高中数学选修2-2 北师大版 第1章 4数学归纳法 课时作业(含答案)

§4 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项1k ＋B ．增加了两项12k ＋1，1k ＋C ．增加了两项12k ＋1，1k ＋，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项1k ＋，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立 一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝1k ＋.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解 由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋3k ＋>k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋，由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

第一章 推理与证明§1 归纳与类比课后作业提升1观看下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x ,y )的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x ,y )的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x ,y )的个数为12,……,则|x|+|y|=20的不同整数解(x ,y )的个数为( ) A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n (n ∈N +)的不同整数解(x ,y )的个数为4n ,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x ,y )的个数为80,故选B . 答案:B2将自然数0,1,2,…,依据如下形式进行摆放:依据以上规律判定,从2021到2022的箭头方向是( )解析:本题中的数字及箭头方向都有肯定的规律.箭头每经过四个数就要重复消灭,即以4为周期变化.2022恰好是4的倍数,2021应当与1的起始位置相同. 答案:B3已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式S=底×高2,可推知扇形面积公式S 扇等于()A.r 22B.l 22C.lr 2D.不行类比解析:由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高,可得扇形的面积公式. 答案:C4三角形的面积为S=12(a+b+c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四周体的体积为( )A.V=13abcB.V=13ShC.V=13(S 1+S 2+S 3+S 4)r (S 1,S 2,S 3,S 4为四个面的面积,r 为内切球的半径)D.V=13(ab+bc+ac )h (h 为四周体的高)解析:设△ABC 的内心为O ,连接OA ,OB ,OC ,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r ,底边长分别为a ,b ,c ;类比:设四周体A BCD 的内切球的球心为O ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,将四周体分割为四个以O 为顶点,以原来面为底面的四周体,高都为r ,所以有V=13(S 1+S 2+S 3+S 4)r. 答案:C5在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四周体的内切球半径等于这个正四周体的高的 . 解析:三角形有三条边→13;而正四周体有四个面→14,可接受分割法证明. 答案:146观看下列不等式:①√2<1;②√2√6<√2;③√2√6√12<√3;……则第5个不等式为 .答案:√2+√6√12√20√30<√57已知a ,b 为正整数,设两直线l 1:y=b-b a x 与l 2:y=b ax 的交点为P 1(x 1,y 1),且对于n ≥2的自然数,两点(0,b ),(x n-1,0)的连线与直线y=b ax 交于点P n (x n ,y n ). (1)求点P 1,P 2的坐标;(2)猜想点P n 的坐标公式.分析:两直线的交点坐标可通过解方程组求出,由两点坐标又可写出新的直线方程,从而猜想出点P n 的坐标. 解:(1)解方程组{y =b -bax ,y =bax ,得P 1(a 2,b2).过(0,b ),(a 2,0)两点的直线方程为2x a +yb=1,与y=b a x 联立,解得P 2(a 3,b 3).(2)由(1)可猜想P n (a n+1,bn+1).8图(1)(2)(3)(4)为刺绣中较简洁的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越秀丽;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f (n+1)与f (n )之间的关系式,并依据你得到的关系式求出f (n )的表达式; (3)求1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1的值. 解:(1)f (5)=41.(2)由于f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4, …由以上规律,可得出f (n+1)-f (n )=4n , 由于f (n+1)-f (n )=4n , 所以f (n+1)=f (n )+4n , 所以f (n )=f (n-1)+4(n-1) =f (n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f (n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =……=f [n-(n-1)]+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4[n-(n-1)] =2n 2-2n+1. (3)当n ≥2时,1f (n )-1=12n (n -1)=12(1n -1-1n), 所以1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1=1+12(1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n )=1+12(1-1n )=32−12n.。

§ 数学归纳法.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点) .体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 数学归纳法阅读教材～，完成下列问题..数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：命题成立；，(如＝或等)时第一个值()验证：当取 命题成立.，时＝＋推出当，时命题成立的前提下)≥，＋∈＝(()在假设当根据()()可以断定命题对一切从开始的正整数都成立..应用数学归纳法注意的问题有关的命题.正整数()用数学归纳法证明的对象是与 ()在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.()步骤()的证明必须以“假设当＝(≥，∈＋)时命题成立”为条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()与正整数有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )()数学归纳法的第一步的初始值一定为.( )()数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )【答案】()× ()× ()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型](∈＋)时，第一步验证＝时，左边应取的项是( )＋＋＋＋＋＋()用数学归纳法证明(＋)·(＋)·…·(＋)＝×××…×(－)(∈＋)，“从到＋”左端增乘的代数式为.【导学号：】【自主解答】()当＝时，左边应为＋＋＋，故选.()令()＝(＋)(＋)…(＋)，则()＝(＋)·(＋)…(＋)，(＋)＝(＋)(＋)…(＋)(＋)(＋)，所以＝＝(＋).【答案】() ()(＋)数学归纳法证题的三个关键点.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是..递推是关键。

.设()＝＋…＋(∈＋)，那么(＋)－()等于()．．．．．．满足×＋×＋×＋…＋(＋)＝－＋的自然数有()．．．或．．．用数学归纳法证明“＋(＋)＋(＋)(∈＋)能被整除”的过程中，利用归纳假设证明＝＋时，只需展开()．．(＋) ．(＋)．(＋) ．(＋)＋(＋)．证明＜＋＋…＋＜＋(＞)，当＝时，中间式等于()．．．＋．＋．＋．凸边形有()条对角线，则凸(＋)边形的对角线的条数(＋)为()．．()＋＋．()＋．()＋－．()＋－．若命题()(∈＋)，当＝(∈)时，命题成立，则有＝＋时，命题成立．现知命题对＝(∈＋)时，命题成立，则有()．＋．命题对所有正整数都成立．命题对小于的整数不成立，对大于或等于的正整数都成立．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立．以上说法都错．用数学归纳法证明“＋能被整除”的过程中，当＝＋时，对式子(＋)＋(＋)应变形为．．用数学归纳法证明“当为正偶数时，－能被＋整除”，第一步应验证＝时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成．．用数学归纳法证明凸边形的对角线的条数：()＝(－)(≥且∈＋)．．已知≥，∈＋，求证：·…·.参考答案.答案：解析：()＝(＋)＝，∴(＋)－()＝..答案：解析：当＝时，左边＝×＝，右边＝－＋＝，等式成立．当＝时，左边＝×＋×＝，右边＝×－×＋＝，等式成立．当＝时，左边＝×＋×＋×＝，右边＝×－×＋＝，等式成立．当＝时，左边＝×＋×＋×＋×＝，右边＝×－×＋＝，等式不成立．.答案：解析：当＝时，＋(＋)＋(＋)能被整除，当＝＋时，(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋(＋)＋(＋)－，只需展开(＋)即可．.答案：解析：当＝时，分母从依次到，则中间式为＋..答案：解析：增加的对角线条数为－..答案：解析：只能对大于或等于的所有正整数成立，而小于的正整数不确定．.答案：＋＋(＋)＋解析：采用配凑法，必须利用归纳假设．.答案：－能被＋整除解析：因为为正偶数，故第一个值应为＝，第二步假设取第个正偶数，即＝时成立，故应假设－能被＋整除．.答案：证明：()∵三角形没有对角线，∴＝时，()＝，命题成立．()假设＝(≥且∈＋)时命题成立，即()＝(－)．则当＝＋时，凸边形由原来个顶点变为＋个顶点，对角线条数增加－.∴(＋)＝()＋－＝(－)＋－＝(＋)[(＋)－]．∴当＝＋时，命题成立．∴对于任意的∈＋且≥，凸边形对角线的条数为()＝(－)．.证明：()当＝时，左边＝＋，右边＝，原不等式成立．()假设＝时，原不等式成立．即.那么当＝＋时，要使＝＋时，原不等式成立，只需证明，。

选修2-2 第一章 §4 课时作业61．证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．2．[2014·吉安检测]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13， a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n. 下面用数学归纳法进行证明①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k，那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 解：(1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S 1＝1，S 2＝2＋3＝5，S 3＝4＋5＋6＝15，S 4＝7＋8＋9＋10＝34，S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解：分别计算n ＝1,2,3,4时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。

活页作业(四)　数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n 取1,2,3,4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.答案：C2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n (n ∈N ＋，n ＞1)时，第一步应验证不等121312n －1式( )A ．1＋＜2B ．1＋＋＜2121213C ．1＋＋＜3D ．1＋＋＋＜31213121314解析：∵n ＞1且n ∈N ＋，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋＋＜2.1213答案：B3．设S k ＝＋＋＋…＋，则S k ＋1为( )1k ＋11k ＋21k ＋312k A ．S k ＋B ．S k ＋＋12k ＋212k ＋112k ＋2C ．S k ＋－D ．S k ＋－12k ＋112k ＋212k ＋212k ＋1解析：S k ＋1＝＋＋…＋＋＋＝S k ＋＋－＝S k ＋1k ＋21k ＋312k 12k ＋112k ＋212k ＋112k ＋21k ＋1－.12k ＋112k ＋2答案：C4．若f (n )＝1＋＋＋…＋(n ∈N ＋)，则n ＝1时f (n )是( )121312n ＋1A ．1B ．13C ．1＋＋D ．以上答案均不正确1213解析：∵f (n )共有2n ＋1项，∴当n ＝1时有2＋1＝3项，即f (1)＝1＋＋.1213答案：C5．已知f (n )＝＋＋＋…＋，则( )1n 1n ＋11n ＋21n 2A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝＋1213B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝＋＋121314C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝＋1213D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝＋＋121314解析：观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1，∴项数为n 2－n ＋1.答案：D6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ∈N ＋)时，第一步验(n ＋3)(n ＋4)2证当n ＝1时，左边应取的项为________．解析：当n ＝1时，左边要从1加到n ＋3，即1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋47．已知每项都大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1，前n 项和S n 满足S n －S n －1Sn －1＝2(n ≥2)，则a 81＝________.Sn SnSn －1解析：∵S n －S n －1＝2，Sn －1Sn SnSn －1S 1＝a 1＝1，∴S 2＝9，S 3＝25，…，S n ＝(2n －1)2.利用数学归纳法可证明S n ＝(2n －1)2.∴a 81＝S 81－S 80＝640.答案：6408．已知f (n )＝1＋＋＋…＋，n ∈N ＋，用数学归纳法证明f (2n )＞时，f (2n ＋1)－f (2n )12131n n2＝_____________.解析：f (n )有n 项，最后一项为，1nf (2n )有2n 项，最后一项为，12n f (2n ＋1)有2n ＋1项，最后一项为，12n ＋1∴f (2n ＋1)比f (2n )多出的项为＋＋…＋.12n ＋112n ＋212n ＋1答案：＋＋…＋12n ＋112n ＋212n ＋19．设a ＞0，f (x )＝，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋.axa ＋x (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝，a1＋a a 3＝f (a 2)＝，a2＋a a 4＝f (a 3)＝.a3＋a 猜想a n ＝(n ∈N ＋)．a(n －1)＋a (2)证明：①易知，当n ＝1时，由猜想知正确．②假设当n ＝k 时正确，即a k ＝，a(k －1)＋a 则a k ＋1＝f (a k )＝＝a ·aka ＋ak a ·a (k －1)＋aa ＋a (k －1)＋a ＝＝.a(k －1)＋a ＋1a[(k ＋1)－1]＋a 这说明，当n ＝k ＋1时也正确．由①②，可知对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝.a(n －1)＋a 10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．解：当n ＝1时，21＋2＝4＞12，当n ＝2时，22＋2＝6＞22，当n ＝3时，23＋2＝10＞32，当n ＝4时，24＋2＝18＞42，由此可以猜想，2n ＋2＞n 2(n ∈N ＋)成立．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，∴左边＞右边，不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，∴左边＞右边，不等式成立．当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，∴左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2＞k 2，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又∵k ＋1＞0，k －3≥0，∴(k ＋1)(k －3)≥0.∴当n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)和(2)，可知n ∈N ＋时，2n ＋2＞n 2.11．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析：当n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1可被8整除；当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋1·34＋52k ＋1·52＝56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A12．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值a ，类32比上述命题棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A ．a B ．a4363C ．aD ．a5464解析：利用等体积法，四面体内一点和四个顶点连线将四面体分成四个四面体，这四个四面体体积之和等于大的四面体体积．答案：B13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n (2n －1)＝(－1)n n 时，第二步中n ＝k ＋1时，要证明的式子应为____________.解析：当n ＝k ＋1时，左边＝－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1[2(k ＋1)－1]＝－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1(2k ＋1)．答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1(k ＋1)14．设f (n )＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)，则用数学归纳法证明f (n )能被9整除的过程中，f (k ＋1)＝f (k )＋_______________.解析：f (k ＋1)＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋k 3＋9k 2＋27k ＋27＝f (k )＋9k 2＋27k ＋27.答案：9k 2＋27k ＋2715．由下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能得到一个怎样的121213121317321213115一般不等式？并加以证明．解：猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1＋＋＋…＋＞(n ∈N ＋)．121312n －1n2用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1＞，猜想成立．12(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋＋＋…＋＞，121312k －1k2则当n ＝k ＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞121312k －112k 12k ＋112k ＋1－1k212k 12k ＋112k ＋1－1k2＋＝.2k2k ＋1k ＋12即当n ＝k ＋1时，猜想也正确，所以对任意的n ∈N ＋，不等式成立．16．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到，记为f (1)＝；②当从A 口输入自然数n (n ≥2)时，在1313B 口得到的结果f (n )是前一个结果f (n －1)的倍．2(n －1)－12(n －1)＋3(1)当从A 口分别输入自然数2,3,4时，从B 口分别得到什么数？试猜想f (n )的关系式，并证明你的结论；(2)记S n 为数列{f (n )}的前n 项和，当从B 口得到16 192 575的倒数时，求此时对应的S n 的值．解：(1)由已知得f (n )＝f (n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)，2n －32n ＋1当n ＝2时，f (2)＝×f (1)＝×＝，4－34＋11513115同理可得f (3)＝，f (4)＝，135163猜想f (n )＝.(*)1(2n －1)(2n ＋1)用数学归纳法证明如下：①当n ＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立．②假设n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，(*)成立，即f (k )＝，1(2k －1)(2k ＋1)那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＝·，2k －12k ＋32k －12k ＋31(2k －1)(2k ＋1)即f (k ＋1)＝，1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]∴当n ＝k ＋1时，(*)也成立．综合①②所述，对所有的n ∈N ＋，f (n )＝恒成立．1(2n －1)(2n ＋1)(2)由(1)可得＝1(2n －1)(2n ＋1)＝，116 192 5751(2×2 012－1)×(2×2 012＋1)∴n ＝2 012.∵f (n )＝，12(12n －1－12n ＋1)∴S 2 012＝＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(14 023－14 025)]＝.12(1－14 025) 2 0124 025。

高中数学课时跟踪检测（四）数学归纳法（含解析）北师大版选修22课时跟踪检测（四） 数学归纳法1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D 要注意末项与首项，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.2．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析：选C n 的取值与2n，n 2的取值如下表：n1 2 3 4 5 6 …… 2n2 4 8 16 32 64 …… n 2149162536……由于2n2n>n 2. 3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12k ＋1B ．增加12k ＋1＋12k ＋1C ．增加12k ＋1＋12k ＋1，减少1k ＋1D ．增加12k ＋1，减少1k ＋1解析：选C 当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1＋k ＋1，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1＋k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12k ＋1－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12k ＋1，减少1k ＋1. 5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________． 解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 22n －12n ＋1＝n n ＋122n ＋1，推证当n＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3，故只需证明k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋3即可．答案：k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋37．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．。

§4数学归纳法1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)教材整理数学归纳法阅读教材P16～P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )【答案】(1)×(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝4）2(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N ＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【导学号：94210022】【自主解答】(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以f（k＋1）f（k）＝（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1).【答案】(1)D (2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.1.下面四个判断中，正确的是( )A.式子1＋k ＋k 2＋…＋k n(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1 B.式子1＋k ＋k 2＋…＋kn －1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC.式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N ＋)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N ＋)， 则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4【解析】 A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ； B 中，n ＝1时，式子＝1； C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的是C. 【答案】 C(1)用数学归纳法证明不等式n ＋1＋n ＋2＋…＋n ＋n >24(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋). 【精彩点拨】 (1)写出当n ＝k 时左边的式子，和当n ＝k ＋1时左边的式子，比较即可. (2)在由n ＝k 到n ＝k ＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度. 【自主解答】 (1)当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2）. 【答案】1（2k ＋1）（2k ＋2）(2)证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<（k ）2＋（k ＋1）2＋1k ＋1＝2（k ＋1）k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立.2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12（k ＋1） ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋12（2k ＋1）（k ＋1）>1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝n n （2n －1）且a 1＝3.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明.【精彩点拨】 (1)令n ＝2，3可分别求a 2，a 3.(2)根据a 1，a 2，a 3的值，找出规律，猜想a n ，再用数学归纳法证明.【自主解答】 (1)a 2＝S 22（2×2－1）＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜得：a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1（2k －1）（2k ＋1），那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn （2n －1），得a k ＝S k k （2k －1），a k ＋1＝S k ＋1（k ＋1）（2k ＋1），所以S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)1（2k －1）（2k ＋1）＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1. 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋3）＝1[2（k ＋1）－1][2（k ＋1）＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立. 由①②可知命题对任何n ∈N ＋都成立.1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n 项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题.3.数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明.【解】 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12＝k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k－12k －1＝2k ＋1－12（k ＋1）－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立.探究1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?【提示】不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.【自主解答】(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝＋＝＋9k2＋27k＋27＝＋9(k2＋3k＋3).因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【导学号：94210023】【解析】由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【答案】(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6数学归纳法—⎪⎪⎪⎪—定义—应用—⎪⎪⎪—证明等式—证明不等式—证明整除性问题1.用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3. 【答案】 C2.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A.1B.1＋a ＋a 2C.1＋aD.1＋a ＋a 2＋a 3【解析】 当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2. 【答案】 B3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为________.【导学号：94210024】【解析】 当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2中的k 更换为k ＋1.【答案】 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)24.以下是用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即2k＞k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N ＋不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2（n －1）（n ＋1）4.【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×（1－1）×（1＋1）4＝0，所以等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2（k －1）（k ＋1）4.那么当n ＝k ＋1时，有＋2＋…＋k ·＋(k ＋1)＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k ) ＝k 2（k －1）（k ＋1）4＋(2k ＋1)k （k ＋1）2＝14k (k ＋1) ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝（k ＋1）2[（k ＋1）－1][（k ＋1）＋1]4.所以当n ＝k ＋1时等式成立. 由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。