2.4.2向量数量积习题课

2.4 向量的数量积A 级 基础巩固1．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332 B.322 C.12 D.32解析：向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝3×cos π3＝32.答案：D2．(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6， 两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形， 知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)， 故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5. 答案：A4．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋72－2＝－92.答案：C5．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.32解析：c ＝a ＋kb ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ， 所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.答案：A6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝________． 解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0.所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)． 所以|a －b |＝3 5. 答案：3 57．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋mb ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．解析：因为3a ＋mb ＋7c ＝0，所以3a ＋mb ＝－7c ， 所以(3a ＋mb )2＝(－7c )2， 化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49. 又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8. 答案：5或－88．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________． 解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. 所以点C 的坐标为(－2，6)． 答案：(－2，6)9．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b 且同向，求a·b ；(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |. 解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°， 此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)． (1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ. 解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)， 所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)． 所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2. (2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)， 所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. B 级 能力提升11．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)． 因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB . 又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB . 所以△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C12.如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝________．解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.答案：413．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0， 则a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±314．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量ka ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)， 所以a ＋b ＝(3，4)． 则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以ka ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)． 因为向量ka ＋b 与a ＋2b 平行， 所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12.(3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)． 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12.解得k >－92或k ≠12.15．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a·b －b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1， 所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203，所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ ≤180°， 所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.。

高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课后导练 苏教版必修4基础达标1.设a =（5，y ）,b =(-6,-4)，且a ·b =-2,则y 等于（ ）A.-5B.-7C.5D.7解析：a ·b =-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（ ）①a ⊥b ⇔a ·b =0 ②若a ·b =0且a ≠0,则b =0 ③若a ≠0,b ≠0，则|a ·b |=|a |·|b | ④当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC 中，=a ,=b ,且a ·b ＜0，则△ABC 是______________三角形（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a ·b =|a ||b |cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC 是钝角三角形.答案：C4.若向量a ⊥b ，则一定有（ ）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a +b |=|a |-|b |C.|a +b |=|a -b |D.|a -b |=|a |+|b |解析：∵a ⊥b ，由平行四边形法则知，以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴|a +b |=|a -b |. 答案：C5.已知|m |=10,|n |=12,且(3m )·(51n )=-36，则m 与n 的夹角是（ ） A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由(3m )·(51n )=-36,得m ·n =-60. 即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-21,θ=120°. 答案：B6.设e 1,e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e 1-e 2)·(-3e 1+2e 2)等于（ ） A.-8 B.29 C.29- D.8 解析：（2e 1-e 2）·(-3e 1+2e 2)=-6e 12-2e 22+7e 1·e 2=-6-2+7×1×1×21=-29.∴选C. 答案：C7.已知a =（-1，3），b =（2，-1），且（k a +b ）⊥(a -2b )，则k 的值为______________.解析：∵(k a +b )⊥(a -2b ),∴(k a +b )·（a -2b ）=0.而k a ＋b =(2-k,3k-1),a -2b =(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=43. 答案：43 8.A 、B 、C 三点的坐标分别为A （1，0），B （3，1），C （2，0），a =,b =,则a 与b 的夹角是________________.解析：∵a ==(-1,-1),b ==(-1,0).∴a ·b =1,|a |=2,|b |=1,cosθ=22||||=•b a b a .又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .解：∵a ∥b ，∴a 与b 同向或反向.若a 与b 同向，则θ=0°.a ·b =|a ||b |cos0°=6×8×1=48;若a 与b 反向，则θ=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a |=32,b =(2,-3),且a ⊥b ，求a 的坐标.解：设a =(x,y).由|a |=132，得x 2+y 2=52.又由a ⊥b ，得2x-3y=0.∴⎩⎨⎧=-=+.032,5222y x y x解得⎩⎨⎧==4,6y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,6y x故a =(6,4)或a =(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（）A.（-3，429-） B.(3,429) C.(-3,429) D.(3,429-)解析：设C （x,y ），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3. 又BC ⊥AB，∴3x+4(y -5)=0,y=429.∴C(-3,429).答案：C12.平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7,k ），若∠MAN=90°，则k 的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）. ∵AM ⊥AN , ∴AM ·AN =0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则△A BC 的形状是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵AB =（1，1），AC =（-3，3）， ∴·=-3+3=0.∴AB ⊥AC ，选A.答案：A14.若a =(1,m),b =(n,2),a ⊥b ，且|a |2+|b |2=6，则m 2=____________,n 2=____________. 解析：∵a ⊥b ,∴a ·b =0.2m+n=0.∵|a |2+|b |2=6,∴m 2+1+n 2+4=6,m 2+n 2=1,m 2=51,n 2=54. 答案：51 5415.已知向量a =（4，3），b =（-1，2）.（1）求a 与b 的夹角θ的余弦值.（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：（1）a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552555||||==•b a b a .(2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b )∴(a -λb )·（2a +b ）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952.拓展探究16.已知平面内两向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a +b )⊥(a -b );(2)若两个向量k a +b 与a -k b 的模相等（k≠0），求证：a ⊥b .证明：（1）a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β),a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β).∴(a +b )·(a -b )=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).（2）∵(k a +b )2=|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2,|a -k b |2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,又|k a +b |=|a -k b |,∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,(k 2-1)a 2+4k a ·b +(1-k 2)b 2=0.又|a |=|b |=1,∴4k a ·b =0.∵k≠0,∴a ·b =0,∴a ⊥b .。

2.4 向量的数量积(二)一、填空题1．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.2．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |＝________.4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝______.6．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为________． 7．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则________． ①a ⊥e ②a ⊥(a －e ) ③e ⊥(a －e )④(a ＋e )⊥(a －e )8. 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是________．二、解答题9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.10．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．11．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．三、探究与拓展12．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．答案1．±35 2.120° 3.7 4.－32 5.－49 6.π2或(90°) 7．③ 8．－29．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12； 又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12， ∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12， ∴|a －b |＝22. 10．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n 2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 11．(1)证明 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解 因为|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2.所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2.12．解 由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3b ·7a －5b ＝0a －4b ·7a －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b ＝15b 27a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝12|b |2|a |＝|b |，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17C ．－16 D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于() A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为() A.322 B.3152C. －322 D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.答案 (－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 的夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

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2.4平面向量数量积习题课模式与方法讲练结合教学目的（1）掌握平面向量数量积的坐标表示.（2) 平面向量数量积的应用。

培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力。

（3）正确运用向量运算律进行推理、运算.重点用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.难点平面向量数量积的综合应用教学内容师生活动及时间分配知识梳理一、选择题1．已知向量a＝(1，－1），b＝（2，x)，若a·b＝1，则x等于( ）A．－1 B．－错误!C。

错误!D．12．设x，y∈R，向量a＝(x,1），b＝（1,y)，c＝（2,－4），且a⊥c，b∥c,则｜a＋b｜等于( )A.错误!B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝(1,2），b＝(2，－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥（a＋b），则c等于( )A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，课上限时做答10~对正确答案师讲解并引深题的考点，典型例题则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C。

错误!D。

错误!二、填空题5．已知向量a,b夹角为45°，且｜a｜＝1,｜2a－b｜＝错误!，则|b｜＝________。

[学业水平训练]1．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________．解析：由题意知，|a |＝9＋x 2＝5.∴x ＝±4.答案：±42．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．解析：由题意知6－m ＝0，∴m ＝6.答案：63．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________． 解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，∴8a －b ＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6，3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：44．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝52，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.答案：55.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________. 解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二：设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，∴x ＝22. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·[BC →＋(22－1)AB →] ＝(AB →＋12BC →)[BC →＋(22－1)AB →] ＝(22－1)AB →2＋12BC 2→＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 答案：26．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1，2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52. 答案：527.(2014·大连高一检测)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．8．已知a ＝(2，－3)，求与a 垂直的单位向量的坐标．解：设单位向量为e ，其坐标为(x ，y )．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 2＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x 1＝31313y 1＝21313或⎩⎨⎧x 2＝－31313y 2＝－21313， 所以e ＝(31313，21313)或(－31313，－21313)． [高考水平训练]1．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时点P 的坐标为(3，0)．答案：(3，0)2.如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度为|a ×b |＝|a |·|b |sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－3，则|a ×b |＝________． 解析： 由于a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45， 所以|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝4.答案：43.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值． 解：由已知得|a |＝（3）2＋（－1）2＝2，|b |＝⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫322＝1， a·b ＝3×12－1×32＝0.∵x ⊥y ，∴x·y ＝0， ∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74， 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 4．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos 120°，∴－4＝|b |×4×(－12)，∴|b |＝2. 又a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝± 6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6. ∴cos θ＝－32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6；m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。

2．4 向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：|a||b|cos θa·b a·b＝|a||b|cos θ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为__________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：|a|cos θ|b|cos θa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的积锐角钝角90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：|a||b| －|a||b| |a|24．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________．答案：|a·b|≤|a|·|b|5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x 1x 2＋y 1y 27．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么|a |＝________________________________________，这是平面内两点间的距离公式． 答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）28．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________． 答案：x 1x 2＋y 1y 2＝09．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 、b 的夹角为θ，则有cos θ＝________________． 答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，我们把|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(0≤θ≤π)．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜π2时，cos θ＞0，从而a ·b ＞0；当π2＜0≤π时，cos θ＜0，从而a ·b ＜0；当θ＝π2时，cos θ＝0，从而a ·b ＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．数量积的性质及运算律 1．数量积的重要性质．设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角． (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2，a ·a 也可记作a 2. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. 2．数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b (数乘结合律)； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．说明：(1)当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c .但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c 不能推出a ＝c .由图很容易看出，虽然a ·b ＝b ·c ，但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c ，有(a ·b )c ＝a (b ·c )；但对于向量a 、b 、c 而言，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．向量的模设a ＝(x ，y )，|a |2＝a ·a ＝(x ，y )·(x ，y )＝x 2＋y 2，故|a |＝x 2＋y 2，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．向量的夹角设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2或a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 21＋y 21 x 22＋y 22cos θ，故cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，当θ＝90°时，cos θ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.基础巩固1．i ，j 是互相垂直的单位向量，a 是任一向量，则下列各式不成立的是( ) A ．a ·a ＝|a |2B ．i ·i ＝1C ．i ·j ＝0D ．a ·j ＝a 答案：D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0.∴AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()AC →2＋AC→·CB →＝16，故选D.答案：D3．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：∵|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°， ∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22 ＝－6＋72－2＝－92.故选C. 答案：C4．若a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：∵a ∥b ，a ⊥c ，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋c ·2b ＝0＋0＝0，故选D. 答案：D5．(2014·湖北卷)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________． 解析：先判断△AOB 是等腰三角形，再计算斜边长．由题意，并可知△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.答案：256．已知A (－1，1)，B (1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则AB →·AC →等于________．答案：1527．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________． 答案：58．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是________．答案：150°10．定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，求|a ×b |.解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×5×cos θ＝－6，∴cos θ＝－35.又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×45＝8.能力升级11．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________． 解析：由于(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －2b ）·a ＝0，（b －2a ）·b ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b .又∵cos a ，b＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2a ·b ·2a ·b ＝12， ∴a 与b 成的夹角为π3.答案：π312．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≥0. ∴cos 〈a ，b 〉≤12.∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π13．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(ka －b )，则实数k 的值为________． 解析：由(3a ＋2b )·(ka －b )＝3k |a |2－3a ·b ＋2ka ·b －2|b |2＝0得12k －18＝0，所以k ＝32.答案：3214．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：通过向量的线性运算列方程求解．由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±315．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．解析：∵|a |＝13，|b |＝19，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a ＋2a ·b ＋b 2＝242.∴2a ·b ＝242－132－192＝46.∴|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝484.∴|a －b |＝22.答案：2216．已知|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，则a ，b 的夹角 θ＝________.解析：∵|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c .∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴9＋2×3×5×cos θ＋25＝49. ∴cos θ＝12.∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等且均为120°.且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1，求向量a ＋b ＋c 的长度．解析：由已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等，均为120°，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1.∴a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－3，b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－32， a ·c ＝|a ||c |cos 120°＝－1.∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝4＋9＋1－6－3－2＝3.∴|a ＋b ＋c |＝ 3.18．已知a 、b 是非零向量，当a ＋tb (t ∈R)的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)求证：b ⊥(a ＋tb )．(1)解析：|a ＋tb |＝（a ＋tb ）2＝a 2＋t 2b 2＋2ta ·b ＝ |a |2＋|b |2t 2＋2a ·bt ＝|b |2t 2＋2a ·bt ＋|a |2， 当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a ·b|b |2时，|a ＋tb |有最小值．故|a ＋tb |取最小值时，t ＝－a ·b|b |2. (2)证明：∵b ·(a ＋tb )＝b ·a ＋tb 2＝a ·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ·b |b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋tb )．19．已知a 为非零向量，向量a 与b 的夹角为120°，向量a －3b 与向量7a ＋5b 互相垂直，问：是否存在实数λ，使得向量a －4b 与向量λa －b 互相垂直？解析：∵(a －3b )⊥(7a ＋5b )，∴(a －3b )·(7a ＋5b )＝0. 即：7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0.①假设λ存在，则由(a －4b )⊥(λa －b )得：(a －4b )·(λa －b )＝0， 即：λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.② 又a ·b ＝－12|a ||b |，③令|a |＝|b |，联立①、②、③得：⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵a ≠0，∴|a |>0.∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，满足条件．20．已知△ABC 是边长为2的正三角形，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，求AD →·BE →.解析：∵BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，∴AD →·BE →＝(AB →＋BD →)·(BC →＋CE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋13CA →＝AB →·BC →＋13AB →·CA →＋12BC →2＋16BC →·CA →＝－BA →·BC →－13AB →·AC →＋12BC →2－16CB →·CA →＝－2×2×cos 60°－13×2×2×cos 60°＋12×22－16×2×2×cos 60°＝－2－23＋2－13＝－1.。