人教版物理必修二精品练习：第五章第2节+解密小船渡河模型+Word版含解析 (1)

第五章抛体运动习题课:运动的合成与分解的两个模型课后篇巩固提升合格考达标练1.某小船船头垂直于河岸渡河,若水流速度突然增大,其他条件不变,下列判断正确的是()A.小船渡河的时间不变B.小船渡河的时间减少C.小船渡河的时间增加D.小船到达对岸的地点不变,与水速大小无关,选项v,河宽为d,则渡河时间t=dvA正确,B、C错误;由于水速增大,故合速度的方向变化,到达河对岸的地点变化,选项D错误。

2.(2021山东烟台高一期中)光滑半球A放在竖直面光滑的墙角处,用手推着保持静止。

现在A与墙壁之间放入光滑球B,放手让A和B由静止开始运动,当A、B运动到图示位置时,二者球心的连线与水平面成θ角,速度大小分别为v A和v B,则以下关系正确的是()A.v A=v BB.v A=v B sin θC.v A=v B cos θD.v A=v B tan θ,所以两球沿球心连线方向的分速度大小相等,即v A cos θ=v B sin θ,得v A=v B tan θ,故D正确。

3.(多选)如图所示,一人以恒定速度v 0通过定滑轮竖直向下拉小车,使其在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平方向成60°,则此时 ( )A.小车运动的速度为12v 0 B.小车运动的速度为2v 0 C.小车在水平面上做加速运动 D.小车在水平面上做减速运动,如图。

人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度是相等的,根据三角函数关系:v cos 60°=v 0,则v=vcos60°=2v 0,随小车向左运动,细绳与水平方向的夹角α越来越大,由v=v0cosα知v 越来越大,则小车在水平面上做加速运动,故B 、C 正确。

4.(2021河南焦作期末)不可伸长的轻绳通过定滑轮,两端分别与甲、乙两物体连接,两物体分别套在水平、竖直杆上。

控制乙物体以v=2 m/s 的速度由C 点匀速向下运动到D 点,同时甲由A 点向右运动到B 点,四个位置绳子与杆的夹角分别如图所示,绳子一直绷直。

高中物理学习材料唐玲收集整理高一必修二第五章专题一：运动合成与分解的两个模型 模型一：小船渡河模型小船在河流中实际的运动（即站在岸上的观察者看到的运动）可视为船同时参与了这样的两个分运动：（1）船相对水的运动（即船相对静水的运动），它的方向与船头的指向相同；（2）船随水漂流的速度（即速度等于水的流速），它的方向与河岸平行。

船在流水中实际的运动（合运动）是上述两个运动（分运动）的合成，小船渡河问题常见以下两类问题：1、 渡河时间t（1） 渡河时间t 的大小取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度的大小，即⊥=v dt 。

（2） 若渡河时间最短，只要使船头垂直河岸航行即可，如图所示，此时船短v d t =，船渡河的位移θsin d x =，位移方向满足水船v v =θtan 。

2、 渡河位移最短问题（1） 若船水v v <，最短位移为河宽d ，此时渡河使用时 间θsin 船v dt =，船头与上游夹角满足水船v v =θcos ，如图甲所示。

（2） 若船水v v >，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d ，寻找最短位移的方法是：如图乙所示 ①先从出发点A 开始做矢量水v ；②再以水v 末端为圆心，以船v 为半径画圆弧；③自出发点A 向圆弧做切线，即为船位移最小时的合运动的方向。

这时，船头与河岸夹角θ满足水船v v =θcos ，最短位移为甲乙θcos dx =短，过河时间为θsin 船v d t = 1、小船在静水中的速度为3m ／s ，它要横渡一条30m 宽的河，水流速度为4m ／s ，下列说法正确的是（ ）A ．这只船能垂直于河岸抵达正对岸 B ．这只船的速度一定是5m/s C ．过河的时间可能为6S D ．过河的时间可能为12S 是2、已知河水自西向东流动，流速为小船在静水中的速度为且＞，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是3、如图所示，船从A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( ) A ．2 m/s B ．2.4 m/s C ．3 m/s D ．3.5 m/s4、船在400米宽的河中横渡，河水流速是2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，试求： （1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？航程是多少？ （2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少？渡河时间又是多少？/5、小船过河时．船头偏向上游与水流方向成θ角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（ ) A．增大θ角，增大船速vB．减小θ角，增大船速vC．减小θ角，保持船速v不变D．增大θ角，保持船速v不变/6、河宽d=600m，河水速度V1=10.8Km/h，小船在静水中的速度V2="14.4" Km/h，求：（1）若要小船以最短时间过河，开船方向怎样？最短时间为多少？小船在河水中实际行驶的距离是多大？（2）若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？过河时间为多少？（结果可用三角函数表示，若有根式，可化简后保留）模型二：绳（杆）端速度的分解模型1、条件：在实际生活中，常见到物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图所示．2.规律：由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同．3.速度分解的方法：物体的实际运动就是合运动.(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解．(2)以上所说的“速度”沿绳方向的分量指的是“瞬时速度”，而不是“平均速度”．(3)把图中甲、乙两图的速度分解成如图所示.1、用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到靠近岸的过程中，如图所示，如果要保证绳子的速度v不变，则小船的速度( )A．不变B．逐渐增大C．逐渐减小D．先增大后减小【思路点拨】解答该题应把握以下两点：(1)小船的运动为实际运动，即合运动．(2)拉绳子的速度等于小船沿绳子方向的分速度.【精讲精析】将小船的速度v′正交分解：沿绳的分速度v′1，垂直绳的分速度v′2，拉绳的速度大小等于v′1，即v′cosθ＝v∴v′＝vcosθ在船靠近岸的过程中，θ逐渐增大，由上式可知，船速v′逐渐增大，故B正确．【方法总结】解决这类问题可分为三步：第一步：分解谁？分解不沿绳方向的速度；第二步:如何分解？沿绳方向和垂直绳方向分解;第三步：何关系？沿绳方向的速率相等.。

考点四：小船渡河模型1.(1.(小船渡河问题小船渡河问题小船渡河问题))小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s 2 m/s，小船在静水中的航速是，小船在静水中的航速是4 m/s.4 m/s.求：求：求：(1)(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？(2)(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m 180 m，水流速度，水流速度v1v1＝＝2.5 m/s.2.5 m/s.若船在静水中的速度为若船在静水中的速度为v2v2＝＝5 m/s 5 m/s，求：，求：，求： (1)(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m3、已知某船在静水中的速率为v1v1＝＝4 m/s m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m 100 m，河水的流动速度为，河水的流动速度为v2v2＝＝3 m/s 3 m/s，方向与河岸平行，方向与河岸平行，方向与河岸平行..试分析：试分析：(1)(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？是多大？(2)(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝d v1sin α. 显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示.渡河的最短时间tmin ＝d v1＝1004s ＝25 s 船的位移为l ＝v 21＋v 22tmin ＝42＋32×25 m＝125 m 船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m＝75 m.(2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝v2v1＝34，θ＝arccos 34. 船的实际速度为v 合＝v 21－v 22＝42－32 m/s ＝7 m/s 故渡河时间：t′＝d v 合＝1007 s ＝10077 s. 答案 （1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=10077s 4、河宽60 m 60 m，水流速度，水流速度v1v1＝＝6 m/s 6 m/s，小船在静水中的速度，小船在静水中的速度v2v2＝＝3 m/s 3 m/s，则：，则：，则：(1)(1)它渡河的最短时间是多少？它渡河的最短时间是多少？它渡河的最短时间是多少？(2)(2)最短航程是多少？最短航程是多少？最短航程是多少？答案 (1)20 s (2)120 m5．(单选单选))一小船在静水中的速度为3 m/s 3 m/s，它在一条河宽为，它在一条河宽为150 m 150 m，水流速度为，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船该小船( ( )． 答案答案 CA ．能到达正对岸．能到达正对岸B B B．渡河的时间可能少于．渡河的时间可能少于50 s甲 乙 AC ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 mD 200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为．以最短位移渡河时，位移大小为150 m6. 6.一只小船在静水中的速度为一只小船在静水中的速度为5 m/s 5 m/s，它要渡过一条宽为，它要渡过一条宽为50 m 的河，河水流速为4 m/s 4 m/s，则，则，则( ( ) ) 答案答案 CA.A.这只船过河位移不可能为这只船过河位移不可能为50 mB.B.这只船过河时间不可能为这只船过河时间不可能为10 sC.C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变D.D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变7.(7.(运动的合成和分解运动的合成和分解运动的合成和分解))某河宽为600 m 600 m，河中某点的水流速度，河中某点的水流速度v 与该点到较近河岸的距离d 的关系如图所示.船在静水中的速度为4 m/s 4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( ( ) ) 答案答案 ADA.A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直船在航行过程中，船头应与河岸垂直船在航行过程中，船头应与河岸垂直B.B.船在河水中航行的轨迹是一条直线船在河水中航行的轨迹是一条直线船在河水中航行的轨迹是一条直线C.C.渡河的最短时间为渡河的最短时间为240 sD.D.船离开河岸船离开河岸400 m 时的速度大小为2 5 m/s8． ( (多选多选多选))小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度((即静水速度即静水速度))大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( ( ) ) 答案答案 ACA ．越接近河岸水流速度越小．越接近河岸水流速度越小B ．越接近河岸水流速度越大．越接近河岸水流速度越大C ．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短D ．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 9． ( (单选单选单选))有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k ，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为同，则小船在静水中的速度大小为( ( ) ) 答案答案 BA.kv k2k2－－1B.v 1－k2C.kv 1－k2D.v k2k2－－1解析 设大河宽度为d ，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝d v0，回程渡河所用时间t2＝d v 20－v2.由题知t1t2＝k ，联立以上各式得v0＝v1－k2，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 10. 10. （单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为（单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为u ，划船速度为v ，出发时两船相距H 332，甲、乙船头均与岸边成o 60角，且乙船恰好能直达对岸的A 点，则下列判断正确的是点，则下列判断正确的是（（ D ）A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．两船可能在未到达对岸前相遇．两船可能在未到达对岸前相遇C ．甲船在A 点右侧靠岸点右侧靠岸D ．甲船也在A 点靠岸点靠岸11.11.如图所示，一艘轮船正在以如图所示，一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1v1＝＝3 m/s 3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：(1)(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；(2)(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v 与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小：v2＝v2＋v 21＝42＋32 m/s ＝5 m/s ，设v 与v2的夹角为θ，则cos θ＝v v2＝0.8.(2)熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin ＝v1cos θ＝3×0.8 m/s ＝2.4 m/s.12.12.如图所示，河宽如图所示，河宽d ＝120 m 120 m，设小船在静水中的速度为，设小船在静水中的速度为v1v1，河水的流速为，河水的流速为v2.v2.小船从小船从A 点出发，在渡河时，船身保持平行移动若出发时船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min 10 min，小船恰好到达河正对岸的，小船恰好到达河正对岸的C 点；若出发时船头指向河正对岸的C 点，经过8 min 8 min，小船到达，小船到达C 点下游的D 点.求：求：(1)(1)小船在静水中的速度小船在静水中的速度v1的大小；的大小；(2)(2)河水的流速河水的流速v2的大小；的大小；(3)(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m解析 (1)小船从A 点出发，若船头指向河正对岸的C 点，则此时v1方向的位移为d ，故有v1＝d tmin ＝12060×8m/s ＝0.25 m/s. (2)设AB 与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C 点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t ＝d v1sin α，所以sin α＝d v1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s. (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD ＝v2tmin ＝72 m.。

专项1 小船渡河问题1．[2024·江西上饶高一联考](多选)一小船过河的运动轨迹如图所示．河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向平行于岸边．若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同(且均垂直于岸边).由此可以确定( )A．船沿AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短C．船沿AD轨迹到达对岸前瞬间的速度最小D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同2．[2024·湖南衡阳高一教学质量检测](多选)在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流．一冲锋舟在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为300 m、水流速度为4 m/s的河流中渡河，下列说法正确的是( ) A．冲锋舟渡河的最短位移为300 mB．冲锋舟渡河的最短时间为100 sC．当冲锋舟以最短时间渡河时，冲锋舟相对河岸的速度大小为5 m/sD．若冲锋舟保持船头与河岸垂直方向行驶，渡河中若水流突然增大，则冲锋舟到达河岸时间变长3．[2024·四川阆中中学开学考试]如图所示，甲、乙两船在同一河岸边A、B两处，两船船头方向与河岸均成θ角，且恰好对准对岸边C点．若两船同时起先渡河，经过一段时间t同时到达对岸，乙船恰好到达正对岸的D点．若河宽d、河水流速均恒定，两船在静水中的划行速率恒定，不影响各自的航行，下列推断正确的是( )A．两船在静水中的划行速率不同B．甲船渡河的路程有可能比乙船渡河的路程小C．两船同时到达D点D ．河水流速为d tan θt4．[2024·广东中山试验中学高一下月考](多选)解放军特种兵在某次训练中要求战士渡过一条如图(b)所示的水渠，Ⅰ区、Ⅱ区的宽度分别为30 m 和40 m ，水流速度分别为1.2 m/s 和0.9 m/s.战士甲和乙分别从A 点和B 点起先以垂直于渠岸的路径渡渠，并在对岸C 点和D 点登陆．已知两名战士在静水中游动的速度均为1.5 m/s ，设战士甲和乙渡渠过程中垂直于渠岸的速度分别为v 1和v 2，渡渠时间分别为t 1和t 2，则( )A ．v 1<v 2B ．v 1>v 2C ．t 1＝t 2D ．t 1<t 25．[2024·山东烟台高一上期末](多选)某次抗洪抢险中，连接某条河两岸的大桥被洪水冲垮，抗洪队伍只有利用快艇到河对岸村庄进行救援．已知河的宽度为96 m ，快艇在静水中速度—时间图像如图甲所示，河流中各处水的位移—时间图像如图乙所示．欲使快艇在最短的时间内渡河，则( )A ．快艇最短的渡河时间为10 sB ．快艇到达河正对岸下游108 m 处C ．快艇到达河对岸时速度大小为15 m/sD ．快艇在河流中的运动轨迹始终为直线6．河宽60 m ，水流速度v 1＝6 m/s ，小船在静水中的速度v 2＝3 m/s ，则： (1)小船渡河的最短时间是多少？ (2)小船渡河的最短航程是多少？7．[2024·河南试验中学高一下期中]已知小船在静水中的速率是v1＝5 m/s，现让该船渡过某条河流，假设这条河流的两岸是志向的平行线，河宽d＝100 m，河水匀称流淌且速率为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，回答下列问题：(1)若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河时间t1是多少？小船到达对岸时向下游偏移的位移x是多少？(2)欲使小船到达河的正对岸，则船头与河岸上游的夹角α为多大？渡河时间t2为多少？专项1 小船渡河问题[提实力]1．答案：AC解析：曲线运动加速度的方向指向轨迹的凹侧．由于题中水流速度大小相同且恒定不变，因此船的加速度方向与船初速度处于同始终线上．综上分析可知，AC 轨迹对应的加速度与初速度同方向，AD 轨迹对应的加速度与初速度反方向，AB 轨迹对应的加速度为0，因此，AC 轨迹小船相对于静水做匀加速运动，AB 轨迹小船相对于静水做匀速运动，AD 轨迹小船相对于静水做匀减速运动，渡河时间只与垂直于河岸速度(本题中即船相对于静水的速度)有关，故船沿AC 轨迹渡河所用的时间最短，故B 、D 错误，A 正确；船沿AD 轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，故船到达对岸的瞬时速度最小，故C 正确．2．答案：BC解析：因为冲锋舟在静水中的速度小于水流速度，故冲锋舟不能行驶到正对岸，当船头偏向上游且和合速度方向相互垂直时，冲锋舟渡河位移最短，此时最短距离为x min ＝v 水v 船·d ＝43×300 m＝400 m ，故A 错误；当冲锋舟在静水中的速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，t min ＝d v 船＝3003s ＝100 s ，故B 正确；当冲锋舟以最短时间渡河时，冲锋舟相对河岸的速度大小，即合速度v ＝v 2船 ＋v 2水 ＝32＋42m/s ＝5 m/s ，故C 正确；若保持船头与河岸垂直方向行驶，过河时间t ＝dv 船，与水流速度无关，水流速度增大，时间不变，故D 错误．3．答案：C解析：由题意可知，两船渡河的时间相等，两船沿垂直河岸方向的分速度v 1相等，由v 1＝v sin θ知两船在静水中的划行速率v 相等，选项A 错误；乙船沿BD 到达D 点，可见河水流速v 水方向沿AB 方向，则甲船不行能到达正对岸，所以甲船渡河的路程较大，选项B 错误；依据速度的合成与分解，v 水＝v cos θ，而v sin θ＝d t，得v 水＝dt tan θ，选项D 错误；甲船沿AB 方向的位移大小x ＝(v cos θ＋v 水)t ＝2dtan θ＝l AB ，可见两船同时到达D 点，选项C 正确．4．答案：AC解析：由于甲、乙两人都是垂直到达正对岸，设两人在静水中的速度和河水的流速的合速度为v 1和v 2，依据运动的合成和分解，有v 1＝ 1.52－1.22m/s ＝0.9 m/s ，v 2＝ 1.52－0.92m/s ＝1.2 m/s ，故有v 1<v 2；渡渠的时间t 1＝30 m v 1＝30 m 0.9 m/s ＝1003 s ，t 2＝40 m v 2＝40 m 1.2 m/s ＝1003s ，故有t 1＝t 2，故A 、C 正确，B 、D 错误．5．答案：BC解析：快艇在最短的时间内渡河，就要使快艇船头与河岸垂直，由于分运动的独立性，水的流速不影响快艇过河的时间，由题中图甲可知，前8 s 内快艇做初速度为零的匀加速运动，其位移为x 1＝12×82m ＝48 m ，则快艇匀速运动的位移x 2＝x －x 1＝96 m －48 m ＝48 m ，匀速运动的时间t 2＝x 2v ＝4812 s ＝4 s ，所以快艇最短的渡河时间t ＝t 1＋t 2＝8 s ＋4 s ＝12 s ，故A 错误；由图乙可知，水速v ′＝x t ＝364m/s ＝9 m/s ，所以快艇到达河正对岸下游x ′＝v ′t＝9×12 m＝108 m 处，故B 正确；快艇到达河对岸时的速度v 合＝v 2＋v ′2＝122＋92m/s ＝15 m/s ，故C 正确；前8 s 内快艇的运动由初速度为零的匀加速直线运动和匀速直线运动合成，运动轨迹为曲线，8 s 后运动轨迹为直线，故D 错误．6．答案：(1)20 s (2)120 m解析：(1)以水流速度的方向为x 轴正方向，以垂直于河岸指向对岸的方向为y 轴正方向，以船开出点为坐标原点建立直角坐标系．设v 2与上游河岸成θ角(如图1所示)，将v 2沿x 、y 轴方向分解得v 2x ＝v 2cos θ、v 2y ＝v 2sin θ，所以过河时间t ＝d v 2y ＝dv 2sin θ.当θ＝90°时，渡河的时间最短，最短时间t min ＝d v 2＝603s ＝20 s.图1(2)由题意知水流速度v 1大于小船在静水中的速度v 2，设O 点为船开出点，先作出有向线段OA 表示水流速度v 1，然后以A 点为圆心、以船在静水中的速度v 2的大小为半径作圆，过O 点作圆的切线OD ，与圆相切于B 点，连接A 、B ，过O 点作AB 的平行线，过B 点作OA 的平行线，两平行线相交于C 点，则有向线段OC 表示船在静水中的速度v 2(如图2所示)，由图2不难看出，船沿路径OBD 行驶到对岸时航程最短，设此时v 2与上游河岸的夹角为α，则有cos α＝v 2v 1＝12，所以α＝60°.图2最短航程x min ＝d cos α＝6012m ＝120 m ．7．答案：(1)20 s 60 m (2)53° 25 s解析：(1)若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河时间t 1＝d v 1＝1005s ＝20 s ，小船到达对岸时向下游偏移的位移x ＝v 2t 1＝60 m.(2)欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向正对岸，则船头与河岸上游的夹角cosα＝v 2v 1＝0.6，则α＝53°，渡河时间t 2＝d v 1sin α＝1005×0.8s ＝25 s ．。

科学思维系列——小船渡河模型一、三个速度v 船(船在静水中的速度)、v 水(水流速度)、v 合(船的实际速度)．二、两个问题 1．渡河时间(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t ＝dv 船sin α(d 为河宽)．(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，t min ＝dv 船(d 为河宽)． 2．最短航程(1)若v 水<v 船，则当合速度v 合垂直于河岸时，航程最短，x min ＝d .船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝v 水v 船.如图①所示．(2)若v 水>v 船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图②所示，以v 水矢量的末端为圆心、以v 船矢量的大小为半径画弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝v 船v 水，最短航程x min ＝dcos α＝v 水v 船d .【典例】 某条河宽度为700 m ，河水均匀流动，流速为2 m/s.若小船在静水中的运动速度为4 m/s ，则小船的船头向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？渡河时间为多少？【解析】 如图所示，小船实际的运动是垂直于河流方向的运动，可以将小船实际的运动看做小船斜向上游方向和沿水流方向两个分运动的合运动．由图可见sin α＝v 2v 1＝24＝0.5，α＝30°即小船应朝向上游行驶，船头指向与河岸成60 °夹角．由图还可以得到合速度的大小为v ＝v 21－v 22＝42－22m/s≈3.5 m/s渡河时间为t ＝x v ＝7003.5s ＝200 s.[拓展] 在【典例】中，若小船行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸(如图所示)，则渡河的时间是多少？小船到达对岸时向下游偏移了多少？解析：若行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河的时间为t ′＝x v 1＝7004s ＝175 s. 小船到达对岸时向下游偏移了x ′＝v 2t ′＝2×175 m＝350 m. 答案：175 s 350 m解题通法小船渡河问题的分析要点(1)区别三个速度：水流速度v 水、船在静水中的速度v 船、船的实际速度(即船的合速度)v 合．(2)分清两种情况：①渡河位移最短：船的实际速度(即船的合速度)与河岸垂直，最短位移为河宽d . ②渡河时间最短：船头垂直于河岸，最短时间t min ＝d v 船.变式训练1 已知河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，且v 2>v 1，下面用小箭头表示小船船头的指向，则下图中能正确反映小船用最短时间渡河、最小位移渡河的情境分别是( )A．①②B．①⑤C．④⑤ D．②③解析：船的实际速度是v1和v2的合速度，v1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v2与河岸垂直(即船头指向对岸)时，渡河时间最短，为t min＝dv2，式中d为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应如④所示；由v2>v1知，最小位移即为d，应使合速度垂直河岸，则v2应指向河岸上游，实际路线如⑤所示，综合可得选项C正确．答案：C变式训练2 [2019·福州检测]小船要渡过200 m 宽的河面，水流速度是4 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，则下列判断正确的是( )A．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50 sB．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C．小船过河所需的最短时间是40 sD．如果水流速度增大为6 m/s，小船过河所需的最短时间将增大解析：要使小船过河的位移最短，小船的船头应斜向上游，使小船与水的合速度与河岸垂直，这时合速度v合＝v2船－v2水＝3 m/s，船过河所需的时间t＝dv合＝2003s，A、B错误；若使船以最短时间渡河，船头必须垂直河岸过河，过河时间t min＝dv船＝2005s＝40 s，C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D错误．答案：C变式训练3 一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示．则 ( )A．快艇的运动轨迹一定为直线B．快艇的运动轨迹可能为直线，也可能为曲线C ．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 sD ．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m解析：快艇的轨迹一定为曲线运动，A 、B 两个选项错误，要使得到达河岸的时间最短，则v 船应垂直于河岸，s ＝12at 2，解得t ＝20 s ，C 选项正确；快艇最快到达岸边，位移必定大于100 m.答案：C变式训练4 河水由西向东流，河宽为800 m ，河中各点的水流速度大小为v 水，各点到较近河岸的距离为x ，v 水与x 的关系为v 水＝3400x (m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v 船＝4 m/s ，则下列说法中正确的是( )A ．小船渡河的轨迹为直线B ．小船在河水中的最大速度是5 m/sC ．小船在距离南岸200 m 处的速度大小小于它在距北岸200 m 处的速度大小D ．小船渡河的时间是160 s解析：水流的速度与其到较近河岸的距离有关，小船垂直河岸的速度恒定，则小船在沿河岸方向做变速运动，在垂直河岸方向做匀速运动，则小船的合运动为曲线运动，选项A 错误；根据v 水＝3400x (m/s)得，小船在河中央时水流速度最大，即为v 水＝3 m/s ，故小船的最大速度v ＝v 2船＋v 2水＝5 m/s ，选项B 正确；无论小船是在距南岸200 m 处还是在距北岸200 m 处，水速均为v ′水＝1.5 m/s ，则小船的合速度大小相等，选项C 错误；小船渡河的时间t ＝dv 船＝200 s ，选项D 错误． 答案：B变式训练5 如图所示，河宽d ＝120 m ，设小船在静水中的速度为v 1，河水的流速为v2.小船从A 点出发，在渡河时，船身保持平行移动．第一次出发时船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min ，小船恰好到达河正对岸的C 点；第二次出发时船头指向河正对岸的C 点，经过8 min ，小船到达C 点下游的D 点，求：(1)小船在静水中的速度v 1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河时小船被冲向下游的距离s CD.解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝dt min ＝12060×8m/s＝0.25 m/s.(2)设A、B连线与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间t＝dv1sin α，所以sin α＝dv1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s.(3)在第二次渡河时小船被冲向下游的距离s CD＝v2t min＝72 m.答案：(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m。

新教材高中物理新人教版必修第二册：重难专题1 小船渡河问题分层作业知识基础练1. [2023江苏南通期末]如图所示，水流方向自左向右，在河岸点的小船要到达正对岸的点，则小船船头应沿哪个方向行驶才有可能( )A. B. C. D.2. [2023江苏靖江期末]如图所示，船从处开出后沿直线到达对岸，若与河岸成角,水流速度为，则船从点开出的最小速度为（已知,）( )A. B. C. D.3. [2023江苏响水期末]如图所示，小船沿直线过河，船头始终垂直于河岸。

若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是( )A. 减小船速，过河时间变长B. 减小船速，过河时间不变C. 增大船速，过河时间不变D. 增大船速，过河时间缩短4. [2022江苏射阳期末]随着我国全面进入主汛期，防汛形势十分严峻。

各地区各部门坚持人民至上、生命至上，全力以赴抗洪抢险。

某船积极参加抗洪，已知该船在静水中的最大速度为。

现让该船渡过某条河，假设河的两岸是平行线且河水流速恒定，河宽,船以最短时间渡河,航线与岸的夹角为，则( )A. 渡河时间为B. 河水流速为C. 实际渡河位移为D. 无论如何调整船头方向，船都无法到达正对岸5. [2022江苏省如皋月考]如图所示，河的两岸平行，水流速度为，三条小船（可视为质点）从同一点开始匀速渡河，船速分别为、、，船头与河岸的夹角分别为、、，其中，。

若它们同时出发，能够同时到达河对岸，则船速的大小关系为( )A. B. C. D.能力提升练6. [2022江苏江阴练习]某次抗洪抢险中，必须用小船将物资送至河流对岸。

如图所示，处的下游靠河岸处有个漩涡，点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为 ,若河流中水流的速度大小恒为，为使小船从点以恒定的速度安全到达对岸，则小船在静水中航行时速度的最小值为（已知,）( )A. B. C. D.7. [2022江苏南京练习]有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为的大河。