13.4课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版

13.4课题学习最短路径问题【教学目标】1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．【教学方法】情境学习法、探究实践法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：②最短，因为两点之间，线段最短问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为垂线段最短.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.新课讲授：（一）牧人饮马问题问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.动手探究：探究1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．②AC +BC= AC +B′C = AB′，② AC′+BC′= AC′+B′C′．在②AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，②AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F 在AD 上，∴BF =CF ，∴BF +EF =CF +EF ，∴连接CE ，线段CE 的长即为BF +EF 的最小值.∵当CE ⊥AB 时，CE 最小，∴当CE ⊥AB 时，BF +EF 的最小值.∵12AB ·CE =12BC ·AD ，∴CE =AD =5， ∴BF +EF 的最小值是5.归纳结论：求线段和的最小值问题:找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.（二）造桥选址问题活动探究：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN .桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？抽象出数学习题思考：N 在直线b 的什么位置时，AM +MN +NB 最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM +NB 最小时，AM +MN +NB 最小.AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N ，点A 移到点A ′，则AA ′ = MN ，AM + NB = A ′N + NB . 这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时， A ′N +NB 最小？如图，连接A ′B 与b 相交于N ，N 点即为所求.试说明桥建在M ′N ′上时，从A 到B 的路径AMNB 增大.（两点之间线段最短）例2：如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？解：作AF ②CD ，且AF =河宽，作BG ②CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′，D ′.作DD ′，EE ′即为桥.理由：由作图法可知，AF //DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF最小.归纳结论：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习：A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如图②，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在②AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．（3）如图②，在②AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．答案：课堂小结：说一说哪些问题是线段最短问题.说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.作业布置：1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）答案：A2.完成本节配套习题.【板书设计】最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.【课后反思】创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.。

知识讲解（难点突破）如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
（引导学生将实际问题抽象成数学问题）
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相C
交于一点C
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′
方法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
l
实际
A
B
l
A
B
l
数
A
B
A
A B
l
A
B
l
C
B
B。

前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

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（最新精品教学设计）13.4 课题学习最短路径问题第2课时课题学习最短路径问题(2)【教学目标】1.理解并掌握如何选址造桥能使路径最短的问题.2.能利用轴对称和平移的相关知识解决实际问题中路径最短的问题.3.在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.【重点难点】重点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题.难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题：(1)此问题转化成数学问题是：________.(2)如何找到泵站的位置P?(3)为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？通过具体问题导入，用问题激起学生探究的兴趣.回顾上节知识的同时，为新课的探究做好铺垫.二、师生互动，探究新知问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)教师提出问题.学生经过思考，小组内讨论交流不难得出，就是在河两岸分别选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小的问题.同时MN与河岸是垂直的.如图所示.从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙地化解开去，分析出“AM＋BN”最短距离为A1N＋BN(也就是点A1到点B之间的线段最短)，从而实现了问题的求解.体现了化繁为简，转化的数学思想.同时这个问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际.。

两点转化为直线异侧的两个
图2
实际问题中的“所走的总路径最短”即“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题：
如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．
是否存在这样一个点呢？
几何画板演示
图3
2.分析思考，确定所求的点
①用我们所熟悉的最短路径问题能解决这个为题吗？回答是否定的，我们发现不管点C在哪里，点A，B，C都不在同一直线上，难以构成最短的线段．
设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点．
②如果当A，B两点在直线l的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB与直线l的交点即为所求（如图4）．
设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题．
③ 比较图3和图4，你发现了什么？能把图3中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题转化为图4中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题吗？
同学们不难发现，如果将图3中的点B或者点A移到直线的异侧，问题就迎刃而解了，
④把图3中的点B移到直线l的另一侧的B′，有什么条件？
要确保对于每一点C，BC=B′C，这样AC+BC=AC+B′C，在保证AC+BC最小就是AC+B′C最小．
⑤根据这一要求，怎样移动点B？
大家不难想作点B关于直线l的对称点B′的方法就可以把同侧的两点问题转化为异侧两点问题．（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）作直线AB，交直线l于C点，则点C即为所求的点．
3.推理证明，确立作出的点符合要求
①作出的点C是否符合要求，这需要证明，怎样证明？。

13．4 课题学习最短路径问题知人者智，自知者明。

《老子》棋辰学校陈慧兰一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连结的三条线段之和最小的位置的确定．【过程与方法】经历观察—画图—说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力及把实际问题转化为数学问题的能力，感悟转化思想，数形结合思想的运用．【情感态度与价值观】从生活实际问题出发，唤起学生的学习兴趣，激发学生学习欲望，从而主动参与数学学习活动中，体会解决问题的成功感受，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】利用轴对称解决简单的最短路径问题．【教学难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，要在街道旁修建一个供水站，向居民区A、B提供饮用水，分别满足以下条件，供水站应建在什么地方？(1)使从A、B到它的距离相等；(2)使从A，B到它的距离之和最短．解：(1)建在线段AB的垂直平分线与街道的交点上．(2)建在点A关于街道的对称点和点B的连线与街道的交点上．图略．2．如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？解：依据有2点：①平移前后的线段平行且相等；②两点之间线段最短．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动探索】(引发学生思考)证明线段间的不等式关系，一般从三角形的三边关系入手．【证明】由题意，得AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′.∴AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B.又∵A′B<A′N′＋N′B，∴AM＋NB<M′＋N′B.∴AM＋NM＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用三角形的三边关系证明线段和之间的不等关系是常用的技巧．活动2 巩固练习(学生独学)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO、BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图：(1)作C点关于O的对称点C1，作D点关于OB 的对称点D1；(2)连结C1D1，分别交OA、OB于P、Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．【互动探索】题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三形任意两边之差小于第三边来解决．【解答】如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连结CA、C′A、C′A′、C′B.因为点A、A′关于直线l对称，所以l为线段A′的垂直平分线，则CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用一种方法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用轴对称、平移等变换可以解决最短路径问题．请完成本课时对应练习！【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13-4 课题学习最短路径问题》是人教版数学八年级上册的教学内容。

这一课题主要让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握解决最短路径问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一课题前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，具备了一定的数学思维能力。

但对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将数学知识应用到实际问题中。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义。

2.掌握解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的背景和意义，解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为最短路径问题，如何运用图论知识解决最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题，让学生在分析中掌握解决方法。

3.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示最短路径问题的实际应用场景。

2.案例：收集一些具体的最短路径问题，用于教学实践。

3.教学工具：尺子、圆规、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的实际应用场景，如地图导航、物流配送等，引导学生关注最短路径问题。

2.呈现（10分钟）介绍最短路径问题的背景和意义，提出解决问题的方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析具体的最短路径问题，选取小组代表进行分享，讲解解决问题的思路和方法。

4.巩固（10分钟）针对学生分享的最短路径问题，进行总结和点评，引导学生明确解决最短路径问题的关键步骤。

5.拓展（10分钟）让学生思考如何将最短路径问题应用到实际生活中，提出自己的见解和想法。

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

教师姓名冯佩兰单位名称乌苏市第六中学填写时间2020/7/17 学科数学年级/册八年级（上）教材版本人教版课题名称13．4课题学习最短路径问题难点名称利用图形变换解决最短路径问题难点分析从知识角度分析为什么难方法难：利用轴对称或平移变换把两条线段和或三条线段和问题转化成一条线段。

思路难：转化思想从学生角度分析为什么难学生缺乏数学转化思想运用的能力，几何图形性质的灵活运用。

难点教学方法由浅入深，循序渐进直观展示，总结方法教学环节教学过程导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.通常，我们会遇到以下两种情况：(1)如图1，在直线l外有两点A、B，请在l上找一点C，使得AC＋BC最短．(2)如图2，在定直线l外有两定点A、B（异侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．知识讲解（难点突破）思路：定点到定点⇒连线段点C在直线l上，AC+ BC何时最小？问题升级：在定直线l外有两定点A、B（同侧），点C在直线l上，AC+ BC何时最小？思路：通常是作轴对称，再利用两点之间线段最短这一性质(1)如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为点C．(2)问题：在定直线l外有两定点A、B（直线两侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．思路：通常是作平移，再利用两点之间线段最短这一性质．如图，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．课堂练习（难点巩固）挑战自我：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求△PMN的周长最小值根据实际教学设计需要增行2.如图2，在定直线l外有两定点A、B（同侧），请在直线l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋BN最短．思路：解决这类问题，通常是作对称，或先作平移，再作对称．如图，作点A关于直线l的对称点A'，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接A'B'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。