下载文档原格式
北京市顺义区2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=( )A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，1，2} 2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=﹣x2+2 B．y=C．y=2﹣x D．y=lnx3．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值等于( )A．2 B．4 C．7 D．115．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是( )A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是( )A．φ=B．φ=πC．φ=kπ+，k∈Z D．φ=2kπ+，k∈Z7．已知无穷数列{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n，则( )A．当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值B．当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最小值C．当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列且S n有最大值D．当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值8．某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11日均销售量/桶480 440 400 360 320 280设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，且y=ax2+bx+c（a≠0）．该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加( )A．3元B．4元C．5元D．6.5元二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线﹣=1的离心率为，则m=__________，其渐近线方程为__________．10．不等式组所表示平面区域的面积为__________．11．设向量=（， 1），=（2，﹣2），若（λ+）⊥（λ﹣），则实数λ=__________．12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，则f（x）在闭区间[﹣1，5]上的最小值为__________，最大值为__________．13．已知直线l：y=x，点P（x，y）是圆（x﹣2）2+y2=1上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为__________．14．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π，则ω的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+3，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等比数列，且b1=a2，b4=a6+S8．求数列{b n}的前n项和．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sinB=cosA=，B为钝角．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cosC的值．17．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．18．某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）频数 5 c 10 5 5频率0.1 a b 0.2 0.1 0.1赞成人数 4 8 12 5 3 1（Ⅰ）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率．19．已知椭圆C：x2+4y2=16．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C与y轴下半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．20．已知函数f（x）=a2x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．北京市顺义区2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=( ) A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中方程解得：x=1或2，即A={1，2}，∵B={﹣2，﹣1，1，2}，∴A∩B={1，2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( ) A．y=﹣x2+2 B．y=C．y=2﹣x D．y=lnx考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性与奇偶性，对选项中的函数判断即可．解答：解：对于A，y=﹣x2+2，是定义域上的偶函数，∴不满足条件；对于B，y=，是定义域上的奇函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y=2﹣x=，在定义域R上是非奇非偶的函数，∴不满足条件；对于D，y=lnx，在定义域（0，+∞）上是非奇非偶的函数，∴不满足条件．故选：B．点评：本题考查了基本初等函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．3．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值等于( )A．2 B．4 C．7 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=7，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=11，i=6；当i=6时，不满足进行循环的条件，故输出结果为11，故选：D点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是( )A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：运用基本不等式得出1，化简计算即可得出；x+y≤﹣1，解答：解；∵4x+4y=1，4x＞0，4y＞0，4x+y=4x•4y．∴1（x=y时，等号成立），化简计算即可得出；x+y≤﹣1，∴x+y的取值范围：（﹣∞，﹣1]．故选：D点评：本题考查了运用基本不等式求解变量的范围问题，注意化简运算，属于中档题．6．函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是( ) A．φ=B．φ=πC．φ=kπ+，k∈Z D．φ=2kπ+，k∈Z考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的奇偶性的性质进行求解即可．解答：解：由三角函数的性质可知若y=sin（x+φ）的图象关于y轴，则φ=kπ+，k∈Z，故函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是φ=kπ+，k∈Z，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的应用．7．已知无穷数列{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n，则( ) A．当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值B．当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最小值C．当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列且S n有最大值D．当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由d的正负易得数列的单调性，由数列项的正负变化入手逐个选项判断即可．解答：解：选项A，当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列，数列的前面一些项为正数，从某一项开始为负数，故S n有最大值，A正确；选项B，当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列，数列的所有项均为负数，S n没有最小值，B错误；选项C，当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列，数列的所有项均为正数，S n没有最大值，C错误；选项D，当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递增数列，数列的前面一些项为负数，从某一项开始为正数，故S n有最小值，D错误．故选：A点评：本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负变化入手是解决问题的关键，属基础题．8．某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11日均销售量/桶480 440 400 360 320 280设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，且y=ax2+bx+c（a≠0）．该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加( )A．3元B．4元C．5元D．6.5元考点：函数模型的选择与应用；二次函数的性质．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：设每桶水在进价的基础上增加x元时，利润为y元，从而先写出x与日均销售量的关系，再写出利润y的表达式，从而利用基本不等式求解即可．解答：解：设每桶水在进价的基础上增加x元时，利润为y元；故日均销售量为480﹣40（x+5﹣6）=520﹣40x（桶）；故y=x（520﹣40x）﹣200=40x（13﹣x）﹣200≤40×6.5×6.5﹣200=1690﹣200=1490（元）；（当且仅当x=13﹣x，即x=6.5时，等号成立）；故该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加6.5元，故选：D．点评：本题考查了函数及基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线﹣=1的离心率为，则m=1，其渐近线方程为y=x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，运用离心率公式e=计算即可得到m=1，再由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程，即可得到所求方程．解答：解：双曲线﹣=1（m＞0）的a=2，b=，c=，则e==，解得m=1，即有双曲线的方程为﹣y2=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x．故答案为：1，y=±x．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的运用和渐近线方程的求法，属于基础题．10．不等式组所表示平面区域的面积为．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用平面区域的图形求平面区域面积即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），由，解得，即B（﹣1，2）．A（0，3），∴阴影部分的面积为=故答案为：．点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域的计算，利用数形结合是解决本题的关键．11．设向量=（，1），=（2，﹣2），若（λ+）⊥（λ﹣），则实数λ=±．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的模的公式和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．解答：解：向量=（，1），=（2，﹣2），则||==2，||==2，若（λ+）⊥（λ﹣），则（λ+）•（λ﹣）=0，即为λ2﹣=0，则有4λ2=8，解得λ=±．故答案为：±．点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量垂直的条件，及向量的模的平方即为向量的平方，属于基础题．12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，则f（x）在闭区间[﹣1，5]上的最小值为﹣16，最大值为20．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：结合三次函数的特征可知，该函数在区间[﹣1，5]上处处可导且连续，因此只需求出该函数的极值点处函数值，以及函数的端点值，大中取大，小中取小即可．解答：解：由已知得f（x）=x3﹣6x2+9x，所以f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0，得x=1或x=3；因为该函数在[﹣1，5]上处处可导，且f（﹣1）=﹣16；f（1）=4；f（4）=4；f（5）=20，所以最小值为﹣16，最大值为20．故答案为：﹣16；20．点评：本题考查了可导函数在其连续的闭区间上函数最值的求法，要注意利用性质求解．13．已知直线l：y=x，点P（x，y）是圆（x﹣2）2+y2=1上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为﹣1．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离d和半径，则d减去半径即为所求．解答：解：圆心（2，0）到直线l的距离为d==，而圆的半径为1，故点P到直线l的距离的最小值为，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π，则ω的值为．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由|x1﹣x2|的最小值可得函数的周期值，进而求出ω的大小．解答：解：∵f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π，∴=π，即函数的周期T=4π，∵T==4π，解得ω=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最小值和零点之间的关系求出函数的周期是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+3，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等比数列，且b1=a2，b4=a6+S8．求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得到数列{a n}是以a1=1为首项，公差d=3的等差数列，然后由等差数列的通项公式和等差数列的前n项和得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a2和S8，代入b1=a2，b4=a6+S8求得等比数列{b n}的首项和公比为q，则数列{b n}的前n项和可求．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=a n+3，n∈N*，∴a n+1﹣a n=3，n∈N*，∴数列{a n}是以a1=1为首项，公差d=3的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n﹣2，∵，∴b4=a6+S8=16+92=108．设等比数列{b n}的公比为q，则，∴q=3，数列{b n}的前n项和．点评：本题考查了等差关系与等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sinB=cosA=，B为钝角．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cosC的值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（I）利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．（II）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．解答：解：（I）在△ABC中，∵，∴，由正弦定理，得．（II）∵B为钝角，∴，由（I）可知，，又，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，结合线面平行的判定证明DE∥平面A′BC；（Ⅱ）证明A'C⊥平面BCDE，再证明：A′C⊥BE；（Ⅲ）线段A'D上存在点F，DF=1，使平面CFE⊥平面A′DE．解答：（I）证明：因为D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，又因为DE⊄平面A′BC，所以DE∥平面A′BC…（II）证明：因为∠C=90°，DE∥BC，所以DE⊥CD，DE⊥AD，由题意可知，DE⊥A′D，…又A′D∩CD=D，所以DE⊥平面A′CD，…所以BC⊥平面A′CD，…所以BC⊥A′C，…又A′C⊥CD，且CD∩BC=C，所以A′C⊥平面BCDE，…又BE⊂平面BCDE，所以A′C⊥BE…（III）解：线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．理由如下：因为A′C⊥CD，所以，在Rt△A′CD中，过点C作CF⊥A′D于F，由（II）可知，DE⊥平面A′CD，又CF⊂平面A′CD所以DE⊥CF，又A′D∩DE=D，所以CF⊥平面A′DE，…因为CF⊂平面CEF，所以平面CFE⊥平面A′DE，故线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE…如图（1），因为DE∥BC，所以，，即，所以，AD=4，CD=2．所以，如图（2），在Rt△A′CD中，A′D=4，CD=2所以，∠A′DC=60°，在Rt△CFD中，DF=1…点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，考查探索性问题，有难度．18．某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）频数 5 c 10 5 5频率0.1 a b 0.2 0.1 0.1赞成人数 4 8 12 5 3 1（Ⅰ）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由于所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，可得到b的值，再由频率之和为1，即可得到a的值，进而得到c的值，根据频数分布表中的数据，即可得到频率分布直方图；（Ⅱ）设月收入在55，65的5人编号，列出任取2人共10种结果，含有不赞成的共7种情况，根据古典概型的公式进行求解即可．解答：解：（I）由频率分布表得0.1+a+b+0.2+0.1+0.1=1，即a+b=0.5．因为所抽调的50名市民中，收入（单位：百元）在[35，45）的有15名，所以，所以a=0.2，c=0.2×50=10，所以a=0.2，b=0.3，c=10，且频率分布直方图如下：（II）设收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，不赞成的分别是B1，B2，事件M：选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”，则从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中，任选2名的基本事件共有10个：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）事件M包含的结果是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共7个，所以，故所求概率为．点评：本题考查频率分布直方图，考查古典概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题19．已知椭圆C：x2+4y2=16．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C与y轴下半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）将椭圆C的方程变成其标准方程即可求出a，c，所以可求其离心率e=；（Ⅱ）联立直线的方程y=kx+1与椭圆C的方程消去y得到（1+4k2）x2+8kx﹣12=0．若设E （x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理即可求出线段EF中点M（），而B（0，﹣2），根据已知条件知道BM⊥EF，所以可得到，解出k=，这样便得到直线EF的方程，根据点到直线的距离公式求圆心（0，0）到直线EF的距离，比较和圆半径的关系即可得出直线EF和圆的位置关系．解答：解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为；∴a2=16，b2=4，从而c2=a2﹣b2=12；因此，故椭圆C的离心率；（II）由得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0；由题意可知△＞0；设点E，F的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），EF的中点M的坐标为（x M， y M），则，；因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰三角形；所以BM⊥EF，因此BM的斜率；又点B的坐标为（0，﹣2）；所以；即；亦即，所以；故EF的方程为；又圆的圆心O（0，0）到直线EF的距离为；所以直线EF与圆相离．点评：考查椭圆的标准方程，标准方程中的a，b，c的含义，离心率的计算公式e=．韦达定理，中点坐标公式，相互垂直的两直线的斜率的关系，点到直线的距离公式，以及判断直线和圆的位置关系的方法．20．已知函数f（x）=a2x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用；直线与圆．分析：（I）先求导并化简，从而由导数的正负列表确定函数的单调性及单调区间即可；（II）化简函数g（x）=a2x2﹣f（x）=lnx﹣ax，再求导，从而得到直线l的斜率k l=1﹣a，再由l′∥l，且l′在y轴上的截距为1写出直线l′的方程y=（1﹣a）x+1，再令h（x）=g（x）﹣[（1﹣a）x+1]并化简，从而可把无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方化为h（x）＜0（∀a∈R，∀x＞0）恒成立，再求导求函数的最大值即可证明．（III）化简A（1，﹣a），Q（x0，lnx0﹣ax0），从而写出直线QA的斜率，从而可化恒成立问题为lnx0﹣（a+2）（x0﹣1）＜0恒成立，再令r（x）=lnx﹣（a+2）（x﹣1）（x＞1），求导，再讨论以确定r（x）的最大值情况即可求出实数a的取值范围．解答：（I）解：f（x）=a2x2+ax﹣lnx，，所以，a＞0时，f（x）与f′（x）的变化情况如下：xf′（x）﹣0 +f（x）↘↗因此，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（II）证明：g（x）=a2x2﹣f（x）=lnx﹣ax，，所以g′（1）=1﹣a，所以l的斜率k l=1﹣a．因为l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，所以直线l′的方程为y=（1﹣a）x+1，令h（x）=g（x）﹣[（1﹣a）x+1]=lnx﹣x﹣1（x＞0），则无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方可化为h（x）＜0（∀a∈R，∀x＞0），而．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）的（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而当x=1时，h（x）取得极大值h（1）=﹣2，即在（0，+∞）上，h（x）取得最大值h（1）=﹣2，所以h（x）≤﹣2＜0（∀a∈R，∀x＞0），因此，无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．（III）因为A（1，﹣a），Q（x0，lnx0﹣ax0），所以，所以当x0＞1时，，即lnx0﹣（a+2）（x0﹣1）＜0恒成立，令r（x）=lnx﹣（a+2）（x﹣1）（x＞1），则，因为x＞1，所以．（i）当a≤﹣2时，a+2≤0，此时r′（x）＞0，所以r（x）在（1，+∞）上单调递增，有r（x）＞r（1）=0不满足题意；（ii）当﹣2＜a＜﹣1时，0＜a+2＜1，所以当时，r′（x）＞0，当时，r′（x）＜0，所以至少存在，使得r（t）＞r（1）=0不满足题意；（iii）当a≥﹣1时，a+2≥1，此时r′（x）＜0，所以r（x）在（1，+∞）上单调递减，r（x）＜r（1）=0，满足题意．综上可得a≥﹣1，故所求实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用、函数的性质应用及直线的斜率的求法，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题．。
顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则(1)+=i i ( ) （A ） 1-i （B ）1-+i （C ）1--i （D ）1+i2.已知集合2{|1}=<A x x ，{|21}=<x B x ，则A B = （ ）（A ）(1,0)- （B ）(1,1)- （C ）(,0]-∞（D ）(,1)-∞3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） （A ）2-=x y （B ）3=+y x x （C ）1=-y x（D ）ln =y x 4.已知点(2,1)-P 为圆22(1)25-+=x y 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为 （ ） （A ）30--=x y（B ）230+-=x y（C ）10+-=x y（D ）250--=x y5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( )A. 15B. 21C. 24D. 356.已知,∈a b R ，则“2≥ab ”是“224+≥a b ”成立的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件7.在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于3，则a 的值为 （ ） （A ） 5- （B ） 2- （C ）2 （D ）5 8.如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直， 将DEF V 沿FD 翻折，翻折后的点E (记为点P )恰好落在BC 上. 设1=AB ，=FA x (1)>x ，=AD y .则以下结论正确的是 （ ） （A ）当2=x 时，y 有最小值（B ）当2=x 时，y 有最大值（C）当=x 时，y 有最小值 2 （D）当=x y 有最大值 2第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知向量(2,1)=a ，(1,)+=a b k ，若⊥a b ，则实数_________.=k10.抛物线28=y x 的准线与双曲线22:184-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为_________.11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2s i n =a b A ，则___________.=B 12.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________（单位:2cm ）.13.国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售.据市场调查预测，某地区今年Q 型电动汽车的的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆.已知该地区今年1 月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆.（参考数据：111.1 2.9,≈121.1 3.1,≈131.1 3.5≈）14.设集合3|12⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭b a b a 中的最大和最小元素分别是M m 、,则__,=M __=m . 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin 22cos =-f x x x ，∈x R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值.16.（本小题满分13分）某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下数据： 25（Ⅰ）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（Ⅱ）从3月1日至3月6日这六天中,按照日期顺序从前往后任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，用(,)m n 的形式列出所有基本事件，并求满足25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 的事件A 的概率.17.（本小题满分13分 )已知等差数列{}n a ，23=a ，59=a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令=n a n b c ，其中c 为常数，且0>c ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分13分）如图，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ACD 是等边三角形，22===AD DE AB ， ,F G 分别为,AD DC 的中点. （Ⅰ）求证：⊥CF 平面ABED ； （Ⅱ）求四棱锥-C ABED 的体积；（Ⅲ）判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.19.（本小题满分14分 )已知函数2()21=+++x f x xe ax x 在1=-x 处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分 )已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点(2,0)F ，点A 为椭圆上一点.（Ⅰ） 求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆上两点，若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率互为相反数. 求证：直线MN 的斜率为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,AMN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值； 若不存在，请说明理由.顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ；2. A ；3. B ；4. A ；5. C ；6. A ；7. D ；8. C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 3；10.；11.6π或 56π ; 12. 43+π ； 13.1050,2970；14. 5,三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()sin 22cos =-f x xx sin 2cos 21)14=--=--x x x π【4分】∴()f x 的最小正周期为π 【6分】（Ⅱ）02π≤≤x ，32444πππ∴-≤-≤x ， 【7分】∴当244ππ-=-x ，即0=x 时， min ()2=-f x 【10分】当242ππ-=x ， 即38π=x 时，max ()1=f x 【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）这6天的平均发芽率为：232530261624100100100100100100100%24%6+++++⨯=， ∴这6天的平均发芽率为 24% 【6分】（Ⅱ）(,)m n 的取值情况有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(23,24),(25,30),(25,26),(25,16),(25,24),(30,26),(30,16),(30,24),(26,16),(26,24),(16,24),事件数为15 【9分】设25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26)(30,26)∴所求概率31155==P 【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知11349+=⎧⎨+=⎩a d a d ， 【2分】解得12,1==d a 【4分】∴数列{}n a 的通项公式为21=-n a n . 【6分】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21-==na n nb cc 【7分】当 1=c 时，1=n b ， ∴.=n S n 【9分】 当 1≠c 时，121+-+==n n a a n nb c c b ， ∴{}n b 是1=b c ，公比为2c 的等比数列； 【11分】 ∴22(1)1-=-n n c c S c 【13分】 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）F 为等腰ACD 的边AD 的中点，∴⊥CF AD⊥AB 平面ACD ，⊂AB 平面ABED∴ 平面⊥ACD 平面ABED ，且交线为AD .由⊂CF 平面ACD ， ⊥CF AD ，∴⊥CF 平面ABED 【4分】 （Ⅱ）1(21)232=⋅+⋅=ABEDS，=CF∴13-=⋅=C ABEF ABEF V S CF 【8分】 （Ⅲ）结论：直线AG ∥平面BCE . 证明： 取CE 的中点H ，连结,GH BH ，G 是CD 的中点， ∴GH ∥DE ，且 GH =12DE 由已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，∴GH ∥AB ，且GH =1=AB ，∴四边形ABHG 为平行四边形，【11分】∴AG ∥BH ，又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE∴AG ∥平面BCE . 【13分】19.解：（本小题满分14分）（Ⅰ）'()22=+++x xf x e xe ax ，Q ()f x 在 处取得极值，∴'(1)0-=f ，解得1=a .经检验1=a 适合.【2分】∴2()21=+++x f x xe x x ，'()(1)(2)=++x f x x e当(,1)∈-∞-x 时， '()0<f x ，∴()f x 在(,1)-∞-递减；当(1)∈-+∞x 时， '()0>f x ，∴()f x 在(1,)-+∞递增. 【6分】 （Ⅱ）函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点， 等价于220++-=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根，等价于22++=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根. 【8分】 令2()2=++x g x xe x x ，∴'()(1)(2)=++x g x x e ，由（Ⅰ）知()g x 在(,1)-∞-递减； 在(1,)-+∞递增.()g x 在[2,2]-上的极小值也是最小值；min 1()(1)1=-=--g x g e . 【11分】又22(2),-=-g e2(2)82(2)=+>-g e g∴2121--<≤-m e e ， 即212(1,]∈---m e e【14分】20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知2=C ，Q A 在椭圆上， ∴22421+=a b ， 【2分】 又 222=+a b c ，解得224,8==b a ，∴所求椭圆方程为22184+=x y 【4分】 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 的斜率为k ，则直线AN 的斜率为-k ，∴22(2)184⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去y得2222(12)(8)840+--+--=k x k x kQ 曲线E 与直线l 只有两个公共点，∴0>， 【6分】且1,2x是方程的二根，∴21284212--=+kxk，∴2124212--=+kxk，∴11(2)==-y k x【7分】同理2224212+-=+kxk，222412++=-kyk∴2121-===-MNy ykx x为定值. 【9分】( Ⅲ )不妨设过,M N的直线方程为：2=+y x m由222184⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x mx y，消去y得2240++-=x m，由0>，解得28<m，12,+=x x2124=-x x m，计算得：A点到直线MN的距离=d∴1||2=⋅⋅=AMNS d MN12==∴当24,=m即2=±m时，max()=AMNSV【14分】。
顺义区2016届高三年级期末统一测试数 学 试 卷 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|210}A x x =+<，{|10}B x x =-<<，那么A B =U （ ） （A ）1{|}2x x <- （B ）{|0}x x <（C ）1{|1}2x x -<<-（D ）1{|0}2x x -<<2.下列函数中为偶函数的是 （ ） （A ）2sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅ （C ）ln ||y x =（D ）21x y =-3.某学校共有师生4000人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为200的样本， 调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为190人，那么该校的教师人 数为 （ ）（A ）100人（B ）150人（C ）200人（D ）250人4.极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin ρθ=的两个圆的圆心距是 （ ）（A ）2（B （C ）1（D ）25.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，045A ∠=，2ABC S =V ，则a =（A ）5 （B ）25 （C ） （D ）6.对于非零向量,a b r r，“230a b +=r r r ”是“a ∥b r ”成立的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件8.设函数()|21|,xf x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则下列关系式正确的是（ ） （A ）0a c +≤ （B ）0a c +> （C ）0a c +≤ （D ）0a c +<第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．复数1i__________.1i-+=+ 10．123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个顶点为(1,0),它的一个焦点与抛物线28y x=的焦点相同，则双曲线C 的方程为__________,离心率为_________.12.若,x y 满足约束条件10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最大值为_______.13.已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0,0m n >>，则mn 的最大值为_________.14.某大众创业公司，2015年底共有科研人员10人，公司全年产品总产值500万元,从2016年起该公司计划产品的年产值每年增加100万元,为扩大规模，科研人员每年净增a 人，设从2016年起的第x 年（*,x N ∈2016年为第一年），该公司科研人员人均产值y 万元，则y 与x 之间的7.如下程序框图中，当*(1)n N n ∈>时，函数()n f x 表示函数1()n f x -的导函数， 即1()'()n n f x f x -=.若输入函数1()sin cos f x x x =+，则输出的函数()n f x 为 ( )（A ）2sin()4x π+ （B ）2sin()4x π-+（C ）2sin()4x π- （D ）2sin()4x π--函数关系式为____________；为使该公司的人均产值每年都不低于前一年的人均产值，那么该公司每年增加的科研人员不能超过________人.三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分） 已知函数231()sinsin 222x f x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间. 16.（本小题满分13分）已知函数()||f x x a =-,2()21g x x ax =++(a 为正常数),且函数()f x 和()g x 的图像与y 轴相交于同一点. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()()f x g x +在[1,2]上的最大值与最小值． 17.（本小题满分13分）某班级举行一次“科普知识”竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段.现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表（Ⅰ）填写频率分布表中的空格；（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学从给定的5道小题中依次口答，答对3道题就终止答 题并获一等奖；如果前3道题都答错就不再答第4、5题而被淘汰.某同学进入决赛，每道题答对的概率均为 0.5.①求该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率；②记该同学决赛中答题的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.分 组（分数段） 频 数（人 数） 频 率 [60, 70) 8 [70, 80) 0.44 [80, 90) 14 0.28 [90,100] 合 计50118.（本小题满分13分） 已知函数()ln f x x =,(),(0)kg x k x=-≠ （Ⅰ）求曲线()y f x =在(,())e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的单调递增区间；（Ⅲ）若对(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞U 都有(||)(||)f x g x ≥成立，试确定实数k 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个顶点(0,1)A ，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点.若在x 轴上存在 点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围. 20.（本小题满分14分）2*(4,)n n n N ≥∈个正数排成一个n 行n 列的数阵，1112131412122232423132333431234n n n n n n n nn a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭其中(1,1)ij a i n j n ≤≤≤≤表示该数阵中位于第i 行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且22336,16a a ==.(Ⅰ) 求11a 和i j a ；(Ⅱ)设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+. ①求n A ；②证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除.顺义区2016届高三期末统一测试（理科）参考答案及评分标准 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ；2. C ；3. C；4. B；5. A；6. A；7. C ； 8 . D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10.11.，12. ，13.14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知【3分】【6分】的最小正周期为. 【7分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时递增【10分】即函数的递增区间为【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数和的图像与轴相交于同一点，解得. 【4分】（Ⅱ）令，【8分】的对称轴为，当时，单调递增。
北京市顺义区2016届高三第一次模拟考试理科数学试卷一、单选题1.设为虚数单位，则（）A． B． C． D．【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C【答案】C2.已知集合，，则（）A．B．C．D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。
故答案为：B【答案】B3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B【答案】B4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【知识点】算法和程序框图【试题解析】否，否，否，是，则输出S=24．故答案为：C【答案】C5.已知向量，，其中．则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。
故答案为：A【答案】A6.直线：（为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。
又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。
故答案为：D【答案】D7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）A． B． C． D．【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由题知：所以故答案为：B【答案】B8.如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。
北京市顺义区2024届高三年级第一次统练试卷数 学考生须知：1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID 号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数11i -对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合{1,0,2}A =-，{}21B x x =≤，则下列结论正确的是（ ） A. A B =B. A B ⊆C. A B B ⋃=D.{1,0}A B ⋂=-3. 已知()f x 在(0,)+∞上单调递减，且00x >，则下列结论中一定成立的是（ ） A. ()()001f x f x +> B. ()()001f x f x +< C ()()001f x f x ->D. ()()001f x f x -<4. 已知向量(1,3)a λ=+ ，(2,3)b = ，若a 与a b +共线，则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 25. 已知双曲线222:1(0)x C y b b-=>的离心率e <，则b 的取值范围是（ ）A. (0,1)B.C. (1,)+∞D..)+∞6. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若12a =，公差1d =，318k k S S +-=，则k =（ ） A. 5B. 4C. 3D. 27. 已知0a >，0b >，则“1a b +>”是“14ab >”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 设ln 22a =，ln 66b =，1ec =，则（ ） A. b a c << B. a b c << C. b<c<aD. a c b <<9. 地铁某换乘站设有编号为12345,,,,S S S S S 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号12,S S23,S S 34,S S 45,S S 15,S S疏散乘客时间()s120220160140200用()(15)k S k μ≤≤表示安全出口k S 的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①()()13S S μμ>；②()()42S S μμ>；③()()53S S μμ>；④()()45S S μμ<．其中，正确说法的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，M 为底面ABCD 及其内部的一个动点且满足||PM =，则DM BM ⋅的取值范围是（ ）A. [1-+B. [1,1-+C. [11]--D. [11]--第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．11. 在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为__________．（用数字作答） 12. 已知()f x 是奇函数，当0x ≤时，()21x f x =-，则(1)f =__________． 13. 在ABC中，tan tan 3B C ==，1b =，则()tan B C +=__________；=a __________． 14. 已知()sin f x x ω=，若存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()01f x =-，则正整数ω一个取值是__________．15. 已知数列{}n a 满足()*1122n n n a a n a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①若1a ={}n a；②若1a <，则对任意*n ∈N ，有1n n a a +>；③若10a >，则存在*0n ∈N ，当0n n ≥时，有12024n a -≤；④若1a >，则对任意*n ∈N，有(112n n a a +-≥-； 其中，所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 已知函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数2()()2cos h x f x x =-，求()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．17. 某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：的假设在各路口是否遇到红灯相互独立．（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率；（3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明）18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为BC ，11A B 的中点，111112A B AC A A ===．（1）求证：//EF 平面11AAC C ；（2）若111A A A B ⊥，平面11AAC C ⊥平面11A B BA ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求EF 与平面1A BC 所成角的正弦值． 条件①：111A A AC ⊥；条件②）：111A A B C ⊥；条件③）：AB AC ⊥． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2b =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设斜率为12的直线l 与E 交于A ，B 两点（异于点P ），直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求||||PM PN 的值． 20 已知函数2()ln(1)(1)mf x x x =+--，其中R m ∈． .（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处切线方程； （2）若()f x 在(2,)+∞上存在极值，求实数m 取值范围： （3）写出()f x 的零点个数．（直接写出结论期可）21. 给定正整数3n ≥，设集合{}12,,,n A a a a = ．若对任意i ，{1,2,,}j n ∈⋯，i j a a +，i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称集合A 具有性质P ．（1）分别判断集合{}1,2,3与{}1,0,1,2-是否具有性质P ； （2）若集合{1,,}A a b =具有性质P ，求a b +的值；（3）若具有性质P 的集合B 中包含6个元素，且1B ∈，求集合B ．的的答案解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数11i -对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【答案解析】【详细分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【过程详解】解：()()11i 1i 1i 1i 1i 2++==--+，所以复数11i -在复平面内对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：A.2. 已知集合{1,0,2}A =-，{}21B x x =≤，则下列结论正确的是（ ） A. A B = B. A B ⊆C. A B B ⋃=D. {1,0}A B ⋂=-【答案】D 【答案解析】【详细分析】先求集合B ，再根据集合间的关系和运算逐项详细分析判断. 【过程详解】由题意可知：{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，所以,A B 之间没有包含关系，且{1,0}A B ⋂=-，故ABC 错误，D 正确； 故选：D.3. 已知()f x 在(0,)+∞上单调递减，且00x >，则下列结论中一定成立的是（ ） A. ()()001f x f x +> B. ()()001f x f x +< C. ()()001f x f x -> D. ()()001f x f x -<【答案】B 【答案解析】【详细分析】利用函数的单调性判断即可.【过程详解】由00x >得，001x x +>，结合()f x 在(0,)+∞上单调递减，则必有()()001f x f x +<，显然B 正确，A 错误，而当0(0,1)x ∈时010x -<，不定义域内，故无法比较，C,D 错误. 故选：B4. 已知向量(1,3)a λ=+ ，(2,3)b = ，若a 与a b +共线，则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【答案解析】【详细分析】先求得a b +的坐标，再根据向量a 与a b + 共线求解. 【过程详解】已知向量(1,3)a λ=+ ,(2,3)b = ,所以(3,6)a b λ+=+，因为a 与a b +共线，所以(1)6(3)30λλ+⨯-+⨯=，解得：1λ=.故选：C5. 已知双曲线222:1(0)x C y b b-=>的离心率e <，则b 的取值范围是（ ）A. (0,1)B.C. (1,)+∞D. )+∞【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【过程详解】由已知可得双曲线的焦点在y 轴上时，1a =，221c b =+，所以1c e a ==< 212b +<，由0b >，解得01b <<.故选：A.6. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若12a =，公差1d =，318k k S S +-=，则k =（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【答案解析】【详细分析】先由等差数列的前n 项和公式求得3,k k S S +，将318k k S S +-=转化为关于k 的方程求解.在【过程详解】根据题意：12a =，公差1d =，可知()211322n n n n nS na d -+=+=， 所以()()2233333,22k k k k k k SS +++++==，所以318k k S S +-=即为：()()2233331822k k k k ++++-=，解得：3k =.故选：C7. 已知0a >，0b >，则“1a b +>”是“14ab >”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据基本不等式可知当14ab >时，1a b +>；反之不成立，即可得出结论. 【过程详解】若“1a b +>”，可知当11,6a b ==时，14ab >不成立，即可知充分性不成立；若14ab >，可得1a b +≥>=，即可得1a b +>，即必要性成立， 因此可得“1a b +>”是“14ab >”的必要不充分条件； 故选：B 8. 设ln 22a =，ln 66b =，1ec =，则（ ） A. b a c << B. a b c << C b<c<a D. a c b <<【答案】A 【答案解析】【详细分析】令()ln xf x x =，利用导数求得()f x 的单调性，再转化,,a b c 即可得解. 【过程详解】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， .所以当e x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()e,+∞上单调递减， 因为()ln 2ln 4424a f ===，()ln 666b f ==，()1ln e e e ec f ===，而64e >>，所以()()()64e f f f <<，即b a c <<. 故选：A.9. 地铁某换乘站设有编号为12345,,,,S S S S S 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号12,S S23,S S34,S S45,S S15,S S疏散乘客时间()s120220160140200用()(15)k S k μ≤≤表示安全出口k S 的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①()()13S S μμ>；②()()42S S μμ>；③()()53S S μμ>；④()()45S S μμ<．其中，正确说法的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法.【过程详解】设每个出口每秒可疏散的人数为k x （15k ≤≤），由题意，可得方程组：()()()()()122334451512010002201000160100014010002001000x x x x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩，可得：122334451525350112545075x x x x x x x x x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎪+=⎩.因为()()12231325500311x x x x x x +-+=-=->，所以()()13S S μμ>，所以①正确； 因为()34x x +-()23x x +=43x x -=25500411->，所以()()42S S μμ>，所以②正确； 因为()()4534535025074x x x x x x +-+=-=->，所以()()53S S μμ>，所以③正确； 因为()()()()()()()5415343115342312x x x x x x x x x x x x x x x x -=+-++-=+-+++-+255025504113=-+-<，所以()()45S S μμ>，所以④错误. 故选：B10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，M 为底面ABCD 及其内部的一个动点且满足||PM =DM BM ⋅的取值范围是（ ）A. [1-+B. [1,1-+C. [11]--D. [11]--【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知可求得||1AM =，建立空间坐标系，利用已知设()cos ,sin ,0M θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.【过程详解】PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，连接,PM AM ，由||PM =，可得1AM ==，四边形ABCD 为矩形，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，则()()2,0,0,0,2,0B D ，设()cos ,sin ,0M θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()cos ,sin 2,0,cos 2,sin ,0DM BM θθθθ=-=-，所以()()cos cos 2sin 2sin DM BM θθθθ⋅=-+-()22πcos sin 2sin cos 14θθθθθ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则πsin ,142θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以11DM BM ⎡⎤⋅∈--⎣⎦ .故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．11. 在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】10【答案解析】【详细分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【过程详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()552551C C ,0,1,2,3,4,51k kk k k k x x k x --⎛⎫-⎭= ⎝-=⎪， 令521-=k ，可得2k =，所以x 的系数为()2251C 10-=， 故答案为：1012. 已知()f x 是奇函数，当0x ≤时，()21x f x =-，则(1)f =__________． 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】利用奇函数的定义补充分段函数，后求值即可.【过程详解】由题意得()f x 是奇函数，故当0x >时，()()21x f x f x -=-=-+-，显然11(1)212f -+=-=. 故答案为：1213. 在ABC 中，tan tan 3B C ==，1b =，则()tan B C +=__________；=a __________．【答案】 ①.②. 【答案解析】【详细分析】由正切函数定义可求得π6B C ==，可得()tan B C +=，再由正弦定理可得a =【过程详解】由tan tan 3B C ==，π0,2B C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可得π6B C ==；所以可得π3B C +=，所以2π3A =，即()tanBC +=易知1sin 2B =，sin 2A =，由正弦定理可得sin sin A a b B=⋅=；14. 已知()sin f x x ω=，若存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()01f x =-，则正整数ω的一个取值是__________． 【答案】3（答案不唯一）【答案解析】 【详细分析】根据三角函数的性质即可得02,2πk πk Z x ω=-+∈，进而可求解. 【过程详解】由()01f x =-可得()00s 2in 2,1πk x πk Z x ωω=+=-⇒-∈, 由于0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以不妨0π2x =，3ω=，则02πx 3ω=，满足()01f x =-， 故答案为：3（答案不唯一） 15. 已知数列{}n a 满足()*1122n n n a a n a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①若1a ={}n a ；②若1a <，则对任意*n ∈N ，有1n n a a +>；③若10a >，则存在*0n ∈N ，当0n n ≥时，有12024n a -≤；④若1a >，则对任意*n ∈N，有(112n n a a +-≥-； 其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【答案解析】【详细分析】对于①：根据递推公式详细分析求解即可；对于②④：根据递推公式结合基本不等式详细分析判断；对于③：根据递推公式结合基本不等式可知na ≥，分1a =和1a ≠两种情况，结合④中结论详细分析判断.【过程详解】对于①：若1a =211122a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，322122a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，以此类推可知：n a =，即数列{}n a，故①正确；对于②：若10a <<，则()21111121222a a a a a ⎛⎫⎡⎤=+=--+< ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦， ()32222121222a a a a a ⎛⎫⎡⎤=+=--+< ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦以此类推可知：0n a <<， 则21212022n n n n n n na a a a a a a +⎛⎫--=+-=> ⎪⎝⎭，即1n n a a +>，故②正确；对于④：若1a >2111202a a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，3221202a a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，以此类推，可知：0n a >>，且(1121222n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11222n a -<，可得((111222n n n n a a a a +⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭，故④错误； 对于③：若10a >，可知2111202a a a ⎛⎫=+≥> ⎪⎝⎭，当且仅当1a =3221202a a a ⎛⎫=+≥> ⎪⎝⎭，当且仅当2a =，即1a =以此类推，可知：0n a ≥>，当且仅当1a =若1a =*n ∈N ，可得102024n a =≤，显然成立；若10a >，且n a ≠，可知当2n ≥时，0n a >>，由④可知：当2n ≥时，则(112n n a a +<-，当3n ≥时，(((22122111222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫<<<⋅⋅⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为20a >，对于(2212n a -⎛⎫- ⎪⎝⎭结合指数性质可知：存在*0n ∈N 且03n ≥，当0n n ≥时，使得(221122024n a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即(221122024n n a a -⎛⎫<-<⎪⎝⎭；综上所述：存在*0n ∈N ，当0n n ≥时，有12024n a -≤，故③正确； 故选：①②③.【点评】关键点评：对于③：根据④中结论详细分析可知：当3n ≥时，(2212n n a a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合指数性质详细分析判断. 三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 已知函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数2()()2cos h x f x x =-，求()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． 【答案】（1）π，πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）0【答案解析】【详细分析】（1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可.（2）利用导数求函数最值即可.【小问1过程详解】设()f x 的最小正周期为T ，显然2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，解得πππ,π,Z 36x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦. 【小问2过程详解】 由已知得22π()()2cos sin 22cos 6h x f x x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，π()2sin 23h x x ⎛=+'⎫ ⎪⎝⎭， 当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，令()0h x '<，ππ,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()0h x '>，π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故()h x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 则()h x 最大值是π(03h =. 17. 某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：假设在各路口是否遇到红灯相互独立．（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率；（3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明）【答案】（1）14（2）16（3）增加【答案解析】【详细分析】（1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果；（2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果；（3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的.【小问1过程详解】根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯， 因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率1111114324P ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【小问2过程详解】依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟；若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意， 此时的概率为11111111114324328P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若遇到三个红灯，此时的概率为2111143224P =⨯⨯=； 所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为1216P P P =+=【小问3过程详解】根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值10,1,2,3,4,5,6ξ=；则()11111643224P ξ==⨯⨯=，()111115143224P ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()111114143212P ξ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()11111115311143243224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111112114328P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111111114324P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1111101114324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 可得()111151112365432102424122484412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值20,2,4,6ξ=；()21111643224P ξ==⨯⨯=，()2111111111141114324324324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211111111111211111143243243224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2111101114324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 可得()2111111364202442446E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 显然()()21E E ξξ>；所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为BC ，11A B 的中点，111112A B AC A A ===．（1）求证：//EF 平面11AAC C ；（2）若111A A A B ⊥，平面11AA C C ⊥平面11A B BA ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求EF 与平面1A BC 所成角的正弦值．条件①：111A A A C ⊥；条件②）：111A A B C ⊥；条件③）：AB AC ⊥．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】（1）证明见答案解析（2）15【答案解析】【详细分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1过程详解】取AC 中点M ,连接1,,ME A M由于,E M 分别为,BC AC 的中点，所以1//,2EM AB EM AB =, 又111//,2A F AB A F AB =,所以11//,A F EM A F EM =, 因此四边形1A MEF 为平行四边形，故11//,A M EF A M ⊂平面11AAC C ,EF ⊄平面11AAC C ,故//EF 平面11AAC C【小问2过程详解】由于平面11AA C C ⊥平面11A B BA ，且交线为1A A ，又111A A A B ⊥，11A B ⊂平面11A B BA ，所以11A B ⊥平面11AAC C ，11AC ⊂平面11AACC ，故11A B ⊥11A C 若选①：111A A A C ⊥；因此111,A A AC ，11A B 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,2,1,2,1,1,0,0A B B A C E F ,故()()112,2,0,0,2,2A B AC == , 设平面1A BC 法向量为(),,m x y z = ，则11220,220A B m x y AC m y z ⋅=+=⋅=+= ，取1x =，则()1,1,1m =- ，()0,2,1EF =-- ,设EF 与平面1A BC 所成角θ，则sin cos ,15EF m EF m EF mθ⋅==== ， 若选择条件②）：111A A B C ⊥；111A A B C ⊥，111A A A B ⊥，111111111,,B C A B B B C A B ⋂=⊂平面111,A B C所以1A A ⊥平面111,A B C 11AC ⊂平面111,AB C 故111A A A C ⊥， 因此111,A A AC ，11A B 两两垂直，以下与选择①相同.若选择条件③）：AB AC ⊥．因为1111//,//C AB A B AC A ，所以由1111A B AC ⊥可以推出AB AC ⊥，此时推不出111A A AC ⊥.此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件，19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2b =． （1）求椭圆E 的方程；（2）设斜率为12的直线l 与E 交于A ，B 两点（异于点P ），直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求||||PM PN 的值． 【答案】（1）22143x y += （2）1【答案解析】【详细分析】（12b =，把点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，即可求出椭圆方程． （2）设直线l 的方程为12y x m =+，代入椭圆方程，得2230x mx m ++-=，所以12x x m +=-，2123x x m =-，计算直线PA 的斜率与直线PB 的斜率的和，即可根据对称求解.为【小问1过程详解】2b =，设所求椭圆方程为2222314x y b b +=， 把点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得23b =，24a =， ∴椭圆方程为22143x y +=． 【小问2过程详解】设直线l 的方程为12y x m =+， 代入椭圆方程，整理得2230x mx m ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，12x x m ∴+=-，2123x x m =-，()22430m m ∆=-->，所以22m -<<,直线PA 直线斜率为11321PAy k x -=-， 直线PB 直线斜率为22321PB y k x -=-， 则121221121233(23)(1)(23)(1)22112(1)(1)PA PB y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 1221(23)(1)(23)(1)y x y x --+--1221(23)(1)(23)(1)x m x x m x =+--++-- 12122(24)()64x x m x x m =+-++-22(3)(24)()640m m m m =-+--+-= 所以，0PA PB k k +=，即直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数， 故直线PA 与直线PB 关于32y =对称， 因此||||PM PN =． 故||1||PM PN =【点评】方法点评：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.20. 已知函数2()ln(1)(1)m f x x x =+--，其中R m ∈． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处切线方程；（2）若()f x 在(2,)+∞上存在极值，求实数m 的取值范围：（3）写出()f x 的零点个数．（直接写出结论期可）【答案】（1）3y x =-+（2）12m > （3）见答案解析【答案解析】【详细分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）分类讨论即可结合极值的定义求解，（3）构造函数()2ln g t t t =-，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解交点个数求解. 【小问1过程详解】当1m =时，21()ln(1)(1)f x x x =+--，则()321(1)1f x x x -'=+--， 故()2211f '=-+=-，()21f =，()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为()12y x -=--，即3y x =-+【小问2过程详解】()233212(1)(1)1(1)m m x f x x x x --+-'=+=---，的当0m ≤时，()()0,f x f x '≥在(2,)+∞单调递增，此时无极值点，当0m >时，令()232(1)01(1)m x f x x x -+-'==⇒=-或1x =-要使得()f x 在(2,)+∞上存在极值，则需要12x =+>，解得12m >， 【小问3过程详解】 令22()ln(1)0(1)ln(1)(1)m f x x m x x x =+-=⇒=----， 令10t x =->，则2ln m t t =-，记()2ln g t t t =-，则()()2ln 2ln 1g t t t t t t '=--=-+， 当12e t ->时，()()0,g t g t '<单调递减，120e t -<<时，()()0,g t g t '>单调递增， 且121e 2e g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1t <时，()0g t >， 而当t →+∞时，()g t →-∞， 作出()g t 的大致图象如下： 故当12e m >时，无零点， 当12em =或0m ≤时，一个零点， 当102e m <<时，两个零点， .【点评】方法点评：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对答案解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 21. 给定正整数3n ≥，设集合{}12,,,n A a a a = ．若对任意i ，{1,2,,}j n ∈⋯，i j a a +，i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称集合A 具有性质P ．（1）分别判断集合{}1,2,3与{}1,0,1,2-是否具有性质P ；（2）若集合{1,,}A a b =具有性质P ，求a b +的值；（3）若具有性质P 的集合B 中包含6个元素，且1B ∈，求集合B ．【答案】（1）集合{}1,2,3不具有性质P ，集合{}1,0,1,2-具有性质P（2）1-（3）{}1132,1,0,1,2,1,,0,,1,222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭，2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭ 【答案解析】【详细分析】（1）根据性质P 的定义，即可判断两个集合是否满足；（2）根据性质P 的定义，首先确定{}01,,a b ∈，再讨论1b +是否属于集合{}1,0,b ，即可确定b 的取值，即可求解；（3）首先确定集合B 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质P 讨论集合中元素的关系，即可求解.【小问1过程详解】集合{}1,2,3中的{}3361,2,3+=∉，{}3301,2,3-=∉，所以集合{}1,2,3不具有性质P ，集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有性质P ；小问2过程详解】若集合{1,,}A a b =具有性质P ，记{}max 1,,m a b =，则m 1≥，令i j a a m ==，则{}21,,m a b ∉，从而必有{}01,,a b ∈，不妨设0a =，则{}1,0,A b =，0b ≠且1b ≠，【令1i a =，j a b =，则{}{}1,11,0,b b b +-≠∅ ，且{}{}1,11,0,b b b +-≠∅ ，0b ≠且1b ≠， 以下分类讨论：1）当{}11,0,b b +∈时，若101b b +=⇒=-，此时，{}1,0,1A =-满足性质P ； 若110b b +=⇒=，舍；若1b b +=，无解；2）当{}11,0,b b +∉时，则{}{}1,11,0,b b b --⊆，注意0b ≠且1b ≠，可知b 无解； 经检验{}1,0,1A =-符合题意，综上1a b +=-；【小问3过程详解】首先容易知道集合B 中有0，有正数也有负数，不妨设{}1112,,...,,0,,,...,k k l B b b b a a a -=---，其中5k l +=，110...,0...l k a a b b <<<<<<， 根据题意{}{}1111,...,,,...,l l l k k a a a a b b b ----⊆---，且{}{}1112112,,...,,,...k k l b b b b b b a a a ----⊆，从而()(),2,3k l =或()3,2， 1）当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，并且{}{}313212312,,b b b b b b b b b -+-+=--⇒=+，{}211221,2a a a a a a -∈⇒=， 由上可得()()()()2131322111,,,2,b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=， 综上可知{}111113,2,,0,,2B a a a a a =---；2）当()(),2,3k l =时，同理可得{}111112,,0,,2,3B a a a a a =--，据此，当B 中有包含6个元素，且1B ∈时，符合条件的集合B 有5个，分别是{}1132,1,0,1,2,1,,0,,1,222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭，2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭. 【点评】关键点点评：本题的关键是确定满足性质P 的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.。
顺义区2017届初三第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保． 2016年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为 A ．4188610⨯ B ．80.188610⨯ C ．71.88610⨯ D ．61.88610⨯ 2．9的算术平方根是A ．3B ．3-C ．3±D ．9 3．如图，AB ∥CD ，E 是BC 延长线上一点，若∠B=50︒， ∠D=20︒，则∠E 的度数为A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒4．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D5．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b ， d 互为相反数，则这四个实数中，绝对值最小的是A ．aB ．bC ．cD ．d6．如果5a b -=，那么代数式22(2)a b abab a b+--g 的值是 A ．15- B ．15C ．-5D ．5 7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是8．如图，在3×3的正方形网格图中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选ABC DE取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是A．23B．12C．13D．169．在平面直角坐标系'''x O y中，如果抛物线2'2'y x=不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为A．22(2)2y x=+-B．22(2)2y x=++C．22(2)2y x=--D．22(2)2y x=-+10．某公司在抗震救灾期间承担40 000顶救灾帐篷的生产任务，分为A、B、C、D四种型号，它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如图所示：根据以上信息，下列判断错误的是A．其中的D型帐篷占帐篷总数的10%B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等D．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果二次根式3x-有意义，那么x的取值范围是．12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式：．13．图1为北京城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是北京城市某女生从出生到12岁的身高统计图．请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为，你的预测理由是．bbaa14．小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶cm．15．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90︒，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m，n的大小关系是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小凯的作法如下：老师说：“小凯的作法正确．”请回答：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是______________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：0(22)4cos602218π--︒+--．18．解不等式：1532x-≥7x-，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，□ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．DCBA（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；（3）连接AE，CF．所以四边形AECF是菱形．FEAB CDA DEAB C求证：∠A=∠ABD ．20．已知关于x 的方程22220x mx m m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为正整数时，求方程的根．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:(0)l y mx m =≠与直线2:(0)l y ax b a =+≠相交于点A（1，2），直线2l 与x 轴交于点B （3，0）． （1）分别求直线1l 和2l 的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．22．某电脑公司有A 、B 两种型号的电脑，其中A 型电脑每台6 000元，B 型电脑每台4 000元．学校计划花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A 型、B 型电脑各多少台？23．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ， AB=AC=AD ，∠DAC =∠ABC . （1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若∠DAC =45︒，OA =1，求OC 的长.24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十ODCBA四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春”是指立春，为春季的开始，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开始，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，达到了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日． 日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即4个气温相加除以4），结果保留一位小数．根据以上材料解答下列问题：（1）求出3月29日的日平均气温a ；（2）采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来； （3）请指出2017年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日．25．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，∠P=∠B ． （1）求∠P 的度数；（2）连接PB ，若⊙O 的半径为a ，写出求△PBC 面积的思路．26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数()2264-+-=x x y 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：C BPAO（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ；（2）同学们先找到y 与x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy 中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．27．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF 的中点．（1）如图1，若AB =1，DG =2，求BH 的长； （2）如图2，连接AH ，GH ．图2图1FB小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形；想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）29．在平面直角坐标系xOy 中，对于双曲线(0)m y m x =>和双曲线(0)ny n x=>，如果2m n =，则称双曲线(0)m y m x =>和双曲线(0)n y n x =>为“倍半双曲线”，双曲线(0)my m x =>是双曲线(0)n y n x =>的“倍双曲线”，双曲线(0)n y n x =>是双曲线(0)my m x=>的“半双曲线”．（1）请你写出双曲线3y x =的“倍双曲线”是 ；双曲线8y x=的“半双曲线”是 ； （2）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是双曲线4y x=在第一象限内任意一点，过点A 与y 轴平行的直线交双曲线4y x =的“半双曲线”于点B ，求△AOB 的面积；（3）如图2，已知点M 是双曲线2(0)ky k x=>在第一象限内任意一点，过点M 与y 轴平行的直线交双曲线2k y x =的“半双曲线”于点N ，过点M 与x 轴平行的直线交双曲线2ky x=的“半双曲线”于点P ，若△MNP 的面积记为MNP S ∆，且12MNP S ∆≤≤，求k 的取值范围．顺义区2017届初三第一次统一练习数学答案及评分参考二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．x ≥312．22()()ab a b a b -=+-或222()2()a a b b ab b =-+-+或222()2a b a ab b -=-+；13．170厘米， 12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米； 14．50； 15．m n >；16．；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（或有一组邻边相等的平行四边形是菱形．或四条边都相等的四边形是菱形．）三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：0)4cos602π-︒11422=-⨯+………………………………………………………4分1=- ……………………………………………………………………… 5分18．解：去分母，得 1532(7)x x -≥-， …………………………………………1分 去括号，得 153142x x -≥-， …………………………………………2分 移项，得 321415x x -+≥-， …………………………………………3分 合并同类项，得 1x -≥-，系数化为1，得 1x ≤． …………………………………………………4分 把它的解集在数轴上表示为：………… 5分19．证明：∵ BE ⊥CD ，CE =DE ，∴ BE 是线段DC 的垂直平分线．…………………………………………1分 ∴ BC=BD ． ……………………………………………………………2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD=BC ． ……………………………………………………………3分 ∴ AD=BD ． ………………………………………………………………4分 ∴ ∠A=∠ABD ． …………………………………………………………5分120．解：（1）2244(2)m m m ∆=-+- 224448m m m =--+48m =-+ …………………………………………………………… 1分 ∵方程有两个不相等的实数根，∴480m ∆=-+>． ……………………………………………………… 2分 ∴ 2m <． ……………………………………………………………… 3分 （2）∵ m 为正整数，且2m <，∴ 1m =． ……………………………………………………………… 4分 原方程为220x x -=． ∴ (2)0x x -=．∴ 120,2x x ==． ………………………………………………………… 5分 21．解：（1）∵点A （1，2）在1:l y mx =上，∴2m =．∴直线1l 的表达式为2y x =． …………………………………… 1分 ∵点A （1，2）和B （3，0）在直线2:l y ax b =+上，∴2,30.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴直线2l 的表达式为3y x =-+． ……………………………… 3分 （2）n 的取值范围是 2n <． ……………………………………… 5分22．解：设购买A 型电脑x 台，B 型电脑y 台， ………………………………… 1分 根据题意，得 35,60004000150000.x y x y +=⎧⎨+=⎩ …………………………………………… 3分解这个方程组，得 5,30.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………… 4分答：购买A 型电脑5台，B 型电脑30台． ………………………………… 5分2EABCDO23．（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ． …………………………………………………… 1分 ∵∠DAC =∠ABC ， ∴∠DAC=∠ACB ．∴AD ∥BC ．…………………………… 2分 ∴∠1=∠2． 又∵AB=AD ， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴BD 平分∠ABC ． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠DAC =45︒，∠DAC =∠ABC ， ∴∠ABC=∠ACB =45︒．∴∠B AC =90︒． ………………………………………………………… 4分 过点O 作OE ⊥BC 于E ， ∵BD 平分∠ABC ， OE =OA=1．在Rt △OEC 中，∠ACB =45︒，OE =1， ∴ 2OC =． ………………………………………………………… 5分24．（1）761714441144a +++===（℃）． ………………………………… 1分(2)……… 4分（3） 3月29日． ………………………………………………………… 5分3ODCBA321E21CBPA O 25．解：（1）∵PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥AB ． ……………………………… 1分 ∴∠P +∠1=90°． ∵∠1=∠B +∠2， ∴∠P +∠B +∠2=90°．…………………… 2分 ∵OB=OC ， ∴∠B =∠2． 又∵∠P =∠B ， ∴∠P =∠B=∠2． ∴∠P =30°． …………………………… 3分（2）思路一：①在Rt △PAO 中，已知∠APO =30°，OA=a ，可求出PA 的长；②在Rt △PAB 中，已知PA ，AB 长，可求出△PAB 的面积；③可证出点O 为AB 中点，点C 为PO 中点，因此△PBC 的面积是△PAB 面积的41，从而求出△PBC 的面积． ………………………… 5分 思路二：①在Rt △PAO 中，已知∠APO =30°，OA=a ，可求出PO=2a ，进一步求出PC=PO -OC=a ；②过B 作BE ⊥PO ，交PO 的延长线于点E ，在Rt △BOE 中已知一边OB=a ，一角∠BOE=60°，可求出BE 的长； ③利用三角形面积公式12PC ×BE 求出△PBC 的面积． …………………………… 5分26．解：（1）自变量x 的取值范围是 2x ． …………………………………… 1分（2）………………………… 3分（3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）． …………………… 5分421CBPAO27．解：（1）由抛物线的表达式知，点C （0，8），即 OC =8；Rt △OBC 中，OB =OC •tan ∠ABC =8×12=4， 则点B （4，0）． ………………………… 1分 将A 、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得：428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为228y x x =-++．…… 3分 ∵2228(1)9y x x x =-++=--+ ，∴抛物线的顶点坐标为D （1，9）． ………… 4分（2）设直线CD 的表达式为y =kx +8,∵点D （1，9），∴直线CD 表达式为y =x +8．∵过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ， 可得：E （-2，6），F （4，12）． ………… 6分 设抛物线向上平移m 个单位长度（m ＞0）， 则抛物线的表达式为：2(1)9y x m =--++；当抛物线过E （-2，6）时，m =6，当抛物线过F （4，12）时，m =12， ∵抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点，∴m 的取值范围是6<m ≤12． ………………………………………… 7分28．（1）解：∵ 正方形中ABCD 和正方形DEFG ，∴ △ABD ，△GDF 为等腰直角三角形． ∵ AB =1，DG =2，∴ 由勾股定理求得BD=2，DF=22．…………………………… 2分 ∵ B 、D 、F 共线， ∴ BF =23． ∵ H 是BF 的中点， ∴ BH =21BF =223． …………………………………………………… 3分 5（2）证法一：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，∵正方形中ABCD 和正方形DEFG 且B 、D 、F 共线，∴AB ∥EF ．∴∠ABH=∠MFH ．又∵BH=FH ,∠AHB =∠MHF ，∴△ABH ≌△MFH ．…………… 4分 ∴AH=MH ，AB=MF ． ∵AB=AD ， ∴AD=MF ．∵DG=FG ，∠ADG=∠MFG =90°， ∴△ADG ≌△MFG ．…………… 5分 ∴∠AGD=∠MGF ，AG=MG ． 又∵∠DGM +∠MGF=90°， ∴∠AGD +∠DGM=90°．∴△AGM 为等腰直角三角形．…………………………………… 6分 ∵AH=MH ，∴AH =GH ，AH ⊥GH ．…………………………………………… 7分 证法二：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，∵正方形中ABCD 和正方形DEFG 且B 、D 、F 共线，∴AC ⊥BF ，GE ⊥BF ，DM =21BD ，DN=21DF ． ∴∠AMD =∠GNH =90°，MN =21BF ．………………………… 4分∵H 是BF 的中点， ∴BH =21BF ． ∴BH=MN ．∴BH -MH=MN -MH ． ∴BM=HN ．∵AM=BM=DM ， ∴AM=HN=DM ．∴MD+DH=NH+DH ． ∴MH=DN ． ∵DN = GN ， ∴MH = GN ．∴△AMH ≌△HNG ． ……………………………………………… 5分 ∴AH=GH ，∠AHM=∠HGN ． …………………………………… 6分 ∵∠HGN +∠GHN=90°， ∴∠AHM +∠GHN=90°． ∴∠AHG=90°．∴AH ⊥GH ． ………………………………………………………… 7分629．解：（1）双曲线3y x =的“倍双曲线”是6y x =；双曲线8y x = 的“半双曲线”是4y x=． ………………………………………………………… 2分（2）∵双曲线4y x =的“半双曲线”是2y x=， ∴△AOC 的面积为2，△BOC 的面积为1，∴△AOB 的面积为1． ……………………………………………………… 4分 （3）解法一：依题意可知双曲线()20k y k x =>的“半双曲线”为()0ky k x=>， ……………………………………………………… 5分 设点M 的横坐标为x ，则点M 坐标为2k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 坐标为k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴2k CM x =，k CN x =． ∴2k k k MN x x x=-=．…… 同理22x xPM x =-=． ………………………………… ∴124PMN kS MN PM ==V g g ．∵12PMN S ≤≤V ， ∴124k≤≤． ∴48k ≤≤．…………………………………………………… 8分 解法二：依题意可知双曲线()20k y k x =>的“半双曲线”为()0ky k x=>，………………………………………………………… 5分 设点M 的横坐标为x ，则点M 坐标为2k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 坐标为k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴点N 为MC 的中点，同理点P 为MD 的中点． 连接OM ， ∵12PM MN OC MC ==， ∴PMN OCM ∽V V ． … 6分 ∴14PMN OCM S S =V V ．∵OCM S k =V ，∴4PMN kS =V ．………………… 7分 ∵12PMN S ≤≤V ， ∴124k≤≤． ∴48k ≤≤．…………………………………………………… 8分。
顺义区2017届初三第一次统一练习数学试卷学校名称姓名准考证号考生须知1．本试卷共7页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2016年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为A．4188610⨯B．80.188610⨯C．71.88610⨯D．61.88610⨯2．9的算术平方根是A．3B．3-C．3±D．93．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，若∠B=50︒，∠D=20︒，则∠E的度数为A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒4．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b，d互为相反数，则这四个实数中，绝对值最小的是A．a B．b C．c D．d6．如果5a b-=，那么代数式22(2)a b abab a b+--的值是A．15-B．15C．-5D．5A BC DE7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是8．如图，在3×3的正方形网格图中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是A．23B．12C．13D．169．在平面直角坐标系'''x O y中，如果抛物线2'2'y x=不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为A．22(2)2y x=+-B．22(2)2y x=++C．22(2)2y x=--D．22(2)2y x=-+10．某公司在抗震救灾期间承担40 000顶救灾帐篷的生产任务，分为A、B、C、D四种型号，它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如图所示：根据以上信息，下列判断错误的是A．其中的D型帐篷占帐篷总数的10%B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等D．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍二、填空题（本题共18分，每小题3分）113x-有意义，那么x的取值范围是．12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式：．bbaa13．图1为北京城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是北京城市某女生从出生到12岁的身高统计图．请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为 ，你的预测理由是 ． 14．小刚身高180cm ，他站立在阳光下的影子长为90cm ，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm ，那么小刚的手臂超出头顶 cm ．15．如图，一张三角形纸片ABC ，其中∠C=90 ，AC =6，BC =8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A 落在C 处，折痕记为m ；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A 落在B 处，折痕记为n ．则m ，n 的大小关系是 ． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小凯的作法如下：老师说：“小凯的作法正确．”请回答：在小凯的作法中，判定四边形AECF 是菱形的依据是______________________．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．DCBA（1）连接AC ；（2）作AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于E ，F ； （3）连接AE ，CF ．所以四边形AECF 是菱形．FEABCDA B C三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：0(22)4cos602218π--︒+--．18．解不等式：1532x-≥7x -，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，□ABCD 中，BE ⊥CD 于E ，CE =DE ．求证：∠A=∠ABD ．20．已知关于x 的方程22220x mx m m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为正整数时，求方程的根．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:(0)l y mx m =≠与直线2:(0)l y ax b a =+≠相交于点A（1，2），直线2l 与x 轴交于点B （3，0）． （1）分别求直线1l 和2l 的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．22．某电脑公司有A 、B 两种型号的电脑，其中A 型电脑每台6 000元，B 型电脑每台4 000元．学校计划花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A 型、B 型电脑各多少台？ABCD E23．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ， AB=AC=AD ，∠DAC =∠ABC . （1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若∠DAC =45 ，OA =1，求OC 的长.24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春”是指立春，为春季的开始，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开始，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，达到了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日．日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、 14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即4个气温相加除以4），结果保留一位小数．根据以上材料解答下列问题：（1）求出3月29日的日平均气温a ；（2）采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来； （3）请指出2017年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日．ODCBA25．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，∠P=∠B ． （1）求∠P 的度数；（2）连接PB ，若⊙O 的半径为a ，写出求△PBC 面积的思路．26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数()2264-+-=x x y 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ；（2）同学们先找到y 与x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy 中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．C BPAO27．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF 的中点．（1）如图1，若AB =1，DG =2，求BH 的长； （2）如图2，连接AH ，GH ．图2图1ABCDEFGHHFE GDCBA小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形；想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）29．在平面直角坐标系xOy 中，对于双曲线(0)m y m x =>和双曲线(0)ny n x=>，如果2m n =，则称双曲线(0)m y m x =>和双曲线(0)ny n x=>为“倍半双曲线”，双曲线(0)m y m x =>是双曲线(0)n y n x =>的“倍双曲线”，双曲线(0)ny n x =>是双曲线(0)my m x=>的“半双曲线”． （1）请你写出双曲线3y x =的“倍双曲线”是 ；双曲线8y x=的“半双曲线”是 ；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是双曲线4y x=在第一象限内任意一点，过点A 与y 轴平行的直线交双曲线4y x=的“半双曲线”于点B ，求△AOB 的面积；（3）如图2，已知点M 是双曲线2(0)ky k x=>在第一象限内任意一点，过点M 与y 轴平行的直线交双曲线2ky x=的“半双曲线”于点N ，过点M 与x 轴平行的直线交双曲线2ky x=的“半双曲线”于点P ，若△MNP 的面积记为MNP S ∆，且12MNP S ∆≤≤，求k 的取值范围．。
顺义区2017届高三第一次统练数学试卷（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{|1A x x =<或2}x >，{}|340B x x =->，则A B =（ ）．A ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．(2,)+∞2．下列函数中为奇函数的是（ ）． A ．22y x x =+B ．ln y x =C ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos y x x =3．过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为（ ）．A ．π3或2π3B ．π6或5π6C ．π4或3π4D ．π3或5π64．按照如图所示的程序框图，则输出的s 值为（ ）．A ．116B ．136C ．2512D ．29125．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 垂直”是“平面α和平面β垂直”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件ID ：6168c0bc3b7048b5965da00d375aaa8b．已知向量(1,AB =，(1,AC =-ID ：670137256efa4d1c84d59dc1c6b9aa1a7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）．A ．8B．8+C．D．8．某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动，规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）． A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．210x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．复数(1i)(2i)-+的实部为__________．10．在ABC △中，7a =，8b =，5c =，则A ∠=__________．11．23-， 1.52，2log 3三个数中最大的数是__________．12．若抛物线28y x =上的点P 到焦点的距离为6，则P 到y 轴的距离是__________．13．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥中的点在x 轴上的投影构成的线段记为AB ，则AB =__________．14．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （1）直线l 在点00(,)M x y 处与曲线C 相切．（2）曲线C 在点M 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点M 处“内切”曲线C ． 下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①直线:0l y =在点(0,0)M 处“内切”曲线3:C y x =．②直线:l y x =在点(0,0)M 处“内切”曲线:sin C y x =．③直线:1l y x =-在点(1,0)M 处“内切”曲线:ln C y x =．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本大题满分13分）已知函数()sin cos π)cos f x x x x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期．（II ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．已知数列{}n a 满足：11a =，12()n n a a n +=∈N *，数列{}n b 满足：13b =，411b =，且{}n n a b +为等差数列．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （II ）求数列{}n b 的前n 项和．某高中学校为了解学生体质情况，从高一和高二两个年级分别随机抽取了40名男同学进行“引体向上”项目测试．样本的测试成绩均在0至30个之间，按照[)0,5，[)5,10，[)10,15，[]15,20，[)20,25，[)25,30的分组分别作出频率分布直方图．记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为21s ，高二年级的“引体向上”成绩的方差为22s ．（I ）已知该学校高二年级男同学有500人，估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数．（II ）从样本中高一年级的成绩不小于20个的男同学中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[]25,30 中的概率．（III ）比较21s 与22s 的大小（只需写出结果）．高一年级高二年级频率如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点，N 是CE 的中点．（I ）求证：EM AD ⊥． （II ）求证：MN ∥平面ADE ． （III ）求点A 到平面BCE 的距离．M EN DCBA已知函数()1ln e x f x x a =+-⋅．（I ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，求实数a 的值．（II ）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．已知椭圆2222:1()x y C a b c a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率1e 2=．（I ）求椭圆C 的方程．（II ）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，切点为T ，且直线l 与直线4x =相交于点S ．试问：在坐标平面内是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．顺义区2017届高三第一次统练数学试卷答案（文科）一、DDBC DCCB 二、 9．3 10．π311． 1.52 12．4 13．3 14．①② 三、15．解：（I）因为21()sin 22f x x x =1sin 22x =1sin 22x x =πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为π． （II ）因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤． 当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值． 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为(0)f =当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 取得最大值． 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．16．解：（I ）因为在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，所以，()12n na n a +=∈N *．即数列{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列． 所以12n n a -=． 设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得344113()()(211)(13)15d a b a b =+-+=+-+=，解得5d =． 所以，11()(1)51n n a b a b n d n +=++-=-．从而1512(1,2,)n n b n n -=--=．（II ）由（1）知1512(1,2,)n n b n n -=--=．数列{}51n -的前n 项和为25(1)534222n n n n n -+=+．数列{}12n -的前n 项和为1(12)2112nn ⨯-=--．所以，数列{}n b 的前n 项和2532122nn n +-+．17．解：（I ）因为样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率 (0.080.040.01)50.65++⨯=，所以估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数为5000.65325⨯=人． （II ）记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人， 至少有1人成绩在[]25,30 中”为事件M ， 记这4名同学为1A ，2A ，3A ，4A ．样本中高一年级的成绩在[]25,30的人数为400.0152⨯⨯=人． 记这两名同学为1B ，2B ，则从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中， 随机抽取2人，所有可能的结果有15种，即：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ， 23(,)A A ，24(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，34(,)A A ， 31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B ，事件M 的结果有9种，它们是11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A B ，34(,)A B ， 31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，43(,)A B ，13(,)B B ．所以93()155P M ==． （III ）2212s s >．18．（I ）证明：∵EA EB =，M 是AB 的中点， ∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ， 平面ABE平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥．（II ）证明：取DE 的中点F ，连接AF ，NF ，∵N 是CE 的中点． ∴12NF CD ∥，∵M 是AB 的中点， ∴12AM CD ∥， ∴NF AM ∥，∴四边形AMNF 是平行四边形，∵MN ⊄平面ADE ，AF ⊂平面ADE ， ∴MN ∥平面ADE ．（III ）解：设点A 到平面BCE 的距离为d ， 由（1）知ME ⊥平面ABC ，2BC BE ==，MC ME ==则CEBN =12BCE S CE BN =⋅△，1sin 602ABC S BA BC =⋅⋅︒=△因为A BCE E ABC V V --=， 即1133BCE ABC S d S ME ⋅=⋅△△，解得d =．19．解：（I ）∵()1ln e x f x x a =+-， ∴1()e x f x a x '=-，(0,)x ∈+∞．由于曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行， 所以(1)1e 0f a '=-=． 解得1e a =．（II ）由条件知对任意(0,)x ∈+∞，FA B CDN EM不等式()0f x ≤恒成立， 此命题等价于1ln e x xa +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立． 令1ln ()e x xh x +=，(0,)x ∈+∞，11ln 11()1ln e e x x x x h x x x --⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞，令1()1ln g x x x =--，(0,)x ∈+∞， 则211()g x x x '=--，且()0g x '<， ∴函数1()1ln g x x x =--在(0,)x ∈+∞上单调递减，注意到(1)0g =，即1x =是()g x 的零点， 而当(0,1)x ∈时，1()1ln 0g x x x x =-->；当(0,)x ∈+∞时，()0g x <．又e 0x >，所以当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<． 则当x 变化时，()h x '的变化情况如下表：因此，函数()h x 在(0,)x ∈+∞取得最大值(1)e h =，所以实数1e a ≥．20．解：（I ）由点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上得，221914a b +=①，依题设知2a c =，则223b c =②，②代入①解得21c =，24a =，23b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（II ）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(43)84120k x kmx m +++-=． 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设00(,)T x y ， 所以0m ≠且0∆=．即2222644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得22430k m -+=③， 此时，024443kmkx k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43,kT m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩得(4,4)S k m +．假设平面内存在定点满足条件，不妨设为点A ． 由图形对称性知，点A 必在x 轴上．设1(,0)A x ，则由已知条件知AS AT ⊥． 即0AS AT ⋅=对满足③式的m ，k 恒成立． 因为1(4,4)AS x k m =-+，143,kAT x m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由0AS AT ⋅=得：211141612430kx kkx x m m m -+-+++=． 整理得2111(44)430k x x x m -+-+=④，由②式对满足①式的m ，k 恒成立，所以1211440430x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得11x =故平面内存在定点(1,0)，使得以ST 为直径的圆恒过该定点．顺义区2017届高三第一次统练选填题解析一、选择题1．【答案】D 【解析】由题意4{|}3B x x =>，所以{|2}A B x x =>．故选D ．2．【答案】D【解析】AC 为非奇非偶函数；B 为偶函数；D 为奇函数．故选D ．3．【答案】B【解析】显然直线不与x 轴垂直，设直线的方程为y kx =，圆的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心坐标为(2,0)，半径为1，1=，解得k = 所以直线的倾斜角为π6或5π6．故选B ．4．【答案】C【解析】初始状态下：1k =，1s =；第一次循环后：2k =，32s =；第一次循环后：3k =，116s =；第一次循环后：4k =，2512s =； 此时循环结束，2512s =．故选C ．5．【答案】D【解析】对于充分性，只有当a 与平面β内两条相交直线垂直， 或当b 与平面α内两条相交直线垂直时，才有平面α和平面β垂直，故充分性不成立；对于必要性，易找出反例，如a ，b 均与交线平行，此时a b ∥，故必要性亦不成立．故选D ．6．【答案】C【解析】由题意， 131cos 222AB AC BAC AB AC ⋅-+∠===⋅⋅，又0cos 180BAC ︒∠︒≤≤，所以60BAC ∠=︒．故选C ．7．【答案】C【解析】根据三视图，还原原几何体图形如下：PAB △与PCD △= PAD △与PBC △， 所以该四棱锥的侧面积22PAB PAD S S S =+=△△．故选C ．8．【答案】B【解析】由题意，当班级人数的个位数为8，9时， 增选一名候选人，所以210x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．故选B ．321F E42D CB A P二、填空题9．【答案】3【解析】(1i)(2i)3i -+=-，所以复数(1i)(2i)-+的实部为3．故答案为3．10．【答案】π3【解析】由余弦定理，222401cos 2802b c a A bc +-===，又0πA <<，所以π3A =． 故答案为π3．11．【答案】 1.52【解析】因为2031-<<，1.51222>=，21log 32<<．23-， 1.52，2log 3三个数中最大的数是 1.52． 故答案为 1.52．12．【答案】4【解析】抛物线的准线方程为2x =-， 点P 到焦点的距离为6，所以点P 到准线的距离为6，所以P 到y 轴的距离为4．故答案为4．13．【答案】3【解析】根据题意画出可行域图像如下：AB ．由图可知3故答案为3．14．【答案】①②【解析】根据题意，画出①②③对应的图像如下：①②根据“内切”曲线的定义可判断①②正确，③错误． 故答案为①②．x。
