本题考点对数函数的概念图像及其性质

对数函数的图像与性质（一）考向一 对数函数的概念1、下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．2、若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.3、对数函数f(x)的图象经过点(14，2)，则f(x)= ． 【答案】log 12x【解析】设数函数f(x)=log a x ，(a >0且a ≠1) ∵图象经过点(14，2)， 得a =12∴f(x)=log 12x故答案为：log 12x4、已知 f(x 6)=log 2x ，那么 f(8)等于 ( ) A ． 43B ． 8C ． 18D ． 12【答案】D【解析】由题可知，x >0，令x 6=8，得x =816=212，所以f(8)=log 2⁡212=12．考向二 对数函数的图像1、（1）如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（ ）． A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35 C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35 （2）当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）（3）若函数()0,1xy a a a =>≠的值域为{}1y y ≥，则函数log a y x =的图象大致是( )【答案】⑴A ⑵D ⑶B2、同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.故选C.3、当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x 与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x 与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D. 4、若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A ．1(,)b aB ．(10,1)a b -C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b D 【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上．5、已知函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a 、b 满足( )A ．1a ，0bB ．0a >，1bC ．210b og a +D ．20b a +【分析】因为函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，所以当0x =时，0y ，所以2log 0a b +．【解答】解：函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限， ∴当0x =时，0y ，2log 0a b ∴+，故选：C ．【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．6、如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则( )A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l >>【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解：根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <， 故选：B ．7、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案． 【解答】解：由对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--可知，①当01a <<时，此时10a -<，对数函数log a y x =为减函数，②当1a >时，此时10a ->，对数函数log a y x =为增函数，题意． 故选：A ．8、已知点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是( )A ．2(m ，2)nB ．(2,2)m nC ．(2,1)m n ++D ．(,1)2mn -数图象上．【解答】解：点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，2log y m n ∴==，故选：D ．考向三 对数函数的性质1、函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点________． 【答案】(1,2)【解析】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点(1,2).2、已知函数f (x )=log a (x+1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 . 令x+1=1,得x=0,则f (0)=log a 1+1=1,即定点P 的坐标为(0,1).3、已知函数f (x )=log a (x-m )+n 的图象恒过点(3,5),则lg m+lg n 等于( ) A .10 B .lg12C .1D .110解析:(1)由已知可得{3-m =1,n =5,∴{m =2,n =5,∴lg⁡m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.4、已知函数1()log 1(0x b f x a x a -=+->且1a ≠，0b >且1)b ≠，则()f x 的图象过定点( ) A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(1,0)D ．(0,0)【分析】当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=，即可求出结果．【解答】解：当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=， ()f x ∴的图象过定点(1,0)，故选：C ．5、函数2()log f x x =是( ) A ．(0,)+∞上的增函数 B ．(0,)+∞上的减函数 C ．R 上的增函数D ．R 上的减函数【分析】对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞；当1a >时在(0,)+∞上为增函数；当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．【解答】解：log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞； 当1a >时，在(0,)+∞上为增函数， 当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．本题21a =>，故2log y x =在(0,)+∞上为增函数． 故选：A ． 6、函数23log 2(01ax y a x +=+>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为 ． 【分析】令真数等于1，求得x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标．故函数23log (01ax y a x +=>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为(2,2)-， 故答案为：(2,2)-．考向四 对数函数的性质应用1、比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54.2、（1）比较大小（填“>”，“<”或“=”）．①0.5log 2011____0.5log 2012；② 1.5log 2011____ 1.5log 2012；③0.5log 3____0.6log 3；④0.5log 0.8____0.6log 0.8； ⑤ 1.5log 3____2log 3； ⑥ 1.5log 0.8____2log 0.8．（2）若3log 4a =，7log 6b =，2log 0.8c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（3）若20.3a =，2log 0.3b =，3log 4c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（4）若101a b c >><<，，则（ ）A. c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<【答案】⑴①>；②<；③>；④<；⑤>；⑥<．⑵A ； ⑶C ； 4C ； 3、若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( ) (A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4、若函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠在区间[a ，22]a 上的最大值比最小值多2，则(a = )A ．2B ．3或13C ．4或12D ．2或12的单调性即可解题．①当1a > 时，2(2)2a a log a log a -=，得2a =，故选：A ．5、设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】由指数函数的性质知，若333a b ，则1a b ，由对数函数的性质，3log 3b ；反之，取12，13b ，显然有3log 3b ，此时01b a ，于是333ab ，所以“333a b”是log 3log 3a b <的充分不必要条件，选B ．6、若2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A. ()20,1, 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C7、函数f(x)是奇函数，且在区间[0,4]上是减函数，则比较大小()f π-_______21(log )8f ． 【答案】>8、已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【解析】因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．9、已知f(x)=log 3x ，则的大小是 A. B.C.D.【答案】B 【解析】由函数y=log 3x 的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x 的增大，函数值y 也在增大，故．10、函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【答案】A11、设a =log 123，b =(13)0.2，c =213则 （ ）A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <b <c 【答案】D 【解析】由题得a =log 123<log 121=0,b >0,c >0.b =(13)0.2<(13)0=1, c =213>20=1,所以a <b <c .故选：D考向五 指数函数与对数函数的关系（反函数）1、下列说法正确的是( ) A ．函数x y a =与1()x y a =图象关于x 轴对称B ．函数log a y x =与1log ay x =图象关于y 轴对称C ．函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称D ．函数x y a =与log a y x =图象关于y 轴对称【分析】根据图象关于原点对称、图象关于x 轴对称、图象关于y 轴对称、图象关于y x =对称，分别画出出各个函数图象，再对照选项即可得出正确答案．【解答】解：令2a =，分别作出对应的图象，由图象可知 ，函数，函数对于选项C ，D 函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称，故C 正确，D 不正确．故选：C ．2、（1）若()x f x a =,()log b g x x =-,且lg lg 0a b +=，1a ≠，1b ≠．则()y f x =与()y g x =的图象（ ）A ．关于直线0x y +=对称B ．关于直线0x y -=对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称（2）若函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的反函数的图象过点(21)-，，则a =______．（3）若()3log f x x =的反函数是()y g x =，则()1g -值为（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3、已知函数2()log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()2f g =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由函数2y f x log x ==（） ，得2y x =，把x 与y 互换，可得2x y =，即2x g x （）=，∴2224g ==（） ，则()22442f g f log ===（）（）．故选：B4、若函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，则(1(f += )A ．9B ．11C ．16D ．18【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．【解答】解：因为函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，所以()2x f x =，故选：D ． 【点评】本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5、设函数()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，其反函数的图象过(16,2)，则(a b += )A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据反函数的图象过(16,2)，可知()f x 图象过点(2,16)，和(1,8)，代入联立解得． 【解答】解：()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，∴代入得18b a +=①，其反函数的图象过(16,2)，()(0x b f x a a +∴=>且1)a ≠的图象过点(2,16)，∴代入得216b a +=②，联立①②，解之得2a =，2b =，故选：B ．【点评】本题考查反函数，以及指数函数，属于基础题．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．6、已知函数()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据指数函数的性质，由f （3）g （3）0>得到g （3）0>从而得到a 的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论． 【解答】解：()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，f ∴（3）0>，g （3）0>，1a ∴>，即()f x ，()g x 都为增函数，故选：B ．。

2020-2021学年高一数学期中复习高频考点：对数函数的图像与性质考点1 对数函数的概念1．函数()()25log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．3B ． 3-C ．3log 6-D ．3log 8-【答案】B【解析】【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果． 【详解】因为函数()f x 为对数函数， 所以函数()f x 系数为1，即251a a +-=，即2a =或3-， 因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．2．下列函数是对数函数的是（ ）A ．log (2)a y x =B ．2log 2x y =C ．2log 1y x =+D ．lg y x =【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的定义即可判断.【详解】由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合.故选D【点睛】 本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义.考点2 对数函数的定义域与值域3．函数()x y lg 42=-的定义域是( ) A ．()2,4B ．()2,∞+C ．()0,2D ．(),2∞- 【答案】D【解析】【分析】由对数函数的定义域以及指数函数的性质可得函数()x y lg 42=-的定义域． 【详解】由函数()x y lg 42=-，得到x 420->，即x 2242<=，解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选D ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域以及指数函数的性质，是基础题目．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.4．函数1log 82x x y 的定义域是（ ）A ．()1,3-B ．()0,30C ．()3,1-D ．()()1,00,3-【答案】D【解析】【分析】根据对数底以及真数限制条件列不等式，解得结果【详解】3820(1,0)(0,3)1,010,11x x x x x x x <⎧->⎧∴∴∈-⋃⎨⎨>-≠+>+≠⎩⎩，选D. 【点睛】本题考查对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题。

对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解　对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。

对数函数图像及性质对数函数是数学中一类重要的函数，可用于描述各种实际问题。

其图像表示的是一种数的幂函数 y=ax的反函数，称为“对数函数”，记做y=loga x。

一、定义定义：设a>0，a≠1，x>0。

定义函数y=logax（a>0），称之为“a 的对数函数”，其中x叫做“对数函数的底数”，y叫做“对数函数的指数”，底a叫做“对数函数的底”。

若a＝10，则简称为“常用对数函数”，记作y=logx。

二、三角函数与对数函数的关系1. 三角函数的原函数和反函数三角函数的原函数和反函数都可以用对数函数来表示，如：sin x=loga(y)，cos x=loga(y)，tan x=loga(y)（其中，a>0，a≠1，y>0）。

2. 三角函数的运算公式给出的三角函数的运算公式，也可以表示为对数函数的运算公式：sin(x+y)=loga [sin xsin y+cos xcos y]，cos(x+y)=loga [cos xcos y-sin xsin y]，tan(x+y)=loga [tan x+tan y]（其中，a>0，a≠1）。

三、对数函数图像分析对数函数的图像与其定义有密切的关系，其图像对于理解函数的性质和研究函数的特性至关重要。

1.数函数的本质先来表述函数的本质：函数y=logax，是由自然对数lnx的“基数换底”特性衍生出来的，所以又称“对数”。

其定义域为x>0，其值域则是所有实数集。

2.数函数图像的特点对数函数的图像具有以下特点：（1）它是单调函数，即图像以折线形式呈现，斜率由正变负；（2）x=1时，y=0；（3）当a>1时，x由０接近于+∞，y由-∞接近于+∞；（4）当a＜1时，x由+∞接近于０，y由+∞接近于-∞；（5）对于a＞1时，函数形式为单函数，也就是图像中只有一条直线；（6）对于a＜1时，函数形式为双函数，也就是图像中有两条直线。