高中数学必修5高中数学必修5《2.5等比数列前n项和(二)》教案

等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

2.5 等比数列的前n 项和教学过程 推进新课 ［合作探究］师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生 观察、独立思考、合作交流、自主探究师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q 2+…+q n +q n +1生 每一项就成了它后面相邻的一项师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索： 如果记S n =1+q+q 2+…+q n 那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值生 如果q≠1，则有qq S n--=11师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果生 如果q ＝1，那么S n =n师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示： a 1+a 2+a 3+…+a n =？ ［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n要想得到Sn ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n师 再次提醒学生注意q 的取值 如果q≠1，则有qq a a S n n --=11师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？生 独立思考、合作交流生 如果q ＝1，S n =na 1师 完全正确如果q ＝1，那么S n =na n 正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍师 对了，这就是认清了问题的本质师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......即qa S a S nn n =--1从而就有(1-q)S n =a 1-a n(以下从略思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n从而得(1-q)S n =a 1-an(以下从略师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n＞师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q＜［合作探究］ 师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q，又由q ＜0，可得31-=q 于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn于是得到300001.11)1.11(5000=--n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年答：大约5年可以使总销售量达到30 000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)第二课时教学过程推进新课［例题剖析］师出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：例1思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.［合作探究］师 要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：若每月固定存a 元，连续存n 个月，则计算利息的公式为2)1(nn a +×月利率师 你能解释这个公式的含义吗？ 生 独立思考、合作交流、自主探究师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q ，则这个公式实际上是数列：a q,2a q,3a q,…,na q,…的前n 项和这个数列的项不正是依次月数的利息数？这个数列具有什么特征呢？ 生 发现等差关系师 用我们的数学语言来说，这是个首项为a q ，公差为a q 的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%； 三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%； 利息税率为师 下面我们来看第一个问题的结果生 计算，报告结果师 生共同解答：(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.21%+1 800＝1 869.93(元因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)725050(⨯⨯+×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元(2)每月存入每月存a 元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)36(⨯⨯+a a ×0.21%+36a (元若每月存入每月存a 元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)72(⨯⨯+a a ×0.232 5%+72a (元(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元比教育储蓄的方式少收益27.97(元(4)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元(5)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝10 000a解得x=3986.3710000a=267.39a ，即每月应存入267.39a (元(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得248)48100100(⨯⨯+×0.21%+4 800＝5 046.96(元(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，故当b =1或2时，由计算公式得212)12(bb a a ⨯⨯+×0.165%+12ab (元当b =3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得212 )12(bbaa⨯⨯+×0.21%+12ab(元(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案［概括总结］师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它出示投影胶片3：例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？出示多媒体图片1：师如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和I N请输入将［0，3］分成的份数n：”;NWHILE k＜=N-AN -(k*3/n )^2)*3/NSUM=SUM=ANPRI N T k,ANWE NDE ND阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的AN ，SUM 分别表示什么，为什么？(2)请根据程序分别计算当n ＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).师 你能回答第一个问题吗？生 AN 表示第ｋ个矩形的面积，SUM 表示前ｋ个矩形面积的和生 当把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，各等份的长都是n3理由是：各分点的横坐标分别是n 3,n 23⨯ ,…,nn )1(3-⨯从各分点作y 轴平行线与y=9-x 2图象相交，交点的纵坐标分别是2)3(9n -,2)23(9n ⨯- , (2))1(3[9nn -⨯-它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是nn 3])3(9[2⨯-,n n 3])23(9[2⨯⨯-,…,nn n 3)])1(3[(92⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-师 对学生的思考给予高度的赞扬师 当我们把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域内的n -1个矩形师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n -1项和如何求生 自主探究列式：nn n n n n n S n 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯⨯-+⨯-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯-+-]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222n n n n n=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++--])1(...21[)3()1(932222n n n n师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子师 求和时遇到了12+22+…+n 2的计算问题，这也是一个求数列前n 项和的问题关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n 2,…的前n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前n 项和公式与等比数列前n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式即要求记住：12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习师 运用这个公式，请把上面的n -1个矩形面积的和计算出来生 继续运算S n -1=n 3 {9(n -1)-( n 3)2［12+22+…+(n -1)2］}=n 3［9(n -1)-( n 3)26)12()1(--n n n ］ =222)134(9n n n --师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果师 根据程序，当n ＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N ＝6，SUM 的最后一个输出值那么当n ＝11时，10个矩形的面积的和就是N ＝11时，SUM 的最后一个输出值，即；当n =16时，我们就得到15个矩形面积的和当n =17时，SUM 的最后一个输出值是多少？ 生 n =17时，SUM 的最后一个输出值师 你是怎么计算n =17时，SUM 的最后一个输出值的呢？生 是用上面推导出来的计算公式：2212)134(9n n n S n --=-当n =500时，SUM 的最后一个输出值当n =1 000时，SUM 的最后一个输出值生 用公式2212)134(9n n n S n --=-，不难算出n =500时，SUM=17.973；n =1 000时，SUM=17.986. 师 在计算n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？师 这是因为公式2212)134(9nn n S n --=-用起来很方便，只要给出上一个n 的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的n ，都要从k=1依次循环到k=N -1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事师 至此，你能估计出函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积了？ 生 由n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM ，可以估计，这个面积大约是师 一个非常准确的结果！ ［教师精讲］师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：1.本例中，程序使用了S n 的递推公式，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n a S S a S n n n这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n 项的办法，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n S S a S a n n n 3.关于估计函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前k 个矩形面积的和SUM 就越接近函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x ＝18，而我们的估计值也是18，可见我们的估计非常准确课堂小结本节学习了如下内容：1.教育储蓄中的有关计算2.用计算机程序计算数列的和布置作业课本第69页习题2.5第4、5题板书设计。

《等比数列的前n项和》教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第五节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学设计说明1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．辨析质疑结构化．在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4．巩固提高梯度化．例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5．思路拓广数学化．从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．6．作业布置弹性化．通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．。

必修5 2.5 等比数列的前n 项和（学案） （第2 课时）【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2.等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. 等比数列的前n 项和公式的实际问题． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3.利用基本公式总结等比数列的和的性质．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60页）．1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 数列．2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + m n n s q S +（大小关系）．5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ． 2.数列{}121-+n 的前n 项和为()．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()． ()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S SS ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设类型二 利用错位相减法求数列的和 类型三 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次，等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221）1.在等比数列{a n }中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（ ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n333333333().()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a的公比为（ ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则=1515:W s .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项．8．数列{}n a 中，⎩⎨⎧-=为偶数）（为奇数n n n an n3)(12，求其前n 项和.9．已知数列{}n a 中，,51=a 且当1>n 时，,121-+⋅⋅⋅++=n n a a a a 求数列{}n a 的通项公式.10．已知数列{},,,,,,:321⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a a 构成一个新数列：,),(,),(),(,123121⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---n n a a a a a a a 此数列是首项为1，公比31的等比数列. （1） 求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n s .1． (2008，江西)等差数列{an}的各项均为正数，,31=a 前n 项和为Sn,{bn} 为等比数列，,11=b 且,6422=⋅s b .96033=⋅s b.bn a n 与求必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）（第2 课时）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3. 利用基本公式总结等比数列的和的性质． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式的推导方法及和的性质应用． 【难点】1. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 2．利用基本公式总结等比数列的和的性质并应用． 3. 数列应用题的建模能力的培养．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60 页）． 1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 等比 数列． 2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 等比 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S q ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + = .m n n s q S +5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()B ．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ．2.数列{}121-+n 的前n 项和为()C ．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()A ．()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．解：因为,2n n n a ⋅=所以{}n a 是一个等差数列{}n 与等比数列{}n 2对应项的积构成的新数列，故可以用错位相减法求解．,22222n n n s ⋅+⋅⋅⋅+⋅+=,22)1(2222132+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+=n n n n n s两式相减得：,2)222(12+⋅-+⋅⋅⋅++=-n n n n s 故.22)1(1+-=+n n n s5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？解：由题意得，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所有从今年起每年的销售量组成一个等比数列{}n a ，其中.30000,1.1%101,50001==+==n s q a得,300001.11)1.11(5000=--n 得6.11.1=n ，两边取对数得.6.1.6.1lg 1.1lg ==n 故.51.1lg 6.1lg ≈=n 答：大约5年可以使总销量达到30000台． 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【审题要津】数列公式的应用在于抓住基本量和基本公式联立方程组的通法求解，也要注意结合常见的性质规律思考．解：（1）法1：,1,22≠∴≠q s s n n由已知得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--60114811211qq a q q a nn， 两式相除得451=+nq ，即41=nq ，代入上式得,6411=-qa ().6341164113313=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∴q q a s n n法2： {}n a 成等比数列，n n n n n s s s s s 232,,--∴也成等比数列，),()(2322n n n n n s s s s s -=-∴.633=∴n s（2）设原等比数列的公比为,q 项数为)(2*N n n ∈.由已知,1,11≠=q a 具有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--170118511222qq q q q nn，相除得,2=q .4,2564,854141=∴==--∴n n n故公比为2，项数为8.【方法总结】运用性质时要注意的是⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成等比数列，而不是⋅⋅⋅,,,32n n n s s s 成等比数列.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S S S ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设)()()(.,0,}{:111111111111121211211<-=-=--+=+-+=-∴+=+=>++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a S qS S a S qS S a S qS a qS a S S S S qS a S qS a S ，q q a 则且的公比为设证明 类型二 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？【审题要津】本题为应用题，认真审题后将实际问题转化到等比数列的数学问题来解决．解：（1）第10次着地时，经过的路程共是)222(1002100)21002550(21009219----+⋅⋅⋅++⨯+=⨯+⋅⋅⋅+++)m (61.29921)21(2200100191≈--⨯+=--- （2）设第n 次着地时，经过的路程为)m (75.293，则75.29321)21(2200100)222(10021001)1(1)1(21=--⨯+=+⋅⋅⋅++⨯+--------n n 所有,75.29322003001=⨯--n 解得,03125.021=-n 所以,51-=-n 则.6=n【方法总结】本题的数学模型是等比数列，弄清已知什么，求什么，转化为等比数列中知三求二问题．（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221） 【审题要津】类比于以前解决应用题的办法加强审题，明确转化的数列的类型和已知、所求，这里要特别注意从题意中理解分期付款的含义.解：设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时（即购房10年后），第1年付款及所生利息之和为x×9元， 第2年付款及所生利息之和为x×1.0758……，第9年付款及所生利息之和为x×1.075元，第10年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为 ［1000×72-（28800+14400）］×1.07510=28800×1.07510元， ∴x(1+1.075+1.0752+……+1.0759)=28800×1.07510∴x=28800×2.065×0.070≈4200. 故每年需付款4200元.【方法总结】解决数列应用题的步骤：1.认真审题，准确理解题意，明确是等差还是等比数列，弄清已知什么，求什么；2.抓住数量关系，联想数学知识和方法，将数量关系用数学式子表示；3.将数学问题转化为实际问题.1.在等比数列{}n a 中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( B ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（B ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n 333333333()A .()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a 的公比为（A ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则1515:W s 1:100 .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 2 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项。

1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式；复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = .反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ， 2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . ※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n . 三、当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数 A. 922- B. 821- C. 822- D. 721-4. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .5. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .6. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n，…的前n 项和；中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

2.5.2 等比数列的前n项和【使用说明】1.课前完成通案,牢记基础知识,掌握基本题型, AA完成所有题目,BB完成除(**)外所有题目,CC完成不带(*)题目。

2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答题解惑。

3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。

4.展示点评，首先点评思路方法，然后顺着思路方法分析过程，总结规律方法、易错点，要质疑拓展。

【学习目标】 1.掌握等差、等比数列的求和公式．2．掌握特殊的非等差、等比数列几种常见的求和方法.【预习案】知识梳理1．公式法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5【探究案】例1 已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，a n)在f(x)的图象上，a n的前n项和为S n.(1)求使a n＜0的n的最大值；(2)求S n.【思路方法】【尝试解答】例2公差不为0的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{c n}的前n项和为S n，且na n c n＝1，求证：S n＜1.【思路方法】【尝试解答】例3数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求数列{na n}的前n项和T n.【思路方法】【尝试解答】高考体验.明考情、品真题、感悟命题趋势数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．例4(**)(2012·浙江高考改编)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n－3，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.【错解】(1)由S n＝2n2＋n－3，得n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋(n－1)－3，∴a n＝2n2－2(n－1)2＋1＝4n－1，由4n－1＝a n＝4log2b n＋3，得b n＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知a n b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.【错因分析】【防范措施】【正解】【检测案】1．(2012·课标全国卷)数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为()A．3 690B．3 660C．1 845D．1 830 2．(*) (2013·大连调研)已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n－1}的前n项和【课后案】【知识网络】请同学们对本节所学的知识归纳总结后构建自己的知识体系【收获与感悟】请在课后完成本节的课后作业33。

2.5《等比数列的前n项和》教学设计一、教学理念依照数学课程标准的“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”即我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值，我们数学教师应该创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.本节之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.三、学生学情分析我校在吉林市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力较强，基础知识较为扎实。

通过前几节的学习，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼且奠定了必要的知识和经验基础。

四、教学目标在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学目标：知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。

能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。

情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.教学重点：公式的推导和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

等比数列的前n项和（第一课时）一、教学内容解析1、教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版（必修5）第二章第三节的内容，本节计划授课2课时。

2、地位与作用本节是数列这章中的一个重要内容，也是两大基本数列求和之一，在现实生活中有着广泛的实际应用，公式推导过程中所渗透的数学思想和方法，错位相减法是数列求和的主要解题方法之一，也是学考高考重点解法。

二、教学目标设置理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单的知三求一问题。

2、能力方面提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

3、情感方面培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

三、本节课重点难点重点：使学生能够理解等比数列前n项和的推导过程；能够用等比数列的前n项和公式解决知“三求一”问题。

难点：用错位相减法推导等比数列的前ｎ项和公式以及等比数列前n项和公式的简单应用。

四、学生学情分析1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视。

3、任教班级学生特点：已经走过了一学期，在师生交流和互动上，不再有隔阂。

在数学运算能力上，学生略有不足，部分学生依然存在胆怯，在和老师互动上显得被动，经过上学期的努力，衔接课让学生的基础更加扎实，部分学生思维活跃。

五、教学策略分析1、教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式。

2、教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

3、学生的学法：探究、发现，思考与归纳。

《数列求和》教学设计【课例解析】1、教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。

通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。

在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。

本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】本节课的教学采用“学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。

接下来的课堂探究题组、课堂练学题组又更进一步加强几种求和法的应用。

【目标定位】1 、知识与技能目标掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。

进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2 、过程与方法目标经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。

培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3 、情感与价值观目标通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。

激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

感悟数学的简洁美﹑对称美。

【教学重、难点】本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。