图论GraphTheory-数学研究所

1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。

图论介绍（GraphTheory）1 图论概述1.1 发展历史第⼀阶段：1736：欧拉发表⾸篇关于图论的⽂章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之⽗1750：提出了拓扑学的第⼀个定理，多⾯体欧拉公式：V-E+F=2第⼆阶段（19~20世纪）：1852: Francis Guthrie提出四⾊问题1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图1878: Alfred Kempe给出给出四⾊定理证明1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四⾊定理证明1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第⼀篇论⽂1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第⼀本图论专著《有限图与⽆限图的理论》，图论成为了⼀门独⽴学科第三阶段（现代图论）：1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory1959: Erd˝os and Rényi 引⼊随机图理论（边的存在的概率为p）1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使⽤计算机最终证明了四⾊问题1.2 参考教材Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976《图论及其应⽤》经典教材，吴望名译，有电⼦版Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第⼆版，推荐教材Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017《图论》GTM173，有电⼦版Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017⼊门教材2 图的初步知识（注：⼀般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶⼤于等于2）2.1 不规则图Definition: 所有顶点的度都不同的图叫不规则图 (irregular graph)Definition: 只有⼀对顶点的度相同的图叫⼏乎不规则图 (almost irregular graph)Theorem:1）不规则图不存在2）恰好存在两个阶数相同的⼏乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）3）对于任意最⼤值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数（以上结论不适⽤于多重图和加权图）2.2 正则图Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是⼀条边的图，单连通的2-regular是⼀个圈，单连通的3-regular称为⽴⽅图Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1常⽤正则图：Kn: n阶完全图，r = n-1Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2Qr: n=2^r阶的超⽴⽅体(r-cube)Kr,r: n=2r阶的⼆分图2.3 ⼆分图（bipartite graph）Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫⼆分图Theorem：图G是⼆分图\Leftrightarrow G中⽆奇圈2.4 ⼦图图G，⼦图（subgraph）Hsubgraph ---> spanning subgraph---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraphspanning subgraph: ⽣成⼦图，H和G的顶点相同induced subgraph: 诱导⼦图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)vertex-delete subgraph: 去顶点⼦图，从图中去除1个顶点Theorem：任意图都可以表⽰为某个正则图的导出⼦图未解问题：给定某⼀图G的所有去顶点⼦图，是否能够重构出唯⼀的图G（同构意义上是唯⼀的）？2.5 距离Definition：连通图（connected），由多个连通分⽀（component）构成的图为不连通图（disconnected）G-v ⽐ G有更多的连通分⽀，则点v称为G的割点（cut-vertex）G-e ⽐ G有更多的连通分⽀，则边e称为G的桥（bridge）Theorem:连通图G，e是桥\Leftrightarrow e不属于G的任何⼀个圈\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e连通图G，w是割点\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过wDefinition：点u, v之间的距离（distance）：u,v之间最短路径的长度d(u,v)点u的离⼼率（eccentricity）：u 与其它点的最⼤距离\epsilon(u)=\max\limits_v d(u,v)最⼩离⼼率为图的半径（radius），达到最⼩离⼼率的点为中⼼点（central vertex）最⼤离⼼率为图的直径（diameter），达到最⼤离⼼率的点为边缘点（peripheral vertex）2.6 TreeDefinition：不包含圈的连通图为树（Tree）Theorem：图G是树\Leftrightarrow G中任意两个顶点都有且只有⼀条连通路径n阶树有n-1条边在G内添加任意⼀条边，就会形成⼀个回路。

图论维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索一个由6个顶点和7条边组成的图图论（Graph theory）是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法。

图是区域在头脑和纸面上的反映，图论就是研究区域关系的学科。

区域是一个平面，平面当然是二维的，但是，图在特殊的构造中，可以形成多维（例如大于3维空间）空间，这样，图论已经超越了一般意义上的区域（例如一个有许多洞的曲面，它是多维的，曲面染色已经超出了平面概念）。

图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。

图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。

图论的研究对象相当于一维的拓扑学。

目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 图论问题o 2.1 图的计数o 2.2 子图相关问题o 2.3 染色o 2.4 路径问题o 2.5 网络流与匹配o 2.6 覆盖问题∙ 3 重要的算法∙ 4 参见[编辑]历史柯尼斯堡七桥问题一般认为，于1736年出版的欧拉的关于柯尼斯堡七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章。

此问题被推广为著名的欧拉路问题，亦即一笔画问题。

而此论文与范德蒙德的一篇关于骑士周游问题的文章，则是继承了莱布尼茨提出的“位置分析”的方法。

欧拉提出的关于凸多边形顶点数、棱数及面数之间的关系的欧拉公式与图论有密切联系，此后又被柯西等人进一步研究推广，成了拓扑学的起源。

1857年，哈密顿发明了“环游世界游戏”(icosian game)，与此相关的则是另一个广为人知的图论问题“哈密顿路径问题”。

“图”这一名词是西尔维斯特在于1878年发表在《自然》上的一篇论文中提出的。

欧拉的论文发表后一个多世纪，凯莱研究了在微分学中出现的一种数学分析的特殊形式，而这最终将他引向对一种特殊的被称为“树”的图的研究。

由于有机化学中有许多树状结构的分子，这些研究对于理论化学有着重要意义，尤其是其中关于具有某一特定性质的图的计数问题。

第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。

其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。

1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。

我们记(),G V E =表示此图形。

图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。

边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。

此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。

边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。

若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。

定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。

G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。

01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。