山东省潍坊市临朐县2021届高三数学下学期综合模拟考试试题(一)

∴ 含 x5 项的系数为
C
0 5
C
5 6
6.
故选： B.
【点睛】 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，
考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 .
x2 7．双曲线 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的一条渐近线与直线
2x
y
3
0 垂直，则双曲
线的离心率为（ ）
A． 5
【答案】 C
B． 3
C． 5 2
D． 2
线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心
(1,0) ，半径为 1 的直线，由圆心
到直线的距离等于半径求出直线 【详解】
y 的最值 . x1
由题意可得方程 x2 y2 2 x 0 为圆心是 C ( 1,0) ，半径为 1 的圆，
由 y 为圆上的点与定点 P(1,0) 的斜率的值， x1
设过 P(1,0) 点的直线为 y k( x 1) ，即 kx y k 0 ，
其中，勾股数为： （3， 4， 5），（ 6， 8， 10），（ 9， 12， 15），（ 5， 12， 13），共 4 个，
∴ 这三个数为勾股数的概率为：
44
P
C135
．
455
故选 D．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题．
rr
rr
5．已知 a ，b 是两个相互垂直的单位向量， 且 c a
g( x) g ， 4
又由 g (x) 为偶函数且在 0, 上为减函数，且其定义域为 2
则有 | x | ， 4
解得：
x
2
或
x
，

山东省潍坊市2021届高考数学下学期模拟考试（一模）试题一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有 有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}24|30A B x N x ∈-≤＝，，＝，则A B =A ． {}1,2,3,4B ．{}0,1,2,3,4 C ． {}2 D ．{}|4x x ≤2.甲、乙、丙、四位同学各自对x y ，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r ，如下表: 相关系数甲 乙 丙 丁 r-0.820.780.690.87则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？ A ． 甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁3.在平面直角坐标系xOy 中，点31P （，），将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转2π后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是A ． ()2,1-B ． ()1,2-C ． ()3,1-D ．()1,3-4.“1a ＜是“210x x a x∀≥＋＞，”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.函数sin ()x xx xf x e e--=+在[],ππ-上的图象大致为6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径4.9cm 、外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔。

试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位:cm ）A ． 6250B ． 3050C ． 2850D ．23507.定义在R 上的偶函数2x mf x -（）＝-1记1n 3,log 5,(2)m a f b f c f -＝（）＝（）＝则A ． a b c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ．c b a <<8.如图，已知抛物线C:220y px p ＝（＞）的焦点为F ，点00,23)()2pP x x >（是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，AB PQ ＝，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若3PF PQ ＝则PQFM=A ． 1B ．3． 2 D 5二、多项选择题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 只有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9.已知双曲线222sin Z 42x y k k θθπ≠∈-=（，）则不因θ改变而变化的是 A ． 焦距 B ． 离心率 C ． 顶点坐标 D ．渐近线方程 10.下图是（2021年全国教育事业发展统计公报》中1949-2021年我国高中阶段在校生 数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949-2021年A.1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高B.从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高C.2010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰D.2021年高中阶段在校生数比2021年下降了约0.9％而毛入学率提高了0.5个百分点11.已知函数f x （）对x R ∀∈，满足611f x x f x f x ---（）＝（），（＋）＝（＋），若20205,9f a f a ∈（）＝（），［］且f （x ）在59［，］上为单调函数，则下列结论正确的是 A ．3f （）=0 B ． 8a = C ．f x （）是周期为4的周期函数 D ．y f x ＝（）的图象关于点(1,0)对称12.如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则A.若MN PAB AB RQ 平面，则B.存在点S 与直线MN ，使PC SRQ ⊥平面C.存在点S 与直线M ，使0PS PQ PR （＋）＝D.111PQPRPS++是常数三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数i2ia -+是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为____________14.82x ⎫⎪⎭的展开式中2x 项的系数是__________（用数字作答）15.已知函数sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ（）＝（＋）（＞＞＜＜）是偶函数，将y f x ＝（）的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y g x ＝（）.已知y g x ＝（）的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则_____ω=若y g x ＝（）的图象在其某对称轴处对应的函数值为2-，则g x （）在0π［，］上的最大值为________（本题第一空3分，第二空2分）16.定义函数f x x x （）＝［［］］，其中x ［］表示不超过x 的最大整数，例如2-[1.3]=1,[-1.5]＝，[2]=2，当*[0,)(x n n N ∈∈当）时，f x （）的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i ia =-∑值为________ 四、解答题:本大题共6小题，共70分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17、（10分）△ABC 的内角A ，B 、C 的对边分别为a b c ，，，已知向量,sin ,sin sin m c a B n b a A C --＝（）,＝（+) （1）求C;（233b a ＋＝，求sin A 18.（12分）在221212421,,,n n b b a b b b b b ①＝＋②＝＋,③成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列n a ｛｝中113.n n a a a +1＝，＝公差不等于0的等差数列{}n b 满足_________，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .注:如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 19.（12分）如图，在等腰直角三角形ADP 中，903AAD ∠＝，＝，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，现将△PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF.（1）证明:EF PAD 平面；（2）是否存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到PA AB ⊥时，三面角P CD E --的余弦值 等于155？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由 20.（12分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（缩写为BMI ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是22::kg BMI m 体重（单位）＝身高（单位）中国成人的BM 数值标准为:BM ＜18.5为偏瘦；18.524BMI ≤＜为正常;24BMI ≥为偏胖，为了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的45名男性、45名女性为样本,测量了他们的身高和体重数据，计算得到他们的BM 值后数据分布如下表所示 BMI 标准老年人中年青年人男女男女 男女 BMI ＜18.5 3 3 1 2 4 5 18.5≤BMI＜24 575 78 10BM≥245410542（1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人,求至少有1人偏胖的概率;（2）从该社区所有的成年人中，随机选取3人，其中偏胖的人数为X ，根据样本数据，以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望;（3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因， 整理数据得到如下表: 分类遗传因素饮食习惯欠佳缺乏体育锻炼其他因素人次812164请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说明2条措施 21.（12分）直角坐标系xOy 中，12F F ，分别为椭圆C:222210x y a b a b+＝（＞＞）的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当12PF F 为等边三角形时，123PF F S＝（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x -＝于点D ，过点O 作OE AP 交直线4x -＝于点E ，证明11OEF ODF ∠∠＝ 22.（12分）已知函数2()2ln ,()a f x x x g x x x=-=+（1）设函数f x g x （）与（）有相同的极值点。

山东潍坊2021届高三数学模拟试题一、单项选择题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2)-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()3sin x xx x f x e e -+=+的图象大致是 ( )6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10B ．12C ．14D ．167．已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π[,]39上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．28lg 2ab >D ．lg 6b a ->12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．已知函数21()2,0()34log ,0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则((8))f f = ．14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差()D X = ．15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DGDD = ，1AHHC = ． 四、解答题17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求三棱锥的体积．19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．①求X的分布列和数学期望；②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.22．（12分）已知函数()ln x f x ae x =，其中 2.71828e =是自然对数的底数，2()ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．山东潍坊2021届高三数学模拟试题答案一、单项选择题 1．A2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C【解析】因为1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即11101e e e a ae--+=++，解得1a =，即12()111xx x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D二、多项选择题 9．ABD10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13f x x x x =-+=-+，所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ3π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()39k x k =+∈Z ，所以直线5π9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3T ω==，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π18x =，故函数()g x 的图像关于点11π(,1)18对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π99x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg1002a b +==，25lg lg 64b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =⋅>⋅=，故选ACD ．12．AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则124PA AA ==，2OA =，所以22111322OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60︒，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114(23)(2)2222h PE PO OE '==+=+=， 所以该四棱台的表面积为2222214(22)(2)4106722+++⨯⨯=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====，22112A O O OA OB OC OD +=====，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为24π216π⨯=，故D 正确． 三、填空题 13．5【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．14．47.5【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =⨯⨯-=． 15．185【解析】因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)3255a b +≥⨯+=． 16．16，38【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，所以116DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，因为AB CE ∥，所以32AM AB MC CE ==，所以132AN AM NC MC ==， 所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =． 四、解答题17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B =， ∵0πB <<，∴π3B =或2π3B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π3B =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1cos 2B =，∵0πB <<，∴π3B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故ABC △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得sin sin 3sin B A A=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66B -=，得π3B =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．18．（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．（2）略19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.……………………………………2分在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007……6分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，……10分所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.…………12分20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =⨯+⨯+-⨯=．②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为所以()270.4300.4360.230E Y =⨯+⨯+⨯=．所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为3610302027203050⨯+⨯+⨯=， 所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<．所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．21．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；……6分（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………8分 23223222,,1,,,1,,,12222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由23202320m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；…………………9分设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由2320220n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取x 1=，得()1,-1,-2=n .…………………11分 1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m n………………………13分 ∴二面角A MD B --的余弦值为105．………………………12分22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1[,)e +∞．【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x'=+，(0,)x ∈+∞． 令1()ln k x x x =+，则21()x k x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，所以()(1)10k x k ≥=>．又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增．（2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x ae x ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x=，则21ln ()x H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()0()x H ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x x a e>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x G x e=，(0,1)x ∈， 则1()x x G x e-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以1()(1)G x G a e<=≤， 即实数a 的取值范围为1[,)e +∞．。

2021年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虚数单位，那么的虚部为〔〕A．﹣1 B．C．﹣i D．2．全集为R，且集合A={x|log2〔x+1〕＜2}，，那么A∩〔∁R B〕等于〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔﹣1，1]C．[1，2〕D．[1，2]3．将函数f〔x〕=2sin〔+〕的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=2sin〔﹣〕﹣3 B．g〔x〕=2sin〔+〕+3C．g〔x〕=2sin〔﹣〕+3 D．g〔x〕=2sin〔﹣〕﹣34．假设关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|+m﹣7＞0的解集为R，那么实数m的取值范围为〔〕A．〔4，+∞〕B．[4，+∞〕C．〔﹣∞，4〕 D．〔﹣∞，4]=81，且数列{a n}的前n项和S n=121，5．在等比数列{a n}中，a1+a n=82，a3•a n﹣2那么此数列的项数n等于〔〕A．4 B．5 C．6 D．76．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是〔〕A．2 B．4 C．D．7．实数x，y满足不等式组，假设目标函数z=y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解〔1，3〕，那么实数m的取值范围是〔〕A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m≥18．函数f〔x〕=f'〔1〕x2+x+1，那么=〔〕A． B．C．D．9．圆M过定点〔0，1〕且圆心M在抛物线x2=2y上运动，假设x轴截圆M所得的弦为|PQ|，那么弦长|PQ|等于〔〕A．2 B．3C．4 D．与点位置有关的值10．函数f〔x〕=，函数g〔x〕满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g〔x〕=g〔x+2〕；③当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=．那么函数y=f〔x〕﹣g〔x〕在区间[﹣4，4]上零点的个数为〔〕A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题〔每题5分，总分值25分，将答案填在答题纸上〕11．向量满足，，，那么与的夹角为．12．正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…假设m3〔m∈N+〕的分解中最小的数为91，那么m的值为．13．阅读如下图的程序框图，那么输出结果S的值为．14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，那么满足条件的不同五位数的个数是．〔注：结果请用数字作答〕15．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=2且f〔x〕在R上的导数f'〔x〕满足f'〔x〕﹣3＞0，那么不等式f〔log3x〕＜3log3x﹣1的解集为．三、解答题〔本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕16．设向量，，x∈R，记函数．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．假设，，求△ABC面积的最大值．17．数列{a n}的前n项和为S n，〔n∈N+〕．〔1〕求数列{a n}的通项公式；，记T n=b1+b2+b3+…+b n，求证：〔n 〔2〕假设数列{b n}满足a n•b n=log3a4n+1〕．∈N+18．在如下图的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF ∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．〔1〕求证：AD⊥BF；〔2〕假设P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；〔3〕假设，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．19．有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖〞．其游戏规那么是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，假设你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励．如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收．〔1〕求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；〔2〕如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议．20．圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕假设动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索〔d1+d2〕•d3是否存在最值？假设存在，请求出最值．21．函数f〔x〕=x2﹣alnx．〔1〕假设f〔x〕在[3，5]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；〔2〕记g〔x〕=f〔x〕+〔2+a〕lnx﹣2〔b﹣1〕x，并设x1，x2〔x1＜x2〕是函数g〔x〕的两个极值点，假设，求g〔x1〕﹣g〔x2〕的最小值．2021年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虚数单位，那么的虚部为〔〕A．﹣1 B．C．﹣i D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出．【解答】解：===的虚部为．应选：B．2．全集为R，且集合A={x|log2〔x+1〕＜2}，，那么A∩〔∁R B〕等于〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔﹣1，1]C．[1，2〕D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解log2〔x+1〕＜2即可求出集合A，而解不等式即可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可求出A∩〔∁R B〕．【解答】解：由log2〔x+1〕＜2得，log2〔x+1〕＜log24；∴0＜x+1＜4；解得﹣1＜x＜3；∴A=〔﹣1，3〕；解得，x＜1，或x≥2；∴B=〔﹣∞，1〕∪[2，+∞〕；∴∁R B=[1，2〕；∴A∩〔∁R B〕=[1，2〕．应选C．3．将函数f〔x〕=2sin〔+〕的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=2sin〔﹣〕﹣3 B．g〔x〕=2sin〔+〕+3C．g〔x〕=2sin〔﹣〕+3 D．g〔x〕=2sin〔﹣〕﹣3【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数f〔x〕=2sin〔+〕的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g〔x〕的图象，那么g〔x〕=2sin[〔x+〕+]+3=2sin〔+〕+3，应选：B．4．假设关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|+m﹣7＞0的解集为R，那么实数m的取值范围为〔〕A．〔4，+∞〕B．[4，+∞〕C．〔﹣∞，4〕 D．〔﹣∞，4]【考点】绝对值不等式的解法．【分析】不等式变形移项处理：|x+1|+|x﹣2|＞7﹣m，利用绝对值不等式的几何意义即可得到答案．【解答】解：不等式|x+1|+|x﹣2|+m﹣7＞0，移项：|x+1|+|x﹣2|＞7﹣m，根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x+1|+|x﹣2|的最小值是3，解集为R，只需要3＞7﹣m恒成立即可，解得m＞4，应选：A．5．在等比数列{a n}中，a1+a n=82，a3•a n=81，且数列{a n}的前n项和S n=121，﹣2那么此数列的项数n等于〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意易得a1和a n是方程x2﹣82x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a1，a n，再由S n=121得q，进一步可得n值．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a n=a3•a n﹣2=81，又a1+a n=82，∴a1和a n是方程x2﹣82x+81=0的两根，解方程可得x=1或x=81，假设等比数列{a n}递增，那么a1=1，a n=81，∵S n=121，∴==121，解得q=3，∴81=1×3n﹣1，解得n=5；假设等比数列{a n}递减，那么a1=81，a n=1，∵S n=121，∴==121，解得q=，∴1=81×〔〕n﹣1，解得n=5．综上，数列的项数n等于5．应选：B．6．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是〔〕A．2 B．4 C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×〔3+1〕×3=6，高h=2，故体积V==4，应选：B7．实数x，y满足不等式组，假设目标函数z=y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解〔1，3〕，那么实数m的取值范围是〔〕A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m≥1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=mx+z斜率的变化，从而求出m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=y﹣mx，得y=mx+z，即直线的截距最大，z也最大假设m=0，此时y=z，不满足条件；假设m＞0，目标函数y=mx+z的斜率k=m＞0，要使目标函数z=y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解〔1，3〕，那么直线y=mx+z的斜率m＞1假设m＜0，目标函数y=mx+z的斜率k=m＜0，不满足题意．综上，m＞1．应选：C．8．函数f〔x〕=f'〔1〕x2+x+1，那么=〔〕A． B．C．D．【考点】定积分．【分析】求出f′〔1〕=﹣1，再根据定积分法那么计算即可．【解答】解：∵f〔x〕=f'〔1〕x2+x+1，∴f′〔x〕=2f'〔1〕x+1，∴f′〔1〕=2f'〔1〕+1，∴f′〔1〕=﹣1，∴f〔x〕=﹣x2+x+1，∴=〔﹣x3+x2+x〕=，应选B．9．圆M过定点〔0，1〕且圆心M在抛物线x2=2y上运动，假设x轴截圆M所得的弦为|PQ|，那么弦长|PQ|等于〔〕A．2 B．3C．4 D．与点位置有关的值【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据条件设M〔a，〕，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程，令y=0便可求出x，即求出P，Q点的坐标，根据P，Q点的坐标便可得出|PQ|．【解答】解：设M〔a，〕，r=；∴圆M的方程为：〔x﹣a〕2+〔y﹣〕2=a2+〔﹣1〕2，令y=0，x=a±1；∴|PQ|=a+1﹣〔a﹣1〕=2．应选：A．10．函数f〔x〕=，函数g〔x〕满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g〔x〕=g〔x+2〕；③当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=．那么函数y=f〔x〕﹣g〔x〕在区间[﹣4，4]上零点的个数为〔〕A．7 B．6 C．5 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】当x∈[﹣3，﹣1]时，g〔x〕=2；当x∈[1，3]时，g〔x〕=，在同一坐标系中，作出f〔x〕，g〔x〕的图象，两个图象有4个交点，可得结论．【解答】解：∵对任意x∈R，有g〔x〕=g〔x+2〕；当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=，∴当x∈[﹣3，﹣1]时，g〔x〕=2；当x∈[1，3]时，g〔x〕=，在同一坐标系中，作出f〔x〕，g〔x〕的图象，两个图象有4个交点，∴函数y=f〔x〕﹣g〔x〕在区间[﹣4，4]上零点的个数为4，应选D．二、填空题〔每题5分，总分值25分，将答案填在答题纸上〕11．向量满足，，，那么与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将式子展开计算，代入向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵，∴3﹣+2=4，即12﹣4+2=4，∴=﹣2．∴cos＜＞==，∴的夹角为．故答案为：．12．正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…假设m3〔m∈N+〕的分解中最小的数为91，那么m的值为10．【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3〔m∈N*〕的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：1013．阅读如下图的程序框图，那么输出结果S的值为．【考点】程序框图．【分析】由题意，程序的功能是求和S=++…+，利用裂项法，即可求和．【解答】解：由题意，程序的功能是求和S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为．14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，那么满足条件的不同五位数的个数是48．〔注：结果请用数字作答〕【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】对数字2分类讨论，结合数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得出结论．【解答】解：数字2出现在第2位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第3，4位或者4，5位，共有C32A22A22=12个，数字2出现在第4位时，同理也有12个；数字2出现在第3位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第1，2位或第4，5位，共有C21C32A22A22=24个，故满足条件的不同五位数的个数是48．故答案为：48．15．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=2且f〔x〕在R上的导数f'〔x〕满足f'〔x〕﹣3＞0，那么不等式f〔log3x〕＜3log3x﹣1的解集为〔0，3〕．【考点】导数的运算．【分析】令g〔x〕=f〔x〕﹣3x，求出g〔1〕=﹣1，问题转化为g〔log3x〕＜g 〔1〕，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x〕﹣3x，那么g′〔x〕=f′〔x〕﹣3＞0，可得g〔x〕在R上递增，由f〔1〕=2，得g〔1〕=f〔1〕﹣3=﹣1，f〔log3x〕＜3log3x﹣1，即g〔log3x〕＜g〔1〕，故log3x＜1，解得：0＜x＜3，故不等式的解集是：〔0，3〕．三、解答题〔本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕16．设向量，，x∈R，记函数．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．假设，，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】〔1〕利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f 〔x〕=sin〔2x﹣〕，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f〔x〕的单调递增区间．〔2〕由可求sin〔2A﹣〕=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，根本不等式可求bc≤2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔1〕∵=sinxcosx+〔sinx﹣cosx〕〔sinx+cosx〕=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，…3分∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f〔x〕的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…5分〔2〕∵，∴sin〔2A﹣〕=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=，∴A=，…7分∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥〔2﹣〕bc，〔当且仅当b=c时等号成立〕∴bc≤=2+，又∵sinA=sin=，…10分=bcsinA=bc≤〔2+〕=，〔当且仅当b=c时等号成立〕∴S△ABC∴△ABC面积的最大值为…12分17．数列{a n}的前n项和为S n，〔n∈N+〕．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列{b n}满足a n•b n=log3a4n，记T n=b1+b2+b3+…+b n，求证：〔n+1〕．∈N+【考点】数列的求和；数列递推式．，及其【分析】〔1〕利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1等比数列的通项公式即可得出；〔2〕求出b n==〔4n+1〕〔〕n，利用“错位相减法〞与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】〔1〕解：由〔n∈N+〕．当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3．n=2时，2S2+3=3a2，即有2〔a1+a2〕+3=3a2，解得a2=9．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∵2S n+3=3a n〔n∈N*〕，2S n﹣1+3=3a n﹣1，两式相减可得2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是以9为首项，3为公比的等比数列．∴a n=3n．对n=1也成立．故数列{a n}的通项公式为a n=3n．〔2〕证明：由a n•b n=log3a4n+1=log334n+1=4n+1，得b n==〔4n+1〕〔〕n，∴T n=T n=b1+b2+b3+…+b n=5•+9•〔〕2+…+〔4n+1〕•〔〕n，T n=5•〔〕2+9•〔〕3+…+〔4n+1〕•〔〕n+1，两式相减得，T n=+4×[〔〕2+〔〕3+…+〔〕n]﹣〔4n+1〕•〔〕n+1 =+4×﹣〔4n+1〕•〔〕n+1，化简可得T n=﹣〔4n+7〕•〔〕n＜．18．在如下图的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF ∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．〔1〕求证：AD⊥BF；〔2〕假设P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；〔3〕假设，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】〔1〕推导出AF⊥AD，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明AD⊥BF．〔2〕以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：〔1〕∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．解：〔2〕∵直线AF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AF⊥AB，由〔1〕得AD⊥AF，AD⊥AB，∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么B〔1，0，0〕，E〔，0，1〕，P〔0，1，〕，C〔1，2，0〕，∴=〔﹣〕，=〔﹣1，﹣1，〕，设异面直线BE与CP所成角为θ，那么cosθ==，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．〔3〕∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量．由知P为FD的三等分点，且此时．在平面APC中，，．∴平面APC的一个法向量．…∴，又∵二面角D﹣AP﹣C的大小为锐角，∴该二面角的余弦值为．…19．有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖〞．其游戏规那么是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，假设你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励．如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收．〔1〕求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；〔2〕如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】〔1〕掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，能求出掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率．〔2〕试玩游戏，设获利ξ元，那么ξ的可能取值为m，2m，3m，﹣m，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ=﹣＜0，建议大家不要尝试．【解答】解：〔1〕掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，∴根据对立事件的性质，掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率：p=1﹣=．〔2〕试玩游戏，设获利ξ元，那么ξ的可能取值为m，2m，3m，﹣m，P〔ξ=m〕==，P〔ξ=2m〕=C×〔〕2×=，P〔ξ=3m〕==，P〔ξ=﹣m〕=，∴Eξ==﹣m，∴Eξ＜0，建议大家不要尝试．20．圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕假设动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索〔d1+d2〕•d3是否存在最值？假设存在，请求出最值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】〔1〕设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程．〔2〕将直线l2：y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，得〔4k2+3〕x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合条件能求出〔d1+d2〕•d3存在最大值，并能求出最大值．【解答】解：〔1〕设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，得R，即R=2，∴圆的方程为x2+y2=12，设A〔x0，y0〕，N〔x，y〕，∵AM⊥x轴于M，∴M〔x0，0〕，∴〔x，y〕=〔x0，y0〕+〔〕〔x0﹣0〕=〔〕，∴，即，∵点A〔x0，y0〕为圆C1上的动点，∴=12，∴〔〕2+〔2y〕2=12，∴=1．〔2〕由〔1〕中知曲线C是椭圆，将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得〔4k2+3〕x2+8kmx+4m2﹣12=0由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4〔4k2+3〕〔4m2﹣12〕=0，整理得m2=4k2+3…，且，，1°当k≠0时，设直线l2的倾斜角为θ，那么d3•|tanθ|=|d1﹣d2|，即∴=…∵m2=4k2+3∴当k≠0时，∴，∴…2°当k=0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时，d3=2∴…综上1°、2°可知，〔d1+d2〕•d3存在最大值，最大值为…21．函数f〔x〕=x2﹣alnx．〔1〕假设f〔x〕在[3，5]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；〔2〕记g〔x〕=f〔x〕+〔2+a〕lnx﹣2〔b﹣1〕x，并设x1，x2〔x1＜x2〕是函数g〔x〕的两个极值点，假设，求g〔x1〕﹣g〔x2〕的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕令f′〔x〕≤0在[3，5]上恒成立，别离参数得a≥2x2，利用二次函数的单调性求出最值即可得出a的范围；〔2〕令g′〔x〕=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=b﹣1，x1x2=1，化简得g〔x1〕﹣g〔x2〕=2ln+〔﹣〕，令=t，根据b的范围得出t的范围，利用函数单调性可求得h〔t〕=2lnt+〔﹣t〕的范围，得出结论．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=x2﹣alnx在[3，5]上是单调减函数，∴f′〔x〕=2x﹣≤0在[3，5]上恒成立，∴a≥2x2恒成立，x∈[3，5]．∵y=2x2在[3，5]上单调递增，∴y=2x2在[3，5]上的最大值为2×52=50，∴a≥50．〔2〕g〔x〕=x2﹣alnx+〔2+a〕lnx﹣2〔b﹣1〕x=x2+2lnx﹣2〔b﹣1〕x，∴g′〔x〕=2x+﹣2〔b﹣1〕=，令g′〔x〕=0得x2﹣〔b﹣1〕x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g〔x1〕﹣g〔x2〕=[x12+2lnx1﹣2〔b﹣1〕x1]﹣[x22+2lnx2﹣2〔b﹣1〕x2]=2ln+〔x12﹣x22〕+2〔b﹣1〕〔x2﹣x1〕=2ln+〔x12﹣x22〕+2〔x1+x2〕〔x2﹣x1〕=2ln+x22﹣x12=2ln+=2ln+〔﹣〕，设=t，那么0＜t＜1，∴g〔x1〕﹣g〔x2〕=2lnt+〔﹣t〕，令h〔t〕=2lnt+〔﹣t〕，那么h′〔t〕=﹣﹣1=﹣＜0，∴h〔t〕在〔0，1〕上单调递减，∵b≥，∴〔b﹣1〕2≥，即〔x1+x2〕2==t++2≥，∴4t2﹣17t+4≥0，解得t≤或t≥4．又0＜t＜1，∴0．∴h min〔t〕=h〔〕=2ln+〔4﹣〕=﹣4ln2．∴g〔x1〕﹣g〔x2〕的最小值为﹣4ln2．2021年4月5日。