c) ,则r2 u 2 x 2u2y2u2z0.证明：由§10.3. 例2，有u x xra u yb u z, ,3 r3y r z3c. 32 r (x a)3ru2x r 62 rxr x ax rr 3 ( )3x a r6r 2x ar1 3 23 x a5( ) . rr同样，可得2 u 2 y21 3 u 1 3 22( y b) , (z c)3 5 2 3 5r r z r r.2 2 2u u u 3 3 2 2 2于是，[( x a) (y b) ( z c) ]2 2 23 5x y z r r30.33r 3r定理1. 若函数 f (x, y) 在点P(x0 , y0 ) 的邻域G存在二阶混合偏导数 f xy (x, y) 与f (x, y)yx ，并且它们在点P(x0, y0 ) 连续，则f xy yx (1)(x0 , y0 ) f (x0 , y0 )2证明 令 F ( x, y)( , ) ( , ) f x 0 x yy f xx y( , ) ( , ) f x 0 yy f x y ，①令 (x)( , ) ( , ) . 对 (x) 在[ x 0 , x 0 x] 上应用拉格朗日中f x y 0y f x y值定理, 得 F ( x, y)(x 01x) xf x (x 01x, y 0 y) f x (x 01x, y 0 ) xf x y (x 01, 0 2) ； x yy x y②令 (y)f (x 0 x, y) f (x 0 , y) . 同样方法可以得到F ( x, y) fyx (x 0,) . 于是有 x y x x y30 4f x yx y yf yx (x 0 3x, y 04x) .(x,)12令 x 0, y 0, 取极限得(1) 式.例 3. 证明：若 z f (x, y), xcos , y sin , 则22ff f 22f f 11x2 222y2.证明：f f xxf yyf xf cos sin . yf f xx f yyf xf sincos .y2f2f f ff x cos f y sin2 f 2 x 2 cos 2 x f y sin cos2 y f x sin cos 2 f 2y2sin.2f2f f ff xsinf ycos 2f 2 x 22fsin 2 2x ysin cosfxcos3。

8.4 泰勒公式与极值一 教学目的与要求１、了解二元函数的泰勒公式、二元函数的极值的求法 ２、熟练掌握高阶偏导数的求法 ３、掌握二元函数极值的判定方法 二 重点与难点偏导数与全微分及复合函数偏导数与全微分的求法三 教学过程8.4.1 高阶偏导数由于函数(,)z f x y =的偏导数'(,)x f x y 、'(,)y f x y 仍然是自变量x 与y 的函数.如果它们关于x 与y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是函数(,)z f x y =的二阶偏导数.二元函数的二阶偏导数有如下四种情形2''''2(,)x x x x z z f x y z x x x∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)xy xy z z f x y z y x x y∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)yx yx z z f x y z x y y x⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''2(,)yy yy z z f x y z y y y⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 其中''(,)xy f x y 和''(,)yx f x y 称为二阶混合偏导数.同样,假如这四个二阶偏导数又有对x 与y 的偏导数,这种二阶偏导数的偏导数就叫做函数(,)z f x y =的三阶偏导数.三阶偏导数的符号与而界二阶偏导数的符号类似,例如:用3z x y z∂∂∂∂或'''(,)xyx f x y 或'''xyx z 来表示2z x x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭用32z x y ∂∂∂或2'''(,)x y f x y 或2'''x y z 来表示22z y x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭用33z x∂∂或3'''(,)x f x y 或3'''x z 来表示22z x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭等共有八种情形.依次类推,函数(,)z f x y =的1n -阶偏导数的偏导数称为函数(,)z f x y =的n 阶偏导数,共有2n 种情形.二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,其中既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为高阶混合偏导数.[例 4.1] 求函数222273z x y xy y =-+-的二阶偏导数. [解]322222347zzxy y x y xy x y∂∂=-=-+∂∂ 22322264z zy xy y x x y∂∂==-∂∂∂ 222226464zz xy y x y x y xy∂∂=-=-∂∂∂ [例 4.2] 求arctanyz x=的二阶偏导数. [解]2222z y z xx x y y x y ∂∂=-=∂+∂+ 22222222()z y xyx x x y x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂++⎝⎭ 22222222()z yx y x y y x y x y ⎛⎫∂∂-=-=- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z xx y y x x x y x y ⎛⎫∂∂-==- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z x xyy y x y x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂++⎝⎭ 上述两例中,二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2zy x∂∂∂都是相等的,这种现象的发生并非偶然,而是许多函数都具有的性质.但这个结论并不对任何函数都成立.例如,函数222222220(,)00x y xy x y x yf x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩它的一阶偏导数为422422222'22(4)0()(,)00x y x x y y x y x y f x y x y ⎧+-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩422422222'22(4)0()(,)00y x x x y y x y x y f x y x y ⎧--+≠⎪+=⎨⎪+=⎩于是''''00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xyy y f y f yf y y∆→∆→∆--∆===-∆∆''''00(0,)(0,0)(0,0)limlim1y y yx x x f x f xf xx∆→∆→∆-∆===∆∆这说明(,)f x y 在点(0,0)处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?下面从偏导数定义出发分析这个问题.因 '0(,)(,)(,)l i m x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆所以有''''0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y∆→+∆-==∆00000000000(,)(,)1lim[lim (,)(,)lim ]y x x f x x y y f x y y y xf x x y f x y x∆→∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-=∆00000000001lim lim[(,)(,)(,)(,)]y x f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-同理有''0000000000001(,)lim lim[(,)(,)(,)(,)]yx x y f x y f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→=+∆+∆-+∆-∆∆+∆+ 因此, ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =成立,实质上是上述两个二次极限相等.[定理 4.1] 若函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 存在二阶混合偏导数''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y 与,并且它们在的000(,)P x y 处连续,则''''0000(,)(,)x y y x f x y f x y =[证] 当||x ∆与||y ∆充分小时, 000(,)()x x y y U P +∆+∆∈,于是00(,)x x y +∆与000(,)()x y y U P +∆∈.设0000000(,)(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y y f x x y f x y ϕ∆∆=+∆+∆-+∆-+∆+ 00()(,)(,)g x f x y y f x y =+∆- 则有00(,)()()x y g x x g x ϕ∆∆=+∆-易知()g x 在以000x x x +∆与为端点的区间可导,由拉格朗日中值定理,有'01(,)()x y g x x x ϕθ∆∆=+∆∆=''010010[(,)(,)]x x f x x y y f x x y x θθ+∆+∆-+∆∆ 1(01)θ<< 已知''(,)xy f x y 在0()U P 存在,故对以y 为自变量的函数'01(,)x f x x y θ+∆应用拉格朗日中值定理,有''010212(,)(,)(0,1)xy x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<再令 00()(,)(,)h y f x x y f x y =+∆- 则有 00(,)()()x y h y y h y ϕ∆∆=+∆-用前面同样的方法,可得''030434(,)(,)(0,1)yx x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<于是,当x ∆、y ∆不为零时,可得''''010203041234(,)(,)(0,,,1)x y y x f x x y y f x x y yθθθθθθθθ+∆+∆=+∆+∆<<已知''(,)xy f x y 与''(,)yx f x y 在点000(,)P x y 连续,故当0x ∆→、0y ∆→时,有 ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =定理4.1的结论可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如三元函数(,,)f x y z 关于,,x y z 的四阶混合偏导数42f x y z ∂∂∂∂与4fz x y x∂∂∂∂∂,如果它们连续则相等.若二元函数(,)f x y 在点(,)x y 存在直到n 阶的连续混合偏导数,则函数(,)f x y 的n 阶偏导数与求导顺序无关,都可化成(0,1,2,,)n i n ifi n x y -∂=∂∂ 的形式,这样n 阶偏导数只有1n +个了.[例 4.3] 设(,),()z F x y y x ϕ==,其中F 、ϕ都有二阶连续偏导数. [解] 由全导数公式,有'''(,)(,)()x y dzF x y F x y x dxϕ=+ 注意到'(,)x F x y 、'(,)y F x y 仍是x 、y 的二元函数,再由全导数公式,得2'''''2(,)(,)()xx xy d z F x y F x y x dxϕ=++ '''''''''[(,)(,)()]()(,)()y x y y y F x y F x y x x F x y x ϕϕϕ++= ''''''''2''(,)2(,)()(,)(())(,)()x x x y y yy F x y F x y x F x y x F x y x ϕϕϕ+++ [例 4.4] 设f 具有二阶连续偏导数,求导数(,)xu f x y=的二阶偏导数.[解] 用1、2来标记f 的两个量'''122211u u f f f x yy y ⎛⎫∂∂=+=- ⎪∂∂⎝⎭所以 2''''''''111221222''''''111222211121u f f f f x y y yf f f y y⎛⎫∂=+++=⎪∂⎝⎭++ 2'''''1222222211u x x f f f x y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''122222321x x f f f y y y--- 2222''''''2222222234322u x x x x f f f f y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂=-+=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭[例 4.5] 设(,)f x y 和(,),(,)x u v y u v ϕψ==都有连续的二阶偏导数,且x y 和满足,(4.1)x y x y u v v u∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 求证 2222222222f f f fx x u v xy u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦[证] 由复合函数求导法得 f f x f yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 所以2222222f f x x f x f y u x u u x u x y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222f y y f x f y y u u y x u y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222222f x f x f x y x u x u x y u u ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭22222(4.2)f y f y y u y u ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭同样有 22222222222222f f x fx f x fx f x y v x v xv x ux u x y v v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22222(4.3)f y fy y v y v ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭又式（4.1）222222x yx yu v u v u v ∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 222222y xy xu v u v u v∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∂∂ 0x y x yu u v v∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ 代入(4.2)、(4.3)两式,并把两式相加,得到2222222222f f f y y fx x u v x v u u v x u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 222222f y y fy y y v u u v yu v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22222222fx x f y y x u v yu v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又式(4.2)又有2222y y x x u v u v ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以有2222222222f f f f x x u v x y u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦8.4.2 二元函数的泰勒公式用多元多项式逼近已知多元函数的问题在理论和应用上都是重要的.为简便起见,仅就二元函数的情况进行讨论.[定理 4.2] 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有1n +阶连续的偏导数,点000(,)()x h y k U P ++∈,则有 000000(,)(,)(,)f x h y k f x y h k f x y x y ⎛⎫∂∂++=+++ ⎪∂∂⎝⎭2000011(,)(,)2!!nn h k f x y h k f x y R x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（4.4） 其中00000(,)(,)mn mii m i m i m i i hk f x y C f x y h k xy x y --=⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑,n R 称为余项 1001(,)(01)(1)!n n R h k f x h y k n x y θθθ+⎛⎫∂∂=+++<< ⎪+∂∂⎝⎭令1t =,得()(1)2(0)(0)()(1)(0)(0)2!!(1)!n n n t t t n n ϕϕϕθϕϕϕ+''=++++++注意0000(1)(,),(0)(,)f x h y k f x y ϕϕ=++=,由复合导数链导法,则有''000000(0)(,)(,)(,)x y f x y h f x y k hk f x y xy ϕ⎛⎫∂∂'=+=+ ⎪∂∂⎝⎭''2''''2000000200(0)(,)2(,)(,)(,)xx xy yy f x y h f x y hk f x y k h k f x y xy ϕ''=++=⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭()00(0)(,)nn h k f x y x y ϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭1(1)00()(,)n n h k f x h y k xy ϕθθθ++⎛⎫∂∂=+++ ⎪∂∂⎝⎭将上述结果代入(1)ϕ的展开式中,就得到二元函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的泰勒公式(4.4). 在泰勒公式(4.4)中,令000,0x y ==,就得到二元函数(,)f x y 的马克劳林公式(将h 与k 分别用x 与y 表示)(,)f x y =1(0,0)(0,0)1!f x y f x y ⎛⎫∂∂+++ ⎪∂∂⎝⎭11(0,0)(0,0)2!!nx y f x y f x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 11(,)(01)(1)!n x y f x y n x y θθθ+⎛⎫∂∂+<< ⎪+∂∂⎝⎭在泰勒公式(4.4)中,令0n =,有0000(,)(,)f x h y k f x y ++-=''0000(,)(,)(01)x y f x h y k h f x h y k kθθθθθ++-++<<称为二元函数的中值公式.[例 4.6] 将函数(,)x y f x y e +=展成马克劳林公式.[解] 函数(,)x y f x y e +=在2R 存在任意阶连续偏导数,其m 阶偏导数为()(0,0)10,1,2,,m mx y i m i i m ife f i m x yx y +--∂∂===∂∂∂∂将它们代入马克劳林公式得 ()2111()()()2!!x y n ex y x y x y n +=++++++++1()1()(01)(1)!n x y x y e n θθ+++<<+[例 4.7] 设(,)y f x y x =,在点(1,4)附近寻找一个x 、y 的二次多项式来逼近(,)f x y ，并用它计算 3.96(1.08)。