(江西版)高考数学总复习 第五章5.3 平面向量的数量积及其应用 理 北师大版(含详解)

1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面对量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a ·b 投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的射影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的射影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的射影|b |cos θ的乘积3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特殊地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.规定：零向量与任一向量垂直． 4．平面对量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( × ) (4)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )(5)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (6)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )1．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 设向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ. ∵|a ＋2b |2＝4＋4＋4a ·b ＝8＋8cos60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23， a ·(a ＋2b )＝|a |·|a ＋2b |·cos θ ＝2×23cos θ＝43cos θ，又a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝4＋4cos60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32， ∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.2．(2021·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos30°＝3a 2×32＝32a 2.3．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 答案 3 2解析 |2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝10， ∴4×1－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10， 解得|b |＝3 2.4．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又由于直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为 |b |cos θ＝4×cos120°＝－2.题型一 平面对量数量积的运算例1 (1)(2021·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20B.15C ．9D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 由于DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的射影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的射影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但肯定要留意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．CP →＝3PD →，(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.由于AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又由于AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2(2)(2022·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)C (2)7＋1解析 (1)由于向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2021·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________． 答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 (1)依据平面对量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223 (2)C解析 (1)∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.(2)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面对量与三角函数例4 (2021·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)由于m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)由于|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 由于0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面对量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2021·怀化二模)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.7．向量夹角范围不清致误典例 (12分)若两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2所成的角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角，求实数t 的取值范围．易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，简洁误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大． 规范解答解 设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.[5分] 再设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向， 则2t e 1＋7e 2＝k (e 1＋t e 2)(k ＜0)，[7分] 从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，7＝tk ，且k ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－142，k ＝－14，即当t ＝－142时，两向量所成的角为π.[10分]所以t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．[12分] 温馨提示 (1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要留意挖掘题中隐含条件．(2)利用数量积的符号推断两向量的夹角取值范围时，应当留意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的状况．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉∈(π2，π]；若a ·b ＞0，则〈a ，b 〉∈[0，π2)．[方法与技巧]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要机敏选用恰当的方法，和图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [失误与防范]1．数量积运算律要精确 理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋3B ．2 3 C ．4D ．12 答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52D.72答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．4．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的外形为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由于(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89B.109C.259D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM → ＝2×2×1×cos180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA→|＝________. 答案132解析 由于〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB→＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.8．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)． 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又∵|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的射影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，由于a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的射影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.B 组 专项力量提升 (时间：25分钟)11．(2021·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.12．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( ) A.13B.23C.43D ．2 答案 B解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是( ) A.2B ．2 C ．0D ．1 答案 A解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝2，故选A.14．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图像上运动，Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 15．(2021·宣城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1. (1)推断△ABC 的外形； (2)求边长c 的值；(3)若|AB →＋AC →|＝22，求△ABC 的面积． 解 (1)由AB →·AC →＝BA →·BC →＝1， 得bc ·cos A ＝ac ·cos B ，由正弦定理， 即sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形． (2)由AB →·AC →＝1，得bc ·cos A ＝1， 又bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，则b 2＋c 2－a 2＝2，又a ＝b ，∴c 2＝2，即c ＝ 2.(3)由|AB →＋AC →|＝22，得2＋b 2＋2＝8， ∴b ＝2，又c ＝2， ∴cos A ＝24，sin A ＝144， ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×2×144＝72.。

第3讲 平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理 1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角． (2)X 围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积定义已知两个向量a ，b ，它们的夹角为θ，把|a||b |·co s__θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b投影|a |cos__θ叫作向量a 在b 方向上的射影，|b |cos__θ叫作向量b 在a 方向上的射影几何 意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的射影|b |cos__θ的乘积或b 的长度|b|与a 在b 方向上的射影|a |cos__θ的乘积(1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模|a |＝a·a|a|＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a⊥b 的充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝01．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 二、教材衍化1．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________．解析：因为2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12. 答案：123．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量． ( )(3)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (4)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝________． 解析：因为a ，b ＝b ，c ＝a ，c ＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1，所以a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，所以a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝－32.答案：－322．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的射影为________．解析：AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，由定义知，AB →在CD →方向上的射影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3223．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________．解析：a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52.答案：52平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________．【解析】 法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →|·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ，0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n ，0)·(m ＋2，m )＝2(n ，0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.【答案】 12平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．1．(2020·某某某某二模)已知a ＝(1，2)，b ＝(m ，m ＋3)，c ＝(m －2，－1)，若a ∥b ，则b ·c ＝( )A ．－7B ．－3C ．3D ．7解析：选B.因为a ＝(1，2)，b ＝(m ，m ＋3)，a ∥b ，所以1×(m ＋3)－2m ＝0，所以m ＝3，所以b ·c ＝m (m －2)－(m ＋3)＝－3，故选B.2．(一题多解)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝________．解析：法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24. 法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4，6)，M (8，4)．所以AM →＝(8，4)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24. 答案：24平面向量数量积的应用(多维探究) 角度一 平面向量的模(1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为__________．【解析】 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示 ，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )． 当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.【答案】 (1)A (2)5求向量的模的方法(1)公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积的运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．角度二 平面向量的夹角(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值X 围是________．【解析】 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23. (2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 所以(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，所以4k －6－6<0，所以k <3. 【答案】 (1)23(2)(－∞，3)(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值X 围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．角度三 两向量垂直问题(1)(2020·某某某某一模)已知a ＝(1，1)，b ＝(2，m )，a ⊥(a －b )，则|b |＝( )A ．0B ．1 C. 2D ．2(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 (1)由题意知a －b ＝(－1，1－m )．因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝－1＋1－m ＝0，所以m ＝0，所以b ＝(2，0)，所以|b |＝2.故选D.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 (1)D (2)712(1)当向量a 与b 是坐标形式时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )不平行，且满足(a ＋2b )⊥(a －b )，则x ＝( ) A ．－12B ．12C ．1或－12D ．1或12解析：选A.因为(a ＋2b )⊥(a －b )，所以(a ＋2b )·(a －b )＝0，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝0，因为向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )，所以5＋4＋x －2(4＋x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－12，因为向量a ，b 不平行，所以x ≠1，所以x ＝－12，故选A.2．(2020·某某某某模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝4，b 在a 方向上的投影为－2，则|a －3b |的最小值为( )A ．12B ．10 C.10 D ．2解析：选B.设a 与b 的夹角为θ.由于b 在a 方向上的射影为－2，所以|b |cos θ＝a ·b|a |＝－2，所以a ·b ＝－8， 又|b |cos θ＝－2，所以|b |≥2，则|a －3b |＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝64＋9b 2≥64＋9×22＝10，即|a －3b |的最小值为10，故选B.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．解析：法一：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD→|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.法二：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010平面向量与三角函数(师生共研)已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R . (1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|m a |成立，求正数m 的取值X 围．【解】 (1)由条件知|a |＝2，|b |＝1，又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7，故|a ＋b |＝7. (2)由|a ＋3b |＝|m a |，得|a ＋3b |2＝|m a |2. 即|a |2＋23a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2，即4＋23a ·b ＋3＝4m 2，7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2. 所以43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4m 2－7.由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[6，43)，即6≤4m 2－7＜43，即134≤m 2＜7＋434，又m ＞0，所以132≤m ＜2＋32.即实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，2＋32.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的射影． 解：(1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4， 由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的射影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量的综合运用一、平面向量在平面几何中的应用(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．【解析】 (1)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.(2)在平行四边形ABCD 中，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CD →＝AD →－12AB →，又因为AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×1×12|AB →|－12|AB →|2＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，所以|AB →|＝12. 【答案】 (1)C (2)12向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．二、平面向量与函数、不等式的综合应用(1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是( )A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)(一题多解)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a＋c |的最小值为________．【解析】 (1)设g (t )＝(a ＋t b )2＝b 2t 2＋2t a ·b ＋a 2，当且仅当t ＝－2a ·b2b2＝－|a |cos θ|b |时，g (t )取得最小值1，所以b 2×|a |2cos 2θ|b |2－2a ·b ×|a |cos θ|b |＋a 2＝1，化简得a 2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a |唯一确定．(2)法一：因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，所以a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，所以|a ＋c |≥32，所以|a ＋c |的最小值为32. 法二：因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(t ∈R )，所以a ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t2，32t ，所以|a ＋c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，所以|a ＋c |的最小值为32. 【答案】 (1)D (2)32通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．三、平面向量与解三角形的综合应用已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 【解】 (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．四、平面向量与解析几何的综合应用(1)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3FA →，则此双曲线的离心率为________．【解析】(1)由椭圆x24＋y23＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝bcx＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝bax相交，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝b c x＋b，y＝bax，消去x得，y B＝bcc－a.由AB→＝3FA→，得y B＝4b，所以bcc－a＝4b，化简得3c＝4a，所以离心率e＝43.【答案】(1)6 (2)43向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝( ) A．－3 B．－2解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析：选B.设a 与b 的夹角为α， 因为(a －b )⊥b ， 所以(a －b )·b ＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．(2020·某某某某模拟三)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2，4)，则“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由|a ＋b |2＝a 2＋b 2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，得a ·b ＝0，得(1，k )·(2，4)＝0，解得k ＝－12，所以“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的充要条件．故选C.4.(2020·某某某某二模)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )C．－10 D．－11解析：选D.以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以AF→＝(5，1)，BE→＝(－3，4)，则AF→·BE→＝－15＋4＝－11.故选D.5．已知向量|OA→|＝3，|OB→|＝2，OC→＝mOA→＋nOB→，若OA→与OB→的夹角为60°，且OC→⊥AB→，则实数mn的值为( )A.16B．14C．6 D．4解析：选A.因为向量|OA→|＝3，|OB→|＝2，OC→＝mOA→＋nOB→，OA→与OB→夹角为60°，所以OA→·OB→＝3×2×cos 60°＝3，所以AB→·OC→＝(OB→－OA→)·(mOA→＋nOB→)＝(m－n)OA→·OB→－m|OA→|2＋n|OB→|2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以mn＝16，故选A.6．(2020·某某某某一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为2π3，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的射影为________．解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6e22＝9×1×1×⎝⎛⎭⎪⎫－12＋6＝－92＋6＝32，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的射影为a·b|b|＝323＝12.答案：127．(2020·某某某某九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a ⊥b ，则|2a －3b |＝________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1， 所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，所以2a －3b ＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)， 所以|2a －3b |＝64＋1＝65. 答案：658．(2020·某某质量检测(一))已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB→＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ， 所以λμ＝12y x ＝14.答案：149．已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R . (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0， 即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2， 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2， 即有8－8sin α＝2， 可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)法一：由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得： (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)， t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.[综合题组练]1．(2020·某某某某一模)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝10，AB →·AC →＝25，点P 是△ABC 内(包括边界)的一动点，且AP →＝35AB →－25λAC →(λ∈R )，则|AP →|的最大值是( )A.332B ．37 C.39D ．41解析：选B.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝10，AB →·AC →＝25，所以5×10×cos A ＝25，cos A ＝12， 所以A ＝60°，BC ＝52＋102－2×5×10×12＝53，因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以B ＝90°.以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0，0)，B (5，0)，C (5，53)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤5，0≤y ≤53， 因为AP →＝35AB →－25λAC →，所以(x ，y )＝35(5，0)－25λ(5，53)＝(3－2λ，－23λ)，所以⎩⎨⎧x ＝3－2λ，y ＝－23λ，所以y ＝3(x －3)，直线BC 的方程为x ＝5，联立⎩⎨⎧y ＝3（x －3），x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2 3.此时|AP →|最大，为52＋（23）2＝37.故选B.2.(2020·某某广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM →＝( )A ．24B ．23C ．22D ．18解析：选B.法一：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (1，3)，因为△ABC 为等边三角形，且AM ∥BC ，所以∠MAB ＝120°，所以M (－3，33)．因为N 是CM 的中点，所以N (－1，23)，所以AN →＝(－1，23)，BM →＝(－5，33)，所以AN →·BM →＝23.法二：依题意知|AC →|＝|AB →|＝2，AC →与AB →的夹角为60°，且AM →＝3BC →，AN →＝12(AM →＋AC →)＝12(3BC →＋AC →)＝32(AC →－AB →)＋12AC →＝2AC →－32AB →.BM →＝AM →－AB →＝3BC →－AB →＝3(AC →－AB →)－AB →＝3AC →－4AB →.则AN →·BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2AC →－32AB →·(3AC →－4AB →)＝6AC 2→＋6AB 2→－8AB →·AC →－92AB →·AC →＝23.3.如图，AB 是半圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝________．解析：连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB →－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.答案：54．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值为－32. 答案：－32word21 / 21 5．(创新型)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2C 2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3. (2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.。