下载文档原格式
矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系摘要：矩阵的特征值、特征向量以及它们的求解问题在代数学中具有重要的意义.本文通过对其定义和性质的深入了解，总结出了三种求解方法，分别是特征方程法、初等变换法以及只对矩阵进行行列互逆变换即可同时求出矩阵的特征值与特征向量的行列互逆变换法.这三种方法由浅入深，计算过程由繁到简，最后把求矩阵特征特征值问题转化为数的四则运算问题，避免了求高次方程根的难题,显示了其优越性.关键词：特征值；特征向量；初等变换；互逆变换.目录1 引言 (1)2 特征值与特征向量的定义及其性质 (1)2.1定义 (1)2.2性质 (1)3 特征值与特征向量的求法 (2)3.1特征方程法 (2)3.2初等变换法 (3)3.2.1 初等行变换法 (4)3.2.2 初等列变换法 (7)3.3行列互逆变换法 (9)4 总结 (13)参考文献 (14)1 引言物理学、力学、工程技术学中的许多问题在数学上都归结为求矩阵特征值和特征向量问题，由特征方程求特征值（尤其是对阶较大的矩阵）是比较困难的，而我们所掌握的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求特征值方可由方程组求特征向量.本文给出了只通过行变换和列变换即可同时求出特征值和特征向量的方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题.最后通过对矩阵特征值和特征向量进行系统归纳，给出一种只需进行行列互逆变换即可同时求出特征值与特征向量的结论，简单快捷. 2 特征值与特征向量的定义及其性质 2.1 定义设A 是n 阶方阵，如果存在实数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 是A 的对应特征值λ的特征向量. 2.2性质（1） 若i λ是A 的i r 重特征值，A 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量.（2） 若12,x x 都是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量，则当12,k k 不全为零时，1122k x k x +仍是A 的属于特征值0λ的特征向量.（3） 若n λλλ,,,21 是矩阵A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是,,,,21n x x x 则n x x x ,,,21 线性无关. （4） 若()nn ija A ⨯=的特征值为n λλλ,,,21 则A a a a n nn n =+++=+++λλλλλλ 21221121,.（5） 实对称矩阵A 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.（6） 若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰好有i r 个线性无关的特征向量.（7） 设λ为矩阵A 的特征值，)(x P 为多项式函数，则)(λP 为矩阵多项式)(A P 的特征值（8） 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k ，k λ为为k A 的一个特征值且x 为对应的特征向量.一般地对于任何多项式()01a x a x a x f m m +++= ，则()λf 为方阵()E a A a A a A f m m 01+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.3 特征值与特征向量的求法 3.1特征方程法用特征方程法求解的步骤为：（1） 求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ（2） 再求出特征方程()A E f -=λλ0=在数域P 中的全部根，即A 在数域P 中的全部特征值.（3） 把所求的的每个特征值i λ逐个地带入齐次线性方程组0=-x A E i λ中，求出齐次线性方程组0=-x A E i λ的全部非零解，即一个基础解系ir i i a a a ,,,21 便是A 的属于()n i i ≤≤1λ的线性无关的特征向量.则A 的属于i λ的全部特征向量是这个解系的非零线性组合ir r i i a k a k a k +++ 2211，其中r k k k ,,,21 是不全为零的数.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 的特征值和特征向量 解：先求A 的特征多项式A E -λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------122212221λλλ()()512-+=λλ 故A 得特征值为5,1321=-==λλλ把1-=λ代入A E -λx 0=中得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---022202220222321321321x x x x x x x x x即0321=++x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110,101.故矩阵A 属于1-的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11010121k k （21,k k 不全为零）. 同理将5=λ代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==--=-+-=--042202420224321321321x x x x x x x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 故属于5=λ的全部特征向量是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k . 这种求矩阵A 的特征值的方法是通过求矩阵A 的特征方程A E -λ0=的根来实现的，而在求特征方程A E -λ0=的根的时候往往有一定的难度，特别是当矩阵A 的阶数较高的时候难度更大.以下给出一种新方法，只用一种运算——矩阵运算，即在求A 的特征值时，特征矩阵()λE A -进行λ——矩阵的初等变换，这种方法计算量少，且运算规范，不易出错. 3.2 初等变换法定义2数域P 上矩阵的初等变换是指下列3种变换：第一种，以P 中一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）. 第二种，把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）.第三种，互换矩阵中两行（列）的位置.(a) 3.2.1 初等行变换法定理1 对于齐次线性方程组11m n mn O X A = （1） 其中()nm ija A ⨯=，()T i x X =，若()r A R mn =，并且 ()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−-n r n mn TP E A r -n rmO*D 一系列初等行变换（2）其中rm D 为上三角矩阵，并且()r D R rm =，则()n r n P -中的行向量()r n i i -=,,2,1 ξ是方程组（1）的一组基础解系（T A 表示A 的转置，()A R 表示A 的秩，n E 表示n 阶单位矩阵）.证明 对矩阵()n TE A 施行一系列初等行变换相当于左乘以一个可逆矩阵C ，由已知可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m r n rm TO D CA （3）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n r n n P CE * （4）由（4）可知，()n r n P -是行满秩，及其行向量i ξ()r n i -=,,2,1 线性无关，将（4）带入（3）得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m r n rm T n n r n O D A E P * 即()()m r n T n r n O A P --=两边同时进行转置得0=T AP由此可知P 的行向量是方程组（1）的解，且i ξ()r n i -=,,2,1 是线性无关的，所以即为方程组（1）的基础解系，证毕.定理2 对任意方阵A ，特征矩阵()()T A E F -=λλ经过行变换，可以化为上三角矩阵()λG ，且()λG 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根即为A 的特征值证明 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=nn n n n na a a a a a a a a F λλλλ212222111211，显然()()n F R =λ. 首先考察()λF 的第1列，若1i a ()n i ,,2,1 =不全为零，任取其一，记为()λ1d 通过行变换，将()λF 化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλH d 0*1；若1i a 0=()n i ,,2,1 =，则()λF 本身即具有这种形式.齐次再考察()λH 的第一列，若不全为零（若全为零，则()()n E R <λ）则可选λ次数最低的元素，记为()λ2f ，如上实施初等行变换，循环往复，()λ1f 的次数有限，最后()λH 必将化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλJ d 0*2，继续对()λJ 进行如上变换，则最终()λF 可化为()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλn d d d G 0*21（5）由以上可知，()λF 和()λG 等价，则()λF 和()λG 有相同的初等因子，于是该定义成立.定理1给出求解齐次线性方程组基础解系的一种方法，而定理2实际上给出了利用初等行变换求矩阵特征值的方法.下面具体给出利用初等行变换求解矩阵特征值和特征向量的一般步骤：第一步：对方阵A ，设对()()E F λ做行变换，化成()()()λλP D （6）其中()λD 为上三角矩阵，则()λD 主对角线上的元素乘积的λ多项的根即为A 的特征值i λ.第二步：对矩阵A 的任一特征值i λ代入（6），若()i D λ中非零行向量构成满秩矩阵则()i D λ 行向量中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续进行行变换()()i i P D λλ,−−−→−行初等变换()()[]i i P D λλ**,，使得()iD λ*中非零行向量构成满秩矩阵，则()i D λ*中零行向量所对应的()i P λ*中的行向量i ξ即为i λ的特征向量.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111的特征值与特征向量 解：()[]4,E F λ=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤----------10000100001000011111111111111111λλλλ−−→−↔41r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00010100001010001111111111111111λλλλ()−−−→−-+--1413121r r r r r r λ ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------10011100101010002220220020201111λλλλλλλλλλ−−→−-24r r ()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--------λλλλλλλλλ01111001010100012200220020201111−−→−-34r r()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤+----⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------111111001010100022000220020201111λλλλλλλλ 由()()0223=+--λλ得特征值.2,24321-====λλλλ 当2321===λλλ时()()[]2,2P D =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000000001111⎥⎥⎥⎥⎦⎤----3111110010101000 因()2D 的非零向量的行构成行满秩矩阵，且其最后的三个行向量是零向量，故()2P 中的最后三个行向量()T1,0,1,01-=ξ，()T1,1,0,02-=ξ ，()T 3,1,1,13--=ξ.是1λ=232==λλ的线性无关的特征向量.同理24-=λ的线性无关的特征向量是()2-P 中的最后一个向量()T 3,1,1,1--与初等行变换类似，通过对矩阵进行初等列变换也可求得其特征值和特征向量.(b) 3.2.2 初等列变换法定理3 设A 是秩为r 的m n ⨯阶矩阵，且()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⨯⨯r m m r m r n rn m m n P O B E A *列初等变换其中B 是秩为r 的列满秩矩阵，则矩阵P 所含的r m -个列向量就是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系（证明略）.定理 4 矩阵A 的特征矩阵())(A E F -=λλ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵)(λB ，且)(λB 的主对角线上的元素乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征值（证明略）用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值和特征向量基本步骤如下： 第一步：作如下初等变换()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-λλλP L E A E 列初等变换 （7）其中()λL 为下三角矩阵，则()λL 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的全部根恰为A 的所有特征值i λ.第二步：将i λ代入（7）中，若()i L λ中非零列向量构成列满秩矩阵，则()i P λ中和()i L λ中零向量所对应的列向量是属于特征值i λ的特征向量；否则，继续进行变换.其过程完全类似于行变换，这里不再赘述.例3 求矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的特征值与特征向量 解：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4E A E λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1000010000100001111111111111λλλλ−−→−-41c c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------00010100001010001111111111110λλλλ−−→−-++141213c c c c c c λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------λλλλλλλλλ1110100001010001111101101100012−−→−-24c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--------11110100101010002111110100110001λλλλλλλλλ−−→−-34c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-------21111100101010003111010100110001λλλλλλλλ由()()()03112=+--λλλ得特征值1,34321===-=λλλλ（三重）. 当31-=λ时()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33P B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------11111100101010000443040100410001因()()31-=B B λ的非零向量的列构成列满秩矩阵，且其最后的一个向量零向量，故()()31-=P P λ中的最后一个列向量()T1,1,1,1--是31-=λ的线性无关的特征向量.同理32λλ=14==λ的特征量是()1P 中的最后三个列向量(),1,0,1,01T =ξ()().3,1,1,1,1,1,0,032T T ---==ξξ用定理3和定理4可以同步求解矩阵的特征值和特征向量研究了初等行变换和初等列变换求解特征值后，我们发现其过程比特征方程法简便了许多，但其求解过程中仍要解带参数的行列式.那么还有没有更简洁的方法呢？下面继续探讨. 3.3 行列互逆变换法定义3 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：1． 互换j i ,两行，同时互换j i ,两列； 2． 第i 行乘非零数k ，同时第i 列乘k /1；3．第i 行k 倍加入第j 行，同时第j 列k -倍加入第i 列.定理5 A 为n 阶可对角化矩阵，并且 ()n T E A −−−−−→−一系列行列互逆变换()T P D 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ 1，,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T P ββ()in i i b b 1=β(),,,1n i =则n λλ,,1 为A 的全部特征值，T i i βα=为A 的对应i λ的特征向量.证明 由行初等变换等价于左乘初等阵，列变等价于右乘初等阵地性质及行列互逆变换的定义知，T P 为若干初等阵乘积，当然可逆，且()D P A P T T =-1， 即D D AP P T ==-1所以.PD AP = 因为,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ []n P αα 1=所以[][]n n A αααα 11=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1， 则[]n A A αα 1[]n n αλαλ 11=， 所以i i i A αλα= ()0≠i α， .,,1n i =因此，该方法求出的i λ为A 的特征值，i α为A 的对应特征值i λ的特征向量为了运算上的方便，这里约定： 1．ji kr r + 表示矩阵的第j 行k 倍加入第i 行；2．ji kr r - 表示矩阵的第j 列k -倍加入第i 列例4 求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0111101111011110A 的特征值与特征向量 解： ()=4E A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000111010010110010110100011110 43213412r r r r r r r r ++--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010011100010201000011011 2442r r r r +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010001101111003000010011 −−→−-+-423212214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001023001000143011110030000100431 −−→−+-+242321214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2121212110041434141010011110030414141430001−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1111300111101001311001011130001 所以，特征值分别为3,14321-====λλλλ；特征向量分别为()T 1,1,1,31-=α，()T 1,3,1,12-=α，()T 1,1,1,13--=α，().1,1,1,14T --=α下面给出定理5的推广定理 定理6 A 为任意n 阶方阵，若()()T n TP JE A −−−−−→−一系列行列互逆变换，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=r J J J 1()n r ≤为约当矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i ii J λλ11()r i ,,1 =为约当标准形.,1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r TP P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t ir i i P ββ 1 ()r i ,,1 =；n r r r r =+++ 21，则iλ为A 的特征值；Tir i iβα=为A 的对应特征值i λ的特征向量 证明 由一般代数书中定理可知A 必相似于一约当矩阵，按定理4中化简方法，则有()J P A P Tt T =-1，即T T PJ AP J AP P ==-,1，其中()r T r T P αβαβ 1111=，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T r TTJ J J 1， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i iTi J λλ11()r i ,,1 =.所以A ()r T r T αβαβ 1111=()rT r Tαβαβ 1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T r TJ J 1，故有i i i A αλα= ()r i ,,1 =.所以i λ为A 的特征值，i α为A 的对应i λ的特征向量.例5 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312130112A 的特征值与特征向量解： ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1003110101310012023E A T1331r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1004110100311010112112r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10041011102010101232232121r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212140011102010101233212r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111400111020101012， 所以特征值为221==λλ，43=λ，对应特征值221==λλ的特征向量()T 1,1,11-=α，()T 1,0,12-=α对应43=λ的特征向量().1,1,13T -=α行列互逆变换法求解矩阵特征值时只需对矩阵做行列互逆变换即可同步求出矩阵特征值和特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的特征矩阵，简洁实用，能收到事半功倍的效果. 4 总结通过运用以上三种方法求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以看出，用行列互逆变换的方法求矩阵的特征值相对时比较简单的，它把求把求特征值的问题转化为数的四则运算问题，避免了求矩阵特征值时求高次方程根的难题，特别是对于求阶数较高的矩阵的特征值，更能显示其优越性.参考文献：[1]李浩，孙建东.高等代数习题与解析[M].北京：兵器工业出版社，2008.9[2]姚慕生，吴泉水.高等代数学（第二版）[M].上海：复旦大学出版社，2008.6[3]同济大学.方程数学——线性代数[M].北京：高等教育出版社，1980.[4]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.[5]文香丹.矩阵的特征值与特征向量的同步求解方法[J].边延大学农学学报，1998.[6]汪庆丽.矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量[J].岳阳师范学院学报（自然科学版），2001[7]张贺，岳崇山.初等变换求矩阵的特征值问题[J].河北北方学院学报[8]陈泽安.矩阵特征值与特征向量的新方法[J].长沙通信职业技术学院学报，2003.[9]杨廷俊.阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报，2006.[10][英]J.R.布伦菲尔德.矩阵[M].北京：科学出版社，1986.[11]Bondy.J A,USA Murty.Graph Theroy with Applications[J].New York:Academic Press,1976.The Solutions of the Matrix Eigenvalue and Eigenvector and TheirRelationshipsAbstract: To study the matrix eigenvalue and eigenvector and the problem of its solution are very significant in algebra. This paper analysizes deeply the defination and nature of the matrix eigenvalue and eigenvector. The author gets three kings of solutions , including characteristic equation, elementary transformation, and reversible transform that only does reversible transform to the matrix can also find the matrix eigenvalue and eigenvector. These three methods implemented progressively from the complexity to the simple calculation, and finally convert matrix eigenvalue problems into the numberable arithmetic problems and avoid the problems on solving the root of high equation which shows its advantages.Keywords:eigenvalue; eigenvector; elementary transformation; reversible transform;。
安徽建筑大学毕业设计（论文）开题报告题目矩阵特征值与特征向量求解及其应用专业信息与计算科学姓名张浩班级10信息（2）班学号10207010233指导教师宫珊珊提交时间2014年3月4号一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义矩阵的特征值与特征向量是线性代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，有助于我们更好地认识线性代数，同时也有利于我们利用矩阵特征值与特征向量来解决实际问题。
随着社会的发展和科技的进步，特征值与特征向量的重要性得以显现，越来越被人们所重视。
物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。
因此对于矩阵特征值与特征向量的理论分析及求解方法探索是很有必要的，本课题深入研究矩阵特征值与特征向量的定义和性质，对于矩阵特征值与特征向量的两种求解方法的原理进行了思考和分析,重点研究特征值与特征向量的应用探索，在应用方面主要分析了矩阵特征值与特征向量在Google搜索引擎上的应用并提出了自己的想法，进一步将自己的想法进行推广应用。
二．课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题研究的主要内容：特征值与特征向量的相关理论及其应用主要问题和难点问题：1、在矩阵特征值与特征向量基本性质的基础上，了解矩阵特征值与特征向量的理论及其应用。
2、在搜集有关矩阵特征值与特征向量应用实例上对矩阵特征值与特征向量相关问题进行思考推广。
3、矩阵特征值与特征向量的性质推广来解决生活中的实际问题。
三、研究步骤、方法及措施：1、介绍矩阵特征值与特征向量的研究现状，以及研究矩阵特征值与特征向量的实际意义。
2、介绍矩阵特征值与特征向量的定义及其基本性质，并对矩阵特征值与特征向量的理论及应用进行分析。
3、阅读大量文献资料，找出与该课题有关的问题及结论，对问题加以分析和总结。
4、在熟悉有关性质和定义的基础上对特征值与特征向量的应用进行深入研究和探索，加以整理，从而形成自己的研究成果。
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在毕业论文中，研究矩阵的特征值和特征向量是非常具有意义的。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在数值λ和非零向量x，使得下式成立：Ax=λx其中，λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法1.特征值的求解：要求解矩阵A的特征值，可以通过以下步骤进行：(1) 解特征方程 det(A-λI) = 0，其中I为单位矩阵。
(2)求解得到的特征方程所对应的λ的值，即为矩阵A的特征值。
2.特征向量的求解：已知矩阵A的特征值λ后，可以通过以下步骤求解矩阵A的特征向量：(1)将特征值λ代入到方程(A-λI)x=0中，并求解该齐次线性方程组。
(2)求得的非零解即为矩阵A的特征向量。
三、特征值与特征向量的关系1.特征向量之间的关系：若x1和x2分别是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量，则对于任意实数k1和k2，k1x1+k2x2也是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量。
2.特征值的性质：(1)矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值。
(2)对于方阵A和B，若AB=BA，则矩阵A和B具有相同的特征值。
3.特征向量的性质：(1)对于方阵A的任意特征值λ，与其对应的特征向量构成的集合形成一个向量子空间，称为A的特征子空间。
(2)若特征值λ的重数为m，则与λ相关联的特征向量的个数至少为m个。
四、应用举例特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用，包括：(1)矩阵的对角化：通过矩阵的特征值和特征向量，可以将矩阵对角化，简化问题的求解。
(2)矩阵的谱分解：将矩阵表示为特征值和特征向量的线性组合形式，用于求解矩阵的高次幂和逆。
(3)矩阵的奇异值分解：奇异值分解是特征值分解的推广，能够对非方阵进行分解，用于降维和数据压缩等问题。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量，其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式运算。
将特征多项式置为零，可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
将每个特征值代入原矩阵A-λI，解线性方程组(A-λI)x=0，就可以得到对应的特征向量。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。
常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。
幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量，其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。
反幂法是幂法的反向操作，通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。
Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量，其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x)，迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k)，其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
其中，特征值可以用于判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵可逆。
特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态，如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。
本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。
文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。
关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。
1引言物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。
一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。
本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。
一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。
而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。
两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。
2 方法之一： 列行互逆变换法定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ↔，同时互换j 、i 两行()j i r r ↔ ；2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行()ijr kr -。
矩阵特征值与特征向量的计算和应用摘要:文章给出求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法，并且通过对ｎ阶矩阵的特征值和特征向量的研究,针对ｎ阶矩阵的特征值和特征向量的应用进行了3 个方面的探讨,并给出了一类矩阵特征值和特征向量求解的方法．关键词：矩阵；特征值；特征向量；互逆变换Computation and Application of Eigenvalue andEigenvector of MatrixAbstract :This article is presented for solving the matrix eigenvalue and eigenvector of a simple method ：reciprocal transformation；by the studying of eigenvalue and eigenvector of matrix,his article discuss application of their three aspects due to eigenvalue and eigenvector of matrix. and also, given a category eigenvalues and eigenvectors solving methods.Key words: matrix ；eigenvalue ；eigenvector；reciprocal transformation.）目录1 引言 (1)2用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量 (1)3 矩阵的特征值和特征向量的应用 (9)3.1 n阶矩阵1A A I A A,*A,()+k a b-,,,mf A的特征值和特征向量 (9)3.2 n阶矩阵的高次幂求解 (11)3.3 矩阵特征值反问题的求解 (12)4 结语 (13)参考文献 (14)谢辞 (15)1引言常用矩阵的特征值的方法是求特征方程()0f λλ=-=A I A 的全部根λ1,λ2,…,λr (互异)，而求相应的特征向量的方法则是对每个λi求齐次线性方程组()0i λ-=I A X 的基础解系,两者的计算是分离的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组,计算量都较大.本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的一种简易方法,只用一种运算———矩阵运算,列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法,而且不需要考虑带参数的特征矩阵.此种方法计算量少,且运算规范,不易出错.2 用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量定义1 [7] 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换： 1) 互换i 、j 两列()i j c c ↔,同时互换j 、i 两行()j i r r ↔； 2) 第i 列乘以非零数k (i kc ),同时第i 行乘1k 1()i r k； 3) 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +,同时第j 行k -倍加到第i 行()j i r kr -.定理1 A 为任意n 阶可对角化矩阵,若 n ⎡⎤⎡⎤−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦系列列行互逆变化A D E P , 其中1n λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭D ,1(,,)n =P ββ,1(,,)i i in b b T =β,(1,2,,)i n =，则1,,n λλ为的全部特征值, i i =αβ为A 的对应i λ的特征向量．证 由行初等变换等价于左乘初等阵,列变等价于右乘初等阵的性质及行列互逆变换的定义,知P 为若干初等阵乘积,当然可逆,即存在可逆矩阵1-P ,使1-=P AP D ,故=AP PD ．因为1n λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭D ,1(,,)n =P αα，所以 111(,,)(,,)n n n λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭A αααα， 则 111(,,)(,,)n n n λλ=A A αααα,所以 i i i λ=A αα, (0)i ≠α (1,2,,)i n =，因此，该方法求出的i λ为A 的特征值, i α为A 的对应特征值i λ的特征向量．由于定理1求解时,总会遇到形如 10a c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 或 20a c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ()a b ≠形式的矩阵化对角阵问题,为此给出具体方法：122112110c kc r kr a a c b b k +- 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪0 ⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0⎝⎭ ⎪ ⎪ 1 1⎝⎭⎝⎭A E 或211222110c kc r kr a c a b b k -+ 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ 0 -⎝⎭ ⎪ ⎪ 10 1⎝⎭⎝⎭A E 其中ck a b=-则 1(1,)k =α,2(0,1)=α为1A 的分别对应特征值a 和b 的特征向量； 1(1,0)=β,2(,1)k =-β为2A 的分别对应特征值a 和b 的特征向量．例1 求3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量．解 211212214559452594115059c c c c r r r r --++7 0⎛⎫7 0⎛⎫ ⎪3 4⎛⎫0 -2 ⎪ ⎪5 -2 ⎪ ⎪5 2 ⎛⎫ ⎪5 ⎪=−−−→−−−→ ⎪4 - ⎪ ⎪⎪ 0 -9⎝⎭ ⎪ ⎪5 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎝⎭0 1 1 ⎪⎝⎭⎝⎭A E 12129555915c c r r 7 0⎛⎫⎪0 -2⎪−−→ ⎪ 1 -4 ⎪ 1 5⎝⎭所以特征值为127,2λλ==-;对应的特征向量为12(1,1),(4,5)==-αα．例２ 求133313331⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量．解 13233132313311000c c c c r r r r --++ 3 3-2 3 3-2 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ 1 30 1 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 10 6 4⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 0⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 1-1 0 1⎝⎭⎝⎭A E 3223131310c c r r +-0 3⎛⎫ ⎪0 -2 3 ⎪⎪0 0 7−−−→ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪-1 -1 1⎝⎭311313131100c c r r +--2 0 0⎛-2 0 3⎛⎫ 0 -2 0 ⎪ 0 -2 3 ⎪ 0 0 7 ⎪0 0 7 ⎪1 0 0 0 ⎪−−−→ 3 ⎪1 1 1 ⎪ 1 3 ⎪3 ⎪22-1 -1 ⎪-1 -1 3⎝⎭3⎝3331310c r ⎫⎪-2 0 0⎛⎫⎪⎪⎪0 -2 0 ⎪⎪ ⎪0 0 7⎪−−→ ⎪⎪ 0 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 1 ⎪⎪ ⎪-1 -1 1⎝⎭ ⎪ ⎪⎭ 所以特征值1232,7;λλλ==- =特征向量分别为()11,0,1T= -α,()20,,1T= 1-α,()31,,1T= 1α.下面总结出类似于例2的一类矩阵的特征值和特征向量．例2' 求b b b b b b 1 ⎛⎫ ⎪= 1 ⎪ ⎪ 1 ⎝⎭A 的特征值和特征向量．解 1331311c c r r b b b b b b b b b b b b -+1 - ⎛⎫ ⎪ 1 0 1 ⎪ ⎪ 1 0 2 1+⎛⎫=−−−→ ⎪ ⎪ 0 0 1 0 0⎝⎭ ⎪ ⎪0 1 0 0 1 0 ⎪ ⎪0 0 1-1 0 ⎝⎭A E 23321c c r r b b b b b -+- 0 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ 0 1- ⎪ ⎪⎪ ⎪ 0 0 1+2−−−→ ⎪ ⎪ 1 0 0 ⎪ ⎪⎪ ⎪ 0 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1-1 -1 1⎝⎭⎝⎭323122131133113311c c c c r r r r b b b b b ++--- 0 - 0 ⎛⎫ ⎪ 0 1- 0 ⎪ ⎪ 0 0 1+2 ⎪ 1 0 0 ⎪−−−→−−−→ ⎪1 0 1 ⎪3 ⎪ ⎪2-1 -1 ⎪3⎝⎭333131c r b b b b 0 ⎛⎫ ⎪0 1- 0- 0 0 ⎪ ⎪ 0 0 1+2 0 1- 0 ⎪1 0 0 1 ⎪ 1 0 −−→ ⎪3 ⎪1 ⎪ 0 1 3 ⎪ ⎪1-1 -1 ⎪3⎝⎭b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+2 ⎪ 1 0 1 ⎪ ⎪ 0 1 1 ⎪ ⎪-1 -1 1⎝⎭则A 的特征值为121,b λλ==-312b λ=+,对应的特征向量为 ()11,0,1T= -α, ()20,,1T= 1-α,()31,,1T= 1α.例2'' 求a b b b a b b b a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭A 且(0)ab ≠的特征值和特征向量．解 13233132321c c c c r r r r a b b a b b b a b a b b b b a a b --++ - 0 ⎛⎫ ⎪ 0 - ⎪ ⎪ 0 0 +⎛⎫=−−−→ ⎪ ⎪ 0 0 1 0 0⎝⎭ ⎪ ⎪0 1 0 0 1 0 ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭A E 3231231313131313c c c c r r r r ++--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-1 -1 1⎝⎭3331322c r a b a b a b a b a b a b - 0 0 ⎛⎫ ⎪ 0 - 0- 0 0 ⎪⎪ 0 0 + 0 - 0 ⎪1 0 0 + ⎪ 1 0 −−→ ⎪3 1 ⎪1 ⎪0 1 3 ⎪ ⎪1-1 -1 ⎪3⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 0 1 ⎪ ⎪ 0 1 1 ⎪ ⎪-1 -1 1⎝⎭ 则A 的特征值为123,2,a b a b λλλ==-=+对应的特征向量为()11,0,1T= -α，()20,,1T = 1-α,()31,,1T= 1α．下面给出定理1的推广定理： 定理２[7]A 为任意n 阶方阵,若n T ⎡⎤⎡⎤−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦系列列行互逆变化A J E P ，其中1r ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭J J J ()r n ≤为约当矩阵, i i i λλ 1 ⎛⎫⎪⎪= ⎪ 1 ⎪ ⎝⎭J (1,,)i r =为约当标准形．1(,,)r =P P P ,1(,,)i i i ir T =P ββ(1,,)i r =,12r r r r n +++=， 则i λ为A 的特征值, i i ir =αβ为A 的对应特征值i λ的特征向量.证 由所学知识可知A 必相似一约当矩阵,由定理1中化简方法,则有 1()T T T -=P A P J ,即T =AP PJ , 其中1111()r r =P βαβα,i i i λλ 1 ⎛⎫⎪⎪= ⎪1 ⎪⎝⎭J ，i ii λλT ⎛⎫ ⎪ 1 ⎪= ⎪ ⎪ 1 ⎝⎭J (1,,)i r =,所以 111111111()()r r r r r TT ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭J A J βαβαβαβα， 故有 i i i λ=A αα (1,,)i r =．所以i λ为A 的特征值,i i ir αβ=为A 的对应特征值i λ的特征向量．例３ 求211031213-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量．解 1331311000c c r r -+2 -1 11 -1 1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪0 3 -11 3 -1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2 1 30 0 4⎛⎫=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 0⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 1-1 0 1⎝⎭⎝⎭A E 211210c c r r -+2 0 0⎛⎫ ⎪1 2 -1 ⎪⎪0 0 4−−−→ ⎪ -1 0 ⎪⎪ 1 0 ⎪⎪ ⎪-1 1 1⎝⎭32323312211221100c c c r r r -+2 0 0⎛⎫⎪1 2 02 0 0 ⎪⎪0 0 41 2 0 ⎪10 0 4 ⎪ -1 −−−→−−→ ⎪2 -1 1 ⎪1 ⎪1 -1 1 -2 ⎪-1 1 ⎪1-1 1 ⎪⎝2⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎝⎭ 所以特征值1232,4λλλ== =,对应特征值122λλ==的特征向量1(1,1,1)T =-α,对应特征值34λ=的特征向量3(1,1,1)T =-α．３ 矩阵的特征值和特征向量的应用大学线性代数教材中,对矩阵的特征值和特征向量的定义为[1]：设A 为n 阶矩阵,若存在数λ和非零向量X ,使λ=AX X ,则称数λ为A 的特征值,非零向量X 为A 对应于特征值λ的特征向量．现设k ,a ,b 均为常数,m 为正整数,那么如何求n 阶矩阵1,,,m k a b -+A A I A A (若A 可逆), *A (若A 可逆), ()f A (A 的多项式)的特征值和特征向量?及如何巧妙求出n 阶矩阵A 的高次幂k A ?还有在一定的限定条件下,如何根据矩阵的特征值和特征向量信息来决定矩阵中的元素,即求解矩阵特征值的反问题．3.1 ｎ阶矩阵1,,,m k a b -+A A I A A ,*A ,()f A 的特征值和特征向量若λ是n 阶矩阵A 的特征值,非零向量X 为A 对应于特征值λ的特征向量,则,,,1,,()m k a b f λλλλλλ+A 是1,,,m k a b -+A A I A A ,*A ,()f A 的特征值;非零向量X 是1*,,,,,()m k a b f -+A A I A A A A 对应特征值,,,m k a b λλλ+1λ,λA ，()f A 的特征向量．证明 由于λ是A 的特征值, X 是A 对应于λ的特征向量,则有 λ=AX X , (1)1)在(1)式两端同时左乘系数k 得k k λ=AX X ,即()()k k λ=A X X ．所以k λ是方阵k A 的特征值,且向量X 是方阵k A 对应于特征值k λ的特征向量. 2) 由于(a b +A I )X =()a b a b a b λλ+=+=+AX X X X X ,所以a b λ+是方阵a b +A I 的特征值,且向量X 是方阵a b +A I 对应于特征值a b λ+的特征向量.3) 由于22()()()λλλλλ=====A X A A A AX X X X Χ, 322223()()()()λλλλλ=====A X A A A X AX X X X ,1111()()()m m m m m m λλλλλ----=====A X A A X A X AX X X ． . 所以m λ是方阵m A 的特征值,且向量X 是方阵m A 对应于特征值m λ的特征向量.4)在(1)式两端同时左乘1-A 得11λ--=A AX A X ,即1()λ-=X A X ,有11λ-=A X X 成立.所以1λ是方阵1-A 的特征值,且向量X 是方阵1-A 对应于特征值1λ的特征向量. 5)在(1)式两端同时左乘*A 得λ**=A AX A X ,由于1*-=A A A ,那么(λ**==A AX A X A X ),即有λ*=AA X X 成立．所以λA是方阵*A 的特征值,且向量X 是方阵*A 对应于特征值λA的特征向量.6) 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，则1110()n n n n f a a a a --=++++A A A A ,1110()n n n n f a a a a --=++++A X A X A X AX X11101110()()n n n n n n n n a a a a a a a a f λλλλλλλ----=++++=++++=X X X XXX上面的结论用到了3）的结论,由()()f f λ==A X X 可知,()f λ是()f A 的特征值,且向量X 是()f A 对应于特征值()f λ的特征向量.例４ 133313331⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 求4232-++A A A I 的特征值和特征向量.分析 本题是求矩阵A 的多项式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，则需计算的4次幂并进行多项式的计算，再求特征值和特征向量，计算量较大， 但若按6）的结论，计算变的很简单.解 由例2知：矩阵A 的的3个特征值为1232,7λλλ==-=,其中对应的特征向量为[][][]1231,0,1,0,1,1,1,1,1TTT=-=-=ααα.设42()32f =-++A A A A I ，则42()321f λλλλ=-++，即为()f A 的特征值,当122λλ==-,12()()1f f λλ==,当37λ=时,3()2269f λ=,则4232-++A A AI 的特征值为1，1，2269，对应的特征向量为1α,2α,3α. 3.2 n 阶矩阵的高次幂求解。
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
