山东省潍坊市临朐县2021届高三数学下学期综合模拟考试试题(二).doc

山东省潍坊市临朐综合中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，是△的边的中点，则向量等于（）．A． B． C． D．参考答案：A2. 若直线平分圆，则的最小值为（）A．B．2 C. D．参考答案：C3. 已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D4. 若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16参考答案：C 【考点】球的体积和表面积．【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C5. 圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值是（）A．2B．6C．4 D．5参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣6y+1=0?（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，∴该直线经过圆心（﹣1，3），把圆心（﹣1，3）代入直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0），得：﹣a﹣3b+3=0∴a+3b=3，a＞0，b＞0∴+=×（+）（a+3b）=（10++）≥5当且仅当=时取得最小值为5故选D．6. 在等比数列中，若，则该数列的前10项和为A．B. C. D. 参考答案：答案：B解析：由，所以7. 已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008 B．﹣1008i C．1008 D．2016参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1008﹣1008i的虚部是﹣1008．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知，则“”是“是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 已知正数满足，那么的最小值等于A．2 B．C．D．20 参考答案：C10. 双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于( )A. B．-2t C． D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列中，=2，，则=．参考答案：4考点：累和法求通项公式12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是．参考答案：（3，7]．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得d＞0．根据满足a5≤6，S3≥9，可得a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，0＜d≤1，a2≥3．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴d＞0．∵满足a5≤6，S3≥9，∴a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，相加可得3d≤3，即d≤1，又d＞0，∴0＜d≤1，﹣a1﹣d≤﹣3，∴a1≥3﹣d，∴a2≥3．∴a6=a1+5d=（a1+4d）+（﹣a1﹣d）≤8﹣1=7，a6=a2+4d＞3．可得：a 6∈（3，7]． 故答案为：（3，7]．13. 已知是圆(为圆心）上的两点，, 则= ▲参考答案： 214. 若,的展开式中常数项为________．参考答案：112 【分析】先求出n 的值，再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】，的展开式的通项为，令.所以展开式的常数项为.故答案为：112【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .参考答案：16. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则=________参考答案：【分析】利用奇函数的性质可以求出，最后求出的值. 【详解】，所以.【点睛】本题考查了复合函数求值问题，考查了奇函数的性质，考查了运算能力.17. 已知是偶函数，是奇函数，且则.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东潍坊2021届高三数学模拟试题一、单项选择题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2)-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()3sin x xx x f x e e -+=+的图象大致是 ( )6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10B ．12C ．14D ．167．已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π[,]39上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．28lg 2ab >D ．lg 6b a ->12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．已知函数21()2,0()34log ,0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则((8))f f = ．14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差()D X = ．15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DGDD = ，1AHHC = ． 四、解答题17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求三棱锥的体积．19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．①求X的分布列和数学期望；②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.22．（12分）已知函数()ln x f x ae x =，其中 2.71828e =是自然对数的底数，2()ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．山东潍坊2021届高三数学模拟试题答案一、单项选择题 1．A2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C【解析】因为1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即11101e e e a ae--+=++，解得1a =，即12()111xx x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D二、多项选择题 9．ABD10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13f x x x x =-+=-+，所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ3π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()39k x k =+∈Z ，所以直线5π9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3T ω==，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π18x =，故函数()g x 的图像关于点11π(,1)18对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π99x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg1002a b +==，25lg lg 64b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =⋅>⋅=，故选ACD ．12．AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则124PA AA ==，2OA =，所以22111322OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60︒，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114(23)(2)2222h PE PO OE '==+=+=， 所以该四棱台的表面积为2222214(22)(2)4106722+++⨯⨯=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====，22112A O O OA OB OC OD +=====，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为24π216π⨯=，故D 正确． 三、填空题 13．5【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．14．47.5【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =⨯⨯-=． 15．185【解析】因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)3255a b +≥⨯+=． 16．16，38【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，所以116DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，因为AB CE ∥，所以32AM AB MC CE ==，所以132AN AM NC MC ==， 所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =． 四、解答题17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B =， ∵0πB <<，∴π3B =或2π3B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π3B =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1cos 2B =，∵0πB <<，∴π3B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故ABC △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得sin sin 3sin B A A=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66B -=，得π3B =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．18．（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．（2）略19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.……………………………………2分在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007……6分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，……10分所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.…………12分20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =⨯+⨯+-⨯=．②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为所以()270.4300.4360.230E Y =⨯+⨯+⨯=．所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为3610302027203050⨯+⨯+⨯=， 所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<．所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．21．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；……6分（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………8分 23223222,,1,,,1,,,12222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由23202320m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；…………………9分设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由2320220n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取x 1=，得()1,-1,-2=n .…………………11分 1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m n………………………13分 ∴二面角A MD B --的余弦值为105．………………………12分22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1[,)e +∞．【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x'=+，(0,)x ∈+∞． 令1()ln k x x x =+，则21()x k x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，所以()(1)10k x k ≥=>．又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增．（2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x ae x ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x=，则21ln ()x H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()0()x H ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x x a e>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x G x e=，(0,1)x ∈， 则1()x x G x e-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以1()(1)G x G a e<=≤， 即实数a 的取值范围为1[,)e +∞．。

山东潍坊2021届高三数学模拟试题一、单项选择题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2)-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()3sin x xx x f x e e -+=+的图象大致是 ( )6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10B ．12C ．14D ．167．已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π[,]39上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．28lg 2ab >D ．lg 6b a ->12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．已知函数21()2,0()34log ,0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则((8))f f = ．14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差()D X = ．15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DGDD = ，1AHHC = ． 四、解答题17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求三棱锥的体积．19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．①求X的分布列和数学期望；②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.22．（12分）已知函数()ln x f x ae x =，其中 2.71828e =是自然对数的底数，2()ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．山东潍坊2021届高三数学模拟试题答案一、单项选择题 1．A2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C【解析】因为1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即11101e e e a ae--+=++，解得1a =，即12()111xx x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D二、多项选择题 9．ABD10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13f x x x x =-+=-+，所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ3π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()39k x k =+∈Z ，所以直线5π9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3T ω==，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π18x =，故函数()g x 的图像关于点11π(,1)18对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π99x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg1002a b +==，25lg lg 64b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =⋅>⋅=，故选ACD ．12．AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则124PA AA ==，2OA =，所以22111322OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60︒，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114(23)(2)2222h PE PO OE '==+=+=， 所以该四棱台的表面积为2222214(22)(2)4106722+++⨯⨯=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====，22112A O O OA OB OC OD +=====，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为24π216π⨯=，故D 正确． 三、填空题 13．5【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．14．47.5【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =⨯⨯-=． 15．185【解析】因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)3255a b +≥⨯+=． 16．16，38【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，所以116DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，因为AB CE ∥，所以32AM AB MC CE ==，所以132AN AM NC MC ==， 所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =． 四、解答题17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B =， ∵0πB <<，∴π3B =或2π3B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π3B =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1cos 2B =，∵0πB <<，∴π3B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故ABC △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得sin sin 3sin B A A=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66B -=，得π3B =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．18．（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．（2）略19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.……………………………………2分在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007……6分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，……10分所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.…………12分20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =⨯+⨯+-⨯=．②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为所以()270.4300.4360.230E Y =⨯+⨯+⨯=．所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为3610302027203050⨯+⨯+⨯=， 所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<．所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．21．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；……6分（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………8分 23223222,,1,,,1,,,12222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由23202320m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；…………………9分设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由2320220n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取x 1=，得()1,-1,-2=n .…………………11分 1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m n………………………13分 ∴二面角A MD B --的余弦值为105．………………………12分22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1[,)e +∞．【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x'=+，(0,)x ∈+∞． 令1()ln k x x x =+，则21()x k x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，所以()(1)10k x k ≥=>．又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增．（2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x ae x ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x=，则21ln ()x H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()0()x H ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x x a e>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x G x e=，(0,1)x ∈， 则1()x x G x e-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以1()(1)G x G a e<=≤， 即实数a 的取值范围为1[,)e +∞．。

下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为 2π B．f（x）的最大值为 2
C．f（x）在区间
上单调递增
D．
为偶函数
11.半正多面体（semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围 成的多面体，体现了数学的对称美·二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而
成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 2 ,则
3
2021届山东省潍坊市普通高中高三下学期4月高考二模考试数学试卷
A. BF⊥平面 EAB
B.该二十四等边体的体积为 20 3
C.该二十四等边体外接球的表面积为 8π
D.PN 与平面 EBFN 所成角的正弦值为 2 2
9．2020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房
交易却“逆市”而行．下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二
手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码 1～13 分别对应 2019 年 12
月～2020 年 12 月）
13.已知向量 与 的夹角是 ，且| |＝1，| |＝4，若（3 +λ ）⊥ ，则实数 λ＝
。
14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视
农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请到某贫困山区的
乡村小学工作、若将这 5 名毕业生分配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1
（I）求 a 的值； （II）为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情 况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽 样的方法抽取了 10 人、现从这 10 人中随机抽取 3 人，记日平均阅读时间在（14，16] 内的学生人数为 X，求 X 的分布列； （III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取 20 名学生， 用“P20（k）”表示这 20 名学生中恰有 k 名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小 时）内的概率，其中 k＝0，1，2，…，20.当 P20（k）最大时，写出 k 的值.（只需写出 结论）