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《高等代数》知识点梳理高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。
以下是《高等代数》常见的知识点梳理：1.矩阵和线性方程组：-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。
-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。
2.向量空间：-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。
-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。
-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。
3.线性变换：-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。
-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。
-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。
4.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。
-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。
-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。
5.矩阵的特征值和特征向量的应用：-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。
-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。
- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。
6.内积空间和正交变换：-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。
-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。
-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。
7.对偶空间和广义逆：-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
高等代数知识点总结一、群论群是高等代数中最基本的代数结构之一，它是一个集合和上面的一个二元运算构成的代数系统。
群满足以下四个性质：1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab也属于G。
2. 结合律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意元素a∈G，有a·e = e·a = a。
4. 存在逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a·b = b·a = e。
群的性质有很多重要的结论，比如：每个群都有唯一的单位元，每个元素都有唯一的逆元，乘法运算满足左消去律和右消去律等。
群还有很多重要的概念和定理，比如：子群、陪集、拉格朗日定理、卡曼定理等。
二、环论环是一个比群更一般化的代数结构，它包括一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。
环满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 乘法满足结合律。
3. 分配律成立，即对于环R中的任意三个元素a、b、c，有a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
环还有一些重要的概念和定理，比如：整环、域、多项式环、欧几里德环、唯一因子分解整环等。
三、域论域是一个更加一般化的代数结构，它是一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。
域满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 非零元素对乘法构成一个阿贝尔群。
3. 分配律成立。
域是代数学中一个非常重要的概念，它是线性代数和代数几何的基础。
高等代数还包括一些其他的内容，比如：线性代数、模论、范畴论等。
线性代数是代数学的另一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换等代数结构。
模论是研究环上模结构的代数学分支，它是线性代数的一种推广。
数学高等代数重点知识点数学高等代数是大学阶段数学学科的重要组成部分，它涵盖了众多的数学概念、理论和技巧。
本文将聚焦于数学高等代数的重点知识点，旨在帮助读者全面理解和掌握这些知识。
一、矩阵和行列式1. 矩阵的基本概念：矩阵是由数个数按一定规律排成的矩形阵列。
介绍矩阵的行、列、元素、维数等概念。
2. 矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法等。
3. 矩阵的转置：介绍矩阵的转置操作及其性质。
4. 行列式的定义和性质：解释行列式的概念，阐述行列式的性质和运算规则。
二、向量空间1. 向量的基本概念：阐述向量的定义、线性运算以及向量的线性相关性。
2. 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，介绍向量空间的性质和基本运算规则。
3. 子空间：介绍子空间的定义，解释子空间的性质和判定标准。
4. 基和维数：讲解基的概念，介绍线性无关和生成空间的概念，并介绍维数的定义和计算方法。
三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念：解释线性方程组的定义和基本性质。
2. 解的存在性与唯一性：介绍线性方程组解的存在性、唯一性和无穷多解的判定条件。
3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组：解释齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念，介绍它们解的性质。
4. 矩阵的秩和可逆性：介绍矩阵的秩的概念，解释矩阵可逆的条件和性质。
四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，说明与矩阵的关系。
2. 特征方程：介绍特征方程的定义和求解方法。
3. 对角化和相似矩阵：解释相似矩阵和对角矩阵的概念，介绍矩阵相似的判定条件和对角化的步骤。
五、线性映射1. 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，介绍线性映射的基本性质和运算规则。
2. 核和像：介绍线性映射的核（零空间）和像（值域）的概念。
3. 矩阵的表示和变换：解释线性映射的矩阵表示方法，介绍线性映射的变换和判定条件。
综上所述，数学高等代数的重点知识点包括矩阵和行列式、向量空间、线性方程组、特征值和特征向量以及线性映射等内容。
高等代数知识点高等代数是数学的一个重要分支，它主要研究抽象代数结构和线性代数的进一步推广与应用。
以下是关于高等代数的几个重要知识点。
一、群的概念及性质群是高等代数的基础概念之一，它是一个集合与一个二元运算构成的代数结构。
具体地说，群要满足封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性这四个性质。
群的性质包括唯一性、消去律、逆元的唯一性等。
常见的例子有整数集、同余类环、对称群等。
二、环与域的概念及性质环是一个满足封闭性、加法和乘法结合律、分配律、加法单位元和乘法单位元存在性的集合。
环又可以分为交换环和非交换环两类。
域是一个交换环，并且每个非零元素都有乘法逆元。
常见的例子有整数环、有理数域、实数域等。
三、模的概念及性质模是环上的一种代数结构，类似于向量空间，但是其运算是在环上定义的。
模要满足与加法结合律、单位元和逆元存在性、分配律等性质。
模的应用包括线性表达式、矩阵理论、代数方程组等。
四、线性空间的概念及性质线性空间是向量空间的一种重要推广，其中的运算是在一个域上定义的。
线性空间要满足封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性、分配律等性质。
线性空间的例子包括实数空间、复数空间、多项式空间等。
五、线性变换的概念及性质线性变换是一种保持线性空间中向量加法和数乘运算性质的映射。
线性变换要满足对加法的封闭性、对数乘的封闭性、结合律、单位元存在性等性质。
线性变换的表示可以通过矩阵进行计算。
线性变换的应用包括矩阵的相似性、特征值与特征向量、线性方程组的求解等。
综上所述，高等代数是数学中重要的一个分支，其研究了抽象代数结构和线性代数的更深层次推广与应用。
群、环、域、模、线性空间、线性变换是其中的几个核心概念，并且每个概念都有相应的性质和应用。
通过学习高等代数，可以帮助我们更好地理解数学的抽象结构，并且应用于实际问题的求解中。
高等代数I知识点整理1.集合和映射：-集合：元素、子集、幂集、交集、并集、差集、集合运算律等。
-映射：定义、定义域、值域、像、单射、满射、双射等。
2.代数结构：-群：群的定义、子群、正规子群、商群、循环群、对称群等。
-环：环的定义、子环、整环、域、特殊环（交换环、有单位元环、整整环）、多项式环等。
-矢量空间：线性组合、线性相关与线性无关、生成子空间、基和维数、坐标等。
3.线性方程组：-线性方程组的解和解集。
-矩阵和向量表示线性方程组，线性方程组的向量形式与矩阵形式的转换。
-齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
4.行列式和特征值特征向量：-行列式的定义、性质与计算。
-矩阵的秩与行列式的关系，线性方程组解的结构与行列式的关系。
-特征值与特征向量的定义与性质，对角化、相似矩阵与特征值特征向量的关系。
5.线性空间：-线性空间的定义与性质，子空间、直和、维数定理等。
-线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵表示与特征值特征向量的关系。
6.内积空间：-内积的定义与性质，正交、单位正交、正交补空间等。
- 正交矩阵、正交变换，Gram-Schmidt正交化过程。
-线性最小二乘问题。
7.线性算子：-算子的定义和性质，线性算子、特征值、特征向量等。
-特征子空间、核、像与秩-零化度定理等。
以上是高等代数I的一些重要知识点整理。
在学习这门课程时，学生需要深入理解这些知识点的定义、性质和应用，并通过大量的练习问题进行巩固。
高等代数I为后续数学课程如线性代数、矩阵论、抽象代数等打下坚实的基础。
第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，ii a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 nn a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂()ii ()()()()()()()0f xg x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；2） 加法结合律：()()()()()()()()f xg xh x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f xg xh x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =L LM M M L（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （2）的代数和，这里12n j j j L 是一个n 级排列。
当12n j j j L 是偶排列时，该项前面带正号；当12n j j j L 是奇排列时，该项前面带负号，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L。
2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑L L L 和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑L LL L L 和3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。
4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式 2）副对角方向的行列式 3）范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。
即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。
4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。
5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。
6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ijnn n nna a a a a a a a a a =（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。
当12n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时，该项前面带负号，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑。
2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。
4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式111111222222112200nn nn nnnna a a a a a a a a a a a *===*2）副对角方向的行列式111(1)212,12,1212,111110(1)nnnn n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----*===-*3）范德蒙行列式：1222212111112111()(2)n n i j j i nn n n na a a a a a a a a a a n ≤<≤---=-≥∏二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。
即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。
4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。
5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。
6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。
三、行列式的按行（列）展开1、子式1）余子式：在n 级行列式ij D a =中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式，记作ij M 。
2）代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式。
3）k 级子式：在n 级行列式ij D a =中，任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤，位于这些行列交叉处的2k 个元素，按原来顺序构成一个k 级行列式M ，称为D 的一个k 级子式。
当()k n <时，在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式。
2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行（k 列）展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中，任意取定k 个行（k 列）(11)k n ≤≤-，由这k 行（k 列）元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。
4、其他性质1）设A 为n 阶方阵，则A A '=； 2）设A 为n 阶方阵，则nkA k A =；3）设,A B 为n 阶方阵，则AB A B =，但A B A B ±≠±；4）设A 为m 阶方阵，设B 为n 阶方阵，则00A A AB BB*==*，但A B A B ±≠±。
5）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式1111111111122111111,,1,2,,.nnnij i j i j in nj n n n n n n a a b b c c c a b a b a b i j n a a b b c c •==++=其中四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。
具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。
方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。
用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从1234n D D D D D →→→→，逐级递推便可以求出n D 的值。
方法二：数学归纳法。
第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。
第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式。
方法三：加边法。
加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或m+1）级行列式较易计算。
其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn n n n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===。
方法四：拆行（列）法。
将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。
拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。
方法五：析因子法。
如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ，然后对行列式()f x 实行某些变换，求出()f x 的互素的一次因式，使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ，根据多项式相等的定义，比较()f x 与的()g x 某一项系数，求出c 值，便可求得()D cg x =。
2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如，*等等）。
注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。
类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。
（1）“三对角”行列式（,）。
注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。
首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+，然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式： 先计算123,,D D D 等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。
间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可解得n D 。
（2）“爪型”行列式（）。
注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。
（3）Hessenerg 型行列式（）。
类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。
注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。
类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。
注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。
类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。
类型六：其他形式行列式。
五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零，即111110nn n a a D a a =≠， 则方程组有唯一解：1212,,,n n D D Dx x x D DD===其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式。
2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
