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1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L==()mn A O A A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K N N 1范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,in r k k k -L 为任意不全为零的数.3. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ=1. ① 二次型 11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n Tn ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑L L L L L L L L L L其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L② A 与B 合同 TC AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换可逆线性变换x Cy = 化为21ni i f d y =∑标准形.① 正交变换法② 配方法（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩L 且,3.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.正定二次型对应的矩阵.4. ()Tf x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，Tx Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得TC AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
天津市考研数学复习资料高等代数重点知识总结高等代数是数学专业考研中的一门重要课程，也是数学学科中的核心内容之一。
它是一门研究向量空间、线性变换、线性方程组等代数结构的学科，对于培养数学思维和解决实际问题具有重要的意义。
以下是天津市考研数学复习资料中关于高等代数的重点知识总结。
一、向量空间及其基本性质向量空间是研究向量之间线性组合和代数运算的一种数学结构。
主要包括向量空间的定义、零向量的存在性、向量加法和数量乘法的封闭性等基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数量乘法的运算，并满足相应的运算规则。
二、线性变换及其性质线性变换是指保持向量空间中向量加法和数量乘法运算规则的映射。
线性变换具有保持零向量不变、保持向量加法运算和数量乘法运算的线性性质。
线性变换可以通过矩阵的方式进行表示，并具有一些重要的性质，如线性变换的线性性、线性变换的可逆性等。
三、线性方程组线性方程组是一组关于未知量的线性方程的集合。
研究线性方程组的主要内容包括解的存在唯一性、向量空间的维数、线性方程组的解集结构等。
解线性方程组的方法主要有高斯消元法、矩阵法、向量法等。
四、特征值与特征向量特征值和特征向量是研究线性变换或矩阵性质的重要工具。
特征值是线性变换对于某个特定的向量方向的拉伸或压缩，特征向量是在拉伸或压缩下方向不变的向量。
通过求解特征值和特征向量，可以揭示线性变换的一些重要性质，如对角化、相似对角化等。
五、二次型及规范形二次型是一个多项式函数，它的项数为2，且每一项的次数为2。
研究二次型的主要目的是通过合适的变量变换，将二次型化为规范形，以便于分析和求解。
规范形是一种特殊的形式，具有简洁清晰的特性。
六、矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量与线性变换的特征值和特征向量具有相似的性质。
矩阵的特征值是矩阵对应的线性变换对某个特定向量方向的拉伸或压缩，特征向量是在拉伸或压缩下方向不变的向量。
求解矩阵的特征值和特征向量是研究和分析矩阵性质的重要方法。
高等代数重难点指导第一章多项式一、重难点归纳与分析(一)基本内容1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。
2．一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。
3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系。
；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。
二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。
2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。
3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。
4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及求多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。
5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。
